Doumss’est frottĂ© Ă  la playlist du Versus et a jugĂ© le rap français lors de son passage dans les locaux de GQ France. Le membre de L’Entourage est reconnu pour sa voix puissante, son flow AnĂșncioCarregando os acordes de 'Futur Proche Feat Pand'or, 1995 Alpha wann & Nekfeu, Sear Lui-meme, ATK - Corde raide'.Escolha seu instrumentoFrequently asked questions about this recordingQuais acordes estĂŁo na mĂșsica Corde raide?Corde raide contĂ©m 27 acordes de B maj, E min, A min, C que velocidade Futur Proche feat. Pand'Or, SĂ«ar Lui-MĂȘme, 1995 & ATK toca Corde raide?O BPM para Corde raide Ă© Ă© o tom de Futur Proche feat. Pand'Or, SĂ«ar Lui-MĂȘme, 1995 & ATK - Corde raide?A mĂșsica Corde raide estĂĄ em E minQuando Corde raide foi lançada?Corde raide foi lançada em 2013 por Futur Proche feat. Pand'Or, SĂ«ar Lui-MĂȘme, 1995 &
PasQue ça a Faire. 8. 3:31 EXTRAIT Quitte Ou Double (feat. Meksa) 9. 3:49 EXTRAIT Tout Droit Peu Me Suffirait (feat. Nekfeu & Alpha Wann) 12. 3:32 EXTRAIT A Nous Les Manettes (feat. Grems, Kussay & NĂ©mir) 13. 4:00 EXTRAIT 27 fĂ©vrier 2012 13 morceaux, 49 minutes ℗ 2012 Sofa Musique. Vous aimerez peut-ĂȘtre aussi
. nhi ile planHa Martis 1 ri piayfrr’t,’, nit, tv itl ..r^e Xahöai'yijq ita Irgrmlniii viilit A ar. L>. 50. seil. 171G. 2 Kil. Mriliomii I. A xign. 48. p. 292. itr.'oijtxdr Dniekseblcr. 3 ib. sign. 50. 4 A. In Ding. Lnrrlimn Arg. Mrnagii obsrrvationrs rt rmnnlatio- nrs ctr., U'cldic ten zweiten »'eil der Ă€'toilH'in’fdKii Ausgabe aiifmadifii, p. 212. 5 s. besscn feimmmav ĂŒber das trfle S?ild bor niflibifchou Elemente am Ifllbc dos btitlcn 2.'adh- i rd. ItasiI. p ga ja aaSruoc ö'l- i!' TaTq y? ;?!>/- *ou q tcrfoii'uiq i!q roo.'o Jniyfi ro ui. Borg!, auflorbCIII otonb. S. 79. 87. 99. 109. Seile 35 cilirt ProtluS bessclbe» Verfassers ßtßXlov cupi 0 S. boffen ssommentar ĂŒber Ardiimcb's xuxXou /it^rriq in der Einiki luiijj 'S. 77. ber stutenaekersdien Ausgabe. EulokiuS nriint den Titel der Schrift im Singularis. 7 Diog. i, 23. erzĂ€hlt, daß Thales zuerst Astronomie getrieben nnd So» ncnfinstcrnittc vorhergefagt habe, oq cp^triv EoS^no? f v r7 Tip />3 r aafQo'Ko- bicfc beiden Werke sind nicht bis auf unsere Zeit gekommen, und die Citate bei Diogenes, EutokiuS, ProkluS u. s. w., von denen die des Letzteren meistens die Erfinder einzelner geometrischer SĂ€tze angebe», sind Alles, was wir davon ĂŒbrig behalte» habe». Dieser Verlust ist tun so mehr jti bedauern, als die Geschichte sowohl Eudcm's als Thcophrast's gerade eine Periode zu ihrem GegenstĂ€nde hatte, welche jetzt wohl fĂŒr uns immer in ein magisches Dunkel gehĂŒllt bleiben wird, nĂ€mlich die Zeit vor Euklidcs. Wenn eine Lesart bei Diogenes kaertius richtig ist, so kann man vermuthe», daß auch LcnokratcS, ein Zeitgenosse der beiden vorigen, unsrer einem Werke ĂŒber Geometrie noch ei» mathematisch-historisches Werk geschrieben hat. Es sindct sich nĂ€mlich in dem Katalog seiner Werke eines unter dem Titel etfgl ytwfierQMv ßißXia fifiCnbfin Jitfij bet Silet, wir Diogenes ihn anssprichl, ist wahrscheinlich richtiger, weil die Form desselben nicht so gewöhnlich ist. Idcin cx rjusdcm Eudcmi Astrologie» historia prodidit Tlico 8in rniiens. Der astronoiniscbe Theil seines Werts ist noch nicht gedruckt worden. At J’roclus in IV. primi Euclidis testatur Thaleti hoc ah Endeino trilnii Iv fouc; lyeci. lefqivatq laroii'acq. Potuit idem utroque in opere dixisse, ait Yossius de Historicis Graecis lib. 3, ubi eum vide. Nun besinden sich aber die aisti ProkluS beigebrachten Worte nicht im vierten, sondern, wie in Note 5. gesagt ist, am Ende des drillen Buchs; dazu kommt noch, das, an dieser Stelle so wenig, wie an irgend einer andern de EommentarS von Prokt» von einer Eonnensinsternih die Rede ist. Vielmehr sagt ProklnS, Eude- mu» schreibe in seinen geometrischen Geschichten die Erfindung des Satzes Enkl. Stem. 1 , 26. ecnflnicnj zweier Dreiecke aus Gleichheit zweier Winkel und einer Eetie dem Thales zu. Wir baden hier also ein Beispiel, wie ein falsches Eitat fiel, fottpstanzt, weil Einer dem Andern eS nachcitirt, ohne auf die Quelle znrĂŒck- zngeben. — AnatoliuS in dem von FabrieinS milgelheiltett Fragment llibl. gr. Ij. III. p. 277. E " 5liloe lorotit? ir fmv oder fs'tt genannt, als die beiden wkq f/ flei/hrtt/cner , bist. mttlh, vniv. p. 155. schreibt wörtlich aus Blaneanns ab. Bergt. Fnbricii Hil»l. Graocu L. III. p. 08. 10 liami schul. Math. p. 35. Liliros gonmotrioarum onnrraliomim scx consoripserat, » tpiilnis >I*-risfue in locis I’roelns ost adjutus. IIIa n- cani ehr an, Muth. p. 45. Noripsit praotora Iil>. 6. gooinotrioarum onar- rationum. historia t/strnnoniiae Yitomli. 1711. 4to >». 145. Contoxuerat cniin Gominus liltros 'VI. onarrntionuin gouinoteioarum, qiii- bus passim l’rocliis lĂŒit adjutus. Mnnlncla hist. des muthem. I 1 p. V. prif. Kiifin pou avunt löre cliritionne i'niiiius nvoit do nouvoan icrit l’liistoire du la geometrie. Die genaueste Kenntniß von diesem Werke scheint Saverien zu haben; er sagt nĂ€mlich lfist. dos progrus do l’osprit bumaiu p. 77. II composa un onvrago divisd on six livres, intitulc' Enarrationes Geometrieac schwerlich, denn stein, war ein striechc, dann le- quel ii expnsa d'une manif're fort c-lairr les döcouvorles los plus importantos. 11 Ich will bicr znr BegrĂŒndung meiner Zlnsfage alle Stellen des t5vm- mentars den Proklus nennen, in welchen steminns citirl wird, und zwar nacl' Ja eine ©iclie bei ProkluS scheint fi^av geradezu anzudeuten, daß seit dein vierten Jahrhundert v. Chr., d. h. seit Thcophrast'S und Endend Zeiten, keine neue Geschichte der Geometrie mehr erschienen ist. Der genannte Anrtor giebt nĂ€mlich in dem vierten Capitel des zweite» Buchs seines CommcntarĂŒ eine interessante historische Übersicht ĂŒber die berĂŒhmtesten Mathematiker von Thales bis Euklidcs, und sagt daselbst, bevor er Euklidcs selbst nennt 0 l ÎŒÎŻÎœ ovv ÎŹ Ιοοο,'α uvay^avf^ ÎŒÏÏ‡ÎżÎč ÎżÏÎżÏ… -χ^ÎżÎŹÎłÎżÎœÎżÎ· υ 7Μ, bor Ausgabe dos Originals Hnsilciic 153.! sol. bei fnflib mib nach der laleĂŒ Nische» Übersetzung bo »urnciun si'aluvii 1560 161.. VA. ?- 11 I. 3» Bar. p. 22 I. 6 29 - 31 S ; 61 - 14 31 - 3 i - 63 - 34 - — - 2» 61 - 35 32 - 47 S i 67 - 27 49 - 18 S S 100 31 — - 33 i - 101 - 17 51 - 8 ÎŻ i 104 - 12 - — - 27 - ; 105 - 5 - S — - 37 5 5 — s 21 - - 52 - 3 - - 106 - 12 > - — - 44 - »*' i 108 - 2 - - — - 48 ' ; ? — - 8 - 53 - 39 i 110 - 18 ^ - 56 - 13 ÎŻ i 116 - 8 > 66 - 10 i i 13» - 2 _ - 11 ; 5 — - 4 68 - 4 - . - 143 - 11 _ - 6 S ÎŻ — - 15 74 - 38 - s 159 - 12 Ich mbchte vermutsten, daß alle in bor vorigen Rvlc gcnamuon Auctorc» ihre $l "f e tem lgwicl,,,S » rorum, qnl in coolem voll online citafi sunt ^ , ’ 1 o' iiis l’oincr Üborfofetnijj vorausgeschickt, ontnommon staben. Da finden wir nĂ€mlich Liltri geometneanom cnarrationum emlm. Es kann tiefe ein iirspriinglichcr Irrthum dos Übersetzers sein, inbom or as bo» hĂ€ufigen dos llominus und aus bor Analogie bor geomotrischo» Geschichten bos Eubeimis aus oi„ Ă€hnliches Wert bes ersteren geschlossen hat. Die sechs BĂŒcher, in welche das Werk dos Geminus eingetheilt gewesen sein soll, rĂŒhren wahrscheinlich von einer zwei. ten Verwechselung her, indem Eulokiu in dem Commentar zu Apollonius Kegel- I »itte» des Geminus sechstes Buch p,»cc,-pti»»im inatlicmaticarni» eitirt ' " des Eutoti'us , Apollonius ist bis setzt nur lateinisch gedruek ,. gebraucht eine alle Übersetzung da schon den Ausdruck cnniTaiiontim s, nirni,»; mirrfi 12 , d. h. „S ic j C11 \ i] c n, Wcldc die Geschichten nĂ€mlich der Geometrie geschrieben haben, ba- ben bis hichcr die Entwickelung der Wissenschaft fortgefĂŒhrt." Der letztgenannte Mathematiker ist ein gewisser Philippus'’, ein SchĂŒler Plato's; bis auf ihn also erstreckten sich die damals vorhandenen Geschichten der Mathematik. Dieselben hörten also da auf, wo fĂŒr uns, denen die vor-euklidische Zeit immer noch wie eine kaum anbrechende Morgenröthe in mehr als Halbdnnkel gehĂŒllt erscheint, die Geschichte recht eigentlich erst anfĂ€ngt. Schwerlich aber wĂŒrden wohl spater lebende Historiographcn, wie Gcminns, der etwa ein halbes Jahrhundert vor Chr. lebte, hier aufgehört und die erst von Euklidcs in eine wissenschaftliche Form gebrachte Geometrie ohne Geschichte gelassen haben; Stoff gaben wohl, um Mchrcr nicht zu gedenken, die noch nach Jahrtausenden angestaunten Arbeiten eines Archimedcs und Apollonins in reichem Maaße her. Also ist wohl von Eudcnms bis zur Zeit des ProkluS im fĂŒnften Jahrhundert nach Christo keine neue Geschichte der Geometrie erschienen. Und doch haben wir noch vor Proklus eine Geschichte, und zwar eine pragmatische Geschichte der Mathematik und der Geometrie insbesondre, die aber Proklus, obgleich er den Verfasser derselben mehrmals nennt, nicht als eine solche anzuerkennen scheint. Es ist das allbekannte und nicht genug zu schĂ€tzende Werk von PappuS aus dem vierten Jahrhundert. Der berĂŒhmte Verfasser giebt in seinen Ma^nyictrtxoct amayioyui in acht BĂŒchern, von denen aber leider die beiden ersten bis auf ein kleines Fragment des zweiten, von welchem weiter unten die Rede sein wird, verloren gegangen sind, eine herrliche Übersicht ĂŒber die Leistungen seiner Landsleute in der Gco- 12 Ed. Bas. p. 19. Bnr. p. 39. 13 In der Baseler Ausgabe heißt er o Msrouo?. Edens» bei Dcclinlcs cursus matliem. T. 1. p. 8. Barocius giebt l’h. Mcndacus, und s» die Meisten, j, B. Humus I. I. p. 20. ltluncanus p, 44. Dcclinlcs p. 65. U. A. — Fabrieins Bibi. Gr. L. 111. p. 385. 386. und daraus wahrscheinlich Frobesius Histor. et dogmat. in matlicsiu introd. p. 99—101 habe» dieses Capitel abdrucken lassen, und beide lesen 4>. 6 m lö/iaioq. Ebenso hat Montucla T. 1. p. 180. Philippe de Medmde;— Fabricii bibi. Graeca L. 111. p. 85. und von da Weidler bist. astr. p. 111. „Philippus Medmcus, cMcdama Bruttiorum oppido Italus, Platonis discipulus etc. Dc ventis eum scripsisse, Stcphanus de urbibus in SitS/xa testatur.” Also ist diese drille Lesart wohl die richtige. 7 nietric und der Arithmetik; er begnĂŒgt sich aber nicht, wie so viele neuere» Historiker, bloße Namen t»id BĂŒchcrtitcl zn nennen, sondern ee gehl ausfĂŒhrlich in die Sache ein, fĂŒhrt die wichtigsten SĂ€tze und Lehren theoretisch vollstĂ€ndig aus, und giebt den Inhalt von vielen jetzt grĂ¶ĂŸtcntheils verloren gegangenen BĂŒchern so genau und ausfĂŒhrlich an, daß es neuere» Mathematikern möglich geworden ist, nach diesen Angaben jene Werke wiederherzustellen. Sein Werk ist eine reiche Vorrathskammcr alles dessen, was Griechenland in der Geometrie erzeugt hat, und darum von so tmschĂ€tzbarcm Werthe, weil ohne den Fleiß seines Verfassers so vieles Herrliche fĂŒr uns spurlos untergegangen wĂ€re. Schade, daß gerade der Theil seines Werkes, der uns fĂŒr unseren nĂ€chsten Zweck am meisten intcrcssirt, nicht vollstĂ€ndig bis auf unsere Zeit gekommen ist; die beiden ersten BĂŒcher dieser iwaytoyai sind wahrscheinlich fĂŒr die Griechische Arithmetik das gewesen, was die folgenden sechs BĂŒcher fĂŒr die Geometrie waren. Den Nachforschungen des berĂŒhmten WalliS ist es gelungen, ein Fragment, wie cö scheint, den Schluß des zweiten Buchs aufzufinden, welches hinreichend ist, den Verlust des ĂŒbrigen Theils uns schmerzhaft empfinde» zu lasse». WalliS machte seinen Fund im Jahre 1688 im Original bekannt, ein GlĂŒck, welches dem geometrischen Theile dieses vorzĂŒglichen Werkes noch nicht zu Theil geworden ijt. Wir haben bis jetzt nur lateinische Übersetzungen davon, die ĂŒberdies Manches zu wĂŒnschen ĂŒbrig lassen Von hier an aber schweigt die Geschichte der Mathematik bei den Griechen wirklich. Zwar gebe» der Commcnlar deö ProklnS ĂŒber daS erste Buch der Euklidischen Elemente, und die Connnentare des EtitokinS von Askalon ĂŒber einige Werke Archimcd'S und ĂŒber die Kegelschnitte des Apollonins manche willkommene historische Notizen, aber das historische Element tritt bei ihnen doch sehr in den Hintergrund, und die Notizen kommen ziemlich vereinzelt und nur so gelegentlich zum Vorschein. Ganz historischen Inhalts ist nur das schon erwĂ€hnte vierte Capitel des ersten Buchs von Prokluö 1S , wel l i l’iipi» Alexandrini mathematicae collectiones, a Kederico mli1ur. Ei» AuSZNg aus RamuĂŒ sonn allerdings nicht mchr viel enthalten. J. H'allin treaihc »f Algebra both historival and pructiral with some addiĂŒonnl Ircatiscs. fol. London. 1685 . Als chic zweite Auflage davon ist zu betrachten Dc Algebra tractatus hisloricus ct practicus, welcher den grĂ¶ĂŸer» Theil deS zweiten Bandes feiner Opera matllmnatica. Oxttniao. 16W. lul. ausmacht. Diese Algebra ist in theoretischer Hinsicht ein ausgezeichnetes Werk und gewiß daS beste und vollstĂ€ndigste, was ĂŒber diesen Gegenstand bis dahin geschrieben worden ist- Indem dem natĂŒrlichen systematischen Gange der Wissenschaft folgt, stellt er bei jeder Lehre die verschiedenen Ă€lteren und neueren, bessern und schlcchtcrn Methoden in einer VollstĂ€ndigkeit zusammen, wie wir sie in keinem allen Werke, und selbst wohl nicht einmal in neueren sm- dcn. Außerdem geht dem Werke eine historische Einleitung vorher, welche einzelne recht hĂŒbsche Bemerkungen und Ansichten aufstellt. Und doch ist sein Werk gerade von Seiten der Geschichte fast ganz wcrthloS. WalliS hat nicht aus den Quellen geschöpft; ja, wie wir uns spĂ€terhin ĂŒberzeugen werden, wenn wir uns bis auf diese Periode werden durchgearbeitet haben, er hat den grĂ¶ĂŸten Theil der Werke, die er nennt, selbst die der berĂŒhmtesten classischen Mathematiker, gar nicht gelesen. Die meisten seiner historischen Angaben sind irrig, oft auch noch mchr als daS, sie sind absichtlich entstellt. WalliS besaß mchr Patriotismus, als einem unpartheiischm Historiker gebĂŒhrt. Sein LandSmann Harriot ist ihm Alles, unter seinen HĂ€nden möchte er am liebsten die ganze Algebra entstanden wissen, und es kommt ihm auf eine Hand voll Unwahrheiten nicht an, wen» es gilt, diesen seinen berĂŒhmte» LandSmann auf Kosten der AuslĂ€nder, namentlich DcScartcs, zu vergrĂ¶ĂŸern, gegen dessen unsterbliche Verdienste er sowohl sich selbst als seine Leser geflissentlich blind zu machen strebt. Historische Unkunde dagegen ist es, wenn er Erfindun- gcn sich selbst zuschreibt, welche hundert Jahre frĂŒher Bombclli gemacht hatte, z. B. die Auszichung der Cubikwurzcl aus einem Bi nomium und die Anwendung dieser Theorie auf die Auflösung des sogenannten vasus irmluciUilis der cubischcn Gleichungen. Mit einem Worte, Wallis Werk ist in historischer Beziehung durchaus unbrauchbar; denn man muß vorher die Geschichte kennen, um bei der LcctĂŒrc dieser Algebra zu unterscheiden, ob eine von dein Verfasser beigebrachte historische Notiz richtig oder un- richtig ist. / MiUiet- Dcc/mlc» Cursu» seu Mttmlux tnalhemuliern. 11. Tomt. Jjugduni. 1674. fol. cd. allcra ciirA A. \iimn, ih. 1690. Der erste Band enthĂ€lt Trncfntus proocmialis do pi-oxrctim, mathescos et illustribus iiiatbcinaticis, p. 1 biS 108. Wer dieses oft gelobte Bnch nicht gelesen hat, hat gar keine Vorstellung davon, mit welcher Gedankenlosigkeit diese vorgebliche Geschichte der Mathematik zusammengestöppelt ist. Abgesehen von unzĂ€hligen einzelnen llngcnailigkeitcn und IrrthĂŒmern wimmelt das ganze Werk dermaßen von WidersprĂŒchen in sich selbst, daß Jemand, der aus demselben Geschichte der Mathematik lernen wollte, am Ende allen Glauben an historische Wahrheit verlieren mĂŒĂŸte. Ich sehe mich genöthigt, dieses strenge Urtheil durch Thatsachen zu belegen. 1 Der griechische Mathematiker Gcminus, von dein wir oben gesprochen haben, wird hier viermal genannt; zuerst S. 8. unter den Mathematikern vor Euklides, dann S. 11. und S. 47. im vierten Jahrhundert n. Ehr. als Lehrer des Proklns Diadochus, und endlich S. 70. als Zeitgenosse Ciccro's und Eulla's. ES werden an diesen drei Stellen nicht etwa drei Mathematiker dieses Namens unterschieden, sondern es ist immer derselbe. 2 Theo» SmvrnĂ€us erscheint E. 12. u. S. 30. im zwölften, S. 61. im zweiten Jahrh. n. Cbr., und an allen drei Stellen wird dasselbe Bnch von ihm genannt. 3 Ni- koltiachus, der Arithmetiker, wird in zwei Personen getrennt; S. 20. Tcrtio urliis coiidilac sacculo also etwa Saec. Y. a. dir. tlorait Nicomaclius Aritlmicticus. S. 60. Saec. V. a. Chr. iNicomachus Aritlmicticus dc musica etiam c^it, ex Zarliuo. Aber S. 61. Saco. II. p. Chr. heißt es INiconiaohus Ccrassc- mis l’ylhaiijoriciis Havmoiiicos inannalo edidit duohns lihris. Nun hat aber Nikomachus schon auf dem Titel der 1538 in Paris erschienenen Ausgabe seiner Arithmetik den Beinamen }vöq / von feinem Geburtsorte Gcrasa in Sorten. Demnach ist Nicomachus Aritlmieticus und Nicomachus Geraseims eine Person, Eben so aber ist das Ilarinonices mauuale S. 61. eben das Werk dc musica, welches S. 60. sechshundert Jahre frĂŒher aufgefĂŒhrt wird. 4 S, 20. heißt es Utriunquc opus Nico- machi exeudehat Yachclus Paris. 1538. also hat DechalcS die Ausgabe gekannt. Euiulcm Ai’ithineticain explieuit commcnla- 13 vio Asclcpius et Trallianus Aimnonii discipulus, et .Iamblichus, cujus ultimi scriptu dicuntur esse in Bibliotheca Begia. 9ip> Ua'iß DcchaleS auf dieser Scite miv als GerĂŒcht, daß das Werk des Iamblichus als Manuskript cristirt. Aus der folgenden Seite ist er schon besser unterrichtet; da sagt er nĂ€mlich Constantini temporibus .Iamblichus Chalcidensis ex Coelesyria scripsit Graece introductionem in Nicomacbi arithmeticam l salschrr iitcl . . . quum Kam. Tennulius latinam fecit et notis illustravit. 1660. Dieses ist aber eben der S. 20. erwĂ€hnte Commentar. 5>> Mau hat lange den Mathematiker Enklides mit dem gleichnamigen Philosophen von Megara verwechselt. Das mochte hingehen, so lange man ĂŒber den Mathematiker keine genaneren Nachrichten hatte. Seit man aber wußte, daß der Mathematiker unter den ersten beiden PtolemĂ€ern in Alepandrien gelebt n»d gelehrt hat, war eine solche Verwechselung gedankenlos, da Alerandrien erst beinahe hundert Jahre nach dem Tode des Enklides von Megara 424 erbaut worden ist. Was soll man aber von einem Manne halten, der beide Facta sich vollkomme» deutlich macht, und dann doch nicht weiß, ob beide nicht vielleicht eine und dieselbe Person gewesen sind? DcchaleS raisonnirt S. so Ad Euclidem landein Geometram perveuimus, quem pleriquc eundem putant esse cum Euclide Megarensi, ex Megaris urbe in lstlnno, cujus nomine secta Megarica dicta fuit etc. Euit Socratis auditor, et huic successit Ichtias. Diogenes Laertius ait Platonem se contulisse Megara ad Euclidem. Constat item eundem Platonem Delios ad Euclidem remisisse .... Euclides Ccomet ra, sive idem sit cum Megarensi sive non, longo tempore Alexandrine Geometriam docuit etc. Aber genug bkS llltsninS. Wir seben, daß DcchaleS auf einer Seite nicht gewußt hat, was er auf der vorigen gesagt hatte. Dazu kommt noch, daß er nie die Quellen angiebt. ./. A. Krebs dissertatio de originibus ct untii/uitati- bus mathematicis. Jenae. 1702. 4. M. B. I/ . Marpergcr dissertatio historico - mathematica de falis matheseos. Altdorf 1702. 4. Zwei unbedeutende Dissertationen, die nur schon Gesagtes wiederholen. ^ Ber nardi veterum mathematicorum Graecorum, Kat/uorum ct Arabum synopsis seu scripta t/uae re- 14 prriri potucmnt dirigcnda vohnninibwt XIV. adjccla st Ilnntingtoni cpistolis. hnndon. 1704. S. Ist »vicbcv abgedruckt in J. A. Faliricii liildiolhcca CJraoca Ilamburg. 1716.'4. T. II, p. 564 — 587. Lib. III, c. 23, wo der Titel heißt Votvium inallioinatiooiui» scriptu, qiiac rc- pciiri pofucriint, dirigcnda volnminibus XLV. Quorum Oata- logum ab Fdvardo llcrnhanlo pvidcm composilum Thomas Smi- fhus Vir. Clariss. subjccil ojus Vitae ad calccm Fpistolarum lluidingfoniarum editac Fond. 1704. 8. — Bernhard hatte die Idee, eine Sammlung aller alte» Mathematiker in 14 ungeheuren BĂ€nde» herauszugeben. Diese Ricscnausgabe sollte neben einer kritischen Recension dcS Urtcrtcs eine gute lateinische, scrncr, wo möglich, eine oder mehre arabische, persische u. a. Übersetzungen, die alten, griechischen und arabischen und AuSzĂŒge aus den wichtigere» neueren Commentaren n. s. w. enthalten. Jit jedem Bande sollte das Gleichartige zusammengestellt, und an die Hauptwerke von Eu- klides, ApolloniuS, ArchimcdeS, Pappus, AthenĂ€us, Diophantus, Pto- lcmĂ€us sollten die verwandte» kleineren griechischen, römischen und arabische» Schriften angereiht worden. Die vorliegende kleine Schrift enthalt die vollstĂ€ndige Disposition, den dctaillirtcn Plan dieses großartige» Unternehmens, und verdient insofern hier ErwĂ€hnung, als sie reichhaltige litcrarische Notizen darbietet rmd eine ausgebreitete Bekanntschaft des Verfassers selbst mit den unbedeutenderen alten Mathematikern verrĂ€th. Der sechste Band war fĂŒr die Arithmetik und Algebra bestimmt, und sollte die Werke von Diophantus, Thcon SnwrnĂ€us, Nikomachus, die Thcologumena, Jamblichns, Asklcpins, BocthiuS, Barlaam, Marimus Planudes, Thabct bcn Korah dc vcritatc propositionuiH algcbricarm» demonstralionibns geo- mclricis adslrucmla, AuszĂŒge aus Scrtus Empiricus, aus Leonard von Pisa, aus Pell's Vorlesungen ĂŒber Diophant, die Arithmetik von Abraham Kai, Alkhindi, einige anonpmc Werke imb AuszĂŒge aus den ncucrcu Arithmctikcrn und Algcbristcn enthalten. Dieses als Probe. Bernhard giebt meistens auch an, wo die nöthigen Main,scripte zu finden sind. Er scheint sich sehr fĂŒr die Idee intcrcssirt zu haben. Die AusfĂŒhrung wĂ€re indeß allch dann wohl unterblieben, wenn der Tod ihn weniger frĂŒh ĂŒberrascht hĂ€tte. Bernardino Baldi, cronica dc Mutcmatici ovcro epi- tnmc dell’ Iatoria delle vitc coro. XJrbino. 1707. 4. Ich habe dieses Werk nicht erhalten können. Montucla T. 1. pres. p. V. stellt cs in eine Kategorie mit BlancanuS. Wald Versuch einer Einleitung in die Geschichte »nd Kennlnisse rc. Halle 1784. sagt „ein, BaumgartcnS Urtheil ohncrachtet, fleißiges und mit den nöthigen mathematischen Einsichten abgefaßtes Verzeichnis! von 366 Mathematikern, welches die Grundlage eines weitlĂ€nftigern Werkes, das aber der Tod des Verfassers hinderte, werden sollte." C. Wolfii programma de incrementis r/uac reg ma- thematicac intra nnins Saeeuli ambitwn cepere. IJn- lac. 1707. 4. ist mir unbekannt geblieben. Dagegen will ich bei dieser Gelegenheit bemerke», daß desselben Verfassers Klirzcr Unterricht von den vornehmsten mathematischen Schriften, im vierten Band seiner AnfangsgrĂŒnde aller mathematischen Wissenschaftcit, und noch ausfĂŒhrlicher im fĂŒnfte» Bande der Element» Mntlieseos nniver- s»e, obgleich hauptsĂ€chlich Bibliographie, doch Manches auf Geschichte der Mathematik BezĂŒgliches enthĂ€lt. I. N. FĂ€sch, historische und methodische Einleitung in die gesammten mathematische» Wissenschaften. DreSden. 1716. 4. Sleinhritek, de mag in mathematim s. algebrn eom- mentado, praeler ordnn et progrenum arfis elrgnn- fitssimne mnm t/uoi/ue ejug ex leiben. 1710. 4. I. G. Doppclmaicr, historische Nachricht von den NĂŒrnberger MathcmaticiS und KĂŒnstlern, welche von dreyen GcculiS her durch ihre Schriften und Kunst- bcmĂŒhunge» die Mathematik und mehre KĂŒnste trefflich befördert. 2 Tble. NĂŒrnberg. 1730. fol. BĂŒchner, Entwurf einer Historie der Rechenkunst. Waldenburg. 1730. 8. Diese vier Schriften kenne ich nicht. Eben so wenig habe ich die folgende erhalten können I. C. Hcilbronncr, Versuch einer mathematischen Historie. Ist er Theil, darinnen eine Abhandlung vom Nutzen der Mathematik ĂŒberhaupt, und die Historie der Rechenkunst enthalten. Frkft. u. Lpzg. 1739. Wahrscheinlich aber ist der Inhalt dieses Werkes in das folgende aufgenommen. f C. Iscilbronner, hizloriu mafbexeo nnieerxae Pfande condifo ad xeculnm p. C. n. XI /. pracoi/nio- 1t> rum mathcmnlicorum vifns, dogmnta, seripln ct ma- mavri/tla romplcxu. Accedit rcccnslo clcmcntorum, enmpcndiorum ct o/terum mntkcmutieorum, ul i s i c g f r, A »1 b s f S fi 7 I! 11 a b 5' h i ri h 19 i'cffcr gcwcsm, wenn Montucla seinem ursprĂŒnglichen Plane getreu die angewandte Mathematik ganz van seiner Geschichte ausgeschlossen und sich nur ĂŒber die Geometrie, Arithmetik, Algebra und höhere Analysis ausgebreitet hatte. Was das Werk jetzt an Ă€ußerer VollstĂ€ndigkeit gewonnen hat, hat es an Tiefe lind GrĂŒndlichkeit verloren. Montucla hat die Quellen flĂŒchtig, zum Theil wohl auch gar nicht gelesen, wovon wir im Verlaufe dieses Werkes mehre Beispiele finden werden. Es war aber auch in der That zu viel fĂŒr einen Mann, eine ganz neue Bahn betretend, eine aus den unmittelbaren Quellen geschöpfte Geschichte der Geometrie, Arithmetik, Algebra, Mechanik, Astronomie, Optik, Schiffahrtskundc, Geographie, Chronologie, Gnomonik, Differential- und Integralrechnung zu schreiben. Dieses Streben nach extensiver Vollendung mußte die intensive ersticken. Dcßungeachtct besitzt die Mathematik in diesem Werke einen großen Schatz, und ich mĂŒĂŸte wenig erkenntlich sein, wenn ich verhehle» wollte, daß mir dasselbe, trotz aller Vorsicht, die ich bei dem Gebrauche desselben nöthig fand, eine große HĂŒlfe und oft ein wĂŒn- schcnSwcrthcr Wegweiser zu den letzten Quellen gewesen ist. Jedenfalls ungerecht sind die bitteren Urtheile, mit welchen Cossali den Verfasser fast durch sein ganzes Werk verfolgt, und worĂŒber dieser sich mit Recht beklagt. T. II. udditions ct corrcctions p. 714. 715. der zweiten Auch. Einzelne Falsa werde auch ich ihm öfter nachzuweisen haben, aber wir wollen darum nicht ein Werk verdammen, dessen Verfasser so viel geleistet hat, wie Montucla. Sicher aber wiegt ein Fehler, den Wallis und Montucla zugleich begehen, bei dem ersteren unendlich schwerer, eben darum, weil er einen einzelnen Theil der Wissenschaft behandelt, und man deshalb durchgehende GrĂŒndlichkeit von ihm zu fordern berechtigt ist. Nach Wrcde Literatur, drittes Heft, S. 5. ist der erste Theil dieses Werkes ins Deutsche ĂŒbersetzt und mit berichtigenden Anmerkungen und ZusĂ€tzen vermehrt von I. I. Berg- haus. Wredc giebt aber weder Ort noch Jahrzahl an. Snverien, histoire des progres de l^esprit humain dans les Sciences exactes ct dans les arts qui cn depen- dent, savoir, V arithmFtique, Falgebre, la gdometrie, l astronomie, la gnomonique, la Chronologie, la navi- gation, l’optique, la mechanique, Fhydranhqae, l’a- coustique et la musiqt/e, la geographic, Varcldtecture 2 ° etc.; avee an abrege de la vi e des aalcars /es /das celebres dans ees seienees. Paris. 1766. 8. Dic Geschichte ist nach den Wissenschaften geordnet. Als Anfang S- 426 — 500 die Biographien berĂŒhmter Mathematiker in chronologischer Ordnung. Es ist unbegreiflich, wie acht Jahre nach dem ersten Erscheinen dcS Montucla'schcn Werkes noch solch eine Mißgeburt hat auf die Welt koiniile» können. Ich will mich ein fĂŒr allemal der MĂŒhe ĂŒberheben, dieses Buch mit seinem pomphaften Titel wegen einzelner Unrichtigkeiten in der Folge zu citircu; zu dem Ende schreibe ich hier als Probe folgende Stellen aus dem Abschnitt Histoirc de l’algebre i>. 32. folg. ab Malgre los ef- forts dos Mathematiciens pour perfeetionner la Science des Nombres et, iour resoiulre par lc inoyen de cetfe Science los problemos les plus curieux et los plus difficiles, cependant on recoimut, pi’eUe etoit resserree duns des limites I Notis igiiorons ee que cVIoient que ees Symboles, et eil quel eins les Arabes oonuiioucerrnt a los eniplover bitf» UH'iji/ stll'S dem angefĂŒhrten Grande, ĂŒberhaupt kein Mensch > seulement uous sitvons u’en suivsini netto ideo, c’est-u-live en so servant d’oxpressions generales et ile sigues universels, ils viiivent iv bont lo ciilculer 11011 soulenient ce qu’ils ne oonnoissoiont p»s eneoi-e was soll brt beiße»? giebt sich den» ĂŒberhaupt irgend ein Mensch die Muhe etwas anzurechnen, was er schon weiß? aber der Zusatz macht die Sache »och besser, mais u»ssi ce >»'. On ernst que ees Peuples es war bisher immer nur von einem die Rede mit appris tout cela des Indiens. Gest une pretention sehr apodiktisch. Il y a des Krudits, au contraire, qui veulent que ce soient les Grecs qui aient en- seignd netto inveiitiou aux Arabes vorher hieß es ja aber ausdrĂŒcklich, daß die Arabische» Mathematiker zuerst auf diese Idee gekommen seien, tjno! qu'il ni seit, eeux-ci Hiiployoient des oaraeleres grecs pour exprinier les quantites eomiues et, les quanfites ineonnues da wissen wir ja auf einmal doch, 00 que n'etoinnt que ees Symboles. 11 s purent par ee moyen de- eoniposer une questiou !, pour comparer ensonible ees quantites, et ils lormerent ainsi une Aritlnnetiqiie sy ' e, on im Art qu’ils appellernnt. A/giitl Wuhnn/kahula soll heißen Algebre w'aimukalmla; vorher sollte ja der Arabische Name Aritli. synibolique rill, deux mots qui signitient repaver, relablir t das wĂŒrde ein Araber in jenen Worten schwerlich entdeckt habe»; ^crgl. mein zweites Kapitel, et que 110118 avons rendus par le ,Uot Afgehre also das französische Wort Algebre ist eine Über- sttzlmg der beiden Arabischen Algial ^Valmulsinbala. Gns Ou- 22 vrages qu’ils publicrent sur cct, art, ne sont point vcnus jusqu’a nous juni GlĂŒcke ist das doch geschehen, lind ich hoffe in meinem zweiten Bande Manches daraus mitzutheilen, et nous igno- rerions la decouvcrtc qu’ils cn out fitilc, si Diophantc, qui vivoit vcrs lc inilicu du quatriomc siecle, ne nous l’cĂŒt appris Diophant hat uns mit den Erfindungen der Araber in der Algebra bekannt gemacht, horribilc dictu! aber es kommt noch besser ou peilt meine regardvr eot Auteur comnic lc premicr Algchriste also hat doch nach Savericns Meinung der erste Algcbrist uns mit den Erfindungen der SpĂ€teren bekannt gemacht. Son livre est intitule, Qucstions ArithmJtĂŒ/ucs. C’est la qu’on voit les progres que les Arabcs y avoicnt faits jusqu’a cc teins !!! Da lauft dem Leser denn am Ende doch Alles bunt durch einander „Die Araber haben die Algebra crfunbcn; sie habe» sie von den Griechen gelernt und bedienen sich als Symbole Griechischer Buchstaben; wir wĂŒrden nichts davon wissen, wenn Diophant es uns nicht erzĂ€hlt hĂ€tte; Diophant lebte im vierten Jahrhundert; er war der erste Algcbrist; sein Werk macht uns mit den Fortschritten der Araber bekannt." Und dieses Alles so zu sagen in einem Athemzuge! Da fragt man doch endlich selbst verwirrt War Diophant ein Araber? Wann haben die Araber Algebra getrieben? Über die erste dieser Fragen ist Savcricn gewiß selbst nicht im Klaren gewesen, denn gleich hinterher wundert er sich, daß Diophant sich griechischer Buchstaben bedient, was er oben auch von den Arabern sagte. 11 est fitcheux que Diophantc ne nous ait fait connoitrc ni lern nĂ€mlich der Araber marche, ni celle qu’il a suivic dans scs meditations. Das erstere thut er allerdings nicht und zwar aus guten GrĂŒnden, das letztere aber immer. 11 sc scrt de ca- racteres grecs pour exprimcr les quantitcs ct les signcs qui les unissent ou qui les separent wenn diese Worte einen Sinn haben, so sagen sie die Unwahrheit; denn wenn hier Verbindung lind Trennung so viel heißen sollen als Addition und Subtraetion, so ist die Sache insofern unrichtig, als Diophant fĂŒr die Addition, die wir durch -s- ausdrĂŒcken, kein Zeichen anwendet; . . . Xilandre, dans le cinquieuic siecle ! die Übersetzung erschieir 1575, also etwa elf Jahrhunderte spĂ€ter ti'aduisit l’Ouvragc de Diophantc du grec cn latin. Et environ vers le huitieme siecle daß es ein Jahrhundert spĂ€ter geschah, wollen wir hier nicht tadeln uu Arabe, noimne Mohammed hen-Musa, composa un traite d’Algebre, 23 dans lequel il donna Ia resolutio» des problemcs du sccoml degre, problemcs qu’o» n’avoit point encore resolus parfaite- '»»uit u. s. U'. — Noch ein Paar einzelne merkwĂŒrdige Stellen will ich heraushebe»; p. 41. Duos ces calculs er hatte vorher von Carda» und Bombclli gesprochen les quantites ctoient ecrites; c’est-ii-dii'c qu’on noininoil la cliose inconuue, la Cosa. Ou appelloit Censo , le produit ou lc quarre de la quantitc clier- cliee; Cuho ou le Cubc la troisieme puissance de cette quan- lite. On ohangea bien e» disterens lenis cette muniere d’ex- primer les quantites, mais on les eerivoit toujours. A l’cgard des signes, on se servoit des prenderes leĂŒres de l’alphabet. Les Nombrcs enlroient aussi dans les equalions, et. tont. cela embarrassoit bcaucoup et ne donnoit gueres que des Solutions paitieulieres. Die grĂ¶ĂŸte Verwirrung aber scheine» diese Sachen in des Verfassers Kopf angerichtet zu haben. Den» S. 43. heißt es schon wieder Ce^ ’ on eerivoit toujours les quantites, conmie je viens de le dire. Cela fonnoit uu grĂŒnd cinbarras dans la resolution des equalions. M. Viele est le preniier qui s’est. servi des lettres de Talpliabet, pour designer les quantites commes. Die bekannten GrĂ¶ĂŸen aber hatte man nie durch Worte ausgedrĂŒckt das soll das ccrirc heißen, sondern immer durch Zahlen. — Was soll man aber mit solchen SĂ€tzen machen, wie die folgenden Ce geometre Jacques Gregori deeou- vrit uue propriete des polygoncs inscrits et circonscrits aux seetions eoniques p. 100.; — Mr. de lieaune proposa a Descartes un probiern» qui est devenu tres celebre sous le nom de Probleme de M. de IJeaune, lequel consistoit a construi rc uue courbe, nvcc des conditions qui rendoient cette constmction extremement difficile p. 103.. — Quaul a Snellius, il cnrichit la Geometrie de deux tlicoremes, par lesquels il determina les limites du ccrclc, on lui inscrivant et circonscrivant des polygoncs avec unc exactitude presque aussi grande que cellc que lnuloph Vaneculcn sie! avoit eue pour l'extraclion de ses meines p. 80.. Aber ich will den Leser nicht weiter ermĂŒden. Jedenfalls wird man es nicht ĂŒbertrieben finden, weint ich sage, der Verfasser weiß nicht, wovon er spricht. ^Bei dem Lehrbuch der Mathematik durch B. F. Möuuich 2 Theile, jeder in 2 Abtheilungen Berlin 1781—07. 8. zweite 24 Aufi. 1800—1801 bcsiiidtt sich als Anhang zur zweiten Abthci- lrutg des ersten Theils eine Kurze Geschichte der theoretischen Mathematik nach der Ordnung der HauptstĂŒckc im Lehrbuche. Da die kleine Schrift auf OriginalitĂ€t und Quellenstudium keine AnsprĂŒche macht, so kann man es ihr nicht verargen, daß sie die Fehler ihrer VorgĂ€nger rcproducirt. Sie steht zu anspruchslos da, als daß man an ihr sollte zum Splittcrrichtcr werden wollen. Sie ist immer eine angenehme und schĂ€tzcnswerthc Zugabe zu einem Lehrbuche der Mathematik, und es wĂ€re zu wĂŒnschen, daß mehre BĂŒcher der Art solche kurze historische Übersichten ĂŒber ihre Wissenschaft lieferten. Hollenberg, Nachrichten von dem Leben und den Er. findungcn der Mathematiker. MĂŒnstcr. 1788. 8. Gemeine, traite elemcnluirc des mathematif/ues, au prmeipcs dAritkmrtiijue, de Geometrie et d’'Algebra, arec les sections conit/ues etc. etc., Vhistoirc des Dlu- t/iematir/ues pures et dc Georn'etres les plus celebres. Paris. 1789. 8. auch 1790. 1793. Beide Werke sind mir unbekannt geblieben. Von dem letzteren sagt Rogg sHandb. d. math. Liter. S. 223 „Bei der Geschichte der Mathematik, welche durch alle Jahrhunderte bis zum Ende des 18ten Jahrh, durchgefĂŒhrt ist, sind auch, in besonderen Noten, die Biographien der berĂŒhmtesten Mathematiker angegeben." Ab. Passat, Quadro dei Progrcssi dellc Mathematiche tradotto dul Franc. Milano. 1793 . 8 . Über dieses Werk stehe unter 6. livssuk, cssai sur Hiistoirc generale des liiathcnmtiques. 1802. I. G. PrĂ€ndcl, Algebra nebst ihrer litcrarischcn Geschickte. MĂŒnchen. 1795. 8. J' IF Gilbert, de natura, constitutionc et historia mathcscos pritnae vel universalis, seu mctapkysices mathemnt.. commentatia. Halle. 1795 . 8 . Beide Werke habe ich nicht gesehen. A. G. Kastner, Geschichte der Mathcmatik seit der Wiederherstellung der Wissenschaften bis an das Ende des achtzehnten Jahrhunderts. Vier Bande. Göt- tingcn. 1796 — 1800. 8. Ein sonderbares Buch. Im Grunde thut Kastner hierbei nicht viel nichr, als daß er »nS feilte ĂŒbrigen recht schaue matbcmatische Bibliothek beschreibt, lange Titel abschreibt, StĂŒcke aus Vorreden und is1ulis mmciijvatui’iis eopirt, durch scchszcbn Seiten hindurch ei» fades Spiel beschreibt, bei welchem durchaus nichts mathematisch ist ;m;rgtou IhxvuynttrĂŒSov tou FojiStAa oto r/j~a. 3. 8. „Eine sebr deutliche, mit einer zweckmĂ€ĂŸige» Geschichte der Ana- lvsis versebcnc Anleitung zur Algebra, die H. v. Gobdcla eigentlich fĂŒr seine Landsleutc in Griechenland bestinnnt hat, wo mait bisher bloß die LehrbĂŒcher der alten griechischen Mtthematikcr kannte." Wredc a. a. ÂŁ>. S. 34. 35. Ich selbst habe das Buch nicht gesehen. Jiclatnhrr, Ariltntirlii/He d DaS sechszchntc Jahrhundert, kubische Tartaglia und bi- qnadratische Ferrari Gleichungen. 4. Von Victa und Nvlandcr 1575, Allgemeine Cocffieicnten, /^iNobra Ssu-oiosa, Einfluß Diophant's bis zur Erfindung der Differentialrechnung Newton, Leibnitz. 5. Das achtzehnte lind neunzehnte Jahrhundert. Diesem oberflĂ€chlich dargestellten Plane werde ich in meiner Geschichte der Algebra folge» rmd jeder der vier ersten Periode» einen Band widmen, welcher einen in sich abgeschlossenen Zeitraum behandeln wird, so daß jeder derselben als ein fĂŒr sich bestehendes Ganze angesehen werden kann. Mit dem Ende dcS siebzehnten Jahrhunderts gedenke ich aber auch meine Arbeit zu beschließe» und die historische Behandlung der Algebra in der fĂŒnften Periode, von Leibnitz und Newton bis auf unsere Zeit, einem Anderen zu ĂŒberlassen. Ich habe in der oben gegebenen Übersicht und Recension meinet Vorarbeiten manches strenge, vielleicht manches zu strenge Urtheil gefĂ€llt. Es wird mir und meinein Werke vielleicht kĂŒnftig nicht besser »g a- ge- r- er; zu >ev, ' 01 ach Ab geS >0 » bi- tett, ung Ge- inen M- anzc rrts jschc und !i»er > c,c- esscr gehen; ja ich weiß mit Gewißheit, daß ich bei dem besten Willen nicht int Stande bin, ein vollkommen tadelfteies Werk zu liefern. ES sei mir aber erlaubt, bevor ich meinen Gegenstand selbst angreife, hier auf einige Fehler aufmerksam zu machen, die ich in so vielen der oben reeensirten Werke gefunden habe, nnd die ich nun desto ge- ßissentlicher zu vermeiden mich bemĂŒhen will, je grausamer sie bei meinen Vorstudien in freutden Werken mich oft gequĂ€lt haben, und je geeigneter sie sind, deut Zwecke einer wissenschaftlich historischen Arbeit störend entgegeilzntreten. Meine erste Bemerkung betrifft die Citate. Die Regel, daß ein historischer Schriftsteller, was seine Belege und AuetoritĂ€ten an- langt, erstens dieselben richtig nnd genau, zweitens aber nur das ci- tirt, was er gesehen hat, scheint so natĂŒrlich zu sein, daß man es leicht fĂŒr ĂŒberflĂŒssig halten kann, ĂŒber einen so trivialen Gegenstand noch Worte zu machen. Und doch, wie oft und wie vielfach wird gegen beide Regeln gefehlt! Was soll matt z. B. bei der Unzahl von Werken, welche Regioniotttanns theils selbst verfaßt, theils mit Vorreden und Atimerktutgen herausgegeben hat, mit einem solchen Citat machen, wie es Buchet in der Gpistola tul Vcctorem vor feiner Ausgabe Diophant'S giebt .Joannes tarnen Regioinontanus, tredeeim Dioplianti libros sc alieubi vidisse asseverut? Nun suche, wenn Du wissen willst, ob das wahr ist. Genauer ist Vos- sius scheinlich im Sinne gehabt hat, mit klaren Worten seinen Gcwahrs- rc> mann; wie konnte also Monttiela sagen, j’ignore sur quel fĂŒnde- ab ment? Daß auch Cardan falsch citirt, und daß bei Leonard von ich Pjsa sich eine solche Stelle nicht findet 17 , ist eine Sache fĂŒr sich. A> Und solcher Beispiele könnte ich unzĂ€hlige beibringen. Beispiele von str dem zweiten Fehler, daß Schriftsteller fremde Citate abschreiben, ohne lici von deren Richtigkeit sich selbst ĂŒberzeugt zu haben, haben wir schon gli in unserer 7. und 11. Note vor Auge» gehabt, und sie sind ĂŒber- da Haupt nicht weniger hĂ€ufig, als die der ersten Art. Wallis z. B. vc> sagt in seiner Algebra Op. I. II. p. 2. Analyseos inventio- lies nem Platoni adscribit Theo, saltem si Theonis ca sint, qune sub initium libri 13. Euclidis habentur huc spectantia. Von ob hier ist dieser Aussprnch in die oben genannte Dissertation von Krebs jcd De originibus et antiq. matli. 1702 ĂŒbergegangen, wo es S. 28 tu, so heißt Theo, vetus quidum scholiasta, Platoni, referente ftd Wallisio, analyseos inventionem adscribit. Das bĂ€ttk nun der Ri lid sie 17 S. Cossnli Orig. etc. T. I. p. 183. Verfasser nicht abschreibe» solle»; den» was wĂ€re leichter gewesen, als einen Euklid aufzuschlagen, lind sich zu ĂŒberzeugen, daß an der eitirtcn Stelle Plaw'S mit keiner Sylbe gedacht wird? Durch diese Methode des Citircus fremder Citate sind unglaubliche Verwirrungen in die Geschichte der Mathematik gekommen, indem IrrthĂŒmer und Unrichtigkeiten oft Jahrhunderte lang anS einem Buche in das andere ĂŒbergegangen sind, weil Niemand sich bic Milbe genommen hat, auf die letzte Quelle zurĂŒckzugehen. Am bequemsten aber ist es, wenn man gar nichts citirt und sich selbst fĂŒr historische AuctoritĂ€t genug bĂ€lt. Da hört dann freilich alle kritische PrĂŒfung auf. Und doch hat diese Schreibart eine große AuctoritĂ€t fĂŒr sich, nĂ€mlich alle Griechische» Historiker. Aus deni Gesagten folgen fĂŒr den Geschichtschreiber zwei unerlĂ€ĂŸliche Regeln. Erstens, er muß nicht nur mit genauer Angabe der Stelle citircn, sondern auch solche Stellen, auf welche er Hypothesen bauen und aus denen er wichtige Schlußfolgcn ziehen will, zumal wenn sie aus BĂŒchmr entnommen sind, die sich nicht iil Jedermanns HĂ€nden befinden, wörtlich und in der Sprache des Originals abschreiben. Diese Regel werde ich im Verlauf meiner Geschichte sogar bei den Citaten aus orientalischen Alictorcn befolgen, zum Besten der Mehrzahl der Leser aber in dem Falle eine treue Übersetzung hinzufĂŒgen. Zweitens, man muß nur BĂŒcher citircn, die man selbst gelesen hat, und ungeprĂŒft kein fremdes Citat abschreiben. Und so können meine Leser sich darauf verlassen, daß ich, weit entfernt durch unnöthig angehĂ€ufte Citate mir den Ă€ußern Anschein großer Belcscnhcit geben zu wollen, auch diese zweite Regel strenge befolgen werde. Ist mir aber die letzte Quelle nicht zugĂ€nglich gewesen, »md bin ich genöthigt worden, mich auf ein Zwischenglied zu stĂŒtzen, was ich leider nicht immer habe vermeiden können, da ich nach manchen, fĂŒr meinen Zweck wichtigen Werke bis jetzt vergebens gestrebt habe, so werde ich nie unterlassen, dieses ausdrĂŒcklich zu bemerken. Die zweite Bemerkung, die ich zu machen habe, luid die schon oben gelegentlich berĂŒhrt worden ist, betrifft die treue und dem Geizte jedes einzelnen Schriftstellers angemessene Darstellung fremder Lehren und Vortrage. Jedes Jahrhundert erweitert den mc>,schlichen Gesichtskreis und steht in wissenschaftlicher Beziehung ĂŒber dem vorigen. Nichts ist also bei der LectĂŒre alter Werke gewöhnlicher lind natĂŒrlicher, als daß wir unsern eigenen Standpunct dem alten Schrist- stellcr, den wir lesen, substituircn. Namentlich hat die Mathematik in »fliestet Zeit sich zu einem erstaunenswerthen Grade von Allge- nieinheit der Anschauung erhebe», und weiui innuerhi» der Keil» der heutige» UniversalitĂ€t i der vorhergehenden Stufe bereits ausgesĂ€et liegt, weil jene sich nicht hĂ€tte entwickeln können, wen» die Vorstellung der Alten nicht dieser Verallgenieiueruug und Abstraetion von dem Partiellen fĂ€hig gewesen wĂ€re, so wĂ€re es doch sehr unrecht, wenn wir den Alten darum auch schon saetisch diese UniversalitĂ€t der Vorstellung beilegen wollten. Es ist zum Beispiel, waö die subjective Vorstellting anbelangt, ein gewaltiger Unterschied, ob ein heutiger Mathematiker einen Satz oder eine Formel von vorne berein in ihrer ganzen Allgemeinheit dedueirt und auSspricht, oder ob ein Älterer die Sache durch Jnduetion an einigen FĂ€llen dar- thttt, und dann sagt, vt 8I0 in inlinitum. Was dort in seinem Gesammteindruck dem Geiste auf einmal klar vor Augen gestellt wird, ist hier erst als sich stufenweise entwickelnd gedacht. Es gehört daher mit zli den schwierigsten GeschĂ€ften des Historikers, die Vorstel- lungSweise nicht nur jedes Auetors, sondern auch jeder Zeitperiode in ihrem individuellen Charakter aufzufassen und wiederzugeben, und den Standpunct der Gegenwart im Auge zu behalten, ohne den frĂŒheren Schriftsteller aus seiner eigenthĂŒmlichen SphĂ€re in diese heraufzuziehen. Gegen diese Grundregel ist sehr oft gefehlt worden, und man ist bald nach einer, bald nach der andern Seite davon abgewichen; man hat entweder das aus dem beschrĂ€nkteren Gesichtskreise Hervor- gegangene in eiteler SelbstgefĂ€lligkeit als völlig unbeachtenswerth verworfen, oder man hat im Gegentheil, und das ist fast noch öfter geschehen, das den Keim der Verallgemeinerung in sich Tragende schon fĂŒr das wirklich Universelle gehalten. Hier die Mittelstrasse zu treffen ist nicht leicht, und ich weiß nicht, ob es mir immer gelingen wird. Wo es mir nicht gelingen sollte, da hoffe ich wenigstens in der Anerkennung meiner redlichen Absicht einen Ersatz fĂŒr gerechten Tadel zu finde». Ich brauche wohl kaum zu bemerken, daß man sich tĂ€usche» wĂŒrde, wenn man in diesem Werke eine vollstĂ€ndige AufzĂ€hlung algebraischer Werke und ihrer Verfasser suchte. Die Ă€lteren Historio- graphen haben, wie schon aus der gegebenen Übersicht erhellt, drei verschiedene Dinge in der Regel mit einander verwechselt, Biographien der Mathematiker, mathematische Bibliographie und Geschichte der Mathematik als Wissenschaft. Eine Geschichte des Entstehet^ und der allmĂ€hligen Fortbildung uild Entwickelung der Algebra ab' .19 st- ll» ts- bic Oll 111 - sa- mS ob mc bcr ar- cni irb, da- 'tcl- i» dcn reu gic- »an >cu; eor- ver- >ftcr mdc assc gc- »ig- fĂŒr Wissenschaft zu liefern, eine treue Darstellung zu geben von dcn verschiedenen Stufen der Vervollkonimiiung, welche dieselbe durchlaufen musste, um von ihren ersten Keimen bis zu ihrem jetzigen Stand- puncte zu gelangen, das ist die Absicht, in welcher ich dieses Buch schreibe. Darum erwarte man hier nicht Namen, sondern Sachen, nicht vollstĂ€ndige Register von BĂŒchertiteln, sondern Darlegung des Inhalts der wenigen BĂŒcher, welche wesentlich auf die Forderung der Wissenschaft eingewirkt habe». Der Erste, der diesen Unterschied rein aufgefaßt hat, ohne ihn indeß innncr faktisch durchzufiihren, ist Montucla, der schon sehr richtig tcnicrft lj’histoirc d’utic science n’ost pas edle ile tous lcs aufciirs, qui cn ont ccrit, limis seulemeut de ceux, qui out contrilme pur leurs tmvaux ii cn reculer lcs ' os I cuumcration exactc des premicrs cst l’ou- vragc du liildiogruphe ct nou de rhistoiien. llist. des malli. T. 1. p. 648. ..iiif i- I, & 1 che» al- -rio- drei .gra-, nchĂŒ he»^ a>^ i l - Iwciles Kapitel. Ueber die verschiedene» Namen der Algebra. Vic Griechen unterscheiden ziemlich genau zwei verschiedene Theile derjenigen Wissenschaft, welche wir Arithmetik nennen. Bei ihnen ist ’Αοί'^αηπχη kcincswegcs die Rechenkunst, sondern es ist die Zahlen- wiffcnschast, deren Gegenstand die Einthcilung der Zahlen nach ihren besonderen Eigenschaften und EigenthĂŒmlichkeiten, z. B. grade mib ungrade, Primzahlen und zusammengesetzte u. s. w. ist. Arithmetik ist also bei ihnen eilte ganz theoretische Wissenschaft, und man wĂŒrde vergebens in den Werken von Nikomachus und den ĂŒbrigen sogenannten Arithmetikcrn irgend eine Anleitung, oder auch nur eine ErwĂ€hnung der praktischen Rechenkunst suchen. Diese letztere fĂŒhrt dagegen bei ihnen den Namen ΛογÎčÎčÎșÎź, vielleicht auch ΛογÎčÎŒ . Dieser Unterschied wurde schon von Plato gemacht 1 2 3 , ja er war vielleicht schon zu seiner Zeit gebrĂ€uchlich. Deutlicher noch als Plato setzt Proklus^ den Unterschied zwischen den theoretischen Wissenschaften, der Geometrie und Arithmetik auf der einen, und den praktischen, der Gcodesie lind Logistik auf der andern Seite, atis einander, indem er sagt die ersteren betrachten die Figuren und Zahlen an und fĂŒr sich, die zweiten aber behandeln Figuren und Zahlen nur insofern, als sie gestaltete und gezĂ€hlte sinnliche GegenstĂ€nde sind. Die Stelle, die Einthcilung der Mathematik im Sinne des Gcmi- nus darstellend, lautet so ÎșαΓα ÎŹÎ»Î»ÎżÎœ 6' αΜ TQoitov ÎżÎœ ΌαΞηΌαÎčÎșΜ 4 ΔΌΜΔÎčΜ ÎčΜΔ αζÎčαΰÎčΜ Îż'πΔρ Îșαί ΓΔ^ΰί’ο " Îșαί ÎżÎčÎżÎœÎč ηΜ ΌΔΜ ÎčΔοÎč α ÎœÎżÎ·ÎŹ ÎŒÎœÎżÎœ, ηΜ ΎΔ ÎșΔρ, α αϊΞηα Îșαί ÎżÎœ- ÎčÎżÎœ Î”Ï†Î±Î¶ÎżÎŒÎ”ÎœÎ·Îœ ÎœÎżÎ·ÎŹ Ύέ Ï€ÎżÎœ ÎșÎ±Î»ÎżÎœÎœÎ” α ÎșαΞ’ ΔαΜηΜ η 1 -\-oyiafioq H ’KoyiOTi*^ Tt%vv r Suidas, 2 Oorgiiis c. 13. 3 Ed. Bas. p. 11. 12. Baroc. p. 22. Lib. 1. c. 13. i Soll wohl rfv heißen, wie Ich ĂŒbersetzt habe. 41 ÏˆÏ…Ï‡Îź ÎžÎ”ÎŹÎŒÎ±Î± ÎŹÎœÎ±Ï‡ÎŻÎœÎ”Îč 'Ï‡ÏÎŻÎżÎœÎ± Μ ΔΜΜλΜ ΔÎčÏ‡ÎœÎźÎœ ΔÎčΎώΜ. Καί Îź ÎŒ\Μ rettn rot, ÎœÎżÎ·ÎŹ Ï€ÏÎ±ÎłÎŒÎ±Î”ÎœÎżÎŒÎ­Îčη, ÎŽÏ…Îż tu Ï€ÎżÎčÎčα 5 ΜΧί χΜρÎčÎčÎżÎčχα ,» gedruckten TeN offenbar eine LĂŒcke. Barocius stillt sie so aus neque intellectibilibus id assequitur rectis lineis, sed sensibilibus, inter- 42 Îż λογÎșÎŻ ÎčÎșÎż αύα Îșα^’ αΜα, ÎžÎ”ÏÎ”ÎŻ - 7 Î”ÎŻÎœÎœÎŒÎŻÎ±Îœ οΐ *° λο Μ ÎŒÎ”ÏÎżÏÎŒÎ”ÎœÎœ ίΞΔαÎč ÎŒÎč^.ία ° ÎșαλώΜ Tivut; ÎșαÎč ψÎčαλία die. D. h. „Auf gleiche Weise wird die Arithmetik eingetheilt in die Theorie der linearen, in die der ebenen und in die der körperliche» Zahlen» sie betrachtet nĂ€mlich die Gestaltungen der Zahl an und fĂŒr sich als aus der Einheit hervorgehend, ferner die Entstchlmgsart der ebenen, sowohl Ă€hnlichen als unĂ€hnliche», Zahle», ebenso die Fortschritte zur dritten Dimension. Die diesen analogen Wissenschaften dagegen, die Geodesie und die Logistik, beschĂ€ftigen sich nicht mit intclligibeln Zahlen oder Figliren, sondern mit sensibeln. Denn es ist nicht das GeschĂ€ft der Geodesie einen Cylinder oder Kegel zu messe», sondern kegelförmige Haufen und cylindcrförmige Brunnen.. s. Note 9.... Auf der andern Seite betrachtet der Logistikcr die Eigenschaften der Zahlen nicht an lind fĂŒr sich, sondern mit Bezug auf sinnliche GegenstĂ€nde; daher giebt er ihnen auch die Benennung von dem Gemessenen, indem er sie ÎŒÎ·Î»ÎŻÎ± und ψÎčαλία nennt." Mit einem Worte, Arithmetik ist eine theoretische, Logistik eine praktische Wissenschaft. Diesen Unterschied haben auch die Araber und die von ihnen wissenschaftlich abhĂ€ngigen spĂ€teren Perser richtig aufgcfastt. So finde ich in der Persischen Paraphrase des ILIiilĂŒsnt-rtl-Hisst» Essenz der Rechenkunst von Mohammed Bcha-cddin n auö dem sechzehnte» Jahrhundert die Paraphrase ist aber wohl jĂŒnger folgende Distinction „Die Zahlenkunde ist doppelter Art; die eine ist spcculativ, und das ist die Wissenschaft, in welcher man ĂŒber die an der Zahl wesentlich hastende» Eigcn- ujm-ood-deen Lloc Khan, lieud Ua/.ce, to tlie Sudr Dccwanee and Ni- , zamut Udalut etc. Calcutta. 1812. 8. Das Buch ist nicht fĂŒr Europa be- stimmt; sonst wĂ€re» Ausgabe» Arabischer und persischer Mathematiter ohne Über- \ setzutig in einer EuropĂ€ische» Sprache nicht zu billige». schaftcn nachforscht; diese Wissenschaft heißt in der Griechischen Sprache Arithmetik; die zweite ist praktisch, und das ist die Wissenschaft, aus welcher man lernt, wie man unbekannte Zahlen aus bekannten Zahlen ableitet. Der Anctor giebt eine Unterweisung in der zweiten Art"." Indeß haben die Araber fĂŒr die Arithmetik, im Griechischen Sinne des Worts, keinen eigenen Ausdruck, sondern sie behalten den Griechischen Namen dg/^irp-ocrj, bei; eben so die Perser, wie aus der eben beigebrachten Stelle hervorgeht. Um eine echt Arabische AuctoritĂ€t anzufĂŒhren, nenne ich nur den Titel, welchen Lhabct-bcn-Korah seiner Bearbeitung der Arithmetik des Nikomachns giebt j, „Auszug aus dem Werke des Nikomachlls ĂŒber Arithmetik, zwei BĂŒcher »." Griechische Arithmctikcr sind in nicht geringer Anzahl stuf uns gekommen; ich nenne nur die Werke des eben erwĂ€hnten Nikomachns, dann des Thron von Smyrna, Jamblichns, Ploti- nus, Pscllus, und die lateinisch geschriebene, aber ganz im Griechischen Sinne nach Nikomachns gearbeitete Arithmetik von BocihinS, vieler spĂ€terer nicht zu gedenken; ja selbst das stcbciitc bis zehnte Buch der Elemente Euklid's bilden ein Lehrbuch der Arithmetik. Dagegen haben wir keine einzige alte Logistik von den Griechen ĂŒbcr- 12 p. 5. ^ s» ^*^ OiXc y> tjrLc j OyZ ^ ^ o'-S ^ \j tS oolj y \ 5 Ä öj> > OjJ Hub »och aus derselben Seite zu den Worte» des Textes 5 „tuib ihr der Rechenkunst Gegenstand ist die Zahl" sagt er „Der Gegenstand der Rechenkunst, derjenigen nĂ€mlich, deren Regeln Gegenstand der Unter, snchung in der zweiten Art der Zahlenknndc sind, ist die Zahl, in dem Sinne, wie man aus einer bekannten Zahl eine unbekannte finde» kann, nicht die Zahl an und fĂŒr sich UiLw oOji w, nĂ€mlich in dem Sinne, welcher, wie erwĂ€hnt, Gegenstand der Arithmetik ist." 13 Casiri bibl. arab. hisp. Escur. T. 1. p 390., wo ci " Druckfehler zu sein scheint, woran dieses schöne Werk zumal in seinen schĂ€hcnS- wcrihc» AttSzĂŒgen auS Arabischen Manuskripte» leider nur zu reich ist. 44 kommen; das Ă€lteste Buch, welches ganz diesem GegenstĂ€nde gewidmet ist, ist die Logistik des Mönchs Barlaam aus dem vicrzchntc» Jahrhundert. Die Commcntarc von Theo» Alcrandrinns und von Entokius enthalten nur Einzelnes, >vas hicher gehört. FĂŒr die Algebra, wir sie in dem Werke von DiophantnS er- stbcint, haben die Griechen keinen eigenen Namen erfunden. Es fragt sich also, welcher der beiden genannten Namen dem GegenstĂ€nde dieses Werks angemessener ist. Diophant lehrt praktisch die Anflösnng der Glcichinrgcn, insofern wĂ€re Logistik der Inhalt seines Buchs. Aber auf einer Seite betrachtet er in seinen Aufgaben immer nur Zahlen an und fĂŒr sich, ohne Hindentuug auf praktische Anwendung was bei Thcon von Alerandricn geschieht, dessen Zahlen Theile des Halbmessers, Kreissehnen u. s. w. sind; auf der andern Seite lehrt er namentlich die Atiflösung der nnbcstinnntcn Gleichungen, welche sowohl auf einer gri'mdlichcn Kenntniß der Zahlen- theorie sich basirt, als auch in ihren Resultaten auf Zahlcnthcorie und Zahlcncigcnschaftcn zurĂŒckfĂŒhrt; insofern ist sein Werk reine Arithmetik, wie er es bekanntlich selbst genannt hat, ’AQi^ninxu ucutr. pl.. Bei den Indern heißt die Algebra int engern Sinne vija-gaaifa, vl ja - kriyĂ€, " „UrsprungSrcchnnng, Ursprungsoperati o II, Causalrcchiinng," insofern als die algebraische Operation, entgegengesetzt der gewöhnlichen Zahlciirechnniig, zugleich die GrĂŒnde des Verfahrens an den Tag legt; auch kommt vlja allein in derselben Bedeutung vor; ferner heißt die Wissenschaft avyakla - ganita, avyakta-kriyd, „Rechnung oder Operation mit der Unbekannten" avyakla, im Gegensatze der gemeinen Arithmetik, welche unter andern auch vyakta-ganita, „Rechnung mit bekannten GrĂ¶ĂŸen" heißt. Alle diese Namen sind, wie die meisten KunstausdrĂŒckc der Art bei den Indern, zugleich Desniitionen, und bedĂŒrfen keiner weitcrn ErklĂ€rung. Über die besonderen Namen knltaka und rarga-piakiiti fĂŒr die Theorie der unbestimmten Glci- 14 Ich drucke hier, wie lm Folgende» immer, durch j einen Buchstaben sowohl des JĂŒdischen als des Arabische» Alphabets aus, den wir im Deiuschen nicht haben; er lautet etwa wie unser tlseli, oder wie das j bei den EnglĂ€ndern, denen diese Schreibart entlehnt ist. Ich ziehe es vor j, und nicht tisch zu schreiben, weil es indccent erscheint und auch zu MißverstĂ€ndnissen Bcranlaffnng gebe» taun, wenn man ei» fremdes Zeichen durch vier deutsche wicdergiebl. Daher ist zu sprechen Vulsolia, Usdicbr, D schabet', Hedselua u. s. w. chnngcn, jener fĂŒr die dcs ersten, dieser fĂŒr die des zweiten Grades, werden mir geborgen Orts sprechen. Mehr historische Bedeutung hat, wegen ihres Einflusses auf Europa, die Benennung unserer Wissenschaft bei den Arabern, wo sie vollstĂ€ndig Aljabr oder Aljebr wii’lnnik;\lmlult f beißt, nie aber, wie eS bei uns jetzt gebrĂ€uchlich ist, Aljebr allein. Vielfach find beide Namen, besonders aber der erstere, gedeutet worden. Rafael Canacei, ein Florentiner, welcher im vierzehnten oder fĂŒnfzehnten Jahrhundert eine Algebra unter dem Titel Riu*io- immenlo ,u- main gewesen. Bevor ich die richtige ErklĂ€rung der fraglichen Namen gebe, erwĂ€hne ich noch einige falsche Dcuttuigcu, welche alle darin ihren Grtmd haben, daß »icistcus den Orientalisten Sachkcnut- niß und den Mathematikern Sprachkcnntniß abgeht. Unklar ist Go- lius" und scheint selbst nicht recht zu wissen, was er sagen will llinc ct vulgatum illud nomcn Algebra Analysin inathcinati- cam notat, utpote cujns praccipuum munus sit comparatioiiis terminos rcducerc ad optatam acquationis formam, ct specia- tim corundem partes ad integros redigere. In dem letzten Sinne, von der Wcgschaffung der BrĂŒche, versteht es auch Casiri 20 , indem er den Ausdruck Aljebr durch regtikutio numerorum fra- ctorinii in intcgnim erklĂ€rt. Zwar könnte, wie wir sogleich sehen werden, dem Lcricon zufolge das Verbum jaltara diese Bedeutung haben; die ErklĂ€rung ist aber factisch unwahr; denn die 18 Ich habe die Stelle aus Kastner's Ecsch. der Math. Th. I. S. 1-i7. 118. abgeschrieben. KĂ€flncr sĂ€gt hinzu „Helmrcich war auch IVotariu I'ublicus. Ich hoffe bei diesem Stinte wird er besser protocollirt haben." 19 illuliammeili KĂŒ. Ketiri Ferganeiisis, qui vulgo Alfraganus dici- tur, clcmenta Astronoinira, Arabioe rt Latiae, cum aotis etc. opera Ja- cobi Galii. Amstcl. 1669. 8. Natae p. 11. 20 Ifibl. Arab. hisp. Escur. T. I. p. 370. 47 Arabischen Mathematiker brauche» fĂŒr diese Operation nie das Verbum jiibara, saubern entweder kammala Coiij. II. von , oder akmala Coiij. IV. oj. oder tamnuuna Conj. II. von ^Y' Hören wir nach diesen beiden gelehrten Orientalisten nun noch die Ansicht eines eben so bcrichiutcu Mathematikers. Willis^ folgert so! Arabibus licitur Alg'ja’br VV alinukAbula .... lA quidem Lucas de Ilurgo Restitutionis ct Oppositiouis rogulnin iiiterprelalur. Aut etiain si gja.]>ara interprclenmr compo- iicre, et kabala appoiiere scu contrariari, nun male exponas w’almukaliala per conipositionem ejusque con- Irarium, boc est Syuthcsis ct Aualysis. Diese Deduktion ist geistreich, aber willkichrlich, und entspricht weder den Worten, noch der Sache. Über diese falschen ErklĂ€rungen des in Rede stehende» Namens unserer Wissenschaft muß man sich tun so mehr wtindern, als schon die Ă€ltesten EuropĂ€ische» Algcbristcn die richtigen Deutungen gegeben haben 23 . Wir wollen der genaueren ErklĂ€rung wegen ei» wenig in die Sache eingehe». Die Araber hatten eben so wenig, wie ihre nĂ€chsten SchĂŒler, die alten Italiener, den allgemeinen Begriff aufgefaßt, den wir mit dem Worte Gleichung verbinden. Die Einen, wie die Andern saunten nur, wie wir kĂŒnftig sehen werden, Gleichheiten zweier absolut positiven Großen, und eine Formel, wie .r 5 ! ~>- r - j- 6 == o war in ihren Augen ein wahres Monstrum, ein algebraischer Unsinn 54 . Da nun die allgemeine Form 21 Bergt, lioscu tu The Algebra of Moli. b. Musn. London. 1831. 8. 186. 22 Opern T. II. p. 2. 23 Z. B. ifonarb von fijVi imb Lucas bt BĂŒrge. S. Cossuli T. I. p. 23. 24 Darum vernachlĂ€ssigt z. B. Cardau, der alle möglichen Combinationen der kubische» Gleichungen burcharbcitet, bie brci FĂ€lle x' -j- px + q = »t x' - f- n x* - f- / FĂŒr diese drei Formeln geben sowohl die Arabischen, als auch die alten Italienischen Algcbristen besondere Regeln. Sind sie nun durch den Ansatz auf irgend eine Gleichung gefĂŒhrt worden, so ist es ihr erstes GeschĂ€ft, die negativen Glieder durch Transposition aus derselben zu entfernen, und diese Operation eben ist es, welche sie mit dem Namen jcbr oder !>I,>!' bezeichnen. Herstellung, I08titu1ic>, Iv 8 taniat >0 svon .ji'ilmrn, restituit, auch von chirurgischen Operationen gebraucht, zumal von der Heilung dcr KnochenbrĂŒchc, woher auch in dcr Spanischen Sprache, welche so viele Wörter aus dem Arabischen anfgenom- mc» hat, noch jetzt ein Wundarzt algebrista heißt nennen die Araber diese Operation darum, weil die Gleichung erst nach dcr AuStil- gnng dcr negativen Glieder die fĂŒr die fernere Behandlung brauchbare Form erhĂ€lt. Dem Jcbr folgt nun die zweite Operation mokilbalah, Vergleich»ng von dem Verbum kiibala, in dcr dritten Conjugation oppc>8itu8 fuit; auch transitiv opposait, com- paravit, welche darin besteht, daß die gleichnamigen Glieder auf beiden Seiten dcr Gleichung mit einander verglichen, und, soweit es sich thun laßt, gegen einander aufgehoben werden. Nach Anwendung beider Operationen ist die Gleichung des ersten Grades aufgelöst in der Form x — a, die Gleichungen des zwcitcit Grades aber erst auf eine dcr drei kanonischen Formen x- - f- px — q, oder x~ - j- q ~ px, oder px - f- q ~ . t 5 rcducirt, und es kommt also bei den letzteren noch eine dritte Operation, die Auflösung hinzu. Dieses ist die ĂŒbrigens nicht neue ErklĂ€rung der so oft gcmißdctttctcn Namen. Der Ă€lteste Arabische Algebrisi, Mohammed bcn Musa Alkharczmi, gebraucht die beiden Namen, ohne sie zu erklĂ€ren; also waren sie wohl schon vor seiner Zeit, das heißt, vor dem Anfange des neunten Jahrhunderts, im Gebrauch. Bcha-eddin in seinem schon erwĂ€hnten Khiklsat-al-HisAb giebt die ErklĂ€rung in folgenden einfachen Worten .3 49 iĂŒuliut iaiUi b. h. „Die Seite, welche mit einer Negation behaftet ist, wird ergĂ€nzt, und etwas dieser Gleiches auf der andern Seite addirt; das ist Al-jßW. Die homogenen und gleichen Glieder auf beiden Seiten werden ausgeworfen, und das ist Al-inokAlmluh." Mehr Stelle» der Art stellt Rosen in seinen ErlĂ€uterungen ju Mohammcd's bcn Musa Algebra zusammen 26 , welche alle in andern Worten dasselbe sagen. Ich fi'ge hier nur 25 p. 334. 335. Der Persische P-raphrast dehnt die Bedeutung des ullerdingS weiter aus, indem er sagt-. L ^ ^ _r ' '*++**& jl '-3^ ^ I»Uj iws j Lj ^ cj ,j] b j! jiCjj Jj jioĂŒw q'u?j . J^Lsj r.— iJwi ._ l\.Ă€L jj! lj 0*^5 i\Ă€j\^ s! jjoO v_jyL3j q! Oo_oCj vXs*l_j 0^=»!, \j Lj, JvolS 'j *S*a .— e-Xa?- Lj wii _J q! UÜtyaj o»»wl Ij sXwXvi ^Ă€jw y^ 2e? L'?» d. h. „ Wenn auf einer oder auf beiden Seilen der Gleichung eine Negation sich befindet, so ergĂ€nzt man die mit der Negation behaftete Seite, das heißt, man entfernt die Negation aus ihr, damit das snbtractiv an ihr hastende vollstĂ€ndig und ganz werde; zugleich addirt man den Werth der Negation auf der andern Seite der Gleichung. Aber auch, wenn auf einer Seile ein Bruch ist, so entfernt man den Bruch, indem mau an seinem Platze die Einheit ergĂ€nzt, und das Entsprechende auf der andern Seite addirt. Also eine Negation oder einen Bruch entfernen, »nd das Subtractive zu etwas Additivem, und den Bruch zur ganzen Einheit ergĂ€nzen, und das Entsprechende auf der anderen Seite addircn, ist Iebr, wie auch in der Sprache der Sinn von jahara ist, etwas Zerbrochenes zusammenfĂŒgen." Was sich der Paraphrast hier bei der Wegschaffung der BrĂŒche gedacht hat, ist nicht ganz klar; von einer Weg- schaffung des Nenners durch Multiplication ist nicht die Rede, sondern er meint, wenn auf einer Seile der Gleichung z. B. \x steht, so muß man auf beiden Seiten \x addiren, damit wir auf der ersten Seite ei» ganzes x erhalten. Dadurch ist aber wenig gewonnen, weil nun der Bruch %x auf der andern Seite steht. Der Fehler scheint darin feinen Grund zu haben, daß der Paraphrast den Ausdruck ÂŁ welcher ganz allgemein eine Ausnahme von der gewöhnlichen Ordnung, im mathematischen Sinne aber die Negation, SiibtraciivilĂ€t bedeutet in einer zu weilen Bedeutung genommen hat. 26 S. 1^0 — 185. l. 4 50 noch folgende zierlichen Verse aus der Algebra des Persers i\ejm- rtlilin Kltstn hinzu, welche in gereimten Distichen geschrieben »nd zugleich mit dem IvliilA^al-ul-IlisAb in Calculta 1812 gedruckt ist. Sie befinden sich in dieser Ausgabe S. 447 Vers 11 —15, und bei Rosen a. a. O. S. 185. *8 ^5 sS j, \j jfr* Jjl er 3 " ÜiJ* ß'* ji j^ jO Ls /*0 ^ 4—1 aJ O hAĂ€ ijmu ^ jSl s\Xst ^ jaO 1 —P Lj oo y> Le J 27 Moli. ben Musa ed. Kosen, p. 181. 182. iyi Ufc_jĂŒ _5 gjiĂŒ XLlĂ€ll* “oJLrtll „Die Wissenschaft wird von diesen beiden Operationen die Wissenschaft des Jcbr und Mnkabalah genannt, wegen des hĂ€ufigen Gebrauchs, den sie von ihnen macht." Übrigens braucht nicht erwĂ€hnt zu werden, daß nicht nothwendig bei jeder Aufgabe beide Operationen angewandt werden muffen. Die Inder, welche bei ihrer vollstĂ€ndigen algebraischen Bezeichnung und ihrem weiteren Gesichtskreise nicht nöthig haben, die Gleichung auf die specielle Form zweier positiven Gleichheiten zurĂŒckzufĂŒhren, haben fĂŒr die Operation, welche die Araber Aljebr nennen, deshalb auch keinen eigenen Namen; eben so wenig hat Rosen» in Fcizi's Persischer Bearbeitung der Lilavati von Bhaskaras, welche sich den Indern anschließt, den Namen Jcbr angetroffen. Die viel wesentlichere Operation der Mukabalah dagegen kennen die Inder unter dem Namen sama-;6dliunum oder tulya-ro de Algebra en aritlunetiea y geometriu. Dagegen fĂŒhrt G 0 ssclin' s 1577 herausgckommene Algebra wieder de» Titel He arte inagna seu de oeculta purte nuineroruin, epiae et Algebra et Almucalmla vulg-o dicitur. Eine spĂ€tere AuctoritĂ€t fĂŒr Almukabalah weiß ich jetzt nicht anzufĂŒhren. Jedenfalls aber beweisen diese Angaben, daß es nicht ganz genau ist, wenn Rosen sagt, der Nanie Almukabalah erscheine seit dem Anfange des scchszchnten Jahrhunderts nicht mehr aus den Bnchcrtiteln ^. Gosselin beweist aus einer Seite, daß der Name noch spĂ€ter erscheint, auf der andern Seite aber hatte man auch schon sehr viel frĂŒher angefangen, ihn wegzulassen, so daß der Anfang des scchszchnten Jahrhunderts hier gar keinen Haltpunct gewĂ€hrt. Reben diesem aus Asien herĂŒbcrgrpflanzten Namen entwickelten sich aber schon frĂŒhzeitig andere mehr einheimische, die indeß alle ĂŒber lang oder kurz von dem jetzt gebrĂ€uchlichen verdrĂ€ngt worden sittd. Schon bei den Ă€ltesten Italienern standen dem cbcit besprochenen Namen andere zur Seite, deren Ursprung aber, zum Theil wenigstens und mittelbar, ebenfalls in Arabien zu suche» ist. Wir finden hier fĂŒr unsere Wissenschaft die Bcnemumgcn der Ar inagna, der Practicu speculativa und der Ars rei oder Ars rei et Census, zu deren ErklĂ€rung Folgendes dienen möge. Die Algebra erschien Anfangs mir als ein höherer Theil der Arithmetik; so bei Bonacci, Pacioli, Stifel, Cardan und vielen An- d>e wunderbarliche und gantz Philosophische Kunst dess rechnen-, nennet Die Coss also nicht Algebra, in deutsche sprach durch den Druck gebracht u. s. w. 37 Arithmcticae practicne incthodus fucilis, per Gemmum Frisium. Antw. 1540. 8. Ich habe die Au-g. Cotoniae 1571. 8. in Handen gehabt, wo man vergl. p. 71. 81. 110. u. f. w. 38 a. a. O. S. 186, Since the commenecment of tlic sixtentli reu- tury, llie word mokĂ€lmlah docs no longcr appear in the title of Alge- braic Works. bereit, unb erhielt so als Gegensatz der niedern ober gemeinen und praktischen, znmal anf kaufmĂ€nnische VerhĂ€ltnisse angewandten Arithmetik den Namen der Ars inagna, ober Italienisch Arte inaggiore, indeß jene btc'Ars iiiinoi hieß. Wie es scheint braucht diesen Namen schon Leonard Donacci; sicher aber ist er vor Luca Paeioli im Gebrauch gewesen; denn dieser zahlt ihn unter den gebrĂ€uchlichen Namen der Algebra mit mtf 39 . Diese Benennung scheint indeß nur sehr vereinzelt die Grenzen Italiens ĂŒberschritten, und mit Cardan's Ars magna, die zuerst 1545 erschien, daheim ihre Existenz beendigt zu haben. Außer Italien ist mir der Name bis jetzt erst einmal vorgekommen, und zwar anf dem Titel der schon angefĂŒhrten Algebra von Gosselin, Dc arte inagna etc. Paris. 1577. Ob der Name der Ars inagna oder vielmehr die Unterscheidung der Ars inagna voll der Ars minor vielleicht schon im Arabischen begrĂŒndet ist, lĂ€ĂŸt sich nicht eher mit völliger Gewißheit bestimmen, als bis die Arabischen Mathematiker uns etwas vollstĂ€ndiger als bis jetzt vorliegen werden. Bei Casiri kommt der Titel der Ars inagna zweimal vor, aber in anderem Sinne; es bedeutet daselbst nĂ€mlich eine encyklopĂ€dische auf eine eigenthĂŒmliche Weise dargestellte Bearbeitung verschiedener Wissenschaften, als deren Erfinder oder wenigstens Verbesseret- Mohammed ben Ahmed Almarakschi genannt wird 40 . Den alten Italiener» war lange Zeit die Algebra weiter nichts, als ein Hilfsmittel arithmetische RĂ€thsel aufzulösen; man verstand, wie es scheint, noch nicht sie auf praktische LebensverhĂ€ltnisse anzuwenden. Dieses Letztere, die Anwendung der verschiedene» Rechnungsarten auf das gesellige BedĂŒrfniß, machte einen wesentlichen Theil der Ars minor aus, die Practica nicrcautilis. In diesem Gegensatz erhielt die Algebra als eine ganz theoretische Wissenschaft den Namen der Practica speculutivu, ein Titel, der hier nur kurz 39 Cossali T. l. p. 1t. 25. 40 Bibi. Arab. Hisp. Escur. T. I. p. 380. nennt bet Berf. ein encyklopĂ€disches Werk von Sclia’yĂ€ ben Ferigdn unter dem Titel ^IOi »ubi scientiarum ferme omnium regulae luctis quibusdani lineis atque circulis, mira brevique arte traduntur. Id scribendi genus Arabum Scriptores Artem Magnam appellant.” T. II. p. 90. Moli, ben Abmcd, vulgo Almarakschi .... Artem quam vocant Maguum vel invenit vel saltem adornavit. Also hat die Arabische Ars magna mit der Italienischen wohl nichts gemein. angefĂŒhrt werde» darf, weil er weiter keine historische Bedeutung erlangt hat. Weiter verbreitete und lĂ€nger behauptete sich der letzte der angefĂŒhrten Namen in verschiedene» Sprache»; um denselben zu erklĂ€ren, ist es nöthig auf das Arabische zurĂŒckzugehen. Die Arabischen Mathematiker nennen die unbekannte Große sc/mi , ves, ali- jiiitl vielleicht dem Sinne nach entlehnt von dem Indischen yftvat- tAvat, quantum tuntiiin, d. i. qmmtiimcunque sit und dein Quadrat iÂ»ĂŒl, zinssussio, Hiervon bildete Leonard Bonacci, der unmittelbar von ihnen schöpfte, die wirklichen Lateinischen Übersetzungen, und nannte die Unbekannte ros und deren Quadrat von», in der Bedeutung, nach welcher dieses Wort im spĂ€tern Latinismus dem Arabischen null entspricht 41 . Wie nun im Arabischen voit zwei Operationen, so erhielt in Europa die Wissenschaft ihren Namen von den beiden ersten Potenzen der Unbekannte», und wurde Ars rei et eensus, oder auch blos Ars m genannt. Diese Benennung erhielt sich lĂ€ngere Zeit auch außerhalb Italien. Ich fĂŒhre hier folgendes Beispiel von Regiomontanns* 2 an, weil cS 41 ES ist mir nicht ĂŒberzeugend, was Cossuli T. I. p. 12. 13. sagt Non tu gia invenzio» di Leonard ciiiuiuarc il quadrato censo; per l’opposto dal suo scrivere quadratus 6. ii. A. Und in Deutschland erscheint seit Christoph Rudolff 1524 und Michael Etifcl >555 die Coß". Selbst die unbekannte Große erhielt den barbarischen Namen mimend cossicns, cossischc Zahl, und behielt denselben ziemlich lange". Der Name der Coß scheint sich noch in, siebzehnten und am Anfange des achtzehnten Jahrhunderts neben den gebrĂ€uchlicheren erhalten zu haben. Beispiele sind >'io. Ucimari, msi Ditluuavsi avitlimetica analytica vulgo Coss oder Algebra. Franks, a. .. 1501. 4. — P. Rothe, 44 Arillim. pract. methodus facili. Coloniae 1571. p. 81. 105. HO. 112. etc. 45 Die 6off Simfloff Rudolffs, mit schonen Exempeln der Coss durch D!i- chael Slisel gebessert und scbr gemebrt. Zu Königspcrg in Preussen. 1550. 4. Nergl. Note 06. Daselbst kol. 62. beißt es „Die alten unser oorfar» . . . s'abenn »ach ernstlichem vlchss erfunden die »off, das ist die rcch- nung von einem ding" u s. >v. Und fol. 140 „Da mit aber betaut werde der Ursprung, von weichem geflossen ist der Nahm discr libung, das es dir Coss gcnrnnet wirk, verstehe, das die alten diss werck ge- ncunet baden ein Kunst von dingen, darumb das durch sve verbor- genhcvt der fragen, so von dingen, das ist, von zale» und Masse» geschehen, anssgeloset werden. Das bezeugen alte bĂŒcher nicht vor wenig jarcn von der Coss gcschribcn. Zu welchen die quantitet, Dragma, Res, substantia ;c. nicht durch Character, sondern durch gantz gcschribene Wort, bargegebeu sind. Nnn sonderlich in pracli- cirung eines heben Exempels, wird die Frage gesetzt, Ein ding, mit sollichen Worten. Ponatur »na Res. Diewcvl nu dise Kunst von den Graeci zu den latinischen kommen, von jhncn mit sampt aller Philosophi aussgenommcn, haben spc die wĂ€hle», dem latin nach zu welsch gencnnct Regule de lc Cosse. Denn Cossa bedeut ein ding, von bannen kompt das es von den Teutschen Dic Coss genent Wirt. Derselbe Versager gebraucht indeß in seiner eben erwĂ€hnten Arithmetica integra immer die Namen Algebra, ars Algebra, ars lebri. 46 So noch immer in seinem Cursus s. mundus mathematicus, dessen theoretische Abhandlungen, beilĂ€ufig gesagt, bedeutend besser sind, als der historische tractatus proemiulis. Dergl. T. I. p. 571 ist- Algebra. Da f'riljt es j. B. p, 572. prop. II. Denominatio numerorum cossicorum . . . 1’roptcrca dicuntur numeri denominati, cossici item vocantur, quia Itali quadratum rosam dixerunt falsch ! et consequenter numeros cossicos quasi numeros radicis ct quadrati. 58 Aritlimetica pliilosophica oder schrie neue und wohlgegrĂŒndete kĂŒnstliche Rechnung der Coß und Algebra. NĂŒrub. 1607. fok — J. H. Krasser, Regula Cos of Algebra, zynde de allerkonst- ryksten Regel om het onbekemlc bekent tc maken etc. Amsterd. 1663. 4. — Neu vermehrter arithmetischer RaritĂ€ten - Kasten, in welchem die curicuse» regida falsi, cacci und coss oder Algebra rc. Lcipz. 1716. Aus den classischen Werken ist indeß dieser Titel seit dem Ende des scchszchnten Jahrhunderts verschwunden. Ganz ohne historische Bedeutung ist das Erscheinen dieses Namens auf BĂŒchcrtiteln in dem gegenwĂ€rtigen Jahrhundert, weil da diese Erscheinung nicht mehr natĂŒrlich und aus dem Geiste der Zeit hervorgegangen, sondern willkĂŒhrlich herbeigezogen ist. So in Cbrist- inaun, ars cosac promota. Francof. 1813. und desselben Cardanus suevus sive de functionibus cosac resolventibus tractalio. Htuttg. 1815. Solche Titel sind Anachronismen. Seit dem letzten Viertel des sechszchntcn Jahrhunderts erhielt die Algebra durch Victa eine andere Gestalt und einen ander» Namen. Victa that den ungeheuer» Schritt, fĂŒr die Zahlencoesßcieu- tcu, an denen bis dahin die ganze Theorie der Gleichungen haftete, allgemeine oder Buchstabcncocfficientcii zu substituircu, und dadurch die Wissenschaft ĂŒber den bisherigen Standpunct der Auflösung arithmetischer KunststĂŒckchc» zu erheben. Diese allgemeinen Cocssicicntcn nannte er spccies, und daher die Algebra selbst logistica oder aritlimetica speciosa, im Gegensatze zu der gemeinen Arithmetik oder aritlimetica mimerosa. Dieser Name, aritlimetica speciosa, erscheint nach Victa abwechselnd mit dem der aritlimetica „niver- salis. So groß indeß die Verdienste Vieta's UM die Wissenschaft waren, so hat sich doch weder die Form, noch der Name, de» er derselben gab, lauge erhalten; denn er hatte das UnglĂŒck, und die Wissenschaft das GlĂŒck, daß mit ihm eine neue Periode begann, in welcher eine Ersindung die andere fast gewaltsam drĂ€ngte; es ist genug, die Namen Harriot, Oughtred, Deseartes, Watlis, Leibnitz, Newton zu nennen, um es begreiflich zu machen, daß die wichtigen Theorien und Formen Vietas verdrĂ€ngt werden kounteu, bevor sie so recht eigentlich in das Leben der Wissenschaft eingedrungen waren. Daher erscheint auch der Name der Aritlnuctica speciosa sehr vereinzelt auf den Titeln algebraischer Werke, wenngleich der Ausdruck spccics, so wie die Unterscheidung der beiden Formen der Algebra in eine mimerosa und eine speciosa noch lange tut Gebrauch blieb. 50 So sagt Dcchalcs Algcbram communiter bis temporibus in duas partimur, in numerosam scilicet, seu vulgarem et antiquum, et in speciosam, utramque iisdem nixam principiis . . . Prima Diopbantum autliorcm agnoscit, liacc \ ictam . . . *' Hub Newton's allbekannte Aritbmetica universalis beginnt mit den Worten Computatio vel fit per numeros, ut in vulgari Arithmetica, vel per species, ut Analystis mos est. J„ djcsn Stelle werden wir zugleich auf einen andere» Namen gefĂŒhrt, der sich meines Wissens gleichfalls bei Victa zuerst vorfindet, und sich bedeutend lĂ€nger als der vorerwĂ€hnte, bis weit in das vorige Jahrhundert, ja wohl noch bis in das gegenwĂ€rtige hinein, gehalten hat. Es ist der der ars analytica, aritbmetica analytica, analysis. Schon dasjenige Werk Victa's, welches die Gestalt, die er der Algebra zu geben gedachte, auseinandersetzt, fuhrt den Titel I» altem unalyticum isagoge. Darauf erschienen lleimari ursi Dithnmrsi aritbmetica analytica. Francs. 1601. — tlarrioti artis analyticae praxis. London. 1631. — Renaldini opus algebraicum in quo . . . Ars analytica quam obscure Fr. Yieta litteris inundavit, traditur. Anconae. 1644. — Dcss. Ars analytica mathematm». Florent. 1655. — dc la Iliro, la con- struction des equations analytiques. Paris. 1679, und mizĂ€h- ligc andere. Als nach den großen Erfindungen der letzten HĂ€lfte des siebzehnten Jahrhlindcrts die Infinitesimalrechnung den Namen der analysis infinitorum erhielt, behauptete sich die Algebra als analysis finitorum, und noch KĂ€siner's AnfangsgrĂŒndc der Analysis endlicher Großen ist jedem Mathematiker bekannt. I» der neuen und neuesten Zeit haben einige Zeloten fĂŒr das Studium der Griechen gegen diesen vermeintlichen Mißbrauch des Worts Analysis geeifert, und gemeint, dasselbe gehöre allein der Geometrie an. Aber diese Ansicht ist offenbar falsch, und selbst diejenigen Worte, mit welche» Euklidcs, oder wenn man will, sein Scholiast und Überarbeitet Theon von Alcrandricn, den Begriff der Analysis dcfinirt, schließt die Auwendtmg dieses Namens auf den Caleul auf keine Weise aus. Er sagt nĂ€mlich nach dem erste» Satze des dreizehnten Buchs AvuAucfic; sifTi Aipjvg 7ĂŒ v ^r~ovtiivov , diu, 7 ; consentaneum est, ut sit Zcteticc quA invenitur aequalitas proportiove magnitudinis, de qua quaeritur, cum iis quae data sunt. Poristice, qua de aequalitate vel proportione ordinati Theorematis veritas examinatur. Exegetice, qua ex ordinata aequalitate vel proportione ipsa de qua quaeritur exhibetur magnitudo. Atque adeo tota ars Analytice triplex illud sibi vendicans officium definiatur, Doctrina hene inveniendi in Mathematicis. Demnach ist die Algebra wirkliche Analysis, auch im Sinne der allen Griechen, und es sind diejenigen, welche 48 Cursu* T. I, p. 29. 61 dieser Wissenschaft zurrst den Namen AnalysiS beilcgtm, deshalb nicht zu tadeln, gleich als hĂ€tten sie Fremdartiges mit einander vermengt, sondern vielmehr zu loben, weil ihr Scharfblick scheinbar Getrenntes unter einem gemeinschaftlichen hoher» Gesichtspunkte zusammenfaßte. Jedenfalls aber ist der Name Analysis fĂŒr unsre Wissenschaft bezeichnender, als der gebrĂ€uchliche Name Algebra. Denn gerade das, was dieses Arabische Wort bezeichnet, ist uns fremde geworden, wie aus den, oben ĂŒber diesen Ausdruck Gesagten sattsam erhellt. Ich habe oben schon etwas von der Benennung der Unbekannten und ihres Quadrats erwĂ€hnen mĂŒssen. Die vollstĂ€ndige Entwickelung dieses Gegenstandes spare ich mir fĂŒr eine andere Gelegenheit auf, wo dieselbe mehr an ihrem Platze sein dĂŒrste; ich erwĂ€hne nur vorlĂ€ufig, daß diese Benennungen sowohl als die dafĂŒr gebrauchten Zeichen in verschiedenen Zeiten und bei verschiedenen Volker» fast noch mehr variirt haben, als die Namen der Wissenschaft, der sie angehören, und daß eine historische Kenntniß der einen wie der andern zum VerstĂ€ndnisse Ă€lterer Schriften durchaus nothwendig ist. Die Algebra ist Rechnung emd fĂŒhrt demnach, wie jede Betrachtung von Menge und GrĂŒĂŸe, in ihren letzten Elementen auf deit Begriff der Zahl zurĂŒck. Von ihrer Geschichte kann daher die Geschichte der elementaren Zahlcnkundc, der Arithmetik, nicht ganz getrennt werden. Ich muß also, bevor ich auf die Algebra selbst komme, zunĂ€chst mich etwas ausfĂŒhrlicher ĂŒber die Geschichte der Zahlen lind der Zahlenkundc im Allgemeinen, und der Griechischen insbesondre ausbreiten, und das soll der Gegenstand der nĂ€chsten Capitel werden. Drittes Kapitel. Ueber Zahlensysteme und Zahlzeichen. -Vcr Begriff der Zahl ist ei» einfacher und den Meiste ursprĂŒnglich gegebener; deshalb sind alle Versuche, denselben wissenschaftlich zu dc- sinircn, ebenso wohl gescheitert, wie die BemĂŒhungen die Euklidischen GrundsĂ€tze zu beweisen. Zu dieser UrsprĂŒnglichkeit des Begriffs an und fĂŒr sich gesellt sich die frĂŒhe Nothwendigkeit, Zahlen zu gebrauchen, so daß die Erfindung einer elementaren Rechenkunst sich in die Zeiten der allerersten Entwickelung des gesellschaftlichen Lebens verliert und der historischen Nachforschung sich entzieht; und es heißt nur auf die nĂ€chste Quelle hinweisen, wenn z. B. von den Griechen die Phönizier als Erfinder dieser Kunst genannt werden. Weniger noch, als irgend eine andre Wissenschaft, hat die Kunst zu zĂ€hlen und Zahlen ju addircn und zu subtrahircn einen sichtbaren Ursprung gehabt; das frĂŒheste BedĂŒrfniß hat dieselbe mit sich gebracht, die NatĂŒrlichkeit und UrsprĂŒnglichkeit des Begriffs hat das Vorhandensein der Kunst vor dem ungebildeten VerstĂ€nde, der gerade das Einfache, NĂ€chstliegende am wenigsten bemerkt, versteckt gehalten, und gewiß Jahrtausende lang sind die einzelnen Regeln des Rechnens nicht nur vorhanden, sonder» sogar allgemein im Gebrauche gewesen, bevor eine Arithmetik oder Logistik als Wissenschaft sich herausbilden konnte. Mit Recht sagt Plato in Bezug auf die Sage, daß Pala- mcdcs der Erfinder der Zahlcnkunde sei Wie, hat denn etwa Aga- memnon ohne Palamcdes nicht gewußt, wie viele FĂŒĂŸe er habe *? Die vergeblichen BemĂŒhungen, den Ursprung der Rechenkunst auf irgend einen historischen Namen zurĂŒckzufĂŒhren, haben ihre Veranlassung in der Anerkennung der allgemeinen Wahrheit, daß jegliches Ding seine» Grund haben mĂŒsse. Das ist allerdings auch ganz richtig, nur liegt dieser Grund hier tiefer als in irgend einer Ă€ußeren 1 Pluto dc republica, Ed. Stephan. Frnncos. 1602. fol. p. 697. 63 Veranlassung, er liegt in der innersten Natur des menschlichen Geistes. Ebenso wenig, als es der NilĂŒberschwcnmumgcn und der in Folge derselben nothwendig gewordene» Wasserbauten und Landcrcin- thrilungen in Ägvptcn bedurfte, um der Geometrie ihren ersten Ursprung zu geben, ebenso wenig bedurfte es eines Palamcdes oder gar eines Phöuizischcn Welthandels, um eine dem menschlichen Geiste und BedĂŒrfnisse so verwandte und nahe liegende Kunst, wie die Kunst zu zahlen und j» rechnen, ins Leben zu rufen. Wie sich nun frĂŒhe die Nothwendigkeit, mit Zahlen umzugehen, einstellte, so bildete sich gewiß auch vcrhĂ€ltnißmĂ€ĂŸig frĂŒhzeitig daS BedĂŒrfniß heraus, deut GedĂ€chtnisse durch Notirung und Aufzeichnung gewisser Zahlen und Summen zu Hilfe zu kommen. FĂŒr eine gewisse Anzahl von Einheiten ebenso viele Striche in ein Brett zll schneiden oder in einen Stein zu kratzen, liegt dem BedĂŒrfnisse des geselligen Verkehrs so nahe, und ist so sehr viel einfacher, als die Zergliederung und graphische Darstellung der articulirtcn Laute der menschlichen Rede, daß gar nicht daran zu zweifeln ist, daß die Zahlcnschrift lange vor der Buchstaben- und Wortschrift vorhanden gewesen. Dieses beweist auf einer Seite noch heutzutage der gemeine Mann, der des Schreibens unkundig, dennoch an seiner StubcnthĂŒr gewisse willkĂŒhrlichc, nur ihm verstĂ€ndliche Zahlzeichen als GcdĂ€cht- nißstĂŒtzcn ankreidet, wie ich selbst öfters zu beobachten Gelegenheit gehabt habe; auf der andern Seite liefern den historischen Beweis fĂŒr diese Hypothese mehre Amerikanische Völker, z. B. die Ayteken in Mcrico, die Muyska's in den Hochebenen von Cundinamarra und Andere, welche bekanntlich, wie alle Völker Amcrika's, mit der schriftlichen Darstellung der Rede bis zur Ankunft der EuropĂ€er in Amerika unbekannt geblieben waren, bei denen sich aber nichts desto weniger graphische Systeme von Zahlzeichen vorßndcn *. Zum mo- Gebrauche im Verkehr sind indeß geschriebene Zahlen gewiß viel spater verwendet worden. Man bediente sich ursprĂŒnglich einer Stcinchcn daher calculare, Samenkörner, KĂŒgel- cfycit, welche spĂ€terhin, bei weiterer Fortbildnng ju konstante» Zahlensystemen, auf SchnĂŒre gezogen, lind diese wiederum i» feste Rahmen gespannt zu Rechenbrettern abacus, Suanpan umgestaltet wurden, 2 T. Alexander v. Humboldt Über die bei verschiedenen Bsl, crn ĂŒblichen Svsteme von Zahlzeichen, in Lrelle's Journal fĂŒr Malhe- matik, Bd. IV. T. 205-231 an mehre» Sielle». von denen wir bci einer spĂ€teren Gelegenheit weitlĂ€ufiger reden wollen. Die erste und natĂŒrlichste Art, Zahlensummen zu bezeichnen, war unstreitig die, daß man so viele Striche zeichnete oder cinschnitt, als man Einheiten andeuten wollte. Daher ist noch iir den meisten bekannten Systemen von Zahlzeichen, welche nicht dadurch, daß sie die Buchstaben des Alphabets als Zahlen gebrauchen, ihren spĂ€teren Ursprung verrathen, ein einfacher Strich das Zeichen fĂŒr die Einheit geblieben; und es beruht auf einem ĂŒbel angebrachten spĂ€teren Witze, wenn dieses Zeichen wegen einer zufĂ€lligen Ă€ußeren Ähnlichkeit all- mĂ€hlig mit irgend einem Buchstaben des Alphabets vermengt, oder einem solchen wie im Lateinischen der I, im Arabischen dem Elif, l. Bci Bezeichnung grĂ¶ĂŸerer Stimmen mußte indessen diese Aneinanderreihung von Einheiten beschwerlich, ja unmöglich werden, und das BedĂŒrfniß fĂŒhrte so auf die EinfĂŒhrung des Gebrauchs gewisser Perioden in der Zahlenreihe, bci denen mau wieder von vorne anfing, d. h. man bediente sich eines einfachen Zeichens fĂŒr fĂŒnf, zehn oder zwanzig Einheiten. Es lag nahe, sich grade dieser drei Zahlen als Pcriodenabtheiler zu bedienen, welche durch die Anzahl der Finger und Zehen an HĂ€nden und FĂŒĂŸen der unmittelbaren Anschauung dargeboten wurden, und man wĂ€hlte die eine oder die andere der genannten Zahlen als Haltpunct, je nachdem man eine Hand, oder beide HĂ€nde, oder HĂ€nde und FĂŒĂŸe zusammen durchzĂ€hlte, bevor man zu einer neuen Einheit höherer Ordnung seine Zuflucht nahm. Diese Begriffe von Hand und Fuß sind sogar in die Sprache ĂŒbergegangen, indem in mrhrern Amerikanischen Sprachen fĂŒnf eine Hand, zehn zwei HĂ€nde, zwanzig HĂ€nde und FĂŒĂŸe, oder auch ein Mensch genannt werden 3 . Diese Perioden nun, so wie wiederum die Art der Zusamnicnfassung derselben zu neuen Perioden der zweiten, dritten und höheren Ordnungen haben bei den verschiedenen Völkern nnd in verschiedenen Zeiten sehr mannigfache Arten der Darstellung veranlaßt, und der menschliche Geist hat in mancherlei Mo- disicationen, durch sehr abweichende Zwischenglieder die Stufenleiter von 3 Ebend. J 5 * 68 zahl in zehntaltscnd Myriaden oder fwQica [ivqiĂŒ8^ mnltiplicircn, u, ; V u. f. w- bis dann folg! bicfcli’c Zahlclirkihc mit sechs Puncte» fĂŒr die dritte Potenz der Monaden und so weiter fort. Dieses Svsieni ist ĂŒbrigens ganz der Griechische» Denkweise angemessen, indem es das diesem Volke eigenthĂŒmliche Fortschreiten von vier zu vier Stellen um in unserer VorstellungSweisc zu sprechen scbarf ausprĂ€gt. Sehr interessant ist die Bemerkung von A- v. Humboldt, daß, wenn die Griechen, anstatt die Wiederholung der Poth- mcnes erst bei tausend anzufangen, sich derselben schon bei zehn u. s. w. statt der Buchstaben - u. s. w. bedient, und nachtrĂ€glich, mit Andeutung der leer gebliebenen Stellen, die ApiccS weggelassen hĂ€tten, sie auf die Erfindung des Indisch-Arabischen Systems mit Stcl- lcnwcrth der Ziffern gerathen wĂ€ren °. Noch mehr aber gilt das von dem System der Ghobar-Ziffern. Eine eigenthĂŒmliche Anwendung dieser Bezcichnnngsincthodc finden wir noch in dem von PtolemĂ€tls und allen spĂ€teren Astronomen gebrauchten Scragcsiinalsostcin, wcl- ches nach Potenzen von 60 abwĂ€rts steigt; die Ganzen ?io7oi, Grade, d. h. die in die nullte Potenz von T V multiplicirtcn Zahlen, werden im Griechischen gar nicht, wenigstens nicht anders als jede Zahl, nĂ€mlich durch einen darĂŒber gesetzten Horizontalstrich, bei den SpĂ€teren dagegen durch den Erponenten o angedeutet; die in die erste Potenz von multiplicirtcn Zahlen, ttqmtu, Minuten erhalten oben einen senkrechten Strich, die Secunden xoffTu SiĂŒrsga zwei solcher Striche und so fort'. Dieses sind die drei wesentlichste» Methode», welche in der Zab- lenbczcichnung und Zahlcnbildung verschiedener Völker sichtbar sind. Es finden sich zwar, namentlich bei den Griechen, noch andere Methoden, zumal bei der Bildung höherer Zahlen; dieselben sind aber ganz vereinzelt und meistens nur von einem Auctor zu einem bestimmten Zwecke angewendet worden, so daß sie in da§ Zahlcnsvstem im strengen Sinne des Worts nicht eingreifen. Ich ĂŒbergehe sie dcsbalb hier und ziehe es vor, sie gehörigen Orts als Einzclnhcit darzustellen. 6 A. a. O. S. 222. 7 Humboldt a. a. O. S. 225. macht aus dieser Abtheilung von Zablschich- tcn »ach geometrischer Progression eine eigene Methode; ich finde aber zwischen dieser und der eben bcschrlcbcnc» keinen wesentlichen Unterschied. Auch scheint mir die Methode der Myriaden bei Eutokius besser in die zweite als in die dritte Klasse, wohin Humboldt sie zieln, zu gehören. Welche Deiche» nun ein Volk zum Ausdruck feines Zahlensystems gcwĂ€blt hat, ist fĂŒr die Sache selbst ganz unwesentlich. Indeß lassen sich auch hier drei Klassen deutlich unterscheiden. Erstens, will- kĂŒhrlichc, von der Buchstabenschrift unabhĂ€ngige Zeichen mit oder ohne Hiudcutung auf die darzustellende Zahl; zu der ersten Art gehören die Römischen, zu der zweiten die Indisch-Arabischen Ziffern, obgleich bei den letzteren srlbst noch in der Arabische» Gestalt die Zeichen fĂŒr 2 und 3 noch ziemlich deutlich als aus zwei und drei Strichen zusannnrngewachse» erscheinen, \\ "r- Zweitens, die Buchstaben des Alphabets in ihrer gcwöbnlicheu Reihenfolge, fĂŒr die Einheiten und die Vielfachen der Pcriodcnzahl gebraucht; dieser Art ist das Sciiiitifch-Griechischc Zablensystcm. Beide Klassen von Zahlzeichen sind unabhĂ€ngig von den Zahlwortcu. Darum llntcrschcidcii wir von ihnen drittens, Anfangsbuchstaben oder Abbreviaturen der Zahlwortc; hiehcr gehört das alt-griechische System des Hcrodian, und die Arabischen sogenannten Diwani-Zahlen der Mehrzahl nach. Ganz unabhĂ€ngig von dieser graphischen Bezeichnung der Zahlen sind die Zablensosteme, welche die Sprache darbietet, und auffallender Weise hat die Sprache meistens ei» vollkommncrcs Svstcm als das dtirch Ziffer» dargestellte. Die große Mehrzahl der bekannten Sprachen bekennt sich zll einem conscguentcn Decimalspstem, selbst bei solchen Völkern, welche in der graphischen Bczcichnling der Zahlen von demselben abweichen; ein nahe liegendes Beispiel davon ist die Lateinische Sprache, wĂ€hrend die Römische Zahlengraphik das dekadische System mit dem pcutadischcn untermischt, und zwischen die Zeichen fĂŒr 1, 10, 100, 1000 noch eigene Zeichen fĂŒr 5, 50, 500 cinschicbt. Wie wenig indeß die Sprache auf die Zahlengraphik eingewirkt hat, erhellt daraus, daß selbst gebildete Völker, wie Semiten, Griechen und andere, den Wink, welchen ihnen die Sprache ĂŒber den Zusammenhang zwischen den Zahlen drei, dreißig, dreihundert giebt, nicht verstanden, und daher diesen innern Zusammenhang in ihren Zahlensystemen nicht dargestellt haben *. Eben darauf fĂŒhrt der 8 Es ist eine auffallende Erscheinung, daß das Zahlwort fĂŒr 20 in so viele» Sprachen an irgend einer UnregelmĂ€ĂŸigkeit ladorirt. RegelmĂ€gig gebildet ist c» im Teutschen zwanzig fĂŒr zwei zig, von der Form zween und im Lithauischen Ivvi-dcKsimts; das Lateinische vij-inti und Sanskrit vinzniti ^persisch Mut, habe» vor» das d verloren; ebenso wahrscheinlich das Griechische ilxoai, wenn 70 Umstand, daß eine Erscheinung in der Sprache und die entsprechende in der Zahlenschrift hinsichtlich der Stelle nicht ĂŒbereinstimme», ferner, daß die Sprache eines Volks eine Bildung darbietet, welche sich in der Zahlengraphik eines ander» Volks wiedersindet. So entsprechen den Römischen Zeichen IV, IX u. s. w. dem Geiste und der Methode nach die Zahlworte umleviginti, nmletri^intii; diese Zahlen selbst aber werden in der Graphik nicht so gebildet; man schreibt nicht IXX sondern XIX, das ist X plus IX. Diese nĂ€mlichen Farmen IV, IX, XLi keimen die Griechische und die Sanskrit- Sprache, indem sie sagen können tmi 3 . Eine Spur davon ist noch i» dem Französische» t,uatrv-vi»gt geblieben, wovon ljiultl'6- viiitzt-ckix ebenso gebildet wird, wie juativ-vingt- Unux, das heisst, das ungrade Vielfache von zehn, hier neunzig, wird als Pcriodcnabthciler ĂŒbersprungen und die Zahlen werden ohne neue Abtheilung von achtzig bis htindert sortgczahlt. Dasselbe geschieht, aber schon mit einem eigenen Zahlworte fĂŒr sechzig, bei siebzig durch den Ausdruck soixante-dix; das Zahlwort eoixante aber, als Ableitung von ix, gehört dem Dccimalsvstcmc an, wogegen juMrv- vingt, und ebenso die seltneren Formen quinze-viiigl, six-vingt, sept-vingt, lmit-vingt treu ausgeprĂ€gte Formen des Digesimal- syftems sind; und der Ccltische Dialekt in der Bretagne kennt, dein jiurtre-vingt analog, auch duon-ngent d,zig allein als Periodcnabthcilcr gebrauchen, und conscguent alle ungradcn Vielfachen von zehn, analog den ĂŒbrigen zwischen je zwei Zwanzigern liegenden Zahlen, durch Addition von zehn bilde», z. B- 20 -j- lO, 40 -j- 10 u. s. w. Ja diese Völker sind darin so conscguent, das; sie selbst bei hundert keinen Abschnitt machen, sondern, regelrecht genug, erst fĂŒr vicrhrmdcrt, als Quadrat von zwanzig, ein neues Wort gebrauchen, mit dem stc dann wieder bis achttausend, dem Cubus von zwanzig, die Reihe fortbilde» '. Bei den Azteken in Merico ist das Vigesimalsystein der Sprache auch in die Zahlengraphik ĂŒbcrgc- H Huet ilcmoustv. ovmigel. p. 295. Amciicimi 'I'opiin»»!'» millos Miira [uinquc numeros norunt^ inricum scilicet mauiiin iniinolundo ad- luliere soliti. Bcrgl. Humboldt a. a. O. S. 20!» Note. 12 Ikoin. ttvic bei den Römern das dekadische von dem pentadischcn. Nach diesen allgcineincn Betrachtungen wollen wir auf die wirklich vorhandenen Zahlzcichcnsvstcmc derjenigen Völker, welche uns zunĂ€chst intcrcssircn, einige specielle Aufmerksamkeit verwenden, und zwar vor Allen auf die der Semiten, Griechen und Römer. Die Semiten gebrauchen bekanntlich zur Bezeichnung der Zahlen die Buchstaben ihres Alphabets in der ursprĂŒnglichen alten Reihenfolge, in welcher das Alphabet der HebrĂ€er, Svrcr und Samaritancr sich bis auf diesen Tag erhalten hat. Die Araber haben spĂ€terhin diese Reihenfolge geĂ€ndert, ohne aber den Zahlenwcrth der einzelnen Buchstaben zugleich zu verĂ€ndern, was fĂŒr sie die Unbequemlichkeit mit sich fĂŒhrt, daß sie ihr Alphabet in zwei Reihenfolgen lcrncit mĂŒssen. Die Vcr- theilung der Buchstaben an die Zahlen geschieht nun in der Art, daß ?ic Bnchstabcn von d- bis 12 die Einheiten von 1 bis 0, die folgenden neun Buchstaben von 1 bis die jenen entsprechenden Vielfachen von zehn, also von 10 bis 00 bezeichnen. Nun bleiben aber in dem alten aus zwei und zwanzig Buchstaben bestehenden Alphabet nur noch vier Btlchstabcn fĂŒr die Zahlen von 100 bis 400 ĂŒbrig, p, 1, r\- Bis hichcr stimmen alle jene Alphabete genau mit einander ĂŒbcrcin; in der Bildung der Zahlen von 500 bis 000 aber haben namentlich HebrĂ€er und Araber verschiedene AusflĂŒchte gesucht. Die HebrĂ€er helfen sich auf zwiefache Weise, entweder unvollkommner dadurch, daß sie die Buchstaben p, "V W, N additiv zusammen stellen, so daß z. B. NN 400 -f 200 — 600 bedeutet, so daß sie 000 nicht anders als durch drei Zeichen ausdrĂŒcken könnten; oder sie verwenden zur Bezeichnung der noch ĂŒbrigen fĂŒnf Zahlen die fĂŒnf FinalzĂŒge der Buchstaben 3 D 2 3 ST, nĂ€mlich *] CD f * \; doch geschah dieses wohl erst spĂ€terhin. Das erstgenannte Hilfsmittel, die additive Zlisammcnsicllung der vier letzten Buchstaben, haben auch die Araber angewandt; spĂ€terhin aber haben sie, gleich wie die HebrĂ€er, dieser tuivollkommenen Methode eine vollkommucre substituirt, die aber von der HebrĂ€ischen ganz abweicht. Die Araber haben nĂ€mlich die verschiedene Modisication der Aussprache cinigcr Buchstaben des alten Semitischen Alphabets, von der sich schon im HebrĂ€ischen Spllrcn zeigen, bereits in die Schrift aufgenommen, indem sie die beiden Aussprachen eines Zeichens durch einen oder mehrere ĂŒber oder unter dem Buchstabe» angebrachte Puncte andeuten, und dieser pnnctirtcn Buchstabe», weiche sie ziemlich nneigrntiich auslĂ€ndische nennen, bedienen sie sich zu dem vorliegenden Zwecke, so daß die Zeichen a 5 u» -k Reihe nach die Zah- lcnwcrthc von 500, 600, 700 ,^ 800 , OOO erhalten, und sie behalten dann noch das Zeichen * fĂŒr die Zahl 1000 ĂŒbrig. Die zwischen diesen Grenzen liegende,, zusammengesetzten Zahlen werden durch additive Zusammenstellung gebildet, indem man, nach Semitischer Weise, von der großer» Zahl zu der kleinern von der rechte» nach der linken Seite fortschreitet; so bedeutet z. B. der Ausdruck ypr\ oder die Zahl 473, als Summa von H, o ~ 400, V f ^ 0 und S/ _ = 3 , um nun die auf solche Weise ausgedruckten Zahlen im Contcrtc von den Worten gehörig zu unterscheiden, ziehe n die Araber ĂŒber den ganzen Zahlcnausdruck einen Horizontalstrich, gju, oder s chreiben auch jede» einzelne» Buchstaben in seiner Finalform die HebrĂ€er dagegen machen zwei kleine HĂ€kchen ĂŒber dcu letzten Zahlbuchstabcu, "jyn oder auch zwischen dicsclbc» Um die Tausender auszudrĂŒcken, fangen die HebrĂ€er wieder von X an, ruid unterscheiden diesen tausendfachen Werth des Buchstabens durch zwei darĂŒber gesetzte PĂŒuctchen, x. Bei zusammengesetzten Zahlen fallen jedoch diese PĂŒnctchen oft weg, weil die von der Rechten zur Linken mit abnehmendem Werthe geordnete Reihenfolge der Zeichen ĂŒber die Bedeutung keinen Zweifel gestattet; dagegen wird bei vierstelligen Zahlen das Ziffcrzeichcn “ öfter wiederholt. So lesen wir z. B. in der Masora die Zahlen 1534, 10 ''“^ 4209 und andere. Bei den Arabern, welche ĂŒberhaupt die Zahlen gern mit Zahlwortcn ausschreiben, besinne ich mich Nicht Zahle» ĂŒber das erste Tausend hinaus nach diesem System bezeichnet gefunden zu haben; fĂŒr eintausend ^abcr haben sie, wie bemerkt, das Zeichen ÂŁ, z. B. 1542, 1043. Kleinere Zahlen dagegen bieten uns unter Andern Abulfrda's verschiedene geographische Tafeln dar, welche, beilĂ€usig gesagt, in allen bisherigen Ausgaben durch eine Unzahl von Druckfehlern entstellt sind, so daß LĂ€nder, die man nach diesen Angabe» der Lage einzelner StĂ€dte in Graden und Minuten construiren wollte, oft eine ziemlich befremdende Gestalt annchnicn wĂŒrden. Diese Methode der Zahlenbezeichmmg war durch alle Semitischen StĂ€mme verbreitet, und hat sich selbst bei den Arabern »och 74 neben dcm von Indien oder Persicn her cingedrtmgcncn vollkommene» Svstcm mit Stellenwerth erhalten. Daß die Äthiopier i» Abyssmien nebst einem völlig unscmitischen Schriftcharaktcr auch ein eigenes System von Zahlzeichen haben, ist hier von keinem Belange; denn einerseits ist dieses Volk, wie in allgemein historischer Hinsicht, so namentlich in Bezug auf Geschichte der Wissenschaften zn unbedeutend, andrerseits sind die Zahlzeichen desselben so sichtbare Entstellungen der Griechischen Buchstaben, daß ĂŒber den historischen Ursprung derselben kein Zweifel obwalten kann, und wahrscheinlich sind sie erst mit dcm Christenthum und der ncutcstamcntlichcn Literatur dorthin eingewandert. Der sicherste Beweis fĂŒr das hohe Alter des ZahlcnwcrthS der Semitischen Buchstaben ist der, daß die Griechen diesen Zahlcn- wcrth schon zugleich mit den Buchstaben von den Phönizier» erhielten. Auf einen Phönizischen Ursprung des Griechischen Alphabets deuten einerseits alle alten Traditionen, andererseits trĂ€gt da§ Griechische Alphabet noch so unvcrholcn die Wahrzeichen Semitischer Herkunft zur Schau, daß nicht nur die Reihenfolge und die Namen der Buchstaben noch ganz Semitisch sind, und zwar letztere in der AramĂ€ischen Form in dcm von den Grammatikern sogenannten sla- fus cmpluiticus oder dcmonstrativns , mit dcm AuSgange auf ii itl, sondern auch die Figuren zum Theil noch jetzt, noch mehr aber in alten Inschriften, mit den alten Phönizischen und den diesen Ă€hnlichen Samaritanischcn ziemlich ĂŒbereinstimmend sind, nur daß sie in der Regel, angcincsscn der von der Semitischen abweichenden Gewohnheit der Griechen, von der Linken zur Rechten zu schreiben, umgekehrt stehen. So ist z. B. das Griechische v das umgekehrte Samarita- nischc, welches den Kopf zur Linken, also auch vorwĂ€rts, kehrt, c; eben so sind B, r, E, K, L fast nicht weiter verĂ€ndert, als daß sie sich umgewandt haben. Die dcm Semitischen Organ eigenthĂŒmlichen Gntturalbuchstaben d- N N V sind im Griechischen Munde in die entsprechenden Vocale e, rj, o, zum Theil aber mit Beibehaltung der Namen, ĂŒbergegangen. Das Semitische samek, D, AramĂ€isch semkath erscheint int Griechischen verhĂ€rtet als 4 mit eigenthĂŒmlichem Namen, wenn nicht vielleicht der Name selbst aus dem Semitischen in oder sein» mit Abwcrfung des n hcrzulcitcit ist; dann wĂ€re weiter nichts geschehen, als daß die beiden Buchstaben 8in und samek ihre Stellen vertauscht hĂ€tten. Denn daß der Name des samek, durch eine leichte Transposition in r!y ft u umgewandelt, an der Stelle des Semitischen slu wieder erscheint, ist Thatsache u . I„ Hinsicht des Zeichens sind in dem Griechischen 2'Vsi beide Semitische Buchstaben vermischt, indem c, a aus dem Semitischen s;imek, 0, dagegen 2, aus deut sin, W, alt-Phbni- stsch VV einstanden sind. Nur drei Buchstaben des Semitischen Alphabets, nĂ€mlich vĂ€v oder vau 1, zadc X uttb kopli p sindcn wir iui Griechischen Alphabete nicht wieder. Indeß stellt sich hier die interessante Thatsache heraus, daß wenigstens zwei dieser Buchstaben, nĂ€mlich vAv und koph, welche in Folge des abweichenden Sprachcharaktcrs in die Wortschrift der Griechen nicht ĂŒbergegangen oder doch als unnothig frĂŒhe daraus verschwunden sind, sich nichtsdestoweniger als Zahlzeichen an ihrem Platze und mit ihren echt Semitischen Namen erhalten haben. Beide Zeichen, so wie noch ein drittes, von dem wir unten sprechen werden, fĂŒhren den Titel kV ÎŒÎżÎœ, Stellvertreter, und wir finden das vilv wieder zwischen Δ und ζ als Î”Ï€ÎŻÎ·ÎŒÎżÎœ ßav fĂŒr die Zahl sechs, das kvpll als 'Î”Ï€ÎŻÎ·ÎŒÎżÎœ χππα oder Îșψη " zwischen dem π und q fĂŒr die Zahl neunzig. Nur das als Buchstabe ebenfalls verlorene Zadc ist wenigstens an seiner Stelle durch kein Î”Ï€ÎŻÎ·ÎŒÎżÎœ ersetzt worden, sondern sein Platz ist ganz leer geblieben. Dieses Ausfallen eines Zeichens aus der 15 BĂ€ckh, die Staatsbaushaltung der Athener, Berlin, 1817. Th. 2. S. 386. nimmt an, daß alle Zischlaute ibre PlĂ€tze vertausch, haben. Senn m ist das Xi 3; das Tsade X Zeta z 5 Samech D 2, wie schon die Namen beweisen; dasSchln nichts anderes als der rohe. >,„r im Vorisch-AeoUsche» D gedliebene Zischlaut, der wahrscheinlich wie Sch klang d SĂ€n genannt wurde." Was der gelehrte Verfasser hier ĂŒber . 8 ^ ' ganz gewiß nicht richtig; der Übergang des Namens zailb, ^ 3 » v ita natĂŒrlich und ohne Analogie; dagegen sind die Namen Zrj;'“ und Sain, so verschieden ste auch aussehen, sicher identisch; denn zip» ist nichts anderes, als die AramĂ€ische Feniininalforni Von sain, mit occultirtem n vor t; ganz wie ^A^^eO Medinto gesprochen wird Mcdito, so ist ^Ai»l 8a,»w, wo das o statt a spĂ€terer Spriasmns ist Salto gesprochen worden. das Semitische Sain sowohl an seinem Platze, als auch mit 6 >u - ^ das Griechische vertreten > es entspricht also wedc,f,'"' , 1,1 ’ ? dem Zijra das Zade; gegenthclls ist das letztere roahrs 1"» s > Griechischen Alphabete verschwunden. , , 1b Es fĂŒhrt auch den von der Gestalt hergenoimnenen Namen^^- S. die Tadelte bei Montfaucon l’alueogr. Gvacca p. 122, und die blaute & dazu p. 132, Reibe bcr Zahlbuchstabcn hat fĂŒr das Zahlensystem dic Folge gehabt, daß von neunzig an, welche Zahl eben an dem Semitischen Zndv haftet, die Griechischen und Semitischen Zahlen nicht mehr mit einander ĂŒbereinstimmen; wĂ€hrend nĂ€mlich die Semite» die Hunderte mit p, Kopli, beginnen, fange» die Griechen dieselben mit s> an, weil ihr xĂŒ-r-r die Stelle des verloren gegangenen Zacle, it, als neunzig ersetzt. Diese Darstellung scheint mir dem Wesen angemessen und natĂŒrlich zu sein, und sich auf historische Wahrscheinlichkeit zu stutze». Ganz sonderbar nimmt die Sache sich bei Montuela aus, dessen Worte fast so klingen, als hĂ€tten dic Griechen mit selbstthĂ€tigem Bewußtsein sich bestrebt, durch Einschaltung der rĂ€/o-ryia ihr Zahlensystem dem Semitischen gleichförmig zu machen, sie hĂ€tten sich aber nach der Einschaltung des Ax-xa ĂŒberzeugt, daß das doch nicht gehe» wĂŒrde, und darum das Unternehmen fĂŒr dic folgenden Zahlen einfgegeben, um nicht, wie Moinncla sich ausdrĂŒckt, zu viel cinliarias zu verursachen I 7 j. Anders freilich verhĂ€lt es sich mit dem dritten i-xi'vrrjiov. Als nĂ€mlich die Griechen zu dem von Osten her l8 erhaltenen Alphabete, um dem Genius ihrer Sprache zu genĂŒgen, noch fĂŒnf Buchstaben, v, cp, %, ij>, hinzugefĂŒgt 19 , und auch diese als 17 IILst. des Math. T. I. p. 46. Eben bisse komische Darstellung wiederholt Monuich, Lehrt. b. Mathcm. Th. 1. Abtb. 2. S. 465. 1S I» der Sage, daß KadmuS die Schrift »ach griechcnlaud gebracht habe, scheint nichts weiter ZU liegen, als das; die Schrift orientalischen Ursprungs ist. Denn auffallcnb ist das Zusammentreffen, baß im Semitischen 21p, kddem, in bcr Flcriou kadmo Osten bebrĂŒtet. Also heißt wohl in dieser Sage bcr Ausdruck „von KadmoS" nichts anderes, als „von Osten her." IN AuS dem ererbten Zablenwerthe der griechische» Buchstaben scheint deutlich zu erhellen, in welcher gestalt die griechen ihr Alphabet von den Eeinite» erhalten habe», und es werden dadurch die Sagen, als hĂ€tte Kadmos zuerst nur sechSzchn Buchstaben nach griechenland gebracht, und spĂ€lcrhin °>palamedcS vier und SimonideS abermals vier hinzugefĂŒgt, als ganz grundlos niedergeschlagen. Bergt. I’liniiis bist. mit. VII, 56. Suidas in d. Art. „WaS dic Allen von ciiicm Kadinischcn, Palamedischc» und Simonidei- schen Alphabet erzĂ€hlen, widerspricht den gesunden Ansichten schnurstracks," sagt Böckb a. a. O. S. 387. Der an den Buchstaben haftende Semitische Zahlenwcrth stellt dic Buchstaben von A bis T als alt und ursprĂŒnglich dar; dagegen sind u, no*l t,cf ĂŒ rrl-kureOcee xdvru iq » ouio r/qciaaot , j-o AotutES fiXv 3 - h tfCtJ/tlOJ» Dritte Klasse. Hunderter. 100. p — ,v — q 200. n _ ^ - o 300. » — ufc — r 400. n — o — v 500 . “ — — q> 600. a — ~ — x 700. ^ _ 5 — a[ 800. ^ — u» — ö 900. X — Ja —^ t/u'ijjtioi’ ita-iKii 1000 . I Ähnlich, wie die Araber, unterscheiden die Griechen diese Buchstaben, wenn sie ZahlcnausdrĂŒckc sind, durch einen ĂŒber dieselben gezogenen Horizontalstrich, jf, ^s, "'^6 wie oft fĂ€lschlich bemerkt worden ist, durch einen Acutus . Indeß finden sich Zahlcit in alten Inschriften, welche durch kein Abzeichen von dem Contertc unterschieden werden. Wie die Griechen die Zahlen von tausend aufwĂ€rts bezeichneten, habe ich oben schon im Vorbeigehen berĂŒhrt. Die Buchstaben von bis mit einem unten angebrachten kleinen Striche, wie a, y s. w., dienten zur Bezeichnung der Zahlen von tausend bis neuntausend, nicht aber höher hinauf, wie ebenfalls oft fĂ€lschlich angefĂŒhrt wird, als hĂ€tte man 10000 durch j, 20000 durch x, 100000 durch o u. s. w. ausgedrĂŒckt Ich 2^0 hkiltzronncr zi. 7M fĂŒhrt zwar von der letzteren BezcichnungsMtlhodc Beispiele au Gcminus kle-m. n^tron. o. XV a»; da ich aber das letztere Werk nickt z»r Hand habe, mag ich ĂŒber die ZuverlĂ€ssigkeit der deigetzrachtc» Beispiele so muß hier eine Bemerkung machen, welche wichtig ist, weil sie in die ganze Vorstcllungswcisc der Griechen eingreift, die nĂ€mlich, daß die Griechen bei der Abtheilung grĂ¶ĂŸerer Zahlen nicht, wie wir, von Tausenden zu Tausenden, oder nach unserer Art zu sprechen, von drei zu drei Stellen, sondern von Myriaden zu Myriaden, also von vier zu vier Stellen fortschreiten, so daß sie z. D. die Zahl 531789643 nicht, wie wir, so abtheilen 531,789,643, sondern so 5,3178,9643. Die Art der Abtheilung ist in ihre Vorstcllungswcisc wesentlich ĂŒbergegangen. DemgemĂ€ĂŸ nennen sie die niedrigste Abtheilung oder die vier untersten Stellen Einheiten, ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ”, die vier folgende» Myriaden, ΌΜÎčΏΎΔ, die vier nĂ€chstfolgende» ÎŒÎœÎżÎčαÎč ΌυρÎčΏΎΔ, dann ΌυρÎčÎŹÎșÎč ÎŒÎœÎżÎčαÎč ÎŒÎč^ÎčΏΎΔ II. s. w. s. Dieser Vorstcllungsweise analog ist ihre Zahlcubczcichnung. Bei H, 9000, hört die Reihe der Einheiten auf, und die grĂ¶ĂŸte Zahl dieser Reihe ist ^ ÂŁ d. h. 9999 Einheiten. Nun beginnt die zweite Klaffe oder die Reihe der Myriaden mit einer neuen Bezeichnung; sie bedienen sich nĂ€mlich des ersten oder der beiden ersten Buchstaben des Wortes Miwoii,, also M oder Mu, welchen Zeichen die bisher betrachteten Einhcits- zahlen als Faktoren entweder vorgestellt, oder ĂŒbergeschrieben, oder auch wohl hinten angehĂ€ngt werden. Wirkliches Zahlzeichen ist dieses m indeß nur in dem zweiten Falle, in welchem die multiplici- rende Einhcitszahl ĂŒber dasselbe geschrieben wird, wie immer bei Eu- tokius zu Archimcd'S Krcismcffung; im erste» und dritten Falle ist es eigentlich nur Abbreviatur der Worte ÎœÏ…ÏÎŻÎŹ oder ΜυρÎčΏΎΔ und diese Worte werden daher auch oft ganz ausgeschrieben. So drĂŒckt z. B. Pappus Fragmente des zweiten Buchs, Satz 23 die Zahl 18000 so aus ÎŒÎœÎżÎčΏΎΔ Z. ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ” Ich erwĂ€hnte oben schon, daß das Myriadcnzcichcn auch oft gau; wegfĂ€llt und durch eine» bloßen Punct, der die Myriaden von den Monaden scheidet, ersetzt wird. So schreibt Diophant IV, 29. die Zahlen fĂŒr 1507984, rS.^Quß fĂŒr 262144, und V, 11. fĂŒr 19915214, und so oft. Diese Auslassung des Mvriadcnzcichcns ist ein Schritt zur Erfindung des Systems mit Stcllcnwcrth. Auf Ă€hnliche von den Gricchcn gemachte Schritte werden wir bald öfters stoßen. Aber es war ihnen nicht zugedacht, diese große mĂ€chtig _ in niditi einschritt». Bei Jirifiarch, Archimedes, Pappus, Diophanlus, bntokins it. A. findet sich keine Spur davon. 8 t in bic Wissenschaft und in daS Seien eingreifenbc Erfindung zu lu'ilcnbcit. Es wirb noch eine anbere Methode, bic Myriaden tmb höheren Zahlen zu bezeichnen, erwĂ€hnt, welche ich auch oben schon berĂŒhrte, die ich aber durch keine AucloritĂ€tcn Griechischer Schriftsteller belegen kann. Camerarins " 4 nĂ€mlich, nachdem er die Zahlbuchstabm fĂŒr die Einer, Zehner, Hlmberter und Tansenber in der gewöhnliche» Weise dargestellt hat, sagt, die Myriade» und folgenden Zahlen wĂŒrben so bezeichnet u P y 6 E 5 4 n s l ‱K λ l 1 V 4 o % h Q a ß ÎŽ ÂŁ t 4 t P V p so daß also eine Myriade, ϊ zehn, ss hundert, Ă€ tausend Myriaden oder zehn Millionen bezeichnet. Dem vorigen analog wird nun die ganze Zahlenreihe noch einmal mit vier Puncten oben, und dann »och mit sechs Puncten durchgemacht; demnach bedeutet, wenn wir nur das erste Glied jeder Zeile betrachten, ei ΌχψαÎč ÎŒÎœÎżÎčΏΎΔ — 100 Millionen '/ ΎΔÎșÎŹÎșÎč ÎŒÎ°Î¶ÎŻÎ±Îč ΌυρÎčΏΎΔ = 1000 Millionen q έÎșαοÎčÎŹÎșÎč Όΰ^ÎčαÎč ΌυρÎčΏΎΔ — 10000 Millionen Ă€ χÎčλÎčÎŹÎșÎč ÎŒÎč'ψαÎč ÎŒ'ÎżÎčΏΎΔ — 100000 Millionen 24 Re Graecis Latinisquc »umerorum notis, et praeterea Surnccnicis seu Indicis cum indicio elementorum ejus, quam Logisticcn Graeci nominant quae est methodus conficiendarum Rationum et vocabulorum artis interpretatione et aliis quibusdam ad hanc pertinentibus. Accesserunt explicutiunculac Arithmetices doctrinae Nicomachi et alia quaedam, ad contemplationem scientiae istius pertinentia studio Joacliimi Camerarii 1 apeberg 8. Ohne ÂŁrt und Jahr tmb ohne Seitenzahlen. Unter der ersten Dedikation an Scbastianus Theodoricus Vincsimus steht das Datum Lipsiac 1. XXV. M. Sextilis Anno Christi Jesu AI. II. LX1X. Unter der zweiten an Johannes Ulrichus Zasius V. Calcnd. Decembris. Auno Christi M. D. L\I. Die hieher gehörige Stelle steht in dem Tractatus Cogistices. Trima part. ^foixua, quibus numeri designantur. — Dieselbe Methode berilhrt Samuel TennitliuS in seinen ^otae in librum quartum Jamldichi Chalcid, de arithmetica Nicomachi introductione. Daventr. 1667. 4. p. 157—159. Be- finbft sich auch unter besonderetn Titel bei Tennulins Ausgabe des Iamblichus, Arnhcm. 1668. 4. Vergi, shumbotbt a. a. D. S. 221. 1 . 6 82 und die folgende Klasse Ă€ fivoa'/.yji, fiVQtui inoiĂŒĂ¶ei; — 1 Million ĂŒ. s. w. Camerarius fuhrt nicht die Quelle an, aus welcher er diese Be- zcichnuugsart entnommen hat. Es laßt sich indeß nicht annehmen, daß die Sache ganz aus der Luft gegriffen wĂ€re; dazu kommt noch, daß die Methode au und fĂŒr sich in ihrem eonsegucntcn Fortschreite'» von Myriaden zu Mvriadcu einen ganz Griechischen Charakter zeigt. Indeß ist dieselbe gewiß wenig, vielleicht erst sehr spat, in den Gebrauch gekommen. Montsaucon hat in einem Manuscript der Pariser Bibliothek vom zwölften Jahrhundert diese Methode, aber nicht weiter als fĂŒr die einfachen Myriaden, also von ĂŒ bis ÂŁ angewandt gefunden. Ich will seine Worte hichcr setzen Nola numerales sive litorae numeris designandis constitutae, a Grammaticis ct Lexicariis adferuntur; ita ut a unum significet, ß' dun, y tria etc. »t vel tirones norunt. Pro denario autem numero, / decem, tu' undecim etc., pro centenario q centum, cr' ducenti etc. Uber d statt Hist. matl,. p. 735 — 737. 6 * 84 Einer r r l Y 1 1' I 1 l J 8 P 1 2 3 4 5 6 7 ;> Zehner n 1 'l N '1 '1 *1 L l f \ 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Hunderte L l- u k 1. l. 1. h h 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Tausende J 4 >1 A .1 ,1 l! rl d 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Nun besteht das EigenthĂŒmliche dieser Methode darin, das, bei zusammengesetzten Zahlen der Verticalstrich nur einmal geschrieben und an diesen alle charakteristischen Merkmale der einzelnen Ziffern angehĂ€ngt werden. Hcilbronncr giebt folgende bei ihm zum Theil sehr verstĂŒmmelte Beispiele bedeutet die Zahl 5548 bedeutet die Zahl 2454 bedeutet die Zahl 3970 bedeutet die Zahl 1586. Da jede Potenz von zehn ihr charakteristisches Merkmal an einer anderen Stelle hat, so können sich in der zusammengesetzten Zahl diese Merkmale niemals gegenseitig stören. FĂŒr zehntausend giebt Heilbronner die Wiederholung des Zeichens fĂŒr tausend, also _J_J, wie man das in den Zusammenhang gebracht hat, weiß ich nicht. Die Erfindung ist geistreich, aber wahrscheinlich ist sie Erfindung geblieben. Heilbronner selbst drĂŒckt sich ganz unbestimmt darĂŒber aus, und beruft sich nur Noviomngus und auf Ilostus p. 561, ohne die Werke beider Auctorcn zu nennen, auf die er sich bezicht. Ich habe in den hier vorhandenen Werken beider Schriftsteller nichts darĂŒber finde» können, und auch sonst ĂŒber den Gebrauch und den Ursprung dieser Methode nichts erfahren. Dagegen ist uns von dem Grammatiker Hcrodian"' ein anderes, wie es scheint, altes Griechisches Zahlensystem aufbewahrt worden, insofern analog dem Römischen^ als es sich vcrhĂ€ltnißmĂ€ĂŸig 27 Siebe in Steplmni tliosaurus lingaae Graecae. weniger Zeichen bedient, nm alle Zahle» zusammenzusetzen. Dieses Sostcni hat nĂ€mlich mir sechs einfache Zeichen, i, π. Δ, Η, X, M, welche der Reihe nach die Zahlen l, 5, 10, 100, 1000, 10000 vorstellen; diese Zeichen sind mit Ausnahme des ersten, welches der bekannte einfache EinhcitSstrich ist, die Anfangsbuchstaben der entsprechenden Zahlwörter bei u πέΜΔ, Δ ΎέÎșα, X %!λÎčÎżÎč und Μ ΌΜ- qioi liegt das am Tage; dagegen erwartet malt E croi> fĂŒr H. Aber schon WalliShat hier daö Richtige gesehen, und seine Bemerkung, daß daS Zeichen H, welches dtirch die Stellung im Alphabet und durch seinen Namen dem Semitischen l'lwt, Pl, entspricht, ursprĂŒnglich das Zeichen fĂŒr bcu Spiritus aspcr gewesen sei, als welches es sich auch im Lateinischeil Alphabet wiederfindet, und daß man in alten Zeiten nicht r/ Exa?ov, sondern ΗΔÎșÎ±ÎżÎœ geschrieben habe, it durch mehre von Montfancon beigebrachte Beispiele von alten Inschriften bestĂ€tigt worden M . Die Methode der Zahlcnbildung mit diese» Zeiche» ist additive Ncbciicinanderstcllnng bis zur viermaligen Wiederholung desselben Zeichens. Dann aber tritt eine multiplicative Methode ein, indem statt der fĂŒnfinaligcn Wiederholung das einfache Zeichen in den Buchstabe» ii — 5 hineingcsetzt wird. Der Anschaulichkeit wegen gebe ich hier die Tabelle der Zahlen. 1. I 11. ΔΙ 21. ΔΔΙ U. s. W. 2. π 12. ΔΙΙ 30. ΔΔΔ 3. ni 13. ΔΙΙΙ 40. ΔΔΔΔ 4. mi 14. ΔΙΙΠ 50. IÄ1 5. π 15. Δ1Ι 00. ΗΔ . III 10. ΔΙΙΙ 70. Ι51ΔΔ 7. iui 17. Δ1ΙΙ1 80. ΙΙ1ΔΔΔ 8. mu 18. A11UI 90. ΙήΙΔΔΔΔ 0. 1ΙΙΙΙΙ 19. ΔΠΙΙΙΙ 100. Η 10. Δ 20. ΔΔ 28 Opera T. 1. p. 44. Db abtr dic Gcflalt ter btiben l und U, dic sich in LiunusiripUn und ncch tu attrn Auvgndcn f>»dt z. B- >>' " Basclcr Aueg. von Pielcmaus eine Zcrthcitung dcs alic» „e c; in zwci Haisicn ist, wic WnttiS vcrwuihct, nius; »vehi dahingcsirltt b c> ci. 29 I*a[aeogr. p. 129. Olim vero, ut videas intra, P r aspiiatione tantum usu veniet»»!; atque 8 tnm correptum quam extensum, pei E ex pressum observatur in .Ionicis inscriptionibus. i rl j ,cl1 P J iioiAe flir oiist, ito snr 8, 11 OAOI fur vSv, hepOAO l»»r tiqmSoo, uoi. siir o», ». f. w. 86 200. 1111 1000. X 300. HHM 2000. XX 11. s. w. 400. HIHI II 5000. ra 500. P 6000. IxX u. s. w. 000. Ph 10000. 1^1 700. Phii 20000. Ä1M. U. s. W. 800. iaiiiim 50000. Fil 000. fITIlLIsllJt 60000. fĂŒM u. s. w. Diese Methode findet sich ĂŒbrigens originulitcr n vor, und die Nachricht bei Hcrodiaii ist die einzige, die wir davon haben. Ob die Romcr ihre Schrift von den Griechen, oder nnmittelbar aus dem Orient erhalten haben, mag zweifelhaft scheinen. Daö Vorhandensein der Buchstaben 11 = Pt nicht H, Y und F = 1, U = p 3U / von denen der erste bei den Griechen Vocal geworden ist, die beiden andern sich aber nur als nunicrischc Episcma erhalten haben, scheint fĂŒr das letztere zu sprechen. Oder die Übertragung des Griechischen 20 Was Wallis T. 1. p. 45 sagt, das; das Zeichen 4 aus Cv zusammengeschmolzen fei, worauf die in manchen Drucken sich vorfindende Form ^hinzudeuten scheint, gleichwie K aus JA , ist gewiß historisch unwahr. Der sprechendste Beweis gegen diese Entstehung des 4 ist der, daß das die dem lvoph p einsprechende rauhe Aussprache desselben andeutende u immcr dahinter gesetzt wird, also doppelt da sein wĂŒrde, wen» es schon einmal in dem Zeichen 4 selbst steckte. X dagegen ist gar kein echt lateinischer Buchstabe, sondern der wahre Stellvertreter des Semitischen Xapli und des Griechischen dir* ist das Zeichen 6 , durch welches die Römer nicht, wie Wallis a. a. O. p. 42 bchauplet, das Griechische ya,n,un ausdrĂŒckten. Pro nonugintu vero poiiitur /j Cj umlc figura latiiiorum Cj vcl G dediicta est ?, untiquis latiiiis ignotii ? qui Graecormn y per G exprimebant. Die Reihenfolge des Römischen Alphabets kann hier, glaube ich, nichts entscheiden; denn sonst mĂŒĂŸte auch g dem Semitischen T, Griechisch 4 i. s. w. entsprechen. K hat sich ebenso wie V erst spater durch Bekanntschaft mit den Griechen in die Reibe der Lateinischen Buchstaben eingcschlichen, und Schreibarten wie Klemlas fĂŒr Calcmlas, Krtlmgo fĂŒr Carthago beweisen nichts fĂŒr ein in dem X verstecktes a; was wollte man sonst daraus fĂŒr SchlĂŒsse »M chcn, daß die Worte xut>t 050 ?ÂŁo?’lcrga^ in dem von Montfaucon I'nl. p. 224 mitgetheilten Fragmente so aussehen kc o ©c IHa- Etwas mehr hat die Hypothese fĂŒr sich daß X eine Berschlingung von 08 sei; aber auch diese Annahme ist unnöthig; X kann ebensowohl, wie das Griechische 8 eine nnmittclbare Bcr- hĂ€rlung des einfachen Semilischcn Zischlauts sein; wie es sich umgekehrt im Italienische» wieder zu 8 erweicht. Bergl. ĂŒber X und 4, Prisciani do partibus nratioais I, 3. Alphabets »ach Itaiien muß zu einer Zeit geschehe» sei», als die Griechen selbst es noch ganz unverĂ€ndert i„ seiner Semitischen Ur- gcstalt bewahrt, und es noch nicht ihrcni Sprachcharakter durch Verwandlung lnid VernachlĂ€ssigung einiger, und HinzufĂŒgung anderer Buchstaben anbequemt hatten; nur so wĂ€re das Vorhandensein des I>, v, f, q, und das Fehlen von , ℱ im Lateinische» erklĂ€rbar 31 . Wie dem auch sei, so viel ist als Thatsache gewiß, daß das Semitisch-Griechische Alphabet aus seilten, ÜbergĂ€nge nach Italien die numerische Bedeutung seiner Buchstaben verloren hat. Es findet sich bei den Römern keine Spur von der Semitisch-Griechischen Zahlcnbczcichnung vor, wogegen sie sich eines eigenthĂŒmlichen, wahrscheinlich in Italien ursprĂŒnglich heimischen, aber in vieleu StĂŒcken iinvollkouiinciicn Spsteuls bcdicncn, eines Svstcms, das trotz seiner ungeheuren Mangel uttb seiner ekelhaften Weitschweifigkeit tind Unbequemlichkeit, zumal wen» es gilt grĂ¶ĂŸere Zahlen zu bezeichne», sich doch bis auf den heutigen Tag ztl gewissen Zwecken in ganz Eiiropa erhalten hat. Es kommt von allen bekannten Zahlensysteme» der Methvdc der ganz rohen additiven Nebeneinanderstellung am nĂ€chste», und ist dem von Hcrodian ĂŒberlieferten altgricchischcn Systeme nahe verwandt, wenn gleich in inanchcn StĂŒcken noch unvollkommener. Mit ursprĂŒnglich vier, spĂ€ter sieben Zeichen, iudcm man in das dekadische System zur Vermeidung neunmaliger Wiederholung desselben Zeichens das pcntadische einschob, setzt es alle Zahlen durch Addition und Subtraction zusammen. ES ist unnöthig, daß ich mich in eine wcitlĂ€uftigc Erörterung dieses uns Allen bekannten und gelĂ€ufigen Systems einlasse. Ich will statt dessen versnchcn eine ErklĂ€rung der Zeichen zu geben, in denen dieses Svstcm sich darstclll, oder vielmehr eine schon oft berĂŒhrte in voller Conscquenz durchfĂŒhre». Die Zeichen 0 fĂŒr hundert, cciitm», lind M fĂŒr tausend, inille, haben oft zu der Vermuthung veranlaßt, als ob die Zeichen dicscv Systems, deren jedes in dem gewöhnlichen Schriftzugc einem Buchstabe» des Römischen Alphabets entspricht, bedeutsame AnsaugS- Ă€t w, 12 ist vielleicht i» b erhalte», wenn dieses nicht gleich dem Griechj- sche» t P eine Modifikation des ,,, 2 ist, welches ja auch im Semitischen beide Aussprache» zulĂ€ĂŸt. Auf Feinen Fall aber verdankt das V' dem cp feinen Ursprung; ttmi da»» wĂŒrde» die Römer nicht letzteres so konsequent durch pl> ĂŒbertrage». l5'cr ist t> »ebc» V ei» Überbleibsel des Scmiiischc» VAv, y wofĂŒr feine Siel- lunil im Alphabete zu spreche» scheiut. buchstabcn wĂ€ren, uub cS sind manche wunderbare Hvpothcscu ĂŒber die Bedeutung derjenigen Buchstaben, welche sich nicht so unmittelbar wie die beide» angefĂŒhrten mit dem entsprechenden Zahlworte in Verbindung setzen, ersonnen worden. So sollten z. B. die Zeichen V — 5 und X — 10 daher ihren Ursprung haben, weil V oder II der fĂŒnfte Vocal des Lateinischen und X oder E der zehnte Con- sonant des Griechische» Alphabets ist; oder auch X folgt in der Reihe der Zahlen nach V, weil es auch in der Reihe der Buchstaben diesem folgt. D — 500 sollte der Anfangsbuchstabe von Ii- „lidium sein, um anzuzeigen, daß die Zahl I die HĂ€lfte der Zahl M fei, da doch diese Ableitung vernĂŒnftiger Weise bloß sagen könnte, daß 500 die HĂ€lfte von irgend etwas sei, also danach das Zeichen I fĂŒr jede beliebige Zahl ebenso gut wie fĂŒr 500 passen wĂŒrde; oder I soll auch deshalb gewĂ€hlt worden sein, weil es auf C folgt. L, 50 sollte seinen Ursprung daher leiten, daß X im Griechischen Zahlensystem 50 bedeutet, und daß dieser Buchstabe in einigen aus dem Griechischen ins Lateinische herĂŒbcrgcnonimcncn Worten ? in der letzter» Sprache in L ĂŒbergeht, z. B. ΜύΌφη, limfa. Ja selbst dem einfachen Striche I der Einheit hat man diese Einfachheit nicht gegönnt; er mußte das i des seines Anfangsbuchstaben beraubten Griechischen Worts ÎŒÎŻÎ±, uiia, fei». Uiia per i scribitur antiquo more Attioormn, qui solebaiil, principalcin noniinis nuincri litternm ponore, ct si^nificare numcruin; cr^o m pro ÎŒÎŻÎ± clicentes i scribcbant 32 . Ich wĂŒrde vorschlagen, das Zeichen I lieber aus dem Arabischen abzuleiten, wo eins heißt, in welchem Worte doch wenigstens der erste Buchstabe Ähnlichkeit mit I hat. Ich glaube, es geht dem Leser an dieser Stelle, wie oben bei dem Er- ccrpte, welches ich auö der Ilistvire ile Pesprit liunmin par Sa- v^rien mittheilte; titsl» schlĂ€gt zuletzt der Sicherheit wegen Man- nert's Geographie auf, tun nachzuschcit, in welchem Griechischen Staate vor Zeiten die Stadt Rom gelegen hat. Andere haben die Figuren von der Gestalt der Fittger und HĂ€nde herleiten wollen. Aber wir wollen alle diese KĂŒnsteleien verlassen. Die einfache und naturgemĂ€ĂŸe ErklĂ€rung hat meines Wissens zuerst Ramus 33 , und 32 I’risciiinus dc ponderibus ct incusuris am Anfange. Ucrgl. Hup.» de prima scribendi origine cd. frotr. Trajecti 1738 p. 301. 33 Scholae mathemat. p. 117, etwas vollstĂ€ndiger Vossius berĂŒhrt; Namus macht sich die Bedeutung und Eutstehuug des Zeichens M nicht klar, leitet aber das 11 richtig aus 51 ab; Vossius dagegen verlĂ€ĂŸt schon bei l> das System, und vermengt das pcntadische Zeichen als ein ursprĂŒngliches mit dem dekadischen. Raums ist, >vic in andern StĂŒcken, so auch hierin, unbeachtet geblieben; Vossius ErklĂ€rung ist dagegen bald mit mehr, bald mit weniger Conscgucnz in spĂ€tere Werke ĂŒbergegangen". Die Sache stellt sich ganz einfach so heraus. Man legte das reu, dekadische System zuni Grunde, und bezeichnete eins mit einem Striche, i, zehn mit zweien im Kreuz, X, hundert mit dreien, so 6, denen man fĂŒr die folgende Potenz von zehn, fĂŒr tausend, noch in der Mitte einen parallelen Strich hinzufĂŒgte, und dann das Zeichen, vielleicht spĂ€ter, halb umwandte, M. Die Zeichen fĂŒr eins lind zehn haben sich in ihrer llrsprĂŒnglichcn Gestalt erhalten, weil sie einfach und leicht zn schreiben sind, wogegen man die beiden ander» der Bequemlichkeit wegen, vielleicht erst allmĂ€hlig, abrundete, so daß aus ÂŁ das Zeichen 6 und aus m theils die runderen Formen CD, CD , 6l0, entstanden, theils durch Verwechselung, nachdem das Bewußtsein der Entftchung der Zeichen verloren gegangen war, der Ă€ußern Ähnlichkeit wegen fĂŒr dasselbe der Buchstabe ,», 51 sub- stituirt ward. Da man aber spĂ€terhin bei hĂ€ufiger werdendem Gebrauche der Zahlzeichen die Rechnung mit vier Zeichen unbcguem fand, so kam man auf den Gedanken, in der Mitte zwischen je zwei dieser dekadischen Zeichen ein pcntadischcs cinzuschicbcn, und um die Gelttnig eines jeden derselben auch schon durch die Form anzndculen, nahm man von den Zeichen X, L, N1 oder 610 die HĂ€lften, so daß V ober bei den Tuskcrn A fĂŒnf, d. h. halb X, L fĂŒnfzig oder halb ÂŁ und 10 fĂŒnfhundert oder halb 610 bedeutete. Diese letzten Zeichen sind dann mit den Ă€hnlichen Buchstaben V, L, 1> aus Unkundc verwechselt worden, und das gewiß schon frĂŒhe/da, wie wir gesehen haben, zu Priscian's Zeit das Bewußtsein derselben schon aus dem Volke, selbst aus den Köpfen der Gelehrten verschwunden war. Demnach ist die Römische Zahlenreihe eine doppelte, dekadisch I X q 6 610 dazwischen pentadisch V L 10 34 lc universae mathes. natura ct constit. Anist. 1650. Cim. ' > 11 . H. /,. ' 3a 5 V. Dechalcs Cursus T. 1. I'. 28. i0 Diese Deutung ist so ungeheuer einfach uttb ungezwungen und mit einer solchen Consegncnz in sich abgeschlossen, daß man kaum begreift, wie irgend eine andere sich bat herausbilden können. Das aber ist eben das Schicksal des Einfachen, daß es gewöhnlich am spatesten gefunden wird. Der verbildete, vom Wege der Natur abgeirrte Geist hat kein Wohlgefallen ait dem, waS sich als natĂŒrlich lind einfach von selbst darbietet; er will den Gegenstand seines Wohlgefallens durch spitzfindiges GrĂŒbeln sich erkaufen, und je ferner derselbe liegt, je mĂŒhsamer der Weg dahin ist, desto willkommener ist ibm das Resultat. — SpĂ€terhin bildete man den Zeichen CIO und 13 analog die Formen 60133, 6661333 u. s. w. fĂŒr 10000, 100000, und deren HĂ€lften 133, 1333 u. s. w. fĂŒr 5000, 50000. Doch sind diese Zeichen wenig in den Gebrauch gekommen. Man bildete die höher» Potenzen von zehn, gleichwie die ĂŒbrigen Vielfachen von tausend lieber durch multiplicative Cocfsicicntcn, die man dem Zeiche» 613 oder AI vorsetzte, so das? V3I 5000, XM tOOOO, LM 50000, 631 100000 bedeutete, wobei freilich immer die Zweideutigkeit obwaltete, daß das vor 31 stehende Zeichen auch vielleicht subtractiven Werth haben konnte. 3131 aber und 313131 u. s. w. bedeuten immer 2000, 3000, so daß also die Wiederholung desselben Zeichens seine ursprĂŒngliche additive Bedeutung bcibchĂ€lt. Mehre Beispiele dieser multiplicative» Methode sindcn wir bei Plinius, der z. B. fĂŒr 63000, 92000, 110000 schreibt 36 . Wenn die Stellen der Hunderte und Einer allch aus- gefĂŒllt sind, so wird bei den Römern, Ă€hnlich wie bei Diophant, das Zeichen 31 auch wohl ausgelassen, und ein Punct zwischen den Tausenden und den folgenden niedrigeren Zahlen vertritt seine Stelle. So lesen wir bei Plinius 166. XX VII fĂŒr 700027 3T , dagegen habe ich das Beispiel, welches Heilbronner aus demselben Capitel citirt, und in »vclchcm durch einen doppelten Proceß der Art die Zahl 1620829 durch ausgedrĂŒckt sein ferst, nicht finden können 33 . Auch wird der tausendfache Werth einer Zahl 36 I’linius liist. nat. YI, 26. XXXIII, 3. IV, praef. 37 il>. XXXIII, 3. In dem Tczic der Ausgabe Sigisinmuli Feycriilieiiii. Franeof. aositi fĂŒr alle Zahle», die weder %iu »och articuli oder limitcs fiiib 42 , ‱40 De numerorum, quos Arabicos vocant, vera origine Pythagorica. Noriinb. 1801. 8. 41 tycschichtt dcr 'jceincirir, iibcrs. v. Sohncke. S. 526 — 540. 42 Enlsetzlich »liliverstaildtN ist ticfc Clclle vo» Huct Dcmnnstr. evang. prop. IV. p. 295. Aliam quoque per manus et digitos et digitorum !! articulos numerandi rationem a Graecis acceptam Romani usurparunt. !3 erklĂ€rt hat, fĂ€hrt er so fort 4,1 „l'itagoriei vero, ne in mulli- plicalionibus ct participationibus cl in podismis aliizuando fallerentur, ut in onmilms erunt ingeniosissimi cl subtilissimi, descripserunt sibi quandam formulam, quam ob honorem sui praecepi oris, mensam l*itngoream nominabant, quia hoc, quod depinxerant, magistro praemonstrante cognoverant. A posterioribus appellabatur abacus, ut, quod alta mente conceperant, melius, si quasi videndo ostenderent, in notitiam omnium transfundere possent, camquc subterius habita sat mira descriptione formabant.” Es folgt feie Figur des Abacus. „Nuperius vero digestae descriptionis formula hoc modo utebantur. Habebant enim diverse formatos apices vel caracteres. Quidam enim hujuscemodi apicum notas sibi conscripserant, ut haec notula responderet unitati, 1. Jsta autem binario, 2. Tertia vero tribus, 3. Quarta vero quaternario, 4. Haec autem quinque asscriberetur, 5. Jsta autem senario, 6. Septima autem septenario conveniret, 7. Haec vero ocio, 8. Jsta autem novenario jungeretur, Ü 44 . Quidam vero in Imjus formae descriptione literas alfubeti sibi assumebant hoc pacto, ut litem, quae esset prima, unitati, secunda binario, tertia ternario, caeteraeque in ordine naturali numero responderent naturali. Alii autem in hujusmodi opus apices naturali numero insignitos et inscriptos tantummodo sortiti sunt. Hos enim apices ita varie ceu pulverem dispergere in multiplicando et in dividendo consuerunt, ut si sub unitate naturalis numeri ordinem jam dictos caracteres adjungendo locarent, non alii quam digiti nascerentur.” Hier bricht Maniicrt ab; ich gebe die Fortsetzung nach Chaslcs S. 534 der dclitschcn Übersetzung „Wenn man die erste Zahl, d. h. zwei denn die Einheit ist, wie in der Arithmetik gesagt wurde, nicht selbst eine Zahl, sondern der Ursprung und das Fundament der Zahlen, wenn man also zwei unter die Linie, die mit der Zehn bezeichnet war, stellte, so kam man darin ĂŒbcrcin, daß sie zwanzig bedeutete; die Drei dreißig, die Vier vierzig; und den andern folgenden Zahlen gab man die Bedeutung, welche aus ihrer eigenthĂŒmlichen Benennung folgte. — Wenn man dieselben apices 43 Mumiert I. I. p. 8 — 10. bbasles S. 530—537. 4 '* Ich habe hier unsere Ziffern gebraucht; die Zeiche», die sich bei Voetlnus ffnden, werde ich „nie» in il'rer wabreii Gestalt gebe». unter die Linie, welche mit Hundert bezeichnet war, stellte, so setzte man fest, das; 2 zweihundert bedeutete, 3 drcihtmdcrt, 4 vierhundert, und daß die andern den andern Benennungen entsprĂ€chen. Und so weiter fort in dcit folgenden Columncn. Dieses System war keinem Irrthnnt unterworfen **." ZunĂ€chst einiges zur Literatur dieser Stelle. In den gedrtlckten Ausgaben von Bocthins Geometrie ist die Stelle dadurch entstellt, daß anstatt der von Boethins beschriebenen Tabelle sich die gewöhnliche Mnltiplirationstafel befindet, welche auf AnctoritĂ€t dieser Stelle sehr mit Unrecht den Namen des Abacus Pythagoricus erhalten hat. Die wahre Darstellung der von Boethitts beschriebenen Tafel ist aus zwei, wie es scheint, aus dem elften Jahrhundert herrĂŒhrenden Mannscripten entnommen, deren eines auf der Bibliothek zu Altdorf 4li , das andere zu Chartrcs 47 befindlich ist. Die erste Andeutung auf ein richtiges VerstĂ€ndniß dieser Stelle scheint sich in Theodor Tzwivel's Arithmetice opuscula iluo. 4. unter der Dedikation Monasterii, am Ende des Buchs 1507 ;u finden; es heißt darin charactcrcs sive nuinerorum apices a divo Severino Hoethio mmeupuntur. Und auf dem Titel steht Jo utilitate liujus lifjclli Tetrastichou ioannis Murmellii Iturc- limmlcnsis. Si quis aritlimetices optat cognosccrc praxin, Pythagove numeros discerc si quis mimt, Scire lnatlieniaticen si vult. Si ilenique quiequam Dc sophia, Iiunc modicutn comparct crc lihnim 48 . Deutlicher und bestimmter hat die vorliegende auf unser Ziffer- 45 Desselben Inhalts ist eine Stelle am Ende des zweite» Buchs dieser Geometrie, welche bei Ehaslcs S. 537 so lautet „Bei der Bildung des obige» Tablcau's bediente» sie die Alten sich Eharactere von verschiedener Art und verschiedener Form. Wir aber bediene» uns in jedem Werte dieser Gattung nicht anderer, als derer, welche wir bei der Eonstruction des Abacus bezeichnet haben. Wir haben die erste Linie dieses Tablcau's den Einern zuerthcilt, die zweite den Zehnern, die dritte den Hunderten, die vierte den Tausende» und endlich die anderen Linien den limites der andern Zahle». Wenn man agieo» in die erste Linie setzt, so werden sie Einer darstellen, in der zweiten Zehner, in der dritten Hunderte, in der vierten Tausende u. s. w. f. in den andern." 46 5Iunnert I. I. p. 6. 47 Ehaslcs S. 531. . 48 Ich habe das Buch nicht gesehen, sondern theile diese Data aus KĂ€siner'S Gesch. d. Mathen,. Th. 1. s; infimo tantum semicirculo, qui sinistrorsum patebat, dextrorsum converso. ’ Exifri.iov 3av y quod ita notabatur, T, rotundato ventre, pede detracto, peperit to 6. Ex Z basi sua multato, ortum est ro 7. Si II inflexis introrsum apicibus in rotundiorem et commodiorem formam mutaveris, exurget to 8. At 9 ipsissimum est ÂŁr. Zero, punctum primo videtur fuisse, ad dccuplicem praecedentis notae valorem designandum apponi solitum quod ut magis appareret, insigniusque fieret et crassius, circumducto in circulum calamo spatium inane, properantia primum, deinde consuetudine relictum est. Hinc Arabes et Persae notam lianc, non circuli tantum figura, sed puncto etiam crassiore exprimunt; quam et appellant; unde vocabulum Cifra, quod vulgus ab Ebraica radice "1DO derivat. Ad Lanc notarum similitudinem si advertetur animus, dubium omne tolletur. Sententiam nostram unice confirmat, quod scripsit eruditissimus Vossius in Melum, sc notas illas vulgares deprehendisse in Codice manuscripto Geometricorum Boetii, et in Notis Senecae et Tyronis. Unde recte concludit, vetustiores esse ac vulgo creditur. Ergo Arabicae non sunt nisi quis putet Senecae et Boetii temporibus Arabicas literas Romae fuisse usitatas. At nos non bac solum aetate vetustiores esse dicimus vulgares numerandi notas, sed plane ipsa esse elementa Graecorum quae Senecae et Boetii aetate ita jam a nativa forma degeneraverant frequenti calculorum Pythagoricorum usu, ut nec a Boetio agnita sint. Putavit enim conficta fuisse a Pythagoricis, quae ab iis fuerant corrupta. Subjicit deinde literas quoque Alphabeti ab iisdem fuisse in numerando ascitas. uod de literis Romanis dici non potuit, quippe quae ad operationes arithmeticas ineptae sint. Ergo Pythagorici literas easdem, vel integras nativa forma calculis suis adhibebant, vel adulteratas et corruptas. Neque notas solum, sed et decuplum progressionem numerorum Arabes a Graecis mutuat i sunt i>7 sunt. Non enim putandum est peculiare quippiam inessc progressioni liuic, quamobrem alia .ascisci non potuerit; vel ita pervulgatam fuisse, ut nullam aliam usurpare potuerint. Duodecupla progressio longe utilior est decupla; nam plures recipit partitiones duodenarius numerus, quam denarius. Cum ipsa ergo numerandi scientia, aliisque doctrinis, arithmeticus quoque notas a Graecis acceperant Arabes, et ut Graecanicae scripturae insueti erant, deformarunt quas cum ita vitiatas sparsissent per orbem, earum auctores a plerisque habiti sunt, qui corruptores erant. Quidam acceptas retulerunt Indis, qui eas perinde ut occidentis incolae ab Arabibus habuerunt. In ea sunt opinione ipsi quoque Arabes; ultro agnoscentes sibi non deberi notarum illarum inventione, sed falsi in vera carum assignanda origine .... Et mirum sane est notarum illarum inventionem tribui Arabibus, quam exoticam esse Arabes ipsi fatentur. Viderunt quidem suas non esse; at cujates essent, pervidere non potuerunt, Indicasque putarunt esse, quae Graecae erant. Descriptionem Abaci Pythagorici ex veteri codice Geometricorum lioetii misit ad me doctissimus Gracvius, elegandorum Musarum pater; cujus- modi codice usum se ait Yossius in Melam. Multum vero ab editione typis impressa discrepat ista descriptio non solum quoad formam notarum arithmeticarum, quae nostrarum vulgarium persimiles sunt, sed etiam quoad collocationem illarum atque situm nam a dextra progrediuntur ad sinistram; cmn e contrario in libro typis descripto a sinistra procedant ad dextram. Nec id factum putes, quod literae Arabicae sint, et Arabico more collocatae; sed quod minoris valoris numeri collocari soleant ad dextram, majoris ad sinistram. Itaque vulgarem numerorum collocandorum morem retinuit librarius ille; cum libri Boetii editi vulgarem nostram scribendi rationem secuti sint. Praeterea iu codice illo manu scripto ad notas arithmeticas apposita sunt vocabula quaedam» quorum nonnulla originem Ebraicam praeferunt puta quaternarius appellatur Arbas , quod est yDItf quinarius Quimus, i, INdd, der andere. Solche VerstĂŒmmelungen aber, zusammengehalten mit den abweichenden Lcscartcii, dĂŒrfe» uns nie befremden, wem, sie unverstĂ€ndliche Worte betreffe». Wie sind nicht manche aus dem Arabischen hergenommene astronomische Bcncu- »nngen entstellt worden! Aus senil-al-rAs Sc- genb des Kopfes oder Scheitels, ist zcnitli geworden, indem unter Andern schon Mazimus Planudes ausspricht, wenn er sagt T^-saai ΎΔ j-t ΧηΌα, Îż ÎșαλοΰÎč Ο'φαΜ, war’ ^Î™ÎœÎŽÎżÏ Î·ÎŒÎ±ÎŻÎœÎżÎœ ÎżÎœÎŽÎŻÎœ. xal ÎŹ ÎŻÎœÎœÎ”Î± ΎΔ χηΌαϊα xal ĂŒtTjra 1 Î™ÎœÎŽÎŻÏ‡ÎŹ Î”â€™ÎŻÎœ. Îč] ÎŽ\ ÏŠÎ¶ÎŻÏ†Î±, ÎłÎ¶ÎżÎŻÏ†Î”ÎŻÎ±Îč ÎżÏ…?α Îż. Wallis , I. ρ. 48. . II. ρ. 10. Mit Unrecht sagt v. Bohlen das alte Indien 2. Th. S. 222 „Maximus wlanttdes begeht einen doppelten Irrthum, daß nur die Null i -Ο'φα geheißen und diese ou ^ ß\ jA LiU -ÎŽ II. f. w. ÎčΛ— ow ^ 1=* d. h. „Wenn an irgend einer Stelle keine Zahl vorhanden ist, so schreibt man der Deutlichkeit wegen an der Stelle das Finalzeichen deö Buchstaben Ha, nĂ€mlich , welches das Zeichen Sifr, in dem Einne von Etwas Leerem, ist." Weiter unten sagt der Verfasser „GegenwĂ€rtig ist die BerĂ€nderung eingetreten, daß das Finalzei- ehen Ha die FĂŒnf bedeutet, und fĂŒr das Zeichen Sifr ein ^itnct geblieben ist." Die Englische Sprache hat das Wort ciplier in dieser ursprĂŒnglichen Bedeutung aufbewahrt; in allen ĂŒbrigen EuropĂ€ischen Sprachen bedeutet gegenwĂ€rtig Ziffer, ciplira, so viel als Zahlzeichen im Allgemeinen. Dagegen finden wir im spĂ€teren Latinismus und in mehrern Romanischen Sprachen fĂŒr die Null den Ausdruck /.er, der wahrscheinlich auch Arabischen Ursprungs ist; salirĂŒ, heißt das Feld, auch die WĂŒste, daher der Plural! sululrĂŒ, zur Bezeichnung der großen Afrieanischen WĂŒste; demnach wĂŒrde suliiĂŒ sifr, das leere Feld, die leete Stelle bedeuten, woraus leicht, mit Übergehung des charakteristische» Adjectivs sifr das Lateinische zno entstanden sein kann. man ni statt m las, und den folgenden Genitiv ganz wegwarf. Das Sternbild des Adlers heißt im Arabischen nnsr at-kĂŒii-, der fliegende Adler; dafĂŒr finde» wir die Namen Atliuir, Altuir, Athuis, Alcar u. f. w. Mit den drei ĂŒbrigen Zahlwortcn, ormls foii»iu8, calvtis f alt is, ealois und celentis weiß ich nichts anzufangen; wo indeß sieben Namen ihre Deutung finden, da werden auch wohl die drei ĂŒbrigen ihren Ursprung haben. Aber gesetzt auch, kĂŒnftige Forschungen stellten die Echtheit der Stelle bei Bocthins und die Bekanntschaft der Pythagoraer mit dem Indisch-Arabischen Ziffcrnsystcm außer Zweifel, so wĂŒrde doch dieses Resultat fĂŒr die Geschichte der Wissenschaft erst bei der Untersuchung ĂŒber die Verbreitung dieses Systems in Europa zur Zeit des sogenannten Mittelalters Interesse gewinnen. Auf die Fortbildung der Griechen hat diese problematische Kenntniß keinen Einfluß gehabt, und fĂŒr die Griechischen Mathematiker, mit denen wir hier zu thun haben, ist sie nicht da gewesen. Und daß selbst BoethiuS, wenn die obige Stelle von ihm herrĂŒhrt, weiter nichts thut, als daß er etwas ihm selbst nicht weniger als GelĂ€ufiges, vielleicht etwas eben erst Gelerntes wiedererzĂ€hlt, geht aus seinen Worten gar zu deutlich hervor. Was er ĂŒber den praktischen Nutzen und den Gebrauch des von ihm beschriebenen Systems sage» will, zeigt klar, daß er diesen Nutzen und den Gebrauch des Systems gar nicht verstanden und gekannt hat. Darum breche ich hier diesen Gegenstand ab, um erst bei spateren Untersuchungen wieder darauf zurĂŒckzukommen. Mau wird mir es um so weniger verargen, daß ich die grĂŒndliche Erörterung dieser Stelle auf eine kĂŒnftige Gelegenheit hinausschiebe, als ich, wie schon erwĂ€hnt, das Werk von Bocthius selbst noch gar nicht gesehen habe. Ich gehe von diesem problematischen Sujet auf ein reelleres, die praktische Rechenkunst der Griechen ĂŒber. Viertes Kapitel. Die Logistik der Grieche». Gin Zahlensystem ist an und fĂŒr sich todt, wenn es nicht auf einen praktischen Gebrauch bezogen wird, und gerade das praktische BedĂŒrfniß des geselligen Lebens hat die Menschen auf die eonventio- „ellc Fcststcllrmg gewisser Systeme von Zahlzeichen hingefĂŒhrt. Dieses BedĂŒrfniß war aber zwiefacher Natur. Man wollte'entweder bloß eine Zahl aufnotiren, um so dem GedĂ€chtnisse zu Hilfe zu kommen, zu diesem Zwecke war, so lange er Privatangelegcnheit blieb, jedes beliebige und willkĂŒhrlichc System von Zeiche» ausreichend, und selbst fĂŒr den öffentlichen Gebrauch bedurfte es nur eines, zwar allgemein anerkannten, aber keincsweges auf große Bequemlichkeit berechneten Systems, wie denn wir uns noch gewöhnlich bei Inschriften llnd selbst auf BĂŒchcrtitcln des sehr unbequemen Römischen Zahlensystems bedienen, weil die ZĂŒge desselben vernehmlicher in die Augen fallen, als die modernen Ziffern. Die Ă€ltesten Römer schlugen Nagel in den Jupitertempel, tun die verflossenen Jahre anzudeuten; ebenso die Volsinicr in den Tempel der Nortia Lex vetusta cst, priscis literis verbisque scripta, ut, qui praetor maximus sit, Idibus Septembribus clavum pangat. Fixus foder fixa, sc. lex fuit dextro lateri aedis Jovis optimi maximi, ex qua parte Minervae templum est. Eum clavum, quia rarae per ea tempora literac erant, notam numeri annorum fuisse ferunt; coque Minervae templo dicatam legem, quia numerus Minervae inventum sit. Volsiniis quoque clavos, indices numeri annorum, fixos in templo Nortiae, Etruscae l>eac, comparere, diligens talium monumentorum auctor Cincius affirmat. M. Horatius consul ex lege templum Jovis optimi maximi dedicavit mino post reges exactos a consulibus postea ad dictatores, qnia majus imperium erat, solcmno clavi figendi translatum est. Intermisso deinde more, digna etiam per se visa res. 106 proptcr quam dictator crearctur ' — Das zweite BedĂŒrfniß, welches die Entstehung von Zahlensystemen verursachen mußte, war die Nothwendigkeit, Rechnungen auszufĂŒhren, welche das Leben und spĂ€terhin die Wissenschaft mit sich fĂŒhrte. Zu diesem Zwecke ist der Gebrauch schriftlicher Zahlzeichen gewiß erst spĂ€ter entstanden, und Geschichte und Sprache weisen darauf hin, daß man in Ă€lteren Zeiten sich zunĂ€chst der Finger daher das durchgĂ€ngig conscqucutc Erscheinen des Dccimalsystcms und dessen Abarten, des pentadischen und Vigesiinalsystems, daher die Begriffe von Hand und Fuß zur Bezeichnung der Zahlen in Amerikanischen Sprache», daher das Griechische xspxtxfriv, Dinge, ĂŒber die ich oben wcitlĂ€uftigcr gesprochen habe, dann aber kleiner Strinchcn, KĂŒgelchcn oder Fruchtkörner und dergleichen zur Vcranschaulichung und Erleichterung der Rechnung bediente. Die Griechische Sprache bildet von dem Worte ^cpog, Stcinchen, Muschel, das Verbum ipriyifrtv, rechnen, das Nomen tf>i]cpo9ogta, Rcchcnkunst u. a. nebe» Xoyiica^ai, die Lateinische von calvulus, Steinchcu, ihr calcularc, rechnen, culcu- Ium ponerc, calculum subduccre, z Us a NINie» rechnen U. s. lv. Hcrodot erzĂ€hlt, daß die Ägypter mit Stcinchen rs>siÎżÎœÏŠ rijv , Î‘Î™ÎłÏÏ‡ÎŻÎŠ .ÎżÎč Ö6 απ ÎŻ αΜ öt\iav ini rd α>Îčn»8 etiam abacus dicebatur oliav. Quant voccni putat Lueus de Ilurg» corrupte dici pro Arabien, quod ab Arabibus et rein et nnmen babueri- rimus.” Wullis T. II. p. 11. 108 ward er dagegen bei den Römern, die bei ihrer unbchilflichcn Zah- lcnschrift einer solchen sinnlichen UnterstĂŒtzung weit mehr bedurften; der Gebrauch desselben reicht bei ihnen bis tief in die Zeiten des Mittclalters hinein und wurde wohl erst durch die allgemeinere EinfĂŒhrung der Indisch-Arabischen Ziffern verdrĂ€ngt. Inwiefern eine graphische Übertragung der auf diesem Rechcnbrctte gewonnenen Resultate auf das Papier zu einer Erschcintmg, wie die besprochene Tafel bei Bocthius, und ju der Erfindung der Ziffern mit Stellcn- werth fĂŒhren konnte, ist eine Untersuchung, die ich mir fĂŒr eine andere Stelle dieses Werkes vorbehalte. Die Griechen, welche von den Phöniziern zugleich mit dem Alphabete ein zwar nicht sehr conscqucntcs, aber doch nicht unbequemes Zahlensystem erhielten, scheinen, wie gesagt, schon frĂŒhe von der sinnlichen Rechenkunst mit den 5» der graphischen ĂŒbergegangen zu sein; es ist uns aber von ihrer praktischen Rechenkunst und den zllr Erleichterung ihrer Rechnungen angewandten Kunstgriffen im Ganzen wenig aufbehalten worden, und gerade in dieser Hinsicht ist der Verlust der beiden ersten BĂŒcher der mathematischen Sammlung von Pappus zu bedauern, da dieselben diesem GegenstĂ€nde gewidmet gewesen zu sein scheinen, wie alls dem von Wallis aufgefundenen und bekannt gemachten Fragmente erhellt. Das Ă€lteste bis auf unsere Zeiten gekommene Griechische Werk, welches auf Zahlcnrechnun- gcn basirt ist, ist die KuxAou ^itTQrjon, von Archimcdcs. Leider aber begnĂŒgt der Verfasser sich ĂŒberall damit, von dem AnsĂ€tze der Rechnung einen Sprung auf das Resultat zu machen, so daß wir aus seiner Schrift von der Art der AusfĂŒhrung keine Anschauung erlange». Diese AusfĂŒhrungen aber sind uns in dem noch in mancher andern Beziehung interessanten Commcntar des Eutokius von Askalo» ĂŒber das genannte Werk, wenigstens zum Theil, erhalten worden; er giebt uns Beispiele von Addition, Subtrartion und Multi- plication in ganzen und gebrochenen Zahlen, aber keine Division und keine Wurzelauszichung, obgleich gerade auf der letztgenannte» Operation Archimcd's Rechnung hailptsĂ€chlich beruht, indem er, die wirklichen Quadrate nicht mitgezĂ€hlt, der Reihe nach die Quadratwurzeln aus folgenden Zahlen 349450, 1373943-f, 5472132^, 9082321, 3380929, 1018405, 4069284^ hat ausziehe» mĂŒssen. Archimcdcs setzt die Wurzeln der genannten siebe» Zahlen in derselben Reihenfolge 594, 1172z, 2339z, 3013z, 1838-^, 100'4 10 ! 2017^ ebne weitere Rechnung; er verfĂ€hrt z. B. bei der erstgenannten Wurzel so ^ EH οο ΗΓ ÎčÎŻ'ÎŹÎŒÎ”Îč ÎŒÎ”ÎŻÎŸÎżÎœÎ± Î»ÎłÎżÎœ ΐ' /ji , η ÎżÎč> /jß——. ß - , \ t\ —— t . - M^uv ρα JVlyu?', ÎŒÎč\χΔÎč gsit ΌΔÎč^ÎżÏŠ a η ÎżÎœ φΛ η ÏÎż Qvy d. h. „EH zu ΗΓ hat im Quadrat sd. i. eh* irr 2 ein grĂ¶ĂŸeres VerhĂ€ltniß, als 340450 zu 23400, j„ der LĂ€nge also d. i. ΕΗ nr ein grĂ¶ĂŸeres als 50, r zu 153." Auffallend ist es an diesem Beispiele, daß 504 nicht die nĂ€chsikleiiiere Wurzel ist, welche sich durch einen so kleinen Bruch ausdrĂŒcke» lĂ€ĂŸt; 5014 ist bedeutend nĂ€her und auch noch kleiner als der wahre Werth, was hier erfordert wird; es ist nĂ€mlick 504 2 = 340428H, dagegen 50I4 2 = 34944Ö&. Ebenso ist fĂŒr die zweite Zahl 11724 nĂ€her als die angenommene Wurzel 1172j. Die dritte Wurzel ist ziemlich nahe, wenigstens lĂ€ĂŸt sich mit einem kleinen Bruche keine nĂ€here angebe». Von der vierten Zahl an werden die Wurzeln, dem Gange des RĂ€sounemenis zufolge, zu groß verlangt; aber gleich die vierte, 3013ÂŁ ist bedeutend zu groß, indem hier ÂŁ fĂŒr den Decimalbruch 0,6880 substituirt ist, da doch erst 0,75 - f ist; und das Quadrat von 3013^ ist um 3684 grĂ¶ĂŸer als die Zahl, deren Wurzel eS vorstellen soll. Die folgende Wurzel 1838-4 ist wieder bedeutend }» groß; es bietet sich uuS hier die merkwĂŒrdige Erscheinung dar, daß die Methode der KettenbrĂŒche der Reihe nach folgende Werthe giebt 1 , 4 it. s. w.; nun ist 4 zunĂ€chst zu klein; eS hat also fast den Anschein, als sei deshalb von Archimedes T 5 T gewĂ€hlt worden. Die sechste und siebente Wurzel sind ziemlich nahe. Es ivĂ€re interessant, wenn Eutokius uns einige AufklĂ€rung gegeben hĂ€tte ĂŒber die Methode der Alte», die irralioiialen Wurzel» »Àheruugsweise zu siudeu; das thut er aber nicht, sondern er begnĂŒgt sich zu sagen die Wurzel von 340450 ist nahe 504, denn das Quadrat von 504 ist ungefĂ€hr um 21 -s- ÂŁ + T \ kleiner als das wirkliche, — ÎżÏÎœ Ï€Î»Î”ÎœÎżÎŹ Î”ÏÎ±ÎłÎœÎčÎșÎź φ /j η έγγÎčα Δλ?,ΔÎčπΔÎč yotQ Îż Ï€Îż ÎżÏ… Îčρ Ιγ α Îč{ Î”ÏÎŹÎłÎœÎż ΔÎč ÎŹ,χρÎčÎČ'ΔÎč; Μ° ÎșÎčχ, - 1 ÎčΔ έγγÎčα. Dann fĂŒgt er mit den Worten 0, öl ΐολλÎčχπλαÎș/.ÎŒÎżÎŻ ΜπÎșΔη'αÎč als Probe das Schema der Qua- draterhebuug der in Rede stehenden Wurzel hinzu, und nachdem er da j„ dem angefĂŒhrten Beispiel das Quadrat — 340428 ± ' 4 gefunden, sagt er Î”Î»Î»Î”ÎŻÏ€Î”Îč 4" TĂŒ ^ xg/3 bicftllt ©α gC Wird U11 s b ΐ- stĂ€ndlg aufgegeben, von einer gegebenen Zahl bie Quadratwurzel zu finden. Diese aber bei einer Zahl, die kein Quadrat ist, genau zu finden, ist unmöglich. Denn eine Zahl mit sich selbst multiplicirt giebt eine Quadratzahl; aber eine Zahl und ein Bruch in sich selbst multiplicirt geben keine ganze Zahl, sondern auch einen Bruch. Wie man aber eine Wurzel findet, deren Quadrat einer gegebenen Zahl sehr nahe gleich kommt, ist von Hcro in den ΜΔ?ρ/Îșοί, und von Pappus, Theo» und Andern, welche die ÎœÎ”ÎłÎŹÎ»Î· Ivvra^iq von Klaudius PtolemĂ€nS commentirt habe», gelehrt worden. Daher haben wir nicht nöthig Untersuchungen hierĂŒber anzustellen, da Freunde der Wissenschaft bei Jenen nachsehen können. Hier scheint also Eutokius offenbar zu sagen, daß er die Ansziehnng der Quadratwurzeln darum nicht mittheile, weil er sie aus den Werken von Hero, Pappus, Thron und Anderen als bekannt voraussetzen dĂŒrfe. Aber, fragen wir, warum fĂŒhrt er denn so sorgfĂ€ltig alle vorkommenden Multiplicationcn aus, die doch gewiß nicht weniger bekannt waren? Ich glaube, die angefĂŒhrte Stelle anders verstehen zu mĂŒssen. Eutokius sagt nur, er wolle das Princip, auf welchem, rein wissenschaftlich betrachtet, die Auszichung der Quadratwurzel beruhe, nicht auseinandersetzen, weil Andere vor ihm, die Jedermann nachlesen könne, das hinlĂ€nglich gethan haben. Er spricht aber hier nicht von der praktischen Anwendung dieses Princips. Allerdings war durch die von Thcou auseinandergesetzte Methode die Werke von Hero lind Pappus sind nicht mehr vorhanden, welche wir unten darstellen wollen, wissenschaftlich die Möglichkeit gegeben, die Operation von den in Scragesimaltheilcn ausgedrĂŒckten Zahlen auf Zahlen in dem Dccimalsvstcme zu ĂŒbertragen. Eine andere Frage ist aber die, ob diese Übertragung der Methode auf grĂ¶ĂŸere Zahlen im Decimalsvstem in der Praris sich auch als anwendbar bewĂ€hrte. Daß das aber nicht der Fall war, beweist Eutokius selbst durchweg, indem er immer das umgekehrte Verfahren wĂ€hlt, und wultiplicirt, anstatt durch eine auf das Princip gegrĂŒndete Operation die Wurzel analytisch herzuleiten. So besitzen wir, um ein Analogon anzufĂŒhren, feit beinahe drei Jahrhunderten Methoden, um auf di- rectent Wege die Wurzeln einer biqnadratische» Gleichung zu bestimmen; ich glaube aber nicht, daß sich schon irgend Jemand bei einer wirklich vorliegenden Gleichung der Methoden von Ferrari, Bombelli, Descarles n. s. w. bedient hat, so richtig dieselben auch in theoretischer Hinsicht sind; sondern Jeder wird die weniger wissenschaftlichen, aber unendlich leichter zum Ziele fĂŒhrende» NĂ€herungsmethoden in der Praxis anwenden. Eben so wenig bietet uns die ganze Griechische Literatur ein Beispiel von einer ausgefĂŒhrten Divisioit in gewöhnlichen Zahlen dar. Eutokius, der einzige Schriftsteller, der uns ĂŒberhaupt ausgefĂŒhrte Rechnungen in dem gewöhnlichen Griechischen Deeiinalsysieni aufbewahrt hat, hat in seinem Commentar keine Gelegenheit gefunden, eine Division zu verrichten. Thron in seinem Commentar ĂŒber PtolemĂ€us giebt uns auch von der Division Beispiele, aber gleichfalls im Sexagesimalsvstem; das von ihm gebrauchte Verfahren lĂ€ĂŸt sich allerdings auch auf das Dceimalsysiem ĂŒbertragen, wie De- lambre ° gezeigt hat, nur wird dann die Operation ebenfalls weit- lĂ€uftiger, als bei den PtolemĂ€ischen BrĂŒchen, wenn sie auch nicht so große Schwierigkeiten darbietet, wie die Wurzelausziehung. Bevor wir weiter gehen, mĂŒssen wir erst etwas ĂŒber die bei den Griechen ĂŒbliche Bezeichnung der BrĂŒche sagen. Die einfachsten BrĂŒche, deren ZĂ€hler die Einheit ist, und mit denen die Alten sich am liebsten beschĂ€ftigten, bezeichneten sie auf die Art, daß sie bloß den Zahlbuchstaben des Nenners hinschrieben und denselben oben mit einem Apex gleich dem Acutus bezeichneten; so bedeutet y 4 , & e r., 40' u. s. w. '". Nttr der erste aller BrĂŒche, 4, macht davon in der Regel eine Ausnahme und wurde durch ein eigenes Zeichen ^ f/, angedeutet, welches nicht, wie in manchen uncorreeten Druk- 8 Nist. so l'astron. ane. T. II. p. 26. Arithm. d. Kriech. S. 33. 10 Eine Ă€hnliche Bezeichnung habe ich noch in der rateinischen Ausgabe des Euklid von Zambcrlus Paris. 1516 gefunden, wo fol, 248 ad Eurl. XIV. 8 die BrĂŒche, deren ZĂ€hler die Einheit ist, durch eine» horizontalen Strich ĂŒber dem Nenner angedeutet werden T, T, T, T, T, TĂ€, iĂ€, Ă€s, 73, 55, i, iÀÀ fĂŒr i, z. u. s. w. Auch ßndcn sich daselbst eigene Zeiche» fĂŒr die angefĂŒhrte» BrĂŒche von bis deren erstes mit dem Griechische» Zeichen fĂŒr ÂŁ ĂŒbereinstimmt. Die ĂŒbrigen will ich nicht hiehcrsetzen. Andere Abbreviaturen fĂŒr BrĂŒche giebt Momfaucon l'alavoxr. p. 361 aus einem pariser Eodcx. Drucken geschieht, mit dem Buchstaben K zu verwechseln ist n . Da die Rechnung mit bicscn BrĂŒchen bedeutend leichter ist als mit solchen, deren ZĂ€hler die Einheit ĂŒberschreitet, so lösen die Griechen die letztere», wo es sich thun lĂ€ĂŸt, gern in mehre BrĂŒche der ersten Art auf. So schreibt Eutokius fĂŒr 41 lieber 4 eV» und 4 ^ fĂŒr T ff , 4 i fĂŒr 4 , ganz Ă€hnlich wie die wo möglich alle Zahlen durch Worte ausdrĂŒckenden Araber fĂŒr drei Achtel sagen ein Viertel und die HĂ€lfte cines Viertels Ja, Eutokius geht so weit, daß er den Bruch 4f sogar in drei andere, 4 - \ auflöst. Ein merkwĂŒrdiges Beispiel von einer nĂ€hcrungswcisc vollzogenen Zerlegung eines Bruchs in zwei kleinere mit dem ZĂ€hler 1, welches Eutokius Commcntar uns darbietet, will ich gleich an dieser Stelle mitnehmen; ich meine die oben schon berĂŒhrte Zerlegung des Bruchs 44 in die Summe von ÂŁ und ". Nun ist 4 — T l T = ^, also die Summe beider erst — demnach um s-KTj zu klein. Es fragt sich, auf welchem Wege Eutokius zu dieser einfachen Zerlegung gelangt ist. Vielleicht machte er folgende Bc- trachtnng; da in dem Bruche 4 der ZĂ€hler nahe ein Viertel des Nenners ist, so wird der Werth des Bruchs nicht bedeutend verĂ€ndert, wenn man von dem ZĂ€hler 1 und von dem Nenner 4 wegnimmt, so daß 44 beinahe gleich 4 z = & = ^ + & = 4 -f* tt wird. Vielleicht gefallt auch Einern oder dem Andern die Ableitung von Delambre'^ besser, welcher den Übergang so darstellt I 5 _ 45 _ 32+13 _ 1 , 13 _ 1 , 1 _ 1 1 64 — 192 ~ 192 6" "3" 192 _ Ö" 14fs ~ 6 ' 15 Mir scheint die Darstellung, die ich gegeben habe, einfacher zu sein. Wir kehren indeß zu unserm GegenstĂ€nde zurĂŒck. Die eben dargestellte Bezeichnung der BrĂŒche war aber einerseits nicht allgemein angenommen, wie wir aus Diophant ersehen, der auch die einfachen BrĂŒche mit dem ZĂ€hler 1 so schreibt, wie alle ĂŒbrigen, andrcr- 11 In Hoffinann's Übersetzung von Dclambre's Schrift Über die Arithmetik der Griechen S. 25 stehen die sonderbaren Worte „Das Zeichen K, welche unserm k gleicht, bedeutet Das erste Zeichen ist ganz deutlich ein grolle, das zwcile ein kleines k. An der zweiten Ausgabe des Originals Delambrc Hist. lle l'astron. mir. T. II. habe ich eine Ă€hnliche Stelle nicht gefunden; die erste Ausgabe in Pej’rard Oeuvres cl'AreliimMe habe ich nicht znr Hand. 12 Ausg. v. EutcnĂ€cker S. 88 und 134. 13 Arithm. der Griechen S. 25,. Hisf. de I'ustr. nun. T. II. p. 21. I. 8 114 seits war diese Methode nicht ausreichend fĂŒr BrĂŒche, deren ZĂ€hler nicht die Einheit ist. Diese letzteren BrĂŒche nun, und oft auch die ersteren bezeichnen die Griechen so, daß sie in die ordentliche Zeile der Zahlen und Worte den ZĂ€hler stellen, und den Nenner ihm als __/ srt Erponcutcn oben ansetzen, so daß z. B. oder ^ bei Archimedes und Entokins ^ bedeutet, und ebenso sehr oft bei Diophant, selbst bei großen Zahlen, nur mit dem Unterschiede, daß wenigstens in den gedruckten Allsgabcn statt des Acutus ein Circumßcrus oben a» den _ Nenner gesetzt wird ; z. B. Diopli. 1\, 17. y. = _. toiT 1709R9 Ă€fĂŒ4 5 1V ’ 18 lim- 2" bc>" letzten Beispiele ist bei dem des Nenners außer dem Mvriadcnpunctc f. oben noch einmal das Zeichen ~ gesetzt, um, wie es scheint, davor zu warnen, daß man es fĂŒr — 1000 halte, da in der Zahl die Stelle der Tailseuder leer geblieben ist. Sonst drĂŒckt Diophant auch, zumal bei grĂ¶ĂŸeren Zahlen, das BruchvcrhĂ€ltniß zuweilen so aus, daß er zwischen die Zahl des ZĂ€hlers und des Nenners die Worte /togtw oder fiooiov setzt, j. B. IV, 29. gv . ^^7rö ,„o g/ou das heißt 1 ; 0 ;^ 8 4 4 Es sei mir erlaubt, hier eine interessante Stelle aus Diophant I V, 45 abzuschreiben. Der Vcr- fasscr hat fĂŒr drei gesuchte Zahlen die Werthe .ÂŁ' = __otjjy __C"r und *4 — gefunden. Nun verlangt aber die Aufgabe, daß die Summe von je zweien dieser Zahlen eine Quadratzahl sei; da fĂ€hrt der Auctor so fort x! en ?o aöo/or 70 ow l'ortv rergdjMtn’oq, txrov St urttv avrov, luv ?.ußo>/iev gxa, ĂŒ to7i rfrouyojvac, Ttarnov ovv ?o txrov xal bfioitoc; euvai -— 8 _p~ , x _ qxu _ p~ 6 fltV ’JtOoyfog ixioXö . o Öt ösiVegoi; lyTr- . u 6 6t 7 QiTog Qxot _{ 3 , , v , >, , , ,, „ \ \ t/ iö . x cn tav sv oAoxXi;goiI Pappum II, 18 Licet hinc et ex sequentibus Apollonium qucndnm Pcrgaeum puto tractatum scripsisse qui periit aoi^uwv fix'otu; fivQiĂ€Sa i,, d. h. Ulan kann auf diese Weise bis zu den tausend- millionsten Zahlen fortschreiten. Ja, sagt er, man kann iwck weiter gehen; mau nenne die bis jetzt behandelten Zahlen Zahlen der ersten Periode, die letzte Zahl der ersten Periode, oder die juiiiuÖsi; der zehntansendniillionsten Zahlen, also 800000000 nenne man eine Einheit der ersten Zahlen der zweiten Periode. Diese zweite Periode wird dann wieder in zweite, dritte, vierte u. s. w. bis zu den tausendmillionstcn ^vgiajai^iijgioa'j-oi Zahlen eingetheilt; die letzte Zahl dieser ^zweiten Periode, oder zehntausend Myriaden der tausendmillionsien Zahlen der zweiten Periode, heiße dann eine Einheit der ersten Zahlen der dritten Periode, und so weiter fort. Dieses auf den einfache» Begriff der geometrischen Progression gebaute System hat neben dem Vortheil der Ausdehnbarkeit bis zu jeder beliebige» Grenze noch den der klaren und leichten Übersichtlichkeit und macht seinem Urheber um so mehr Ehre, je einfacher es ist. ES ist aber zu viel gesagt, wenn man in diesem System ei» Bewußtsein des Zndischcn Decimalsystmis mit Stellcinvcrch entdecke» will, wie es wohl zuweilen geschieht. Denn das progressive Fortschreiten der Zahlen »ach den Potenzen von zehn lag ja von jeher in der Griechischen Sprache begrĂŒndet, und Archimcdcs hat weiter nichts gethan, als daß er die Sprache, welche im gewöhnlichen Leben nicht ĂŒber /ivQiuKiq ^vqigu . uwaÄft, hinausrcichtc, mit Gewandtheit bis ins Unendliche hin bereicherte; sein System erstreckt sich demnach nur auf die Zahlwortc, nicht auf die Zahlzeichen; es hat also mit dem Indischen Positionssystcm nichts gemein, als die von jeher in Griechenland bekannte Progression von zehn zu zehn, und die unendliche Ausdehnbarkeit. Die einfache Regel, welche Archimcdcs fĂŒr den Gebrauch dieses Systems giebt, ist folgender Satz Wenn mehre Zahlen von der Einheit an in geometrischer Progression stehen, so wird jedes Prodnct von irgend zwei Gliedern dieser Progression derselben Progression angehören, indem es so weit von dem grĂ¶ĂŸeren Factor entfernt ist, als der kleinere Factor von der Einheit; und der Abstand des Products von der Einheit wird um eins kleiner sein, als die Summe der AbstĂ€nde der beiden Factorcn von der Einheit'^. Es ist bei diesem Satze nur zu bedenken, daß die 16 Wtillis Opera T, 111. p. 521 ’Ayi p-fitöv dtb sag fiovatiog dvd Gricchcn bei Angaben von AbstĂ€nden beide Grenzen mitzĂ€hlen; das heißt, wenn sie die Progression haben Ina" n 3 4 5 ° n n H ri a'° wo ,0 z. B. das Product von 4 in ' ist, so ficht nach Griechischer Vorstcllungswcisc n* um 5, 6 um 7 von der Einheit ab, also a 10 um 5 von 6 lind um 5 + 7 — 1 — 11 von der Einheit. Wir wĂŒrden nach unserer Vorstellung alle diese Zahlen um 1 vermindern mĂŒssen, oder wir mĂŒĂŸten uns der Ordinalzahlen als Stel- lcnzahlen bedienen. Eben so sagt der Grieche „nach drei Tagen," wo wir „nach Zwei Tagen" oder „am dritten Tage" sagen, weil wir das Anfangsglicd nicht mitzĂ€hlen. Ein Beispiel möge zeigen, auf welche einfache Weise ArchimcdcS auSmittclt, welcher Rubrik ein erhaltenes Resultat angehört. Er hatte vorher berechnet, daß eine Kugel, deren Durchmesser 100 ö. xruAoi betrĂ€gt, weniger Sandkörner in sich faßt, als 1000 Myriaden der zweiten Zahlen. Dann fĂ€hrt er so fort 17 „Ferner ist eine Kugel, welche 10000 StixrvXoi zum Durchmesser hat, das 1000000 fache s7ioAA7rAar?7vtl o?ro jUoi'sxio? ot rtoXXaifXaatdfavftS kVau^oo?, 17 lb. p. 523. aus dem zweite» Buche der mathcniatischc» Sammlungen von Pappus, welches Wallis in der Orforder Bibliothek aufgefunden und zuerst 1688 Griechisch und Lateinisch mit Anmerkungen herausgegeben hat. Es ist nachher im dritten Bande seiner Werke, Oxford 1699, fol. p. 595 — 614 wieder abgedruckt worden. Das Fragment enthĂ€lt die SĂ€tze 15 bis 27 des genannte» Buchs, und giebt Regeln, die Multiplication der Vielfachen von zehn und dessen Potenzen auf die Multiplication der entsprechenden Einheiten zurĂŒckzufĂŒhren, Regeln, die uns, denen das Bild unserer Zahlzeichen in Gedanken vorschwebt, ziemlich unnöthig scheinen, die aber fĂŒr die Griechen von wesentlicherem Nutzen waren, als eS scheint. Pappus beruft sich in diesen SĂ€tzen, deren Anfang leider fehlt denn der fĂŒnfzehnte, mit dem das Fragment beginnt, ist weder der erste einer neuen Abhandlung, noch selbst an und fĂŒr sich vollstĂ€ndig öfters auf Apollonius 18 , ohne denselben nach der den Griechen doch so gebrĂ€uchlichen Weise durch einen Zusatz nĂ€her zn bestimmen, n»d ohne den Titel des Werkes zu nennen, aus welchem er seine Aus- zĂŒge entnommen hat. Vielleicht oder wahrscheinlich befanden sich diese fehlenden Nachrichten in dem verloren gegangenen Anfange dieses Abschnitts. Mit ziemlicher Gewißheit lĂ€ĂŸt sich indeß annehmen, daß hier der berĂŒhmte Mathematiker Apollonius von Pcrga, 6 mg- ya~o . Ich sage, daß das Product von A B r A E z H 0 so vielen der Zahl X gleichnamigen Mvriaden gleich ist, als in der Zahl >i> Einheiten stecken. Dieses hat Apollonius an der Figur gezeigt. Wenn aber die Suniiile der doppelten Anzahl von A B und der einfache» Anzahl von 1' A E nicht durch 4 Heilbar ist, so wird dieselbe 1, 2 oder 3 als Rest lassen. Wenn sie 1 als Rest lĂ€ĂŸt, so enthĂ€lt das Product der Zahl n p 2 T T zehn Myriaden, welche dem Quotienten x gleichnamig sind; wenn 2, hundert Myriaden, gleichnamig der Zahl X; wenn drei, tausend Myriaden gleichnamig der Zahl x. Und aus dem vorigen ist klar, daß das Product der Zahlen A B r A E z H c-i so viele dem K gleichnamige Myriaden enthalten wird, als das Zehnfache, oder das Hundertfache, oder das Tausendfache der Zahl betrĂ€gt. S. 27. Dieser Saß enthĂ€lt zwei Anwcndtmgcn der vorigen SĂ€tze, indem Apollonius sich die Aufgabe stellt, die Producte der Zahlen, welche durch die Buchstaben zweier Verse vorgestellt werden, zu finden. Die Verse sind ΆρέΌÎčÎŽÎż^ Ï‡Î»Î”ÎŻÎ” ÎșÏÎŹÎż â€™Î­ÎŸÎżÏ‡ÎżÎœ ΔΜΜέα ÎșÏ…ÎœÎżÎ±Îč Ulld Μ ηΜÎčΜ ÎčίΔÎčΎΔ £ΔΏ Î”Î·ÎŒÎźÎ”ÎżÎż Î±ÎłÎ»Î±ÎżÏ‡ÎŹÏÎ›ÎżÎœ. Apollonius verfĂ€hrt hier ganz, systematisch, indem er sich zuerst diejenige» Buchstaben, welche Hunderter bedeuten, dann die Zehner und zuletzt die Einer znsannncnstcllt, sodann von den ersten beiden Klasse» die Pythmcncs nimmt, diese sammt den ursprĂŒngliche» Einern in ei» Product verbindet, und dann nach der im 26. Satze gegebenen Regel untersucht, mit wie vielen Myriaden dieses Product wegen der vernachlĂ€ssigten Hliuderter und Zehner noch zu vervielfĂ€ltigen ist. Die AusfĂŒhrnng ist etwas langweilig, zumal da der Verfasser gewissenhaft immer auch mit 1 an gehöriger Stelle multiplicirt. DaS Product der Pythmcncs und Einer des ersten Verses ist Μή. /$ ÎșαÎč My. ίλί Îșα\ M3. ijuit d. h. 19 vierfache, 6036 dreifache und 8480 doppelte Myriaden oder die Zahl 196036848000000000. Nun enthĂ€lt der erste VcrS zehn Buchstabe», welche Hnndcrter, und siebzehn, welche Zehner bedeute»; also ist die doppelte Anzahl der ersten, 20, plus der einfachen Anzahl der zweiten, 17, zusammen 37, welches durch 4 dividirt den Quotienten 9 und den Rest 1 giebt. Demnach enthalt das Product sĂ€mmtlicher Zahlen so viele neunfache Myriaden, als das zehnfache Product der Pythmcncs tmd Einer Einheiten enthĂ€lt, das heißt, das Gcsammtproduct betrĂ€gt 196 dreizehn- sachc, 368 zwölffachc und 4800 clffache Myriaden, oder die Zahl 196036848 mit sechs und vierzig angehĂ€ngten Nullen. Ganz Ă€hnlich ist das Verfahren bei dem zweiten Verse. Das Product der Pythmcncs und Einer giebt nĂ€mlich 2 vierfache, 1849 dreifache, 4402 doppelte und 5600 einfache Myriaden. Nun enthalt der Vers fĂŒnf Buchstaben, welche Hunderter, und zwölf, welche Zehner bedeute»; es ist also die Summe der doppelten Anzahl der ersteren und der einfachen Anzahl der letzteren gleich 22, welches durch 4 dividirt den Quotienten 5 und den Nest 2 giebt; daher enthĂ€lt das Product sĂ€mmtlicher Zahlen so viele fĂŒnffache Myriaden, als das hundertfache Product der Pythmcncs und Einer Einheiten enthĂ€lt, das heißt, das ^esamnitproducl betrĂ€gt 218 neunfache, 4944 achtfache, und 256 siebenfache Myriaden, oder die Zahl 21849440256 mit acht und 9va»zjg Ntillcn. Was nun die Art, wie dieser letzte Satz bei Pappus ansge- 132 sprochm ist, anbetrifft, so klingt der Ausdruck desselben ganz eigen- gcnthĂŒmlich und scheint einiges Licht auf den verlorenen Anfang und den Zweck vorliegender Schrift zu werfen. Der Satz lautet tut Original nĂ€mlich also ÎżÏÎżÎœ öl ÎĄÎ”ÏÎźÎŒÎ±Îż Ï€ÏÎżÎ”ÎșΔΟΔÎčÎŒÎ”ÎœÎżÎœ, πρΎηλΜ ΔÎč 7ÎżÎœ ÎŽÎż^ΔΜα, ίγγ>Μ Ï€ÎżÎ»Î»Î±Ï€Î»Î±ÎčΏαÎčÎșαί ΔÎčπΔΐΜ ÎżÎœ αρÎčΞΌΜ ΔÎș, 7ÎżÏ… ÎżÎœ Î»ÎżÎŒÎłÎżÎč» Μ ÎŹÏÏ†ÎŒÏŽÎœ ÎżÎč» ΔϊληφΔ Ï€ÏÏŽÎżÎœ Μ ÎłÏÎ±ÎŒÎŒÎŹÎœ, Î”Ï€ÎŻ ÎżÎœ ÎŽÎ”ÏÎ”ÏÎżÎœ ÎŹÏÏ†ÎŒÎŽÎœ Îż?> ΔϊληφΔ ÎŽÎ”ÏÎ”ÏÎżÎœ Μ ÎłÏÎ±ÎŒÎŒÎŹÎœ Ï€ÎżÎ»Î»Î±Ï€Î»Î±ÎżÎŠÎ±ÎżÏ†Î·ÎœÎ±Îč' ΔπΔ\ ÎŻÎż ÎłÎ”ÎœÎŒÎ”ÎœÎżÎœ ΔπÎč ÎżÎœ ÏÎŻÎżÎœ αρφΌΜ ÎżÏ… ΔϊληφΔ Îż ÏÎŻÎżÎœ ÎłÏÎŹÎŒÎŒÎ±' ÎșαÎč ÎșαΏ, Îż έΟη Ï€Î±ÏÎ±ÎŻÎœÎ”ÎżÏ†Î±Îč ÎŒÎŹÎłÎżÎč ÎŻÎżÏ… ÎŽÎčÎ”ÎŸÎżÎŽÎ”ÏÎ”^αÎč ÎżÎœ ÎŻÏ‡,ÎżÎœ ΔπΔΜ 'ÎŽÏ€ÎżÎ»Î»ÏŽÎœÎčÎż, ΔΜ ÎŹÏÎ§Î·, ÎșαΏ ÎżÎœ ÎŻÏ‡ÎżÎœ, Μ ' ΆρΔΌÎčÎŽÎż etc. d. h. „Nachdem dieser Satz vorher festgestellt ist nĂ€mlich der 2s>., ist es thunlich den gegebenen Vers zu multipliciren, und das Produkt anzugeben, welches entsteht, wenn man die erste Zahl, welche der erste Buchstabe ausdrĂŒckt, mit der zweiten Zahl, welche der zweite Buchstabe ausdrĂŒckt, nniltiplicirt; dann das Resultat mit der dritten Zahl, welche der dritte Buchstabe darstellt; und so nach der Reihe fort zu verfahren, bis man durch den ganzen Vers gekommen ist; wie Apollonius am Anfange sagt" n. s. w. Und am SchlĂŒsse der Entwickelung der Multiplication des ersten Verses, als Pappns das Gcsammtrcsultat angegeben hat, fĂŒgt er hinzu ΜΌφΜ Îż ÎœÏ€Îż ’ Î‘Ï€ÎżÎ»Î»ÏŽÎœÎčÎżÏ… ÎșαΏ ηΜ ÎŒÎ­ÎžÎżÎŽÎżÎœ έΜ ÎŹÏÏ‡ÎŻ] ÎżÏ… ÎČÎčÎČÎ»ÎŻÎżÏ… Ï€ÏÎżÎłÎ”ÎłÏÎ±ÎŒ- ÎŒÎŻÎœÎ·Îœ, d. H. „ fti' cr ei n ft tmiiiciib NI it der Angabe des Apollonius nach der am Anfange des Buchs vorgeschriebenen Methode." Darnach scheint cS erstens, daß diese Schrift, Ă€hnlich wie die eben besprochene von Archimedes, eine gelegentliche Spielerei zu ihrer Veranlassung gcbabt, und mit dem Okvtoboos, der sich mit der genauern Berechnung der Krcispcriphcric beschĂ€ftigte, durchaus nichts gemein hat. Wie aus dem Ausdruck dieses letzten Satzes hervorgeht, bat Apollonius am Anfange der Schrift sich die successive Mul- tiplication der Zahlbuchstabcn der angefĂŒhrten Verse als Aufgabe gestellt, und um das Verfahren zu erleichtern unb zugleich diese Erleichterung wissenschaftlich zu begrĂŒnden, der AusfĂŒhrung selbst eint Reihe von SĂ€tzen vorausgeschickt. Diese SĂ€ĂŸe selbst, soweit sie erhalten sind, stehen, wenn meine Conjcctur in Betreff des 25. Satzes richtig ist, in völlig svftcmalischer Anordnung da, und lassen sich m jUH'i Hauptabtheilungen bringen, bereit eiste unvollstĂ€ndig ist, und mit den SĂ€ĂŸe» 15 und 16 schließt; die zweite aber in den SĂ€ĂŸen 17. bis 26 vollstĂ€ndig vorliegt. Der erste Abschnitt enthĂ€lt Regeln fĂŒr die Multiplieation gleichartiger Zahlen, als mehrer Zehner, oder mehrer Hunderter unter einander; die Analogie des zweiten Abschnitts lĂ€ĂŸt schließen, daß Apollonius auch hier mit zwei Zehnern, mit drei Zehnern, und ebenso mit zwei und drei Hundertern angefangen hat, bevor er zu dem allgemeinen Ausdruck der Regel fĂŒr beliebig viele Zehner und Hunderter im 15. und 16. Satze fortgeschritten ist. Der zweite Abschnitt enthĂ€lt sodann Regel» fĂŒr die Multiplieation verschiedenartiger Zahlen, als Hunderter mit Zehnern sS. 17, 18, Zehner mit Einern sS. 19 — 22, Hunderter mit Einern sS. 23, 24 und Hunderter mit Zehnern und Einern sS. 25 nach der Wiederherstellung, und E. 26. Diese SĂ€tze waren aber, wie gesagt, nicht Zweck, sondern Mittel, wenigstens der Form der Darstellung nach, welche die Multiplieation der Verse als alleinigen Zweck der Schrift, nicht etwa als beilĂ€ufig gegebene Anwendung erscheinen lĂ€ĂŸt. Zweitens aber erhellt aus den zuletzt angefĂŒhrten Worten, daß Apollonius außer der in diesen SĂ€tzen vorgetragenen Methode noch einer anderen sich bedient hat, um die vorgesetzte Multiplieation auszufĂŒhren. Vielleicht hatte er am Anfange der Schrift die Multiplieation der Zahlwerthe der Buchstaben der Reihe nach, ohne vorher die Pvthmenes abzusondern, ausgefĂŒhrt, um durch den Augenschein zu lehren, wie viel beschwerlicher und weitlĂ€uftiger dieser Weg sei, als die von ihm erfundene und in vorliegenden SĂ€tzen vorgetragene AbkĂŒrzuugsmethode. Dann stehen die Worte crvncpoimq m,, vko ’AjtoAAcor/ou ii. s. w. als ei» Beweis vermittels des Augenscheins da, als wollte der Verfasser sagen Das ĂŒbereinstimmende Resultat lehrt also, daß diese abgekĂŒrzte Methode eben so sicher zum Ziele fĂŒhrt als jene weitlĂ€uftige. Nun noch einige Worte ĂŒber einen Zusatz, den Pappus bei einigen der vorliegenden Aufgaben macht. Pappus giebt uns, wie schon erwĂ€hnt, nicht die vollstĂ€ndigen Beweise fĂŒr diese SĂ€tze, dagegen verweist er bei mehren derselben auf den Beweis des Apollonius und zwar auf einen geometrischen Beweis; z. B. am Ende des 19. Satzes; To 8\ y^uftfuxov tu! rou ’ArtoAĂ„ĂŒmoti 8t8kix7cu 20 . 20 Ähnlich bei teil SĂ€tzen 20, 22, 2,1, 21, 26. 134 Es erscheint lins ein wenig wunderbar, wenn wir hören, daß Jemand reine ZahlcnsĂ€tze geometrisch beweisen will. Wir mĂŒssen hier aber bedenken, daß Geometrie tmd Calcul bei den Griechen in einem VerhĂ€ltnisse zu einander standen, welches gerade das umgekehrte ist von dem, in welchem beide Methoden bei unsju einander stehen. Wollen wir einen schwierigen geometrischen Satz oder eine solche Aufgabe schnell und möglichst klar ausfĂŒhren, so berechnen wir dieselben. Bei uns ist der Calcul die höhere Wissenschaft, und die Geometrie eine derselben untergeordnete Methode und einer der unzĂ€hligen Nahrungsstoffe fĂŒr jenen. Die Griechen dagegen, bei denen der Calcul aus Mangel an ordentlichen Rcchnungszcichc» innncr in seiner Kindheit geblieben ist, waren durchaus Geometcr, tmd eine Rechnung oder ein arithmetischer Satz gewann fĂŒr sie erst dann völlig ĂŒberzeugende Kraft, wenn seine Wahrheit an einer Figur durch geometrische Construction dargcthan war. Die Formel {a- j-A* = a 2 - f- 'iah - j- war gleich allen Ă€hnlichen SĂ€tzen im zweiten Buch Euklid's bei den Griechen ein rein geometrischer Satz, und sobald sie denselben auf die Rechnung anwenden, zeichnen sie die Figur daneben, um die ZulĂ€ssigkcit einer solchen Übertragung, die in ihren Augen immer etwas Frenidartiges tmd Gewagtes an sich zu haben schien, zu beweisen. So trĂ€gt Euklidcs in dem zehnten Buche seiner Elemente die Lehre von den Irrationalzahlen als eine Lehre von den Jrrationallinicn vor; Diophant beweist die SĂ€tze seiner Lehre von den figmirten Zahlen an der Figur, und ebenso, wie wir sogleich sehen werde», Theo» seine Methode fĂŒr die Auszichung der Quadratwurzel, ja selbst fĂŒr dir Multiplication und Division. Eben so scheint also auch Apollonius die hier vorgetragenen SĂ€tze geometrisch bewiese» zu haben. Dieser Standpunct ist bei der Beurtheilung der Griechischen Mathematiker durchaus im Auge zu behalten, weil nur er so manche Erscheinung zu erklĂ€ren vermag, ĂŒber welche seit Jahrhunderte» Conjccturcn ĂŒber Conjcckurcn gehĂ€uft worden sind, welche alle unnöthig gewesen wĂ€ren, wenn man an das hier erwĂ€hnte VerhĂ€ltniß der Griechische» Geometrie Zinn Calcul gedacht uub nicht die Griechen immer auf unsern Standpunct gestellt hĂ€tte. Ich beschließe diesen Gegenstand mit folgender Stelle aus Dc- lambrc's Arillnnoligue des Grecs 21 Cello iilec d’Apollonius, ‱21 llist. lc l’astron. ane. T. II. p. 30. 31. In Hvffiiiaim's Übersetzung de suhstituer »laus lcs calculs les simples unitcs nux dixaines, centaincs etc., ahregeait coiisiderahlement les calculs; et c’dtait u» pas risse? mnrquc vers le Systeme imliemie; il semhle qu’apres avoir mluit les octades d’Archimede en trunches qui n’avaioiit que quatre chiffres au Heu de 8, il aurait dit essaycr les tranclies de trois chiffres ep,i lui au- raient perinis dc supprimer los lettres particulieres et pointees pour les mille. 11 aurait Irouve »» avantage encore plus sensible eu reduisant les tranclies a deux chiffres, qui lui auraicnt epargne lcs lettres qui designent les centaines; enliii en reduisant les tranclies ii un chiffre, il epargnait les lettres des dixames et urrivait neeessairement a l'Arithmetique in- dienne, nrabc et moderne. 11 parait au contraire n’avoir rc- duit les tranclies dc 8 chiffres d’Archimcde Ă€ des tranclies de 4, que pour rentrer dans les limites de l'Arithmetique des »rccs, et pour epie chacune de ses tranclies ne contint que les chiffres communemcnt admis. On est humilie et. chagriu de voir iine idee aussi simple et, aussi feconde eehapper k deux hommes comine Arcliimede et Apollomus, qui cepeu- dant out travaille l’un Ă€ Studier, l’autre ii dimimiev les in- conveniens de l’Arithinetique retpie. Mais ces grands genies meprisaient trop Ja pratique, ils ne se complaisaient qu’aux speculations difficiles. En reduisant cliaque tranche a un chiffre et dounant la plus grĂŒnde etemlue au principe de ht valeur de position, il aurait scnli le hesoin d’un dixieme caractere pour supprimer les points entre les tranclies et rempln les places vides etc. etc. Fassen wir fĂŒr} zusammen, was diese Stelle sagt, so reducirt sich ihr Inhalt auf folgende zwei Wahrheiten 1 Wenn Apollonius noch das und das gethan hĂ€tte, so hĂ€tte er noch das und das erfunden. 2 Apollonius und Arche mcdcs hassen das Zahlensystem mit Etellenwerth nicht erfunden. Hinterher ist leicht zu dcdueirc», wie eine grosse Erfindung hĂ€tte gemacht werden können; historisch asser ist sie denn doch in der Regel auf ganz andern! Wege erfunden worden. Dieses nun ist es etwa, was von dc» praktischen Rechnungen der Griechen mit gewöhnlichen Dccimalzahlcu uns aufbehalten ist. S. 40 steht die gleite bedeutend liirzer, und ebenso wahrscheintich i» der rrsten Andgeibe des Originale. 136 Nun bleibt uns aber noch eine grosse Klasse von Rechnungen zu erlĂ€utern ĂŒbrig, die Rechnung mit dem, wie es scheint, von Ptolc- inĂ€ns eingefĂŒhrten Scragesinialsystem, welche fĂŒr lins doppelt wichtig ist, einerseits wegen ihrer allgemeinen Verbreitung in Europa wĂ€hrend eines Zeitraums von etwa vierzehn Jahrhunderten, andrerseits weil in diesem System uns Rechnungen der Griechen aufbewahrt sind, welche sich in den BĂŒchern, die dem Dccimalsystcm folgen, nicht mehr vorfinden, namentlich Divisionen und WnrzelauSzichungcn. PtolcmauS trĂ€gt nĂ€mlich in dem ersten Buche seiner MtyĂ€hi ivv. die zu den astronomischen Berechnungen nothwendigen trigonometrischen Vorarbeiten vor, und lehrt die Schncntafcl welche erst von den Arabern mit der Sinustafcl vertauscht war berechnen. Hier nun standen ihm, wenn er bei einiger Genauigkeit die immerwĂ€hrende Rechnung mit BrĂŒchen, die im Griechischen Zahlensysteme manche Unbequemlichkeit mit sich fĂŒhrte, vermeiden wollte, zwei Wege offen. Entweder konnte er, wie es z. B. in unsern logarithmisch- trigonvnictrischen Tafeln der Fall ist tmd wie auch die Astronomen des fĂŒnfzehnten und scchszchntcn Jahrhunderts thaten, fĂŒr den Durchmesser des Kreises eine sehr grosse Zahl annehmen, so dass er mit VernachlĂ€ssigung der BrĂŒche auch die Sehnen kleiner Bogen mit hinlĂ€nglicher Genauigkeit in ganzen Zahlen ansdrĂŒckcn konnte; oder er konnte sich einer kleinern Zahl mit gruppenweise geordneten Unter- abtheilungen bedielten. PtolcniĂ€uS wĂ€hlte das Letztere, weil auch die Rechnung mit grossen Zahlen den Griechen, deren einfache Zahlzeichen bei zchntausciid aufhören, nicht bequem war; und zwar theilt er den Durchmesser in 120 Theile, jede /no /§ in 60 gleiche Theile, xQtZra inilHitii prima, jede von diesen abermals in 22 Die allgemeine Verbreitung und die Bewunderung, weiche diesem Werke zu Theil ward und welche es durch einen so langen Zeitraum genossen hat, mögen den Titel allniahlig in den Superlativ verwandelt haben, so daß aus der diycfcvij ffui'rait? eine / o\n’ya2,ii6g, Alexamlrinus. Er war der Vater der berĂŒhmten Hvpatia, und ist nicht zu verwechseln mit einem Ă€lteren Mathematiker Thron, den PtolcinĂ€us selbst cilirt, und von welchem wir im folgenden Capitel sprechen werden; dieser Letztere hat den Beinamen toq f,\- 7a. a-vnl uxo/ ßißX, m- liasileac tipuil J. Waideruin. 1538. toi. Die Shntaris nimmt 327 Seiten ein. Dann folgt mit besonderem Titel Theo»'» Cominentar, indem die Seitenzahlen wieder von 1 beginnen. Dieser Comnientar ist meines Wissens »och nicht aus dem Griechischen ĂŒbersetzt worden. Zwar sagt Montucla T. 1. p. 332 lc cominentairc sur l’Alinagestc n’a jamais sts trmliiit, le premier fivre, es ist mir aber bis setzt nicht gelungen, diese letzte gar zu allgemein gehaltene BeschrĂ€nknng zu vcrificiren. 27 ltasil. p. 40 7 'sji; /covdöog IX'Lf XixT,-ou ouGijg VUL t 5 xoxov xett 5 /lol>X kgy O X 1 ' ttSog XoXXaxXuGuio^r rj, uuĂŒ 7o udog iptiXarm, Wir werden aus diese mertwiirdige Stelle noch citimal in einer andern Beziehung zurĂŒckkommen. 140 gebeten sind, mit einander mnltiplicirt lind durch einander dividirt; und zwar stellt er sich zunĂ€chst die Aufgabe, die Seite des in den Kreis beschriebenen regelmĂ€ĂŸigen Zchnccks aufs Quadrat zu erheben. Die AusfĂŒhrung will ich wörtlich ĂŒbersetzen 28 „Es sei uns vorgeschrieben die Seite des Zchnccks, welche, wie gezeigt werde» wird, gleich 370 4' 55" ve ist, mit sich selbst zu multiplicircn. Ich schreibe sie hin, und dieselbe noch einmal darunter, wie im Schema ci, tf ttt tut o*3o yx-fi oder in unsern Ziffern ausgedrĂŒckt 37° 4' 55" 37» 4' 55" 1369° 148' 2035" 148' 16" 220'" 2035" 220'" 3025"" 28 Ed. Bug. p. 42. Der KĂŒrze wegen habe ich fĂŒr erste, zwcile, dritte, vierte Scchzigcheilc die jetzt gewöhnliche» AusdrĂŒcke Minuten, Secunde», Tertien, Quarten gebraucht. 141 Theo» fĂ€hrt fort „Dieses fassen wir so zusammen wenn wir zunĂ€chst die 3025 Quarten durch 60 dividircn, so erhalten wir 50 Tertien und 25 Quarten; eben so geben die Tertien, welche mit den aus der Division der Quarten hcrvorgcgangcncn 50 zusammen 490 betragen, 8 Secunden und 10 Tertien; ferner die Secunden, zusammen 4094, geben 68 Minuten und 14 Secunden; und endlich die Minuten, zusammen 364, machen 6 Grade und 4 Minuten; und das Resultat ist 1375" 4' 14" 10'" 25""; da PtolcmĂ€us in der Folge, wo er dieses vortrĂ€gt, nur noch die Secunden berĂŒcksichtigt, so nimmt er 1375" 4' 14" beinahe an, und vernachlĂ€ssigt die Tertien und Quarten. Ebenso, wenn die Multiplikatoren verschiedene Zahlen sind." Diese Multiplication mit scchzigthciligen BrĂŒchen ist also der von ElltokinS auf Dccimalzahlcn angewandten Methode vollkommen analog; ein unwesentlicher Unterschied besteht darin, daß EutokiuS die einzelnen Resultate schon rcducirt hinschreibt, was indeß in der Art der Griechischen Zahlenbczcichnnng seinen Grund hat, da der Grieche nicht in derselben Art, wie er mehr als 59 Scchzigthcilc bezeichnet, auch mehr als 999 Hunderter u. s. w. in Zeichen ausdrĂŒcke» kann. Von besonderem Interesse aber sind fĂŒr uns die Beispiele von Division und von Wurzclauszichung bei Theo», weil sie ĂŒberhaupt die einzigen Beispiele sind, welche die Griechische Literatur fĂŒr diese Operationen uns darbietet. Darum ist es aber auch um so nothwendiger, gerade hierin Thcon'S Verfahren ganz treu wiederzugeben, und nicht, wie Dclambrc namentlich in den, Beispiel von der Wur- zclauszichuug thut, zu zeigen, wie Theo» es hĂ€tte machen können 59 . Da die Ausgabe des Originals nichts weniger als eine typographische RaritĂ€t ist, so begnĂŒge ich mich auch hier mit einer möglichst treuen Übersetzung „ES sei ferner," sagt Thron 30 , „die Aufgabe gestellt, 29 Dclamlire llist. dc l’Astr. ane. T. II. p. 27. Arilhm. bet Griechen S. 35. Dclambrc gesteht stillt Abweichung von. Original sclbst tin, und sucht dicsclbc durch folgende Worte zu rcchifcrligcu J’ai sait quelques cliangeuicns au ealciil de Tlidon, mais saus rien supposcr qui ne siit bien comm des irccs. Warum abcr uberhanpl Abweichungen ! Dcr angefĂŒhrte Grund kaun dicsclbcu schwcrlich entschuldigen, gcschwcigc tcuu molivirc», da es sich um ciuc bisiorischc Kenntniß haudclt. Was köuulc mau mit einem solchen GrundsĂ€tze aus frcmdcn Werken nicht Alles machen I 30 Ed. llas. p. 42. eine gegebene Zahl durch Grade, Minuten luid Secunden zu dividi- rcn. Die gegebene Zahl sei 1515° 20' 15" ÎŹÏ†ÎŻÎ” % if", nnd man solle sie dioidircn durch 25° 12' 10" ÎŒÎ”ÎżÎź hu αυΜ Δίί α iß' /', das ist, man soll sinde», wie oft die Zahl 25° 12' 10" in der Zahl 1515° 20' 15" enthalten ist. Wir nehmen zuerst den Quotienten 60 ÎŒÎ”ÎżÎŻÎŸÎżÎŒÎ”Îœ Î±ÎŻÎœÎżÎœ ÎżÎżÎœ αοα ÎżÎœ ”4, weil 61 zu groß ist, nnd wir subtrahircn scchzigmal die 25° rmd die 12' nnd die 10", und zwar zuerst die 25°; es werden 1500°; dann lose» wir die rcstircndcn 15 Grade in 900 Minuten auf, nnd addircn diese zu den 20 Minlitcn; von der Slnnme, 920 Minuten, snbtra- biren wir scchzigmal 12 Minuten, d. i. 720'; und endlich von den rcstircnden 200 Minute» und 15 Secunden subtrahiren wir scchzigmal 10, das ist 600 Secunden, oder 10 Minuten; cS bleiben 190' 15" ĂŒbrig. Indem wir nun wieder von vorne anfangen, dividircn wir diese durch 15°; der Quotient ist 7 ÎłÎŻÎœÎ”Î±Îč b ΌΔ. ρ/Îčηο Tff QI ÎżÎœ Ο , denn 8 ist Zll groß ΜπΔ^Ï€ÎŻÏ‡Î”Îč γαο ÎŻÎÏˆ ÎżÎœ η; und die aus der Multiplikation hcrvorgcgangencn 175 Mi- nutcn subtrahircn wir von den 190 Minuten; dann lösen wir die 31 An Original heißt Ci χαϊ α ÎłÎčΜΌΔΜα Îș η χα^αÎČολΐ ; i Γ- ÎœÎżÎ±, α t. ÎŻ. XΟα %οΔ' ÎŹÏˆÎ±ÎčÎżÎ°ÎŒÎčΜ etc. ΙΙααÎČΏΧΧÎčÎčΜ, Ï‡Î±ÎżÎ±ÎČοΧÎč'Îč sind AusdrĂŒcke, die bet den Griechischen Mathematikern einige Schwierigkeit ba- be». ΙΐααÎČÎŹ/ΛΔÎčΜ heißt zunĂ€chst hcranwcrfe», heran lege»; daher wird das Verbum gebraucht z. B. in der Aufgabe, einen gegebenen Raum in ei» Rechteck mit gegebener Seite zu verwandeln; Eucl. EI. I, 44 liagii ηΜ ÎŽÎż^ÎčΐαΜ sĂŒ- ρÎčΐαΜ φ ΎοΥÎčΜÎč sniyrßvcp ÎŻÎżÎœ χα[> y> αÎč tue Îč' ΧααÎČαΧπΜ. Weil man NUN durch Rechnung die zweite Seite des Rechtecks findet, wenn man den gegebenen Raum durch die gegebene Seite dividirt, so hat xaqaßaXXuv die Bedeutung von Dividiren, χααÎČοΧΟ Division erhalten. An unserer Stelle aber muffe» wir wieder auf die Grundbedeutung zurĂŒckgehen; um den Rest zu erhalten, legt man das Produkt des Quotienten in den Divisor an den Dividendus; das ist die χααÎČολη. Ich habe dem Sinne nach Mnltiplication ĂŒbersetzt. Weil in dem von Archimcdes sogenannten rechtwinkligen Kegelschnitte das Quadrat der Ordinate, an den Parameter angelegt, d. h. in ein Rechteck verwandelt, dessen eine Seite der Parameter ist, zur andern Seite die Abscissc erhalt, also gewissermaßen an die Abscissc herangeworfen dieselbe deckt, so nennt Apol- lonius diesen Kegelschnitt xaqaßoXy, Parabel. In der Ellipse ist das Quadrat der Ordinate kleiner als das Rechteck aus dem Parameter In die Abscissc; daher wird bei jener Anlegung nicht die ganze Absciffe gedeckt, es fehlt noch etwas, ixXi'xu, daher diese Curve ’ίλλÎčÎčψÎč I» der Hyperbel ist jenes Quadrat großer als das genannte Rechteck, es fallt also bei der Anlegung ĂŒber die Absciffe 14 J ĂŒbrig bleibenden 15 Minuten in 900 Secunden auf und addircn dazu die 15»", von der Sunmic subtrahircu wir siebenmal 12 Minuten, das ist 84 Secunden, weil auch die 7, Miiintcn sind; und es bleiben 831 Secunde» Rest; endlich subtrahircu wir davon gleichfalls siebenmal 10 Secunden, nĂ€mlich 70 Tertien, oder eine Secunde und 10 Tertien, und cS bleiben 829 Secnndcn 50 Tertien ĂŒbrig. Diese dividirc» wir abermals durch 25°, und der Quotient wird 33; die Multiplication agaßo \ri, wie oben giebt 825", es bleiben 4" 50'" Rest, oder 290'"; dann subtrahircu wir wiederum drciunddrcißigmal 12 Minuten, welches 396'" sind, so daß das Resultat der Division der 1515° 20' 15" durch 25° 12' 10" nahe 60° 7' 33" wird. Demi wenn wir umgekehrt diese letzteren multi- pliciren mit 25° 12' 10", so erhalten wir nahe 1515° 20' 15"." Diese Methode ist also ganz einfach, und lĂ€ĂŸt sich ebenso aus Decimalzahlcn anwenden, indem man die scchzigthciligen ei'St] durch Einer, Zehner, Hunderter u. s. w., aber in aufsteigender Ordnung ersetzt; Delambre fĂŒhrt nach der von Thcon gegebenen Theorie eilte solche Division in gewöhnlichen Zahlen aus; die Operation wird aber weitlĂ€nftig uitd beschwerlich, wen» die Zahlen groß sind, rmd somit die Anzahl der Species anwĂ€chst. Thcon giebt kein Schema der Rechnung, wie er es bei der Multiplication thut; es lĂ€ĂŸt sich auch nicht gut einfach und verstĂ€ndlich hinschreiben, und ist ĂŒberdies nicht nöthig, da die Operation auch ohne dasselbe ganz klar ist. Indeß will ich der VollstĂ€ndigkeit halber das Schema, wie Delambre 35 es anordnet, h ich er setzen hinweg, &xiqßdxxt?cu, daher ixtqßo'/Jt. In abgeleiteter Bedeutung heißt *aqaßo/J, da»» auch Bergleichung, die ja eben durch Aueinanderhallkii geschieht. 32 Hist. de l’Astr. ane. T. H, p. 25. Arilhm. d. Griechen S. 33. 144 Dividendus 1515° 20' 15" 25» 12' 10" Divisor 25» X 60° 1500° 60° erster Quotient Rest 15° — 900' Summa 920' 12' X 60° 720' Rest 200' 10" X 60» 10' Rest 190' 15" 25» 12' 10" 25° X 7' 175' 7' zweiter Quotient Rest 15' II CD o o Summa 915" 12' X 7' 84" Rest 831" 10" X 7' 1" 10"' Rest 829" 50"' 25» 12' 10" 25° X 33" 825" 33" dritter Quotient Rest 4" 50"' II fcD CD © 12' X 33" 396'" zu groß 10b'" Der Fehler, den Thcon durch die Annahme von 33" macht, ist nicht ganz unbetrĂ€chtlich; denn die Multiplication des Divisors in den angenommenen Quotienten giebt das Resultat 1515° 20' 16" 51'" 30"", welches fast um 2 Secunden großer ist als der Dividendus. Indeß kam es ihm hier nur auf die Theorie an, und zudem hĂ€tten 32" ein viel zu kleines Resultat gegeben. Bei der Auszichung der Quadratwurzel nimmt Theon wieder seine Zuflucht zur Betrachtung der Figur, worauf Dclambrc in seiner Darstellung am angefĂŒhrten Orte gar keine RĂŒcksicht nimmt. Um ein treues Bild nicht nur von der Sache, sondern auch von Thcon's Vorstellung zu geben, will ich die auf diesen Gegenstand bezĂŒgliche Stelle in ihrer ganzen WcitlĂ€uftigkcit hersetzen»» „Hierauf dĂŒrfte es 33 Ed. Bas. p. 44. 45. es an der Reihe sein zn bemerken, wie wir, wenn ein quadratische Rann, gegeben ist, der keine in der LĂ€nge rationale Seite /1,1 χΔÎč 2ψÎč\Μ hat, die Seite desselben durch AnnĂ€herung berechnen können. Die Sache ist fĂŒr ein Quadrat, welches eine rationale Seite hat, aus den, vierten Satze des zweiten Buchs der Elemente klar, der so lautet Wenn eine gerade Linie beliebig geschnit- tc» wird so ist das Quadrat der ganzen Linie gleich den Quadraten der beiden Abschnitte und dem doppelten Rechtecke, welches von den Abschnitten gebildet wird. Denn wenn wir eine gegebene Quadratzahl, z. B. 144 haben, welche eine rationale Wurzel im Or. Ï€Î»Î”Ï…ÏÎŹ, Seite, wie oben und immer v ß hat, etwa die Linie .", und wir nehmen - - ein Quadrat, welches kleiner ist als jenes, etwa 100, dessen Seite 10 ist, tmd nehmen a y gleich 10 an, und verdoppeln es, weil das Rechteck der Abschnitte doppelt sein soll, nnd dividiren mit den so entstandenen 20 in den Rest 44, so wird der Rest 4 das Quadrat von ÎČÎł, dieses selbst aber in der Lange 2 sein. Es war aber αγ = 10, also wird die ganze Linie aß gleich 12 stiu, was bewiesen werden sollte. Damit uns aber an einer in der Syntaris vorkommende» Zahl das Wesen dieses thcilwcisen Wcgnch- mcnS vor Augen gefĂŒhrt werde, so wollen wir die Darstellung an der Zahl 4500 durchfĂŒhren, deren Wurzel dort gleich 07" 4' 55" gesetzt wurde. Es liege ein quadratischer Raum αÎČγΎ vor, allein im Quadrat rational ÎŽÎœÎœÎŹÎŒÎ· ÎŒÎœÎżÎœ , dessen Inhalt 4500 Grade ÎŒÎżÎčοαί sein soll, und es werde verlangt, die Quadratwurzel desselben durch AnnĂ€herung zu berechnen. Da nun das der Zahl 4500 NĂ€chstliegende Quadrat mit rationaler Wurzel gleich 4489 ganzen Graden rmd dessen Seite gleich 7 ^ÎŒÎčαΜ, ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± ΌΔΜ Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎč Ï€ÏÎżÎžÎ”ÎÎ±, Ï€ÎżÎčΔί ηΜ Ï…Ï€ÎżÎ”ÎŻÎœÎżÏ…Î±Îœ, ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± ΎΔ ÎŹÏˆÎ”Î»ÎżÎ°Î± " rod Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ , Ï€ÎżÎčΔί ηΜ ΔΔραΜ Μ Ï€Î”ÏÎŻ ηΜ ÏÎĄÎ·Îœ ÎżÏŠÎżÎœ ÎżÎœ Δαρα λαÎČÎżÏÎ±, Îșαί ÎżÏÎżÏ… ÎżÎœ ηΌÎč- υΜ 12 ÎżÎœ ~ÎČ Î”ÏÎ±ÎłÎœÎŻÎ±Î±. Îșαί Ï€ÎżÎčηο'αα αυΜ ÎŽ, ÎŹÏˆÎ”Î»ÎżÎœÎ± ΌΔΜ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± Ï€ÎżÎčΔί ÎżÎœ Îł, Ï€ÏÎżÎžÎ”ÎÎ± ΎΔ Ï€ÎżÎčΔί ÎżÎœ Δ, Îșαί ΔχΔÎč αυ ÎłÎčÎœÎŒÎ”ÎœÎżÎœ ÏÎŻÎłÎœÎżÎœ, Îż Îșαί ΔÎș η έΔρα ÎŹÏ€Î”Î”Î»Î”ÎÎż ÎŒÎ”ÎžÎŽÎżÏ…. d. h. „Es werden auch einige Methode» mitgetheilt, solche Dreiecke zu siudcn, deren eine man auf Platou, die andere, welche von ungeraden Zahlen anfĂ€ngt, auf Pythagoras zurĂŒckfuhrt. Man nimmt nĂ€mlich die gegebene ungerade Zahl als kleinere Kathete an. Von dem Quadrate derselben die Einheit snbtrahirt, und der Rest halbirt, giebt die grĂ¶ĂŸere Kathete; zu dieser die Einheit addirt, giebt die Hypotenuse. Man nimmt z. B. 3 an, von dem Quadrate 9 nimmt man die Einheit weg, und halbirt den Rest 8, d. i. 4; dazu addirt man wiederum die Einheit, daS macht 5, und es wird das rechtwinklige Dreieck von den Seiten 3, 4, 5 gefunden u . Die 6 Ed. Ï€ÏÎżÎŻÎžÎ·Îč. 7 Ed. ÏÎĄÎłÏŽÎœÎčÎżÎœ. 8 öl fehlt in der Ausg. 9 Ed. αυώΜ. 10 Ed. Î”ÏÎ±ÎłÎœ'α. 11 Ed. ÎŹÏ†ÎčλΜ, offenbar falsch, weil ĂŒberall ÎŒÎŻÏÎżÎŽÎż als Subject gedacht wirb. 12 Ed. ηΌÎčυ, f. N. 5. 13 Dieses Dreieck aus den Seite» 3, 4, 5 beißt auch zuweilen vorzugsweise das Pythagorlsche. Bitruvius IX, 2. sagt, Pythagoras habe mit Hilfe dieses Dreiecks gelehrt, praktisch eine» rechten Winkel zu cvnstruircn, indem er drei Lineale, deren LĂ€ngen sich wie die Zahlen 3, 4, 5 z» einander verhielten, zusammenstellte. In den Theolog»ℹ» Arithmeticae Ed. I’aris. p. 39. 40. Ed. Ast. p. 38. 39. *tq\ ΔΏΎο heißt ts Καί ΜυΜ öl, Δφ’ ÎżÎœ Î”ÎŸÎŹÎŽÎč Ï€ÎżÏˆ niv, ÎżÏŽ ÎżÎ±ÎŻÎ­ÎżÎœ *αί’ *tiÖQo öevtsqo nZv atoi- %ÂŁttZv dTtoSeixpivrav, und die von Coiirad DasypodinS zugleich mit dem zweite» Buche Euklid'S herausgegeben worden ist ". Die Art der Beweise in dieser Bearbeitung ist ganz dieselbe, wie in dem siebenten und den folgenden BĂŒchern Euklid's. Als Probe wĂ€hle ich 15 Î•ÏÏ‡Î»Î”ÎŻÎŽÎżÏ… ÎŻÎżÎœ Î”ÎœÎŻÎ” χαϊ ÎŽÎŻÏ‡Î± ctoi%uav Ιχ ÎŻÎœ io'u Â©Î”ÎœÎżÏŠ Ï…ÎœÎżÏ…ÎŻÎ±Îœ ÎŻÎż ÎŽÎčΰίΔ>ÎżÎœ Î’Î±Î»ÎŹÎ±ÎŒ, ÎŒÎżÎœÎŹÏ‡ÎżÏ… ÎŹÎč>Îč^ΌηϊÎčχ\ ÎŹÎșΎΔÎč^ ÎŻÎœ 7Q“W- tJ 5s ÎŻÎœ ÎŻ ΎΔυϊΔφ ÎŻÎœ arocxeiav ÎŹÏ‡ÎżÎŽÎ”Îčχ'ÎŒÎŻÎœÏŠÎ±Îœ. l’cr Cunni dum Dnsvpodiwn. 8. Am E»dc fctr praefatio stcht dic Iahr- zahl 156 i. de» vierten bet genannten SĂ€tze aus, welcher bei Euklide» so lautet ΕαΜ tv'puoi ÎłÏÎ±ÎŒÎŒÎź ÎŒÎ·ÎĄÎ· Δυ%Δ, Îż αϊ η λη Δ ÏÎ±Îł >ÎœÎżÎœ ÎÎżÎœ ΔαÎč οΐ Δ Î±Ï€Îż Μ ÎŒÎ·ÎŒÎŹÎœ Î”ÏÎ±ÎłÎœÎżÎč ÎșαÎč ÎŽÎč ΰπΎ Μ ÎŒÎ·ÎŒÎŹÎœ πΔρÎčÎ”Ï‡ÎżÎŒÎ”Îœ ρ ÎĄÎżÎłÎœÎŻÏ†. BarlaaM Übersetzt den Satz so ÎˆÎŹÎœ ÎŹÏÎčÎĄÎŒÎż ΎχÎčρΔρ Ij ΔÎč ÎŽÏÎż ÎŹÏÎčÎĄÎŒÎżÎœ, ÎŽ απ 7 ÎżÏ‹ Î»ÎżÏ… Î”ÏÎŹÎłÎœÎż ÎŻÎż ΔÎč οΐ 7 Δ απ Μ ΌΔρώΜ Î”ÏÎ±ÎłÎœÎżÎč Îșαί ΐ ΔÎș ÎŹÎœ ΌΔρώΜ ÎŻÏ€ÎčÏ€ÎŹÎŽÏ†. Die AusfĂŒhrung ist folgende ΆρÎč^-ÎŒÎż ÎłÎŹÏ 6 aß ÎŽÎčαÎčρηρ ΔÎč ÎŽÏ…Îż ÎŹÏÎčÎĄÎŒÎżÏ ÎżÏ αγ ÎłÎČ. λέγ ÎżÎč Îż απ ÎżÏ… αÎČ Î”- ÎżÎŹÎłÎœÎż ÎŻÎż ΔÎč οΐ Δ ÎŹÏ€Ï… Μ αγ ÎłÎČ Î”ÏÎ±Îł- ÎœÎżÎč ÎșαÎč ;> ÎŽÎč ΔÎș Μ αγ ÎłÎČ ÎŻÏ€ÎčπΔΎ. ’Ε ÎłÎŹÏ ÎŹÏ€Îż ΌΔΜ ÎżÏ‹ αÎČ Î”ÏÎŹÎłÎœÎż 6 ÎŽ, απ ΎΔ 7ÎżÏ… αγ Îż ΔΟ , Î±Ï€Îż ΎΔ ÎżÏ… ÎłÎČ 6 ηΥ , ΔÎș ΎΔ Μ αγ ÎłÎČ Î”ÎșÎŹÎ”ÏÎż Μ Οη, ÎĄÎș. ’ Î•Ï€Î”ÎŻ ÎżÎŻÎœÏ…Îœ Îż αγ ΔαυΜ Ï€ÎżÎ»Î»Î±Ï€Î»Î±- ΰÎčΏα Î”Ï€ÎżÎŻÎ·Î” ÎżÎœ ΔΟ, Îż ÎŹÏÎ± αγ ΌΔρΔΐ ÎżÎœ ΔΟ ÎșαΏ, ÎŹ ΔΜ Δαυφ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± ’ Ï€ÎŹÎ»ÎčΜ ΔπΔÎč ÎŽ ÎłÎČ ÎżÎœ γα Ï€ÎżÎ»- λαπλαÎčΏα Î”Ï€ÎżÎŻÎ·Î” ÎżÎœ Οη, ΌΔρΔΐ ÎŹÏÎ± ÎżÎœ η αγ ÎșαΏ ÎŹ ΔΜ ÎłÎČ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ±â€™ ΔΌΔρΔÎč ΎΔ Îșαί ÎżÎœ ΔΟ ÎșαΏ ÎŹ ΔΜ Î”Î±Ï…ÎżÎŻâ€™ ÎżÎ»ÎżÎœ ÎŹÏÎ± ÎżÎœ Δη ΌΔρΔΐ Îż αγ ÎșαΏ ÎŹ ΔΜ αÎČ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ±. ' 0 ÎŹÏÎ± αÎČ Ï€ÎżÎ»Î»Î±Ï€Î»Î±- ÎčΏα ÎżÎœ αγ Î”Ï€ÎżÎŻÎ·Î” ÎżÎœ Δη. ÎŸÎŒÎżÎŻ ΎΔ ÎŽÎ”ÎŻÎŸÎżÎŒÎ”Îœ ÎżÎč ÎșαÎč Îż ηÎș Î”Ï€ÎŻÏ€Î”ÎŽ ΔÎčΜ Îż ΔÎș Μ αÎČ ÎČÎł Îșαί ΔÎčΜ απ ÎżÏ… αÎČ Î”ÏÎŹÎłÎœÎż Îż ή’ ΔαΜ ΎΔ αρÎčΞΌ ÎŽÎčαÎčρΔρ^ ΔÎč ÎŽÏ…Îż ÎŹÏÎčÎĄÎŒÎżÏ, Îż ÎŹÏ€Îż ÎżÏ Î»ÎżÏ… Î”ÏÎŹÎłÎœÎż ÎŻÎż ΔÎč ÎŽÏ…Îč οΐ ΔÎș ÎżÎœ ÎżÎ»ÎżÎœ ÎșαÎč ΔÎșÎ±ÎŻÏÎżÎœ Μ ΌΔρώΜ ÎŻÏ€ÎčÏ€Î”ÎŽÎżÎč’ ÎŻÎż ÎŹÏÎ± ÎŽ ds ΔÎș' αλλΏ ΌηΜ ÎŽ ΔÎș Ï…ÎłÎșÎ”ÎŻÎŒÎ”Îœ ΔÎčΜ ΔÎș Δ Μ ÎŹÏ€Îż Μ αγ ÎłÎČ Î”ÏÎ±ÎłÎœÎżÎč ÎșαÎč ÎżÏ‹ ÎŽÎč ΔÎș Μ αγ ÎłÎČ Î”Ï€ÎŻÏ€Î”ÎŽÎżÏ…' ÎŽ ΎΔ ÎŽ Ï…Ï€ÎŹÏÏ‡Î”Îč ÎŽ ÎŹÏ€Îż ÎżÏ‹ αÎČ Î”ÏÎŹÎłÎœÎż ÎŹÏÎ± ÎŹÏ€Îż ÎżÏ… αÎČ Î”ÏÎŹÎłÎœÎż Ιο ΔÎč οΐ Δ ÎŹÏ€Îż Μ αγ ÎłÎČ Î”ÏÎ±ÎłÎœÎżÎč ÎșαÎč ÎŽÎŻ ÎŻÎș Μ ÎłÎČ ÎŻÏ€ÎčπΔΎ. Eine arithmetische Anwendung dieses nĂ€mlichen Satzes haben wir schon im vorigen Kapitel betrachtet, bei Gelegenheit der Theonschen Methode der Wnrzelansziehung. Aber der Satz ward da noch geometrisch ausgesprochen, sowie Lheon's ganze Darstellttttgsweise noch geometrisch war. Bei Barlaam erscheint der Satz rein arithmetisch, und Ă€hnlich sind die nenn ĂŒbrigen SĂ€tze behandelt. Von dc» sonstige» arithmetische» Arbeite» Bar- laam's werde» wir i» Zukunft gehörige» Orts niehr sage». Wir kehre» jetzt zu Euklidcs zurĂŒck. Das siebente, achte und neunte Buch der Elcnientc enthalt die eigentliche Arithmetik, nĂ€mlich die der Rationalzahlcn, welche auch von dem Verfasser als solche vorgetragen wird, und sowohl der Gegenstand als die Behandlungsart unterscheidet diese BĂŒcher wesentlich von dem zehnten. Da diese BĂŒcher das Ă€lteste Werk sind, in welcher die theoretische Zahlcnlchre behandelt wird, und da dieselben also als die Grundlage aller spĂ€teren Untersuchungen der Art angesehen werden können, so sei mir hier eine etwas wcitlĂ€uftigcrc Analyse und eine AufzĂ€hlung wenigstens der wichtigeren und fĂŒr den spĂ€teren Stand der Wissenschaft cinflussrcichcrcu SĂ€tze erlaubt, nachdem ich einige Worte ĂŒber Euklid's Methode vorausgeschickt habe. Die Euklidische Arithmetik unterscheidet sich von den sĂ€mmtlichen spĂ€teren sehr zahlreichen Werken der Art durch die wissenschaftliche Strenge und GrĂŒndlichkeit der Beweise. Aber seine Beweise fĂŒr Zahlcn- wahrhcitc» haften insofern an geometrischen Vorstellungen, als er, in Ermangelung passender Symbole, deren EinfĂŒhrung spĂ€teren Jahrhunderten vorbehalten blieb, zur sinnlichen Darstellung allgemeiner, aller zufĂ€lligen acccfforischcn SpecialitĂ€ten cntĂ€ußcrtcr Zahlen sich der geraden Linie» bedient. Cossali " nennt eine Ă€hnliche Erscheinung in dem Werke des Leonard Bonacci nicht unpassend eine Ana- lisi speciosa lineare, zum Unterschicdc dcr neueren Anulisi spc- ciosa letterale. Daß in manchen Handschriften neben diesen die allgemeinen Zahlen darstellenden Linien bestimmte Zahlcnwcrthe, welche fĂŒr den speciellen Fall passen, sich bcsindcn, wie Hornsby aus einem Manuskript dcr Bodlcyanischcn Bibliothek mittheilt , , thut der Sache weiter keinen Abbruch. Es sind dieselben blos als erlĂ€uternde Beispiele, vielleicht von dcr Hand eines spĂ€teren Abschreibers, anzusehen. Um Euklid's lineare Methode zu veranschaulichen, wĂ€hle ich hier einen seiner einfachsten Beweise, nĂ€mlich den des 37. Satzes des siebenten Buchs aus, welcher so lalltet Wenn zwei Zahle» eine andere Zahl messen, so 16 Orig. dcll Alg. T. I. l>. 37. 17 Sut'lib'ö Clcmciue lil'crs. von Lorcnz tt. Mollwkidc. 1. A„sg. Hallc u. Vcrli». 1S18. iiorrctc S. XIX. 157 wird auch die kleinste Zahl, welche von jenen gemessen wird, dieselbe Zahl messen. Beweis. Zwei Zahlen, , st, sollen eine Zahl yS S messen; die kleinste, welche von ihn en gemessen wird, sei e; so sage ich, daß auch L die yS mißt. Dcnnwenn e p die nicht^niißt, so wird e, wenn es die 04 niißt, - einen Rest 4y kleiner als s lassen. Da nun und st die s, s aber die 04 mißt, so werden auch und st 7 die H nicsscn. Aber und st messen auch die ganze Zahl yö, folglich auch den Rest y4, welcher kleiner ist als s, was unmöglich ist weil s schon die kleinste Zahl war, die von a und st gemessen wird. ES ist also nicht möglich, daß s die yö nicht mißt; daher mißt sie dieselbe; was 51t beweisen war 1S . Die Baseler Ausgabe der Elemente von 1533, welche ich zur Hand habe, setzt ebenfalls nebe» die Linien ĂŒberall entsprechende Zah- lenbeispiclc. Bei dem vorliegende» Satze ist = 2, st — 3, f also — 6 gesetzt, Jy unbestimmt durch ein Kretizchen -f- bezeichnet, und Ă€j wahrscheinlich durch einen Druckfehler gleich 8 statt 6 gesetzt, wie Loren; cS bezeichnet. Loren; hat nĂ€mlich mit mehren andern HcrallSgcbcrn und Übersetzern diese bcigcschricbcncn Zahlen in der Art ausgedruckt, daß rr statt der Linien eine Reihe von Puncten in der angegebenen Anzahl setzt, was mir nicht passend scheint, da cS der ursprĂŒnglichen und beabsichtigten Darstellung der Allgemeinheit schadet. Nach dieser allgemeinen Benierkung gehe ich zur Darstellung 18 Weil die Kurze des Griechischen Originals sich in kciucr Übersetzung erreichen lĂ€ĂŸt, so stelle ich diesen Satz, der ja einmal als Probe der Darstellung dienen soll, in seiner Originalgcstalt Pieper ’Euk ÎŽÏÎż ΏζÎčÎĄÎŒÎż\ ilqiPfiöv tiva ÎŒÎŻÎŻÎ±Îč, ouxl Îż ÎȘÎ»ÎŹÏ‡ÎčÏÏŠÎż ύ’ avTcov ΌΔ Îż'ύ/ÎčÎ”ÎœÎż ÎżÎœ kL'ĂŒ/ov Î”ÏÎż 7^? 0 laß αη^,Î±ÎżÎœ Ttvcx, rov 76 ÎŒÎ”ÎŻ>ΔΙ£}ϊαΜ, ΔλΏ- % Λ ÎżÎœ Δ* λΔ7' ’λΔÎčΧΔα Î”Î±Ï…ÎżÏ Î™Ï‡ÎŹÎżÎœÎ± ÎżÎœ 7^, Δ*ΔÎč ÎżÎč α ÎČ ÎœÎ” ÎŒÎ”ÎżÎżÎčΜ, Îż 6Δ Δ ÎżÎœ 6ζ ÎŒ ETQth oc α ÎČ Î±>Γ& ÎżÎœ ΌΔφ\οο?ÎŻÎœ' ΌΔ j'Qoijö't -Îșαί ÎżÎ»Ï…?' ÎżÎœ y6* at λοί,ÎčΓοÎč.' αα ÎżÎœ y% λί^ÎżÎœÎ± ÎżÎœÎ± ÎżÏ… Δ* υÎčίΔ Ιο\Μ Î±ÎŽÏÎœÎ±ÎżÎœ * ÎżÏ…Îș uqm ÎżÏ ΌΔ^Δΐ Îż Δ ÎżÎœ 7^» αα οΛΔ tfiit 6Δ7^5. bcv Euklidischen Arithmetik selbst ĂŒber. Wenn ich im Folgenden mich werde veranlaßt sehen, einen oder den andern Euklidischen Bc- >veiS mitzutheilen, werde ich nur seine» BcwciSgang angeben, ohne mich strenge an seine Worte zu halten. Siebentes Buch. ' Dieses Buch beginnt mit den Dcstnitioncn fĂŒr die drei arithmetischen BĂŒcher. Euklides desinirt die Einheit, die Zahl, den Theil ÎŒÎ­ÏÎż, d. i. -i-, den Bruch Lormz's Übersetzung von u/otj, ", das Vielfache, die gerade, ungerade, gcra- dcmal gerade ÎŹÏÎ·ÎŹÎșÎč ÎŹÏÎčÎż, gcrademal ungerade ag- ÎčÎŹÏ‡Îč πΔρÎč, ungeradcmal ungerade Zahl Ï€Î”ÎżÎčÎŹÎșÎč πΔρÎč, die Primzahl *gcSm,', Primzahlen zu einander und deren GegensĂ€tze, die zusammengesetzte Zahl und zusammengesetzte Zahlen zu einander, die Multiplication, die FlĂ€chcnzahl Î”Ï€ÎŻÏ€Î”ÎŽÎż, die Körpcrzahl ΔρΔ, die Quadrat- und Kubikzahl^", endlich die proportionirten, Ă€hnlichen und vollstĂ€ndigen έλΔÎčÎż Zahlen. Die GegensĂ€tze der letztgenannten, die ĂŒbcrvollstĂ€ndigc ÏÏ€Î”ÏÎ”Î»ÎŻ und die mangelhafte Zahl welche bei den spĂ€teren Arithmctikern vorkommen, betrachtet Euklides noch nicht. - Satz 1. Wenn von zwei ungleichen gegebenen Zahlen immer abwechselnd die kleinere von der grĂ¶ĂŸer» weggenommen wird, und der Rest den nĂ€chst vorhergehenden nie genau mißt, bis endlich die Einheit ĂŒbrig bleibt, so sind die gegebenen Zahlen Primzahlen zu einander. Beweis apagogisch. S. 2. 3. FĂŒr zwei und mehre Zahlen das grĂ¶ĂŸte gemeinschaftliche Maaß zu finden. 19 IVIktzc,? lc'r\v ÎŹÏÎ”ÎĄÎŒ ÎŹÎčÎĄÎŒÎżÏ‡Îč, ÎŻÎ»ÎŹÎœ ÎżÏ… ÎŒÎ”ÎŻÎ¶ÎżÎœÎż, αΜ πααΌΔρ^ ÎżÎœ ÎŒÎ”ÎŻÎ¶ÎżÎœÎ±. Μ Δρ'η , αΜ , ÎčÎź ÎșÎ±Î±ÎŒÎ”ÏÎŹ. 20 Ich muß hier bemerken, baß bic Griechische» Malhemaiiker die Name» der figurirtcn Jahlcn immer als Masculina, die Namen der entsprechenden geometrischen Figuren dagegen immer als Neutra gebrauchen. So beißt ÏÎŻÎłÎœÎżÎœ das Dreieck, ÏÎŻÎłÎœÎż die dreieckige Zahl, Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ das Quadrat, Î”ÏÎŹÎłÎœÎż die Luadratzabl, Î”Ï€ÎŻÏ€Î”ÎŽÎżÎœ die Ebene, Î”Ï€ÎŻÏ€Î”ÎŽÎż die ebene oder FlĂ€chenzabl, ii. s. w. Alle diese Namen sind Adjectiva, und es ist in dem einen Falle ÎŹÏ& ÎŒÎŹ , in dem andern ÎżÏ‡^Όα zu ergĂ€nzen. Nur Μ,ΖÎČÎż ist immer Masculinum. 159 φ- ÎŒ 0 1 ρ = & = ^ = ßy± = 6, so verhĂ€lt sich, wenn wir fĂŒr , p y , S^ihre^cntsprechcndcn * StĂŒcke auf eg sudstitrĂŒrcn ?ÂŁr & ^ x — & . also ilividemlo Px. = ^ ; ^ = ÂŁ2, Ae und componendo ^ ^ ÂŁ _ j_ ^ -j— ^A ÂŁ*-{- ? cA - As und nun wieder die ursprĂŒnglichen GrĂŒĂŸen substituirt und die Proportion rĂŒckwĂ€rts gelesen kA" -j- ßy - j- 6 — ßi\ n d. i. — a - j- ßy S = ßj, — ata q. c. d. Es ist zugleich leicht einzusehen, wie der hier nur fĂŒr vier Großen bewiesene Satz mtf mehre sich ausdehne» lĂ€ĂŸt. S. 36. Nimmt man so viele von der Einheit an stetig verdoppelte Zahlen, bis deren Summe eine Primzahl wird, so ist das Product aus dieser Summe in die letzte jener Zahlen eine vollstĂ€ndige Zahl smiinvrus perfcctus, d. h. eine Zahl, welche der Summe aller ihrer Theiler, 1 mitgerechnet, gleich ist. Nimmt man die nach den ganzen Potenzen von 2 fortschreitende Reihe 1, 2, 4, 8 .... 2", deren Summe 2" +1 — 1 ist, so ist, nach Euklid's Satz, die Zahl 2" 2"+ * 1 — 1 eine vollstĂ€ndige Zahl, so oft 2'-+* — 1 eine Primzahl ist °°. Euklid's Beweis dieses Satzes ist in seiner linearen Manier 22 Der Beweis lĂ€ĂŸt sich sehr leicht so fĂŒhren. Sei 2 + i — 1 — p, „nd die Summe der Factoren der Zahl 2» 2» + i — l t. h. 2 »p sei S, so ist S = 1 + 2 + 4 +- 2» + />* + 2 + 4 +-2-i = 1 + P 1 + 2 * + 4 2 '' _1 + 2 " Aber 1 + 2 + 4_2»-t — 2» — 1, 1 + p — 2 + i — 2 > 2», demnach S = 2 2 2" —1 + 2» = 2 [2 2" — 1 + 1] = 2» 2 + l — 1 = 2 "p dlus diesem Beweise leuchtet zugleich ein, daß der Satz nicht gilt, wenn p Faktoren hat. 11 » 164 rtwas weitlĂ€uftig, weshalb ich ihn hier nicht mittheile. Er beweist zuerst, daß die gefundene Zahl, deren VollstĂ€ndigkeit bewiesen werden soll, sich zu der Summe der zum Grunde gelegten Reihe verhalte, wie das letzte Glied dieser Reihe zur Einheit, ein Resultat, welches wir durch unsere Formeln sogleich vor Augen haben, indem wir die i» Rede stehende Zahl durch 2» 2 ,, + * 1 2 3 — 1 ausdrĂŒcken. Nun ist offenbar, daß diese Zabl durch alle Glieder der beiden Reihen 1, 2 ... 2 und 2» + ' —1, 2 2»+ — 1 . . . 2"~ 1 2'' + 1 — 1 theilbar ist. Euklid beweist nun zweitens, daß 2 2 ,,+1 — 1 die Summe sĂ€mmtlicher Glieder beider Reihen ist, und drittens, daß dieselbe Zahl keine anderen Faktoren habe, als die genannten, wobei sich die Bedingung crgiebt, daß 2"+*—1 Primzahl sein muß ". 23 S'ic Untersuchung, ob eine Zahl von der Form 2-4-1 — 1 Primzahl fei ober nicht, isi nicht ganz leicht, wen» die Fahle» »fangen groß zu werden. Fermat hat in einem Briese an Mersenne Varia oporu matliein. l'e-tri do Fermat. Tolosac. 167l>. fol. ]i. 177 drei hĂŒbsche SĂ€tze gegeben, welche die Untersuchung sehr abkĂŒrzen. Schreibt man sich nĂ€mlich in eine Reihe die um t verminberlen Potenzen von 2, welches eben jene Smnmenglieber sind, und darĂŒber die Exponenten der um 1 grĂ¶ĂŸeren Zahlen fĂŒr die Wurzel 2, etwa so 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 3 7 15 31 63 127 253 511 1023 2047.... 2 _ 1 so finden zwischen den Erponenten und de» darunierstebende» HauplgrĂ¶ĂŸen fol- gente Beziehungen statt 1. Wenn der Exponent keine Primzahl ist, ist auch die HanplgrĂ¶ĂŸe keine Primzahl, weil ul't — 1 immer sowohl durch nP — 1, als durch nl — 1 theilbar ist. 2. Wenn der Exponent eine Primzahl ist, so ist die um 1 verminderte Haupt- 2» —r 2 » — 2 große durch de» doppelten Erponenten theilbar. demnach ist dieser Satz ein specieller Fall des bekannten Satzes, daß, wenn p Primzahl ist und i» a nicht aufgeht, allemal />— 1 — 1 durch p aufgeht. 3. Wenn der Exponent n eine Primzahl ist, so kann die HauptgrĂ¶ĂŸe nur theilbar sein durch Zahlen von der Form 2 »,n - j- 1. Hat nun die Haupt- grĂ¶ĂŸe keinen Theiler dieser Form, was sich leicht versuchen lĂ€ĂŸt, so hat sie ĂŒberhallpt keinen Theiler. FĂŒr den vorliegenden Zweck dienen namentlich der erste und dritte dieser SĂ€tze. Wie gewöhnlich, so theilt auch hier Fermat seinen Beweis nicht sondern begnĂŒgt sich, den ausgesprochenen SĂ€tzen die Worte hinzuzufĂŒgen V>la Irois fort belles propositious que j’ay trouvees et prouvies nou saus So wie Euklid dcu Satz ausgesprochen hat, hat er ihn scbarf unb genĂŒgend bewiese»; aber wir vermissen bei dem Satze etwa», dessen EuklideS nicht ErwĂ€hnung thut, nĂ€mlich die Behauptung und den Beweis, daß es außer den hier angegebenen keine anderen Zahlen giebt, welche die erwĂ€hnte Eigenschaft haben. Übrigens ist die Materie dieses an und fĂŒr sich allerdings merkwĂŒrdigen Satzes, den darum EuklideS auch als Schlußstein seiner rationalen Arithmetik benutzt, ziemlich unfruchtbar, und auch in der Folgezeit nicht viel weiter fortgebildet. Auch Ă€hnliche Probleme und SĂ€tze, welche Fcrmat anregte, haben zu ihrer Zeit keinen Anklang gefunden, eben weil ihr Einfluß auf die Wissenschaft zu gering ist im VerhĂ€ltniß zu der Schwierigkeit, mit welcher ihre Behandlung verbunden ist. So weit nun erstreckt sich die rationale Arithmetik Ettklid's, die Manches enthĂ€lt, dessen Wichtigkeit die spĂ€teren Griechischen Arith- mctikcr nicht erkannt rmd das sie daher in ihre Abhandlungen nicht aufgenommen haben, und was erst in neueren Zeiten als clc- mcutarc Grundlage einer wissenschaftlichen Zahlcntheoric wieder geltend gemacht ist. Ganz gewiß rĂŒhren die hier von Euklidcs vorgetragenen SĂ€tze ebenso wenig alle von ihm selbst her, als seine geometrischen BĂŒcher; nur sind die Nachrichten ĂŒber seine Vorarbeiten in der Arithmetik noch spĂ€rlicher, als die Winke ĂŒber geometrische Arbeiten und Erfindungen, die er benutzt hat. Von den bis hichcr vorgetragenen Sachen in Form und Wesen verschieden ist der Gegenstand, welchem EuklideS sein Zehntes Buch gewidmet hat. Dieses Buch, an Umfang das grĂŒĂŸte, an Inhalt das schwierigste der Euklidischen Elemente, handelt iit eigenthĂŒmlicher Weise von den Jrrationalgroßcn, indem alle uns als algebraische Formeln bekannte irrationale ZahlcnausdrĂŒckc hier in ganz geometrischer Vorstcllnngswcisc als Jrrationallinim betrachtet werden. Das Buch beginnt mit folgenden Definitionen Commensurablc und incommensurable GrĂŒĂŸen, o- dffvfinETQa GrĂŒĂŸen sind commcnsurabcl, wenn sie von vei„. ,j e j es p U j s appeller i es fcmdemcnts de l'iuvrntion des nombrcs purfaits. 166 einem und demselben Maaße gemessen werden, oder wie hieraus im S. 5 gefolgert wird, wenn sie sich zu einander verhalten wie eine Zahl zu einer Zahl. Im entgegengesetzte» Falle sind sie incommcnsnrabel. Z. B. n und \b sind, wenn b kein Quadrat ist, incoiinneiisurable GrĂ¶ĂŸen. In Potenz commcnsurabel SwĂŒpti avy/uerQoi sind zwei Linien, wenn ihre Quadrate von demselben Flachenraum gemessen werden, im entgegengesetzten Falle sind sie i» Potenz in commcnsurabel. Z. B. und \b sind immer in Potenz commensurabel, dagegen a und \b, wenn n > 2, oder a und b - j- y'c in Potenz incommcnsurabel. Dieses vorausgesetzt, wird gezeigt, daß einer angenommenen geraden Linie unzĂ€hlige andere gerade Linien commcnsurabel und in- commensurabcl sind, theils in LĂ€nge und Potenz, theils in Potenz allein. Diese angenommene gerade Linie heiße rational National heißen ferner alle Linic», die dieser entweder in LĂ€nge und Potenz, oder bloß in Potenz commensurabel sind. Irrational ukoyoi abcr, die ihr incommcnsurabel sind. Es ist zu bemerken, daß Euklidcs den Begriff der rationalen und irrationalen GrĂ¶ĂŸe anders nimmt, als wir und Diophant, indem wir das irrational nennen, was Euklidcs incommcnsura- bcl nennt. Der Unterschied rĂŒhrt daher, daß Euklidcs die RationalitĂ€t auch auf die bloß in Potenz commcnsnrabicn GrĂ¶ĂŸen ausdehnt. Daher ist ihm das VerhĂ€ltniß a \b rational, weil die Quadrate beider Ausdrucke commcnsurabel werden. Auch das Quadrat der angenommenen geraden Linie heiße rational, und was demselben commensurabel ist, heiße ebenfalls rational. Was abcr jenem Quadrate incommcnsurabel ist, heiße irrational, und ebenso heißen die Linien, welche irrationale RĂ€ume potcnzircn, irrational; wenn der Raum ein Quadrat ist, so sind es die Seite» selbst, wenn er abcr eine andere geradlinige Figur ist, so sind es die Seiten der diesen gleichen Quadrate ui iCa avrou; 7 ÂŁToĂŒya>va . Ich habe den Ausdruck, eine Linic potcnzirt einen Raum, aus Lorcnz's Übersetzung beibehalten, welcher dadurch recht glĂŒcklich den Griechischen Ausdruck, eipeia SvrĂŒfiei. 70 %uiqIov wiedcrgicbt; 107 y öi 'VJA I fcV’ij to y^io/ol’ i't lUltltllct bic ©CltC bcö iUlU! breite', UH'ldH" bcm Raume gleich ist. Eine Menge specieller Dcsinitioncn sinbc» sich nun noch im Laufe des Vertrages zerstreut, weil sie sich nicht fĂŒglich vor bcr Kenntniß bcr Sache geben lassen. Der Inhalt bicscs Buchs nun laßt sich ganz ungezwungen i» folgcubc vier Abschnitte theilen L Allgemeine Satze ĂŒber ConuncnsurabilitĂ€t, S. 1 — 21. II. Über bic Mcbiallinic, S. 22 — 36 III. Jrrationallinicn, bic burch Zusammensetzung entstehen, unb zwar S. 36 — 72 burch Abbition, S. 73 — 111 burch Subtraktion. IY. FĂŒnf ErgĂ€nzungssĂ€tze, S. 112 bis zum Enbe. Nach bicscr Übersicht will ich nun, so kurz cS sich thun lĂ€ĂŸt, ohne etwas Wesentliches zu ĂŒbergehen, bcu Inhalt bicscs mcrkwĂŒrbi- gcn Buches barstcllcn, unb bcr mobcrncn Vorstcllungswcise baburch zu Hilfe kommen, baß ich bic Resultate uub Formeln mit bcu uns gelĂ€ufigen Zeichen ausbrĂŒckc. Erster Abschnitt. S. I. Der berĂŒhmte Satz, aus bcm bic Methode der Erhau- stion beruht Wenn zwei ungleiche Großen gegeben sind, und man nimmt vou der grĂ¶ĂŸeren mehr als die HĂ€lfte, von dem Reste wieder mehr als die HĂ€lfte, lind so fort, so bleibt endlich eine Große ĂŒbrig, welche kleiner ist, als die kleinere der beiden gegebenen Großen. Ebenso, wenn immer nur bic HĂ€lfte wcggcnonimeu wirb. S. 2. Wenn zwei ungleiche Großen gegeben sind, unb man nimmt immer bic kleinere von bcr grĂ¶ĂŸeren weg, so sind, wenn nie ein Rest den nĂ€chst vorhergehende» genau mißt, bic beiden GrĂ¶ĂŸen inkommensurabel. Vcrgl. YII, 1. S. 3. 4. FĂŒr commcnsnrablc GrĂ¶ĂŸen das grĂ¶ĂŸte gemeinschaftliche Maaß zu finden. S. 5 — }. Commcnsnrablc GrĂ¶ĂŸen verhalten sich wie Zahlen zu einander, inkommensurable nicht; Quadrate commcnsurablcr 24 Von S. 31 an stimme» bic Ausgabe» in be» Juble» nicht ĂŒber ein, in trm so auch Lore»; in seiner Übersetzung, be» S. 30 bcr Baseler Aus gĂ€be, »ach eer ich citive, in zwei zerlegen. 168 GrĂ¶ĂŸen verhalten sich wie Quadratzahlcn. Umkchrung aller dieser SĂ€tze. S. 10. Aufgabe a5 3 einer gegebenen geraden Linie zwei andere zn finden, deren eine ihr bloß in Lange, die andere aber in LĂ€nge und Potenz incommensurabel ist. S. 11. Satz des TheĂ€tetus. Wenn vier GrĂ¶ĂŸen in Proportion stehen, und die erste der zweiten commensnrabcl ist, so ist auch die dritte der vierten commensnrabcl; ist aber die erste der zweiten incommensurabel, so ist auch die dritte der vierten incom- mcnsnrabel. S. 12 — 14. Folgen, wenn zwei GrĂ¶ĂŸen sich in Bezug auf ConnncnsurabilitĂ€t zu einer dritten gleich oder ungleich verhalten. S. 15. Wenn vier Linien in Proportion stehen, und es po- tcnzirt die erste ĂŒber die zweite uni das Quadrat einer der ersten in LĂ€nge commensurablcu oder incommcnsurablcn Linie, so potcnzirt die dritte ĂŒber die vierte in derselben Weise. AvvaTCXi rj ito CĂŒTrj rrji, öevreocaj /ua^ov t und V — b S. 32 33. Zwei mediale bloß in Potenz kommensurable Linien zu finden, deren Rechteck medial ist, und von denen die grĂ¶ĂŸere ĂŒber die kleinere um das Quadrat einer jener und ] h a* — c° yv* 2 V/y und \l> a — c» \~ÖJ> 3 V b\a lind V hya ß 1 V a\b unb V a\h 2 fai mit V±EZ3 V/, 3 S- 33 34. Zwei in Potenz incommcnsttrablc Linien zu finden, so daß die Summe ihrer Quadrate rational, ihr Rechteck aber medial sei. 1 2 V V -y a y h 2 n V ah 2 tmd und — a y /, 2 — V ah 2 S. 34 35. Zwei in Potenz incommensurablc Linien zu finden, so daß die Summe ihrer Quadrate medial, ihr Rechteck aber rational sei. 1 2 V V a + \'h V — h 2 {\a !, a — / , 2 und tuid y—y/> y S. 35 36. Zwei in Potenz inrommcnsurablc Linien zu finden, so daß sowohl die Slunine ihrer Quadrate als ihr Rechteck medial, beide Mediale aber einander inconnnensurabcl seien. 174 1 und j / — Vc \b 2 Ύ V+ V'c V/, und Y V"- Vc V'> 3 Y 1> V + Vc und Y /, V - Vc Dri ttcr Abschnitt. Î‘ÏÏ‡Îź Μ ÎșαΏ υΜ^ΔÎčΜ Î”ÎŸÎŹÎŽÎœ, die sechs Abschnitte ĂŒber die durch Addition gebildeten Linien S. 36 — 72. Diesem Abschnitte Satz fĂŒr Satz analog ist der folgende unter der Überschrift ΔΔύΔρα ÎŹÂŁÎč ΔέρΜ Î»ÎłÎœ , Μ ÎșαΏ ÎŹÏˆÎ±ÎŻÏÎ”Î±ÎŠÎœ, ĂŒber die durch Subtraction gebildeten Linien S. 73 — 110, und weil die Behandlung beider durchaus nicht verschieden ist, so habe ich aus beiden bei Euklidcs getrennten Abschnitten einen gebildet, indem ich immer die corrcspondircnden SĂ€tze beider Abschnitte zusammenfasse. Die deutschen Benennungen der einzelnen Jrrationallinicn habe ich nach Loren; beibehalten. Beide correspondircnde Abschnitte sind bei Euklidcs in Unterabtheilungcn getheilt, welche er, weil die meisten derselben aus sechs SĂ€tze» bestehen, Hcradcn nennt. Erste Hex ade. Bildung der zusammengesetzten Irrational- linicn. S. 36. 73 37. 74. Wen» zwei rationale bloß in Potenz kommensurable Linien zusammengesetzt werden, so ist die ganze irrational, und heißt die Binomiale Îź ΔÎș ÎŽÏÎż ÎżÎœÎżÎŒÎŹÎœ. Die Differenz zweier solcher Linie» heißt die Apotomc Ï€ÎżÎż,αΟ \a + \b, a + \b , fĂŒr die Apotomc noch \a — b. Der Ausdruck Binomium hat sich bei uns in viel weiterer Bedeutung fĂŒr jede algebraische Slnnmc und Differenz erhalten, so daß wir alle von Euklidcs unterschiedenen Jrrationalformcltt Binomien nennen wĂŒrde». Der Ausdruck Apotomc und der von den Italienern dafĂŒr substituirtc rccisum, reciso, ist gegenwĂ€rtig ganz verschwunden. S. 37. 74 38. 75. Wenn zwei bloß in Potenz commcnsu- rable Mediallinicn, deren Rechteck rational ist vergl. S. 28. 31., verbunden werden, so ist sowohl ihre Summe als ihre Differenz irrational, und die erstere heißt die erste Bimcdialc Îź ΔÎș ÎŽÏÎż ΌέΜ πρώη, die andere heißt die erste Medialapotomc 'I Όέη Î±Ï€ÎżÎżÎŒÎ· πρώη. Ich will hier und bei den folgenden Linien die im vorigen Abschnitte gegebenen Formel» nicht wiederholen, sondern verweise nur auf die Nummer des Satzes, welcher zwei solche Linien finden lehrt, wie sie hier verlangt und verbunden werden. Aus S. 31. lassen sich zwei FĂ€lle unterscheiden, je nachdem der grĂ¶ĂŸere Theil ĂŒber den kleineren um das Quadrat einer dem grĂ¶ĂŸeren Theil commcnsurablen oder incommensurablcn Linie potcnzirt. Da aber Enklidcs diesen Unterschied bei der Definition der zusammengesetzten Jrrationallinien nicht macht, so will ich auch bloß darauf hinweisen. S. 38. 75 s39. 76. Wenn zwei bloß in Potenz kommensurable Mcdiallinicn, deren Rechteck medial ist S. 29. 32., verbunden werden, so ist sowohl die Summe als die Differenz dieser Linien irrational, und die erstere heißt die zweite Bimedialc η ÎŻÏ‡ ÎŽÏÎż ΌέΜ ΎΔύΔρα, die andere die zweite Medialapotomc Îź ΌΔ. η ÎŹÏ‡ÎżÎżÎŒÎ· ΎΔύΔρα. S. 39. 76 40. 77. Wenn zwei in Potenz incommensurable Linien, deren Summe der Quadrate rational, deren Rechteck aber medial ist S. 33., verbunden werden, so ist sowohl die Summe- als die Differenz dieser Linien irrational, nnd jene heißt die grĂ¶ĂŸere Irrationale Îź ÎŒÎ”ÎŻÎŸÎœ, diese die kleinere Irrationale 1η ΔλαύΜ. S. 40. 77 41. 78. Wenn zwei in Potenz incommensurable Linien, deren Quadratsnmme medial, deren Rechteck aber rational ist S. 34., verbunden werden, so ist sowohl die Stmnne als die Differenz dieser Linien irrational, nnd jene heißt die ein Rationales lllld Mediales' Potcnzirende η ρηΜ xa\ ÎŒÎ­ÎżÎœ ΎΜΜαΌέÎčη], diese die mit einem Nationalen ein mediales Ganze Gebende η ÎŒÎ”ÎŹ ÏÎ·ÎżÏ ÎŒ ÎŻÎżÎœ Îż Î»ÎżÏ… Ï€Îż/οΰο'α. S. 41. 78 42. 79. Wenn zwei in Potenz incommensurable Linien, deren Quadratsnmme und Rechteck medial, aber einander in- commcnsnrabcl find S. 35., verbunden werden, so ist sowohl die Eunnnc als die Differenz dieser Linien irrational, und jene heißt die zwei Mediale Potcnzirende η ÎŽÏÎż Όέα ΎυΜαΌΔΜη diese die ntit einem Medialen ein mediales Ganze Gebende η ÎŒÎ”ÎŹ ÎŒÎ­ÎżÏ… ÎŒÎ­ÎżÎœ Îż Î»ÎżÏ… Ï€Îż/ÎżÏ…ÎœÎ±. Hier nun noch Einiges ĂŒber die von Enklidcs gewĂ€hlten oder 176 vielleicht schon vor ihm gebrauchten Namen der verschiedenen Ir- rationallinien. Die Name» der ersten sechs Linien sind klar, weil sie von der Ă€ußeren Form des Ausdrucks hergenommen sind,- bei den sechs folgenden aber beruht die Dcncnnung auf abgeleiteten Eigenschaften des Ausdrucks. Der Name der großer» und kleinern Irrationale scheint willkĂŒhrlich gewĂ€hlt zu sein, indem Namen, welche mit demselben Rechte, dem reinen Wortvcrstandc gemĂ€ĂŸ, auf alle anderen Arten von JrrationalgrĂ¶ĂŸcn hĂ€tten angewandt werden können, durch den mathematischen Sprachgebrauch einer speciellen Art derselben zugetheilt wurden, ebenso wie jede dieser Jrrationallinicn mit demselben Rechte wie die erste η L ÎŽÏÎż ÎżÎœÎżÎŒÎŹÎœ genannt werden könnte, zumal da Euklides in den SĂ€tzen der zweiten Hcpadc wirklich die beiden Bestandtheile sĂ€mmtlicher Jrrationallinicn ÎżÎœÎŒÎ±Î± nennt. Jedenfalls ist die von Lorcnz nach S. 40. gegebene ErklĂ€rung des Namens unpassend. Lorcnz sagt, diese Linie habe ihren Namen daher erhalten, weil die rationale Summe der Quadrate der beiden Theile grĂ¶ĂŸer ist als das irrationale oder mediale Rechteck derselben. Daraus ist erstens der Name der grĂ¶ĂŸer» Irrationale noch ganz und gar nicht motivirt, indem mau nach wie vor fragt, warum heißt die Linie denn nun die grĂ¶ĂŸere Irrationales zweitens aber gilt ganz dasselbe von der kleinern Irrationale. Die noch ĂŒbrigen vier Namen aber haben ihren guten Grund. Die ein Rationales und ein Mediales Potcnzircnde, welche nach S. 34. gebildet wird, hat die Form V yVi -j- ]//> a — b + Das Quadrat dieses Ausdrucks ist V 'a 1 — ab - f- » — b, es besteht also alls einem rationalen und einem medialen Rechteck ss. S. 25., wodurch nach der bekannten Bedeutung des Verbums 6v- vaa^-ai der Name völlig motivirt ist. Die zwei Mediale Po- tcnzircndc, die aus S. 35. abgeleitet wird, hat die Form V + Y'c Vb 2 + V — y'c y b 2 t und ihr Quadrat ist y fab + V — c b, also die Summe zweier medialen Rechtecke. Die Namen der diesen beiden entsprechenden Diffcrenzcnliiiicn sind ebenfalls nicht von der Form der Linie» selbst, sondern von der Form ihrer Quadrate hergcitommcn. Das Quadrat der ber erstem von ihnen ist V 2 — ah — — //; wenn man zu diesem Quadrate das rationale Rechteck a — b addirt, so wird die Summe ein mediales Rechteck, — ah, daher der Name die mit einem Rationalen ein Mediales Ganze Gebende. Das Quadrat der letzter,, dagegen wird jah — V — r h, welches, wenn man daö mediale Rechteck V — c b hinzu addirt, die mediale Summe iah giebt; daher heißt die Linie die mit einem Medialen ein Mediales Ganze Gebende. Zweite Hexade. S. 42— 47 43 — 48 und S. 79 — 84 80 — 35. Jede durch Addition oder Subtraetion zusammengesetzte Jrrationallinie kann nur in einem Puncte in ihre beiden Bestandtheile aufgelöst werden. Dieser Satz wird fĂŒr jede der zwölf zusammengesetzten Linien besonders bewiesen. DrĂŒcken wir den Satz arithmetisch aus, so sagt er z. B. fĂŒr den Fall der Binomiale, daß y -J- \h nicht gleich \.v —— y’y sein könne, wenn a, b und x, y von einander verschiedene rationale Zahlen sind; es kann also z. B. ]’x -j- \y nicht anders = 2 -j- y'3 werden, als wenn x — 2 und y = 3 ist. Dritte Hexade. Unterscheidung der sechs Arte» von Bino- mialen lnid Apotomen, und Regeln, jede derselben 31 t eonstruiren. S. 48 — 53 49 — 54 und S. 85 — 90 86 — 9l. Der allgemeine Ausdruck der Binomiale und Apotome ist \a + \b. Je nachdem nun oder b oder keines von beiden in unserm Sinne des Worts rational ist, und in jedem der drei Falle die grĂ¶ĂŸere ĂŒber die kleinere um das Quadrat einer der ersteren kommensurablen oder ineommensurablen Linie polenzirt, unterscheidet Eu- klides sechs Arten beider Linien, die sich nach dem letztgenannten Ein- theilungsgrunde in zwei Klassen theilen lassen. I. Der grĂ¶ĂŸere Theil potenzirt ĂŒber den kleinern um das Quadrat einer der grĂ¶ĂŸer,, in LĂ€nge eo,„mensurablen Linie. 1 Der grĂ¶ĂŸere Theil ist einer angenommenen Rationallinie kommensurabel, oder kĂŒrzer ausgedrĂŒckt, ist rational. Erste Binomiale und Apotome. a + isr? — oder a + i^ f 4 1 . 12 178 2 Der kleinere Theil ist rational. Zweite Binomialc und Apotome. .1 Keiner beider Theile ist rational. Dritte Binomiale und Apotom c. y ± V ^- - Cl cbcr V' ± V — ntP II. Der grĂ¶ĂŸere Theil potenzirt ĂŒber den kleineren UNI das Quadrat einer dem grĂ¶ĂŸeren in LĂ€nge incommensurablen Linie. 1 Der grĂ¶ĂŸere Theil ist rational. Vierte Binom iale und A p o t o m c. n + y' — d 2 Der kleinere Theil ist rational. FĂŒnfte Binom iale und Apotom e. }j f - j- d - f- n 3 Beide Theile sind irrational. Sechste Binom ialc und Apotome. V dt V a — r/ Diese scheinbar willkuhrlichc Einthcilung wird motivirt durch die Resultate der beiden folgenden Heradcn, in denen der auffallende Zusammenhang, in welchem die sechs Binomialcn und Apotomcn mit den in der ersten Herade erklĂ€rten sechs additiven lind sechs subtrarti- vcn Jrrationallinicn stehen, nachgewiesen wird. Vierte Her ade. Quadratwurzeln aus Binomien und Apotomcn. S. 34 — 39 55 — 60 und S. 9k — 96 92 — 97. Bei seiner geometrischen Darstellung kann Euklides nicht geradezu aus einer Binomialc oder Apotome die Wurzel ziehen, weil diese Ausdrucke ihn, durchaus Linien vorstellen. Darum bildet er erst ein Recbteck aus der Binomialc in irgend eine Nationallinic. Ein rationaler Factor Ă€ndert aber offenbar die Natur des irrationalen Ausdrucks nicht, und da derselbe ĂŒberdies beliebig ist, so könne» wir, wenn wir die irrationalen GrĂ¶ĂŸe» als ZahlcnausdrĂŒckc behandeln, denselben gleich 1 setzen, wodurch wir die Euklidische Operation in eine wirkliche Quadratwurzelanszichung aus dem reinen vorgelegten Binomium verwandeln. Das intercffantc Resultat dieser beiden correspondircndcn Hcradcn ist, daß die Quadratwurzeln dcr sechs Bi- nomiale» dcr Reihe nach durch die sechs in der ersten Hcradc erklĂ€rten additiven, die Quadratwurzeln dcr sechs Apotomcn durch die sechs subtractivcn Irrationallinicn rcprĂ€scntirt werden. DemgemĂ€ĂŸ ist die Wurzel aus dcr ersten Binomiale eine Binomiale, die Wurzel aus dcr zweiten Binomiale die erste Bimcdialc u. s. w. FĂŒnfte Hex ade. Quadrate dcr zusammcngcsctztcn Jrratio- nallinien. S. 60 — 65 61 — 66 und S. 07 — 102 OK — 103. Diese SĂ€tze enthalten die Umkchrung dcr in dcr vorigen Hcradc bewiesenen, und die Resultate sind die, daß die Quadrate dcr sechs additiven Jrrationalgrbßen dcr Reihe nach die sechs Binomialcn, die Quadrate dcr sechs subtractivcn JrrationalgrĂ¶ĂŸcn dcr Reihe nach die sechs Apotomcn hergeben. DemgemĂ€ĂŸ ist z. B. das Quadrat jeder der sechs Binomialcu ohne Unterschied eine erste Binomiale, das Quadrat dcr ersten Bimcdialc eine zweite Binomiale n. s. w. Weil aber wiederum geometrisch betrachtet das Quadrat einer Linie nicht eine Linie sein kann, so stellt Enklideö die Sache so dar, daß er an eine Rationallinie ein Rechteck anlegt, welches dem Quadrate irgend einer dcr Irrationallinicn gleich ist, und nun die Breite, d. h. die andere Seite dieses Rechtecks bestimmt. Wir erhalten hier wiederum das einfache Zahlenrcsultat, wenn wir die angenommene Rational- linic 1 setzen. Sechste Hcradc. Jede einer zusammcngcsctztcn Irrational- linic in LĂ€nge commcnsurablc Linie ist eine Irrationallinie derselben Art. S. 66 — 70 67 — 71 und S. 103 — 107 104 — 108. Dieser Satz wird in S. 66 und S. 103 von allen Binomia- lc» und Apotomcn und in S. 67 und in S. 104 von beiden Bi- mcdialen und Mcdialapotomcn bewiesen. Daher enthĂ€lt diese dcr Analogie wegen sogenannte Hcxadc nur fĂŒnf SĂ€tze in jedem der beiden corrcspondirenden Abschnitte. Es folgen nun in dem ersten Abschnitte zwei, in dem zweiten brci einzelne SĂ€tze, welche auf eine gefĂ€llige Weise Mittel an die Hand geben, die zwölf zusammengesetzten Irrationallinicn zu bilden. Wir wollen sie einzeln durchgehen. S. 71 72. Wenn mau einen rationalen und einen medialen 12 * 180 Raum zusammenstellt, so cntftcbcu sals den Summenraum potcnzi- rend vier Irrationallinicn, und zwar cniti'sbn die Binomialc, oder die erste Bimedialc, oder die grĂ¶ĂŸere Irrationale, oder endlich die ein Rationales und Mediales Potcnzirende. Beweis. Die beiden RĂ€ume seicit AB, der rationale und CD, der mediale. Erster Fall. Ali > CD- Lege an eine beliebige Rationallinic EF bis beiden Rccht- 4 r ecke EG - Ali, III CD, so wird EH rational und in LĂ€nge commcnsurabcl der EV, ©. 21 , dagegen I/K rational aber nur in Potenz der EE com- _ mensurabel ©. daber ist auch IIK der EH bloß n " in Potenz commcnsurabel, also EK eine Binomiale, und zwar, da Eis > IIK, entweder eine erste oder eine k ii k vierte Binomiale, je nachdem EH ĂŒber 11 K um das Onadrat einer der Elf in LĂ€nge commcnsurablcn oder incommcnsurablen Linie potcuzirt. Ist nun EK eine erste Binomiale, so ist nach S. 54. die den Raum Ei potenzirende Linie eine Binomiale. Ist dagegen EK eine y r vierte Binomialc, so ist nach S. 5>7. die den Raum EI potenzirende Linie die grĂ¶ĂŸere Irrationale. Zweiter Fall. AU kann nie = .*’ -f- \y werden. Leinma. Die Apotome und die auf sie folgenden Jrrational- linicn sind weder mit der Mediale, noch unter einander einerlei. Vierter Abschnitt. Es folgen nun noch als Beschluß dieses Buchs fĂŒnf einzelne SĂ€tze, welche wir noch kĂŒrzlich betrachten wollen. S. 112 113. Das dem Quadrate einer Rationallinie gleiche an einer Binomialc entworfene Rechteck giebt zur Breite eine Apo- tomc, deren Bestandtheile den Theilen der Binomialc commeiisurabel und proportionirt sind, und die von derselben Ordnung wie die Bi- nomiale ist. Das heißt, eine Ouadratzahl c 2 , dividirt durch eine Binomialc > >t -f- giebt zum Quotienten eine Apotome, die der Binomialc Ă€hnlich ist; es ist nĂ€mlich c 2 _ c s ]/, i — \'b \'u - j- \h a — b oder wenn wir fĂŒr c 1 gleich von vorne herein 1 subftituiren Vvri-yi » “T "- 4 = * + >* > .113 114., Das dcm Quadrate einer Rationallinie gleiche an einer Apotome entworfene Rechteck giebt zur Breite eine Bino- mialc, deren Theile den Theilen der Apotome connncnsurabcl und proportionirt sind, und die mit der Apotome von derselben Ordnung ist. Das heißt 1 _ V + V* y — y/> a — l S. 114 113. Wenn ein Raum enthalten ist unter einer Apotome und einer Binomialc, deren Theile den Theile» jener commcnsurabel und proportionirt sind, so wird der Raum von einer Rationallinie potenzirt. m \a — m\~b — 'jm n — b, und der Raum selbst ist m a — b. Porisma. Daraus leuchtet ein, daß es möglich ist, daß ein rationaler Raum unter irrarionalcn Linien enthalten sei. S. 115 116. Aus einer Mcdiallinie entstehen unzĂ€hlige Ir- rationallinieir, und keine derselben ist mit irgend einer der vorher behandelten einerlei. Euklidcs sucht die mittlere Proportionale zwischen einer Ratio- nallinic a und einer Mediale }b r welche ^a}b ist, und die sich von alten bisher betrachteten Irrationallinicn dadurch lnitcrschcidct, daß ein ihrem Quadrate gleiches an einer Rationallinie entworfenes Rechteck eine mediale Breite giebt, oder, wie Lorcnz dcm Sinne nach richtig, aber ganz »geometrisch sagt, daß ihr Quadrat eine Medial- linie giebt. Ferner nimmt er die mittlere Proportionale zwischen a und V \/j und so weiter fort. S. 118 26 117. In jedem Quadrate ist die Diagonale der Seite in Lange incommcnsurabcl. Die EinfĂŒhrung dieses Satzes, wie er im Original ausgesprochen ist, ist ganz von Euklid's Manier abweichend, indem der Text sich der Einlcitnngssormcl bedient Ï€ÏÎżÎș^/Îż^ ? ,Îč ΎΔΐ^οα ΖÎč ii. s. w. Es ist auch auffallend, daß dem natĂŒrlichen und ganz kurzen Bc- 26 Als S. t 16. 117 hat die Naseler Ausgabe zwei SĂ€tze, die schon oben als S. 105. 106 da gewesen sind. Am Rande steht Nou Laljct altcrum grac- cum cxcmplar. Sie gehören auch gar nicht hieher. U'cifc dieses Satzes, dem nĂ€mlich, das? das Quadrat der Diagonale sich zum Quadrat der Seile wie 2 zn J, also nicht wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl S. 0 verhĂ€lt, ein anderer ziemlich langer Beweis vorausgeschickt wird, der zwar richtig ist, aber eben wegen seiner entbehrlichen WeitlĂ€uftigkcit gar nicht Euklidisch aussieht. Vielleicht gehört dieser Satz, der hier als ein bloßer Anhang zu der Lehre vo» den Irrationallinic» erscheint, so wie gewiß die binter ihm folgende Anmerknng, welche lehrt, daß die IrrationalitĂ€t nicht auf Linien beschrĂ€nkt ist, sonder» auch aus FlĂ€che» und Körper ausgedehnt werden kann, zu den ZusĂ€tzen eines spĂ€teren Bearbeiters der Elemente, vielleicht Theon's. Aber es sei hierĂŒber genug. Ich bin gerade bei diesem Euklidischen Bliche etwas attsfĂŒhrlich gewesen, weil wir dem hier behandelten GegenstĂ€nde nicht sobald wieder begegnen. Oft tind vielfach ist die rationale Arithmetik der Griechen behandelt worden und die Erweiterungen, welche die Euklidische Lehre des siebenten, achten und neunten Buchs erfahren hat, sind sehr wesentlich. Aber sein zehntes Buch ist das einzige Überbleibsel aus dem Alterthume, welches von der irrationalen Arithmetik der Griechen uns einen Begriff giebt, und wir haben auch keine Nachricht, daß irgend ein spĂ€terer Mathematiker dieser Nation die Euklidische Lehre weiter fortgebildet oder sich auch nur damit beschĂ€ftigt hĂ€tte 27 . Der Grund dieser Erschci- nling mag allerdings darin seine ErklĂ€rung finden, daß Euklidcs die irrationale Arithmetik bedeutend vollstĂ€ndiger behandelt hat, als die rationale, welche, wie sie in seinen drei genannten BĂŒcher» uns vorliegt, in der That noch vieles zu wĂŒnschen ĂŒbrig lĂ€ĂŸt. Der Erste meines Wissens, der sich der Fortbildung der Theorie der Irrational- große» wieder angenommen hat, ist LueaS Pacioli de Burgo gegen das Ende des fĂŒnfzehnten Iahrhlliidcrts, nachdem die Lehre beinahe achtzehn Jahrhunderte brach gelegen. Kaum habe ich nöthig, den Leser auf den hohen Grad der Abstraktion, welchen die Behandlung dieses Gegenstandes als einer geometrischen Theorie bei den der algebraischen Formclnsprachc entbehrenden Griechen voraussetzt imb verrĂ€th, aufmerksam zu machen. 27 Dagegen berichtet Diogenes Lacrlins I. IX- S K bchi vor Eutlioes Dcniokrinis ei» Werk aKuyw yga/vitSr *al vuoftSv versaht höbe. iWiii bai letzte Wort hier bcbeulc» soll, weiß ich »icht. Mehr als irgend eine von den Griechen bearbeitete Methode zeugt eben die Tbcoric der JrrationalgrĂ¶ĂŸcn fĂŒr das ungeheure Übergewicht, welches in ihrer VorstellungSweisc die Geometrie ĂŒber die Arithmetik behauptete. Diese Formeln, welche wir meistens aus sehr complicirtcn und in einander geschobenen Quadratwurzeln gebildet in der eben gegebenen Darstellung vor Augen gestellt haben, behandelt Euklid, auf den einfachen und einzigen Begriff der Commcnsurabili- tĂ€t gestĂŒtzt, ohne auch nur einer Quadratwurzel zu erwĂ€hnen. Er sieht nur gerade Linien vor sich, die mit unsern Formeln nicht den unschĂ€tzbaren Vorzug gemein haben, daß ihre mannigfachen Eigenschaften und EigenthĂŒmlichkeiten sich gleich in ihrer Ă€ußeren Form verrathen; die algebraische Formel trĂ€gt fĂŒr das geĂŒbte Auge alle, auch die verborgensten Eigenschaften, die ihr anhaften, sogleich zur Schau; aber eine gerade Linie sieht auf ein Haar der andern Ă€hnlich, und ihr einziges unterscheidendes Merkmal, das aber eben auf ihre sonstige Beschaffenheit keinen dirccten Einfluß hat, ist ihre Lange. Es ist allein der abstractc Gedanke, der diesen Linien ihre tiefen Geheimnisse entlockt, welche unsre Formeln uns fast unaufgefordert aus- plandcrn. Und somit glaube ich nicht zu viel zu sagen, wenn ich behaupte, daß dieses in seiner geometrischen Gestalt jetzt freilich we- nig brauchbare und darum wenig beachtete Buch gerade dasjenige ist, welches uns den alten Mathematiker tu seiner höchsten Glorie erkennen lehrt, Das SĂ€culum, welches Euklidcs eröffnet, war das goldene Zeitalter der Griechischen Mathematik. Die von den ersten PtolemĂ€crn in Alcrandricn gestiftete Schule, verbunden mit der weltberĂŒhmten Bibliothek, trug sehr bald herrliche FrĂŒchte, und die Wissenschaften fanden hier gleichsam in einem großen gemeinschaftlichen Centrunl Vertreter, welche nicht nur selbst ihrer Zeit und ihrer Schule alle Ehre machten, sondern auch anderwĂ€rts schlummernde Talente weckten und zur Nachciserung anregten. EnklidcS selbst gehörte zu den Ersten, welche PtolemĂ€us Lagt zu einem Lehramtc an der neu gegrĂŒndeten Schule berief. Dieser Umstand ist aber auch fast das Einzige, was wir von den Ă€ußern LcbcnsvcrhĂ€ltnjsscu des berĂŒhmte» Mannes wissen s8 . Seine College» waren die von PtolemĂ€us, dem 28 S. Prokius Comment. zum Euklid. Ed. Bas. p, '20. Bar. I. c. 4. AusfĂŒhrlichere Nachrichten theilen uns Arabische Historiker i'ibcr ih» mit, die aber, Verfasser der Ms^-aAtj 2vvTs/4^, oft citirtcn Astronomen Tiniocha- ris und Aristillus. Es folgt nun eine Reihe von Mathematikern emd Astronomen, welche entweder in Alerandricn seihst lebten, oder doch der dortigen Schule ihre Ausbildung verdankten, und deren Werke die Bewunderung, welche die Nachwelt ihnen gezollt hat und noch bis auf den heutigen Tag zollt, in vollem Maaße verdienen. Es ist hinreichend, in einem ZeitrĂ€ume von wenig mehr als einem Jahrhundert die Name» Aristarchus, Archimedcs, Eratosthe- iies, ApolloninS, Ktefibins, Hcron, Hipparchus zu nennen, durch welche die Geometrie und Astronomie der Grieche» auf den hohen Gipfel erhoben wurde, auf dem diese Disciplinen allen spĂ€teren Nationen als Muster vorlcuchtctcn. Auch der praktische Calcul blieb nicht vernachlĂ€ssigt, unb wir haben oben von den dahin sobald sie sich ins Ausland wagen, wenig zuverlĂ€ssig sind, Der anonvmc Verfasser der gegen das Ende des zwölften Jahrhunderts geschriebene» Gel ehrt en- Ehronik, i ij', aus welcher Easiri i» seiner liibl. Aruli. Hisji, Ksciir. so schĂ€tzenswerte AuszĂŒge ĂŒber Mathematiker mittheilt, sagt 1'. I. >>. 311 des angefĂŒhrten Werkes „Euklidcs, der Sohn des Naukrates, des Sohns des Zenarchus so corriglrt Easiri den dlrablschcn Tert, in welchem die beiden Namen Nanftares und Zcnikus lauten, bekannt unter dem Namen des Geomctcrs wörtlich des Besitzers der Geometrie, Ls ein Gelehrter der alten Zeit, seinem Stamme nach ein Grieche, seinem AnsenthaUc nach ein Svrer, seinem Geburtsorte nach ein Tvricr, besaß eine große Geschicklich- krik in der Geometrie u. s. w." Zu einem Tvricr macht ihn auch Abulfaraj Hist. dyn. cd. l’ococke p. 34. BlcrkwĂŒrdig ist, daß beide Autoren, ersterer auf Jakob bcn Jsaak Alkindi sich berufend, unsern Euklides jĂŒnger als Apollonius machen. Alkindi nĂ€mlich sagt, Euklides habe zwei BĂŒcher des Apollonius ĂŒber die Kegelschnitte vervollstĂ€ndigt, sodann eine Einleitung zum VerstĂ€ndniß der fĂŒnf Körper geschrieben, und daraus seien dje ihm zugeschriebenen dreizehn BĂŒcher entstanden. Abulfaraj a. a. O. sagt, Apollonjus Werk ĂŒber die Kegelschnitte ,lebst einem andern Buch, das Apollonius verfaßt habe, seien die Veranlassung gewesen, daß Euklidcs lange Zeit nachher sein Werk geschrieben habe. Bauer in feiner Übersetzung des Abulfaraj S. 58 hat es nicht fĂŒr gut befunden, dieser Stelle eine berichtigende Anmerkung beizufĂŒgen. Daß die Ă€ltere» Occidentale», selbst noch bis ins siebzehnte Jahrhundert hinein, den Mathematiker Euklidcs mit dem gleichnamigen Philosophen von Megara, dem Zeitgenossen Plalon's verwechselten, habe ich oben S. 15 bereits erwĂ€hnt. Den doppelten Fehler, den ich dort bei Dcchales gerĂŒgt habe, begebt auch Blancanus, daß er nĂ€mlich den Mcgaren- sischcn Philosophen, welcher e. 424 starb, unter PtolcmĂ€us dem Ersten, welcher seit 323 das im Jahre 332 erbaute Alexandria in Besitz nahm, in diese Stadt ziehen lĂ€ĂŸt. S. llirvnol. mall,. >>. 45, 186 gehörige» Arbeiten Archimcd's lind Apollonius gesprochen. Weniger Nahrung fand in dieser geometrischen Periode die theoretische Arithmetik, und es ist unter den genannten MĂ€nnern nur ein einziger, dem wir eine ĂŒberdies nicht sehr erhebliche Erwcitcrluig dieses Zweiges der Wissenschaft verdanken. Es ist EratosthcneS. Er hat eine Methode zur Auffindung der Primzahlen erfunden, welche unter dein Namen des Siebes des EratosthencS {χÎșÎčΜ&Μ bekannt ist J9 . Den Namen hat diese Methode daher, dass EratosthcneS nicht die Primzahlen geradezu finden lehrte, sondern vielmehr aus der fortlaufenden Zahlenreihe allmahlig alle diejenigen ausschied, welche nicht Primzahlen sind, so dass zuletzt nur die Primzahlen ĂŒbrig blieben. Er siebte also gcwisscrmassen die Zahlen durch, so dass die unbrauchbaren durchfallcn mussten und nur die verlangten zurĂŒctblicbcn. Geradezu als lmbrauchbar schied EratosthcneS zur Vereinfachung der Arbeit alle gerade» Zahlen aus, und schrieb nur die ungeraden von 3 ab in einer möglichst langen Reihe hin ώ ΎΜΜααΜ ÎŒÎŹÎ»Îč. ÎŻÏ€Îč ÎŒÎźÎșÎčÎżÎœ ÎŻÏ‡ÎżÎœ, sagt NikomachtlS. Er untersuchte nun zu- nachst, welche Zahlen durch 3 thcilbar waren, und fand, dass von 3 an jede dritte als zlisammcngcsctztc Zahl wegzustreichen sei. Ebenso konnte er von 5 an jede fĂŒnfte, von 7 an jede siebente u. s. w. wegstreichen. Wenn er nun diese Operation durch die ganze Reihe durchgefĂŒhrt halte wobei noch der Vortheil j» berĂŒcksichtigen war, daß er, wen» er die Reihe bis zur -ttcn ungeraden Zahl, also bis jiir Zahl 2 n — 1 hingeschrieben hatte, den Versuch nur mit den Zahlen von 3 bis zur ^2/r — 1 anstellen durfte, so standen zuletzt als undurchstrichc» nur noch die Primzahlen da. So hatte er von den vorher durch einander gemengten Zahlen die unbrauchbaren ausgesiebt und nur die brauchbaren behalten. Übrigens fĂ€llt in die Augen, dass diese Methode unĂŒberwindliche Hindernisse in der AusfĂŒhrung darbietet, sobald man der Tabelle der Primzahlen eine auch nur einigermassen bedeutende Ausdehnung geben will, lind Possut hĂ€tte diese Methode schwerlich un hiojoii faeile et rot/t- moilc de trouver les nombres prembn-s 3 " genannt, wenn er der Probe halber versucht hĂ€tte, mit Hilfe dieses leichten lind 29 Die Nachricht davon findet sich i» der Arithmetik des Niwmachus, l. l. t!. 13. p. 84. 85. Ast. — p. 17. 18. l’aris. 30 Hist. des matli. T. 1. p. 6. bequemen Mittels die Primzahlen etwa bis zu einer Million auszusieben. Diesen kleinen Zuwachs abgerechnet, scheint die Arithmetik, wie sie in den Elementen Euklid's enthalten ist, sĂ€st vierhundert Jahre hindurch einzige Norm geblieben zu sein. Wenigstens wird uns in diesem langen Zeitraume von etwa 300 v. Chr. bis ungefĂ€hr lOO n. Chr. kein einziger Mathematiker geuaimt, der eine wissenschaftliche Zahlentheorie, d. i. geschrieben hĂ€tte. Die Geometrie und Astronomie scheint alle KrĂ€fte der Mathematiker in Anspruch genommen, und das Beispiel der großen Geometer ArchimedeS und ApolloniuS alle mathematischen Talente nach dieser einseitigen Richtung mit sich fortgerissen zu haben. Diese Erscheinung darf UNS aber nicht Wunder nehmen; sie liegt vielmehr ganz in der Natur des menschlichen Geistes begrĂŒndet, und die Geschichte der Wissenschaft bietet uns Ă€hnliche Erscheinungen mehr als einmal dar. Als am Ende des ersten oder am Anfange des zweiten christlichen Jahrhunderts Nikomachus seine Arithmetik geschrieben hatte, da nahm die ganze mathematische Literatur der Griechen bis auf die spĂ€testen Zeiten des Griechenthnms hin eine ganz arithmetische Richtung, und das Publienm wurde vorn zweiten bis zum vierzehnten Jahrhundert mit arithmetischen Werken ĂŒberschwemmt. Als Leonardo Bonaeei die Algebra aus Arabien nach Europa gepflanzt hatte, arbeitete» die Mathematiker fast vierhundert Jahre hindurch nur in der Algebra, und wĂ€hrend diese Diseiplin reißende Fortschritte machte, blieben die ĂŒbrigen auf ihrem alten Standpunete stehen. Da erschien die erste Übersetzung und bald darauf die Originalausgabe von Diophant. Alsbald ward die Algebra der bestimmten Gleichungen verlassen, und die grĂ¶ĂŸten Genies, Dachet, Fermat, Pell, Freniele, löstet Diophantische Aufgaben und fĂŒhrten dessen Theorien fort. Dieses Streben ward unterbrochen durch die Erflndung der Differentialrechnung, und kam so ganz und gar in Vergessenheit, daß nun wieder ĂŒber hundert Jahre lang nichts fĂŒr Diophant und dessen Anawsis gethan ward., bis Euler den Gegenstand wieder aufnahm; seitdem ist nun die tmbestimmte Analytik Diophant'S und seine Zahlentheorie wieder Lieblingsstudium der grĂ¶ĂŸten Mathematiker geworden, unter denen besonders Lagrange, Legendre, Gauß und Jaeobi genannt zu werden verdienen. Und a»aloge Erscheinungen bietet die Geschichte fast jeder Wissenschaft dar. So war z. B. gegen das Ende des vorigen Jahrhunderts, seit der großartigen Arbeit Kenni- 188 cott's, in alle Theologen chic wahre Manie gefahren, Varianten-', sammlnngen zum Bibeltert anzulegen, eine Richtung, deren Hcnnnnng nicht das kleinste Verdienst ist, welches Eichhorn um die Theologie sich erworben hat. Ader wir kehren zur Sache zurĂŒck. Es scheint, als habe Asien seine AnsprĂŒche an die Arithmetik, auch im Griechischen Sinne des Worts, frĂŒhzeitig geltend mache» wollen. Die drei berĂŒhmteste» Griechische» Arithnietiker, Nikoma- chus, Theo» und JamblichuS waren Asiaten von Geburt. Vo» den beide» erstgenannten mag es zweifelhaft scheinen, wem vor dem andern der Vorzug der PrioritĂ€t gebĂŒhre, da das Alter des Nikoma- chus nicht ganz bestimmt angegeben werden kann. Indeß hat die Annahme, daß er am Ende des ersten bis in den Ansang des zweiten Jahrhunderts hinein, also vor Theo» gelebt habe, manches fĂŒr sich. Jedenfalls will ich mit ihm als dem bei weitem wichtigeren hier beginnen. Obgleich Nikomachus bei den Griechen sich in bleibendem Ansehen erhalten bat und von fast unzĂ€hlige» Schriftstellern genannt und citirt wird, so wissen wir doch sehr wenig, fast gar nichts, ĂŒber feine Ă€ußern LcbcnsvcrhĂ€ltnisse. Die Annahme, daß er etwa um das Jahr 100 n. Chr. gelebt habe, grĂŒndet sich auf die beiden Data, daß er auf einer Seite in seiner Schrift ĂŒber die Musik den unter TiberiuS Regierung lebenden ThrasvlluS nennt'"l, 31 Encllir. hurmon. I. p. ~'l Îș r/ ' ÎșχÎč Îż ' f χ Îș,; I s i i a ' >; ÂŁ ΧΜ ll upayoqtx o'u ÎșαΜΜα xafalof Îčίΐ-χρÎčÎČ fo ÎČÎżÏÎ»ÏˆÎčα ÎŻÎżÏ… ΜαÎșÎŹÎ»ÎżÏ… υΜπÎč- λί,α ÎżÏÏ‡ ’ Χαρρχ Î±Ï…ÎŻÎœ -!/ ΘÎčÎŹÏ…Î»Î»Îż, Ώλλ’ ÎŽ Î»ÎżÏ‡Ï etc. — Bcrgl, Fabricii bibi, graeca et/. 1/arles. T. V. p. 630. not. e. Equidem Thrasylli eujusdam musici ac poetae antiqui patria Phliasii mentio apud Plutarchum de musica p. 1137. atque hunc a INicomacho laudari putabat doctissimus Jonsius p. 221, Sed scripsisse illum minus constat; itaque verisimilius est, intclligi Thrasyllum Mendesium, multarum artium scientiam professum et Platonicae sectae addictum, quem Tiberius in contubernium adseivit, ustrologici* ejus divinationibus usus cte.’Ev ri~. xtf/i ϊΜΜ citatur Thrasyllus a Porphyrio in Ptolemaei musio, p. 2t>6. — Icdcufalls tinlcrgeschobt» i st das bitat M Ploletiiaus in Nitomachus Enchir. Imrm. II. p. 3>, wcil Nitomachus immoglich Ptolenicius citircn und zuglcich voti Ilpulcjiis uvrrsctzt scin kan», u»d d i st jedensalls dee bonjcctnr Mcibom's, dcs Hrrausgcbcrs dcs mie bisbcr Ilicht zuqaiiqlichen Enchiridio» harmonices, wclchc Fabricius I. I. p. 30 aiifiibrb beijtistitnnicii qui» libro altero memorat Claudium Ptolemaeum, clarum Antonini Pii temporibus, nisi cum Marco Meibomio adtirmare velis, verba illa de Ptolemaeo esse a rccentiorc manu, praesertim cum enchiridion und daß auf der andern Scite Apulejus von Madaura, unter der Regierung der Autoninen, feine Arithmetik ins Lateinische ĂŒbersetzt bat. Er gehörte der PvthagorĂ€ischen Schule an »', und war anS der Stadt Gerasa, wahrscheinlich in Arabien -I, gebĂŒrtig, woher er den Beinamen yeoaonvk oder lVgℱ-» fĂŒhrt. Nicht leicht sind ĂŒber einen alten Auctor so viele IrrthĂŒmer verbreitet worden, wie ĂŒber NikomachuS. Einige sogenannte Historiographe» der Mathematik erweisen ihm die Ehre, ihn inS sechste Jahrhundert vor Christo zu versetzen ". Solche Anachronismen beweisen nur, daß die ErzĂ€hler das Werk des AuctorS nicht gelesen haben und nicht wissen, daß, um anderer Data nicht zu erwĂ€hnen, gerade die Nachricht ĂŒber das Sieb des EratosthcncS, die ich so eben mitgetheilt habe, sich bei NikomachuS findet, so daß er wenigstens nicht Jahrhunderte vor EratosthcncS gelebt haben kann. Diese IrrthĂŒmer haben wahrscheinlich darin ihre» Grund, daß man irgendwo einen NikomachuS fund deren gab eS unter den Griechen unzĂ€hlige fand, der um die cr- liarmonieum integrum libro primo absolvatur, et quae, libri secundi vico subjunguntur, tantum excerptu sint ex majore, ut videtur, opere musico, quod pluribus libris Nicomachus post enchiridion concinnarat. Ceterum Claudio Ptolemaeo suppar fuit Apulejus Madaurensis, qui Nicomuchi Arithmeticen lutiiie converterat, teste Cassiodoro de Arithmct. p. 555, ex quo idem tradunt Isidorus llisp. I. 111. originum cap. 2. et lleda libro de computo, aliiqne. ibcrql. cilifjttbtni TennvHi. notae in Jamblichi avithm. p. 54. 05. Itrvcker liist. philos. T. 11. p. ICO. 101. 32 Pappus III prop. 16. p. 19. ter AuSg. v. 1060. Mchrc Citate s. in llnieber bist. phil. T. II. p. 100. not. y. 33 Fabr. bibi, grnecn T. V. p. 029. Nicomachus e Cerasa Arabiae urbe. iTiiju dic Olete a Sed fuit et altera ,'erasu Syriae coeles, cujus meminere Stephaniis %/.. et Ptolemaeus, quamque Nicomachi nostri fuisse patriam omnes unanimiter adsevernre adfirmat Abr. llerkelins ad Stephanum p. 290. Sed neminem certe veterum lioc adfirmare video. Itaque malo adsentire antiquo scriptori, non .Iamblicho, in eujus commentario per Tenniilium edito nihil tale legitur, sed .lobanni Pbilopono vel Asclepio Tralliano, qui patrium Nicomachi scribit Cerasum finitimam in Arabia. FrpkLCqvva o- arto 71 oi’ 0 aa r,'-' QucTa. I'-ir i . VIII. ep. 3. Apotlonii Pytlmgorici vitam, non nt Nivomachns senior c Philostrati, seil ut, Thuscius Vicloriantts e Ni- eomachi schcdio exscripsit, t/uia jusseras, mist etc. 3S , womit er den Arithmetikcr ins dritte Jahrhundert nach Christo, also hinter einige seiner Commcntatorcn zurĂŒckschiebt, ohne zu bedenken, ob in der angefĂŒhrten Stelle nicht vielleicht ein anderer Nikomachns gemeint sein könne. Von mehr Bcdcutling aber, als diese vagen Anachronismen, sind die verkehrten Urtheile ĂŒber den Inhalt der Arithmetik des Nikomachns. Fast einstimmig heißt es, Nikomachus habe sich in seinem Werke mit den PythagorĂ€ischen Zahlcngehcimnisscn beschĂ€ftigt 36 . Man verwechselte seine sehr wcrthvollc Arithmetik 35 iVatav in Jnmbl. aritlim. p. 65. Das hindert tiefen infclix editor aber nicht, auf der folgenden Seite die Arithmetik schon im zweiten Jahrhundert von Apulejus, qui vixit temporc Marci Antonini, ins Lateinische ĂŒbersetzen zu lassen. 36 Mas Montucla T. 1. p. 318. 19. ĂŒber Nikomachns sagt, beweist mir, daß er weder dessen Arithmetik, noch die fĂ€lschlich ihm beigelegten Thevlogu- niena gelesen hat. — Dasselbe gilt von KĂ€stner Gesell, d. Math. Th. I. S. 43. 4i.j nachdem er oon der Euklidischen Arithmetik als einziger Quelle, aus der wir die Griechische Arithmetik kennen, gesprochen, fĂ€hrt er so fort „Von dem Sichern in diesen Kenntnissen machle man Anwendungen, die aus Geheimnisse fĂŒhre» sollte», und jetzo höchstens fĂŒr Spielwerke erkannt werde», viele gar fĂŒr Unsinn, und wer strenge von ihnen urtheilt, strafbare» Aberglanben. Dergleichen finden sich in diicnmaelii Aritiimotica I'nr. 1538. T] ÎŒÎ±ÎœÎŹÎŽÎœ Îżâ€™ÎœÎż'Î·ÎŒÎżÎż r\ Ï€ÎżÎżÎŠÎč-Îż^ χΜΌα Ix. ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎœ ÎœÎłÏ‡ÎŻÎŒÎ”ÎœÎżÎœ. ES svlgt svdailN die Eintheilung der Zahlen in gerade und ungerade. 37 S. Kabricii graoea T. V. p. C3S. cd. Hades. 38 Ich muß hier Reimer, tni Übersetzer der Vossnl'schen Geschichte der Mathematik, ausnehmen, der in, ersten Theil seiner Übersetzung S. d2. Rikoma- chu wenigstens insoweit Gerechtigkeit wiberfahren lĂ€ĂŸt, baß er ihn nennt und ĂŒber die ĂŒbrigen Griechischen Ariihmetiker erhebt, wenngleich er ihn darin wieder zu tief herabsetzt, das, er sagt, sein Werk enthalte keinen besonder merkwĂŒrdigen Satz, " fctm B'> bie ntigernd-gerade Ï€ÎŻÎżÎčÎŹÏÎčÎż und die gcrad - ungeradc ÎŹÏ†ÎčÎż- αΔοÎčα. Dieser Gegenstand macht den Inhalt des achten bis zehnten Kapitels aus, und Nikomachus weicht hier von Enklidcs ab, dessen Dcsinitioncn insofern nicht genau sind, als sie sich nicht gegenseitig ausschließen. Bet Enklidcs, unter den Desinitionen des siebenten DnchS, heißt es nĂ€mlich „Eine gcradcmal gerade Zahl ist eine solche, welche durch eine gerade Zahl dividirt eine gerade Zahl zum Quotienteit giebt, eine geradcinal tnigcradc, welche durch eine gerade Zahl dividirt eine ungerade Zahl zum Quotienten giebt." Er selbst sagt aber IX, 34 „ Wenn eine gerade Zahl weder durch fortgesetzte Verdoppelung der 2 entstanden ist, noch durch 2 dividirt einen ungeraden Quotienten giebt, so ist sie sowohl gcradcmal gerade als auch geradcinal ungerade." Diese Jnconvcnicnz wird von Jambli- chus in seinem Commentar ĂŒber NikomachllS mehrmals heftig gcta- dcl 39 , nur scheint Jamblichus manchmal ztt verlangen, daß Euklidcs sich hĂ€tte nach des Nikomachus Desinitionen richten sollen. Nach Nikomachus sind gcrademal gerade nur die Potenzen von 2, d. h. diejenigen Zahlen, bei denen man durch fortgesetztes Halbircn nicht eher als bei der Einheit auf einen ungeraden Quotienten kommt; dieselbe» Zahlen nennt EllklidcS IX, 32. ag-,ux^' gnour aber hat Ast gemacht, indem er die elliptischen, aber ganz klaren Worte Tb 7 ,xy ÏÎŻÎŹ ÎŻÎżÎœ Ttp dxb . . . η φ vxb ergĂ€nzt 1111b rcspeclivc ror- tlllliv rt in Îż ÎłÎŹÏ bxb Μ αΜρΜ ’ /ÎżÎœ φ »wo ! ÎŒÎ­ÎżÎč, , . η φ '* ' 13 m Kap. 11 — 13. Wie die geraden, so lassen sich auch die nngeradcn Zahlen in drei Klassen theilen. Diese drei Klassen st-Äist sind die Primzahl bei Nikomachus und Theo» von Snwrna immer nqiZroq difvvpsroi; , t'Cl EuklldeS l'lofj ooVcx,, die J tt- sammengesctztc Zahl ÄivTfgot, xal avv^Efoq, bei Euklides bloß und in der Mitte zwischen beiden diejenige Klasse, deren Zahlen an und fĂŒr sich zusammengesetzte, in Bczng auf eine andere Zahl aber Primzahlen sind. Diese Eintheilung leidet an wesentlichen Mangeln, weil erstens die dritte Klasse sĂ€mmtliche Zahlen der zweiten Klasse mit in sich begreift, zweitens, weil nicht abzusehen ist, warum die Zahlen der zweiten und dritten Klasse durchaus nn- ύ*Îż Μ ΌέΜ. Der Ausdruck v — Ist das Produkt zweier Zahlen, » -ivu ÎżÏ… — Ist das Quadrat einer Zahl, aber 6 ΜχΎ ÎŒÎ­ÎżÎœ hat gar keine» Sinn. FĂŒr diesen strenge geschiedenen Gebrauch des ÂŁao und dxo Beispiele anzufĂŒhren, ist unnĂŒtz; Euklides und DiophantuS liefern deren auf jeder Seite. Aber auch dafĂŒr giebt eS Beispiele, das; beide PrĂ€positionen mit dem Artikel absolut fĂŒr Probitet und Quadrat gesetzt werden, wenn die bezĂŒgliche» Zahle» sich von selbst derstehen. So heißt es bei Diophant ΙΙΓ, 17. EugsiV -gell,- Î±Î¶ÎŻÎĄÎŒÎżÎœ Îż ÎŽ Îż ÎŽÏÎż ÎŽÏ‡ÎżÎčÎœÎżÎœÎœ ΧΟαλαÎČώΜ ΜΜαΌφηÎč>ÎżÎœ »ocjj itiqdycovov. xdvfcov ÎŽ\ ÎŽÎœÎż ααÎșÎłÏŽÎœÎœ Μ,αÎčϊ io Ιί u u Îż xqo λα- cr gor crotij α^ÎŹÎłÎœÎżÎœ d. h. Nkan foĂŒ drei Zahlen der dlrt stii- den, daß das Produkt von je zweie» zur Summe derselbe» beiden addirt, ein Quadrat wird; und ferner von je zweie» dieser Quadrate das Produci sammt der Summe ein Quadrat werde. Eben so IV, 6 Î™Ï‡ÎŻÏÎ”ÎŒÎ±,Îč ÎŽÏÎż ÎżÎčÎ·ÏÎŒÎżÏ , c.'r ÎŽ utc ÎŽ ία Ό° ° Γ. Desgleichen IV, I i. 17. Und ganz in derselben Berbindung, wie an unserer Stelle haben wir die Formel noch einmal bei Nikomachus II, 1?, wo eS ebenfalls von der continuirlichcn Proportion beißt ro -inro ÎŠÎżÎœ ico dio, und wo Ast eben so ungeschickt, wie an dieser Stelle, corrigirt ÎŽ um redv axQciv ÎŠÎżÎœ ico vio !! io v ÎŒÎ­ÎżÎœ. Jedenfalls balle Ast der Umstand, daß an beiden Stellen sĂ€mmtliche Handschriften libereinsiimniten, vorsichtig machen sollen. Camerarius In seiner Lxplicati» >» >'!com. bei Tennu- liuS AuSg. des Iamblichus ρ. 35 hat diese zweite Stelle gar nicht verstanden. Er sagt IjuoĂŒ »»ton ait uutor nii χαώΜ ÎŽ iror Ï…Î¶Ï…ÎłÎčώΜ ÎŽ ΜχΎ ÎŠÎżÎœ ien der ΜπΔρΔλΔΐ und ΔλλÎčÏ€Î”ÎŻ. 17. „Nachdem ich bisher die Vorkcnntnisse in Betreff 13 * 196 bcr GrĂ¶ĂŸe an und fĂŒr sich gegeben habe, gehe ich jetzt zu der GrĂ¶ĂŸe in ihrer Beziehung zu ander» ĂŒber. Die Beziehung einer GrĂ¶ĂŸe auf eine andere ist im Allgemeinen ursprĂŒnglich zwiefach, Gleichheit und Ungleichheit. Über die Gleichheit laßt sich weiter nichts sagen, weil von zwei gleichen GrĂ¶ĂŸen nicht die eine so, die andere anders beschaffen sein kann. Das Ungleiche aber ist zwiefach, es hat ein GrĂ¶ĂŸeres und ein Kleineres. Nach der verschiedenen Art der AbhĂ€ngigkeit von einander hat nun sowohl die grĂ¶ĂŸere als die kleinere zweier GrĂ¶ĂŸen andere Namen. Und zwar werden bei jeder von beiden fĂŒnf Arten von Beziehungen unterschieden." Diese fĂŒnf Beziehungen oder VerhĂ€ltnisse Nikomachus braucht nicht das Wort Ao- yoq, sondern lt>oQ sind der Gegenstand der folgendeit sechs Kapitel. Kap. 18. Von zwei Zahlen, deren eine die andere mehr als einmal genau ganz in sich enthĂ€lt, heißt die grĂ¶ĂŸere yo,.a^lĂ€lux suxguiultur 2 4' 4 f>i7ij/.tyit'x'i7Qi7oq,y duplox Svxguit!liu^i " + -y öiTtÄacTifitirtVujjrĂŒi,', duplcx scxipiiipuu’lus 198 3 -f- t rom/aaiEcprifucvi;, triplex ecxquialter 3 —f— triplex sexcjuitertius 3 —f- -j 7qi%XaaiE-xnira^foq, triplex sexquiquartus U. f. w. Kap. 23. Wenn eine Zahl eine andere mehr als einmal ganz und außerdem noch mehre Theile derselbe» in sich enthĂ€lt, so heißt das VerhĂ€ltniß der grĂ¶ĂŸer» zur kleinern 16 1 199 t und so fort; ma» erhĂ€lt also durch Anwendung des vorgeschriebenen Satzes aus dem VerhĂ€ltniß der Gleichheit successive alle VerhĂ€ltnisse der verschiedenen Vielfachen. Schreiben wir uns nun irgend eine Reihe der Vielfachen umgekehrt hin, und bringen das allgemeine Gesetz in Anwendung, so erhalten wir das entsprechende VerhĂ€ltniß auS der Reihe der Z. B. 4 2 1, die Reihe der Doppelten, giebt 4 6 9, die Reihe der ^/.uiXiot, in welcher jedes Glied des vorigen ist, aus der Reihe der Dreifachen 9 3 1 erhalten wir 9 12 16, die htlronoi, in denen jedes Glied U des vorigen ist u. s. w. Gehen wir ferner von irgend einer Reihe der im^og/o/, umgekehrt hingeschrieben, aus, so erhalten wir die entsprechenden Z. B. 9 6 4 9 15 25, wo jedes Glied des vorigen ist, und ebenso, wenn man irgend eine andere Reihe der t^iog/oi zu Grunde legt. Gehen wir dagegen von irgend einer Reihe der t^iogiot in gerader Ordnung aus, so erhalten wir die noXXa.' So wird aus 4 6 9 4 10 25 nach dem VerhĂ€ltnisse 2j, aus 9 12 16 wird 9 21 49 nach dem VerhĂ€ltnisse 2^. Und endlich aus den in gerader Ordnung erhalte» Wir die no/.Xa’xXavtEsa^ igsu;, z. B. aus 9 15 25 wird 9 24 64 nach dem VerhĂ€ltniß von 2-§-, und ebenso die ĂŒbrigen. So sind denn alle diese verschiedenen VerhĂ€ltnisse aus dem ursprĂŒnglichen VerhĂ€ltnisse der Gleichheit entwickelt worden. Nikomachus macht ĂŒber diese Schemata noch die Bemerkung, daß immer die beiden Ă€tißern Glieder Quadratzahlcn sind und daß das mittlere das Product ihrer Wurzeln ist; ferner daß in den beiden aus derselben Reihe in gerader und umgekehrter Ordnung abgeleiteten Reihen das letzte grĂ¶ĂŸte Glied dasselbe ist. Dieses ist der Inhalt des ersten Buchs dieser Arithmetik, welches im Ganzen wenig wissenschaftlich Interessantes darbietet. 200 Zweites Buch. Wie Nikomachils am Ende des ersten Buchs gezeigt hatte, daß alle fĂŒnf von ihm aufgestellte» VerhĂ€ltnisse aus drei gleichen Ter- minis sich herleiten lassen, so lehrt er in den ersten fĂŒnf Kapiteln dieses Buchs, daß umgekehrt alle gegebenen VerhĂ€ltnisse sich auf das VerhĂ€ltniß der Gleichheit als ursprĂŒngliches Element zurĂŒckfĂŒhren lassen. „Da ein Element dasjenige ist, aus welchem als Erstem etwas zusammengesetzt und in welches als Letztes ein Ding aufgelöst wird, so will ich zeigen, daß auch die Gleichheit ei» Element der relativen GrĂ¶ĂŸe ist rou n ^ oo-oĂŒ. Nun haben wir gezeigt, wie alle VerhĂ€ltnisse aus der Gleichheit zusammengesetzt werden; es ist also nur noch ĂŒbrig darzuthun, daß auch die Auflösung derselben zuletzt immer auf die Gleichheit zurĂŒckfĂŒhrt." Kap. 3. lehrt uns aus jeder Reihe der Vielfachen alle Zahlen zu finden, die in dem gleichnamigen VerhĂ€ltnisse der tm/iöoiot stehen. Die Sache ist einfach die. Man schreibt in eine Reihe irgend eine von 1 beginnende geometrische Progression, darunter schreibt man die Reihe der Stimmen von je zwei aus einander folgenden Gliedern, unter diese die zweite Summcnrcihe und so fort, so erhĂ€lt man eine Tabelle, welche alle Zahlen enthĂ€lt, die zu ciuander in demjenigen epimorischen VerhĂ€ltnisse stehen, welches dem Erponcntcn der ursprĂŒnglichen geometrischen Progression gleichnamig ist. Gehen wir z. B. von den Potenzen von 2 aus, so erhalten wir sĂ€mmtliche Zahlen, die gegen einander riimhoi 1 sind. Das Schema gestaltet sich so 12 4 8 16 32 3 6 12 24 48 9 18 36 72 27 54 108 81 162 243 Hier ist jede Zahl gleich drei Halben der zunĂ€chst ĂŒber ihr stehenden; und ganz analog ist es bei den ĂŒbrigen VerhĂ€ltnissen. Kap. 4. Wenn man so das Schema nach den fortlaufenden Potenzen irgend einer Zahl bildet, so bildcit die Anfangsglicdcr der Summcnreihen allemal die successive Potcnzcnrcihc der um 1 grĂ¶ĂŸeren Zahl. 201 1 n n n* n * + 1 n- - f- n » 3 +» a 3 4-2»+l » 3 + 2» s +» n* n* - f- n 3 n 4 +2/i*+' w 4 +4 3 +6 2 +4/*+ 1 Wir wollen uns aber bei diesem GegenstĂ€nde nicht lĂ€nger aufhalte», sondern zu dem folgenden viel interessanteren Sujet ĂŒbergehen, nĂ€mlich zu der Theorie der Polygonalzahlen, welche sich in der Arithmetik des Nikomachlls Kap. 6—20 zuerst behandelt findet, und zwar in einer ĂŒberraschenden VollstĂ€ndigkeit. Da die PythagorĂ€er Alles an Zahlen zu erlĂ€utern und zu veranschaulichen pficgtcn 4 ', so sind die AnhĂ€nger dieser Schule gewiß lauge vor Ni- komachus auf die Idee gekommen, die in ihre Einheiten zerlegte» Zahlen in der Form verschiedener geometrischer Figuren anzuordnen, und ganz gewiß tritt bei Nikomachlls die schon so weit ausgebildete Lehre der Polygonalzahlen nicht als eine neue Wissenschaft auf. Aber wir haben GrĂŒnde zu glauben, daß Nikomachus wirklich zuerst ĂŒber diesen Gegenstand, so wie ĂŒberhaupt ĂŒber die PythagorĂ€ische Zahlcnlchre, geschrieben hat. Tcnnulius und Fabricius bringen mehre Stellen aus alten Autoren bei, in welchen Nikomachlls als derjenige bezeichnet wird, der die arithmetischen Lehren des Pythagoras zuerst systematisch geordnet »tib zu Papier gebracht hat 4S . Diese Abhandlung ĂŒber die Polygonalzahlen ist aber nicht bloß deshalb wichtig, weil sie hier zum erstenmal erscheint, sondern vornehmlich auch darlim, weil wir dieselbe als eine, sei es nun mittelbare, sei es unmittelbare, Vorarbeit und Quelle Diophant's anzuschen haben, der nicht bloß i» seiner Schrift ĂŒber die Polygonalzahlen diesen Gegenstand berĂŒhrt, sondern denselben durch sein ganzes grĂ¶ĂŸeres Werk wie einen Goldfaden durchwcbt. Ich will daher den Inhalt dieser Kapitel so vollstĂ€ndig wie möglich angeben. 41 Vcrgl. darĂŒber Tcnnulius, Notae in Jambl. x. 74. 42 Edendas. Auctor Altercationis Synagogae et Ecclesiae cap. 1. Arithmeticum Samius Pythagoras invenit, Ntcomachus scripsit, Isidorus orig. lib. 3. cap. 2. Numeri disciplinam primum apud Graecos Pythagoram autumant conscripsisse ?; ac deinde a Nico- icAo diffusius esse compositam. — Bcrgl. Fabricii Libi. Graeca T V V. 635. 636. Ed. Hades.. t- 202 Kap. 6. Einleitung „ZunĂ€chst muß man anerkennen, daß jeder Buchstabe, mit dem wir eine Zahl bezeichnen, z. B. * fĂŒr zehn, x fĂŒr zwanzig, A fĂŒr dreißig, durch menschliche Einrichtung und Übereinkunft, nicht von Natur ein Zeichen dieser Zahl ist; die natĂŒrliche und ungekĂŒnstelte und eben deswegen einfachste Bezeichnung der Zahlen wĂŒrde die Nebeneinanderstelliing der in jeder enthaltenen Einheiten sein. So wĂŒrde die Bezeichnung einer Einheit durch ein a das Zeichen fĂŒr eins, die Hinstcllung zweier Monaden, das ist zweier Alpha, neben einander, das Zeichen fĂŒr zwei sein, und so fort Denn nur durch eine solche Schrift und Bezeichnung könnte die Darstellung der sogenannten ebenen und körperlichen Zahlen erlĂ€utert und deutlich gemacht werden. Demnach wird die Einheit in das VerhĂ€ltniß und in die Stelle des Puncts eintreten, indem sie der Anfang der Dimensionen und Zahlen, aber weder Dimension noch Zahl selbst ist, gleichwie der Punct der Anfang der Linie und Entfernung, nicht aber Linie und Entfernung." Es folgen nun noch einige Analogien und Vcrglcichungcn zwischen Arithmetik und Geometrie, und darauf fĂ€hrt der Verfasser im Kap. 7. also fort „Jede Zahl von 2 ab kann als lincĂ€re Zahl gi^oy yga/ijUixo betrachtet werden j die erste ebene Zahl ijrnr5oi, dagegen ist die drei und darauf alle folgenden. Kap. 8. Eine dreieckige Zahl rgtywvos ist eine solche, welche in Einheiten anfgcldst sich in der Gestalt eines gleichseitigen Dreiecks darstellen lĂ€ĂŸt. Die Einheit ist eine dreieckige Zahl 8wv xurd tvn ĂŒ-vm^uiTM’. Die Seite des Dreiecks ist gleich der Anzahl der addirten Zahlen. Kap. 9. Hierauf folgt zunĂ€chst die viereckige Quadrat- Zahl Î”ÏÎŹÎłÎœÎż , die fiel in gestalt eines Quadrats darstellen lĂ€ĂŸt. Auch diese Zahlen entstehen durch Addition, aber nicht der natĂŒrlichen um 1 fortschreitenden, wie die dreieckigen, sondern der eine um die andere gesetzten, da§ heißt der ungeraden Zahlen r,_ vutĂŒu ΎΔ ÎșαÎč ÎżÏ…Îż ÎŹÏ€Îż ÎżÏ‹ ÎżÎčχηΎΜ ÎŻÎșΔρ ΔΜ φυα’/ÎșοΠ ΏοΔ- $ΌυΜ, Tjj ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎč ÎŻÏ€ÎčΔυ^έΜΜ ÎżÏÎșέÎč Μ Î”Ï†Î”ÎŸÎź οΐ Î”Ï†Î”ÎŸÎź, ώ ÎŽ Δ'ΎΔÎčÎșαÎč hu Μ ÎżÎčÎłÏŽÎœÎœ, αλλΏ Μ Ï€Î±Îż έΜα ÎșΔÎčΌέΜΜ Ï€ÎŹÎœÎœ, ÎżÎœÎ­Îč, Îč Μ ζζΔοÎčÎŻÎč,Μ . Kap. 10. Die fĂŒnfeckige Zahl Ï€Î”ÎœÎŹÎłÎœÎż. Sie entsteht durch Addition der von 1 anfangenden und dann immer zwei Überspringenden Zahlenreihe ΔπÎčÏÎ”ÏÎżÎœÎ±Îč Ώλληλοί Δί Ï€Î”ÎœÎŹÎłÎœÎżÏ… ÎłÎ­ÎœÎ”ÎčΜ ÎżÎč Î±Ï€Îż ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎż ÎŽÎœÎż ÎŽÎčÎ±Î»Î”ÎŻÏ‡Î±ÎœÎ” έφ ÎŽÏ…ÎœÎżÎ°Îœ, ÎżÏ…- έÎčΜ, οΐ ÎżÎčÎŹÎŽÎč ÎŹÎ»Î»Î·Î»Îœ Î°Ï€Î”Î¶Î­Ï‡ÎżÎœÎ”. Kap. 11. Die sechseckigen, siebeneckigen und folgenden Zahlen gehen auf Ă€hnliche Weise hervor aus der Reihe der natĂŒrlichen Zahlen, indem man 5 dem AbstĂ€nde derselben immer 1 hinzufĂŒgt. — Dic arithmetische Reihe, deren Snmmcnglieder irgend eine Klasse der Polygonalzahlcn hergeben, heißt die Reihe der yi^fiovag dieser Polygone, ein AllSdrnck, der, wie diese ganze Theorie, bildlich von der Geometrie hergenommen ist, indem Nikomachus und ebenso alle folgenden Arithmctikcr dic Euklidische Dcsinjtion II, 2 vermöge einer einfach sich darbietenden Analogie von dem Parallelogramm auf alle geradlinigen Figuren ausdehnen ". Demnach giebt unser Autor folgende allgemeine Regel zur Bildung der Polygonal- 41 Nik 0 machus braucht das Wert ÎłÎœÏŽÎŒÎ±Îœ , ÎłÎœÎŹ,Î±ÎżÎœÎč In dem anqc- teutelkn Sinne, ohne^cs zu defiiiiren. IamblichuS p. 82. erklĂ€rt ti so tl'ur ίαÎč ΎΔ ÎłÎœÎ±ÎŒÎ±Îœ, o αΜΟηÎčÏ‡Îż Î”Ï‡ÎŹÎ±ÎżÏ… Î”ÎŻÎŽÎżÏ… Μ Ï€ÎżÎ»ÏÎłÎœÎœ , Ï€Î±ÎŹ Ztioapiaiv Îż αυ ΔίΎο ÎŽÎčαφυλ ÎŹÎ±Îœ. — Theo» von Smprna Kap. 23 Χα,ΜΔ ύ\ ÎżÎč. Î”Ï†Î”ÎŸÎź α ÎčÎĄÎŒÎż\ Î±Ï‡ÎżÎłÎ”ÎœÎœÏŽÎœÎ” ÎčÎłÏŽÎœÎżÏ… λ Δ^αγÎčÎż ΓΟ'υ Ï‡ÎżÎ§Ï…ÎłÎœÎżÏ… ÎłÎœÎŹÎŒÎżÎœÎč Ï‡Î±Î§ÎżÏ…ÎœÎ±Îč. Undeutlicher ist Aklcpius bei Kulli- ‱Udu n v SvĂ€Si IXarrovcoq ij xutĂŒL rrj v h 7 oro /itari ctoco- irjra rtov ywviwv, „die Gnomones eines jeden Polygons stehen von einander um 2 weniger ab, als die Anzahl der im Namen ausgcdrĂŒekten Winkel betrĂ€gt," d. h. die constante Differenz der Gnomonreihe der »eckigen Zahlen betrĂ€gt n — 2. MerkwĂŒrdig ist, daß Diophant" diesen Satz dem Hyp- sikl cs zuschreibt, da doch Hypsiklcs nach der scit Fabricius allgemein angenommenen Meinung worĂŒber im folgenden Kapitel ein Meh- rcrcs erst gegen das Ende des zweiten Jahrhunderts gelebt hat. Indeß ist diese scheinbar von der Wahrheit abweichende Angabe daraus zu erklĂ€ren, daß Diophant den Satz dc§ Nikomachus etwas erweitert ausspricht, und daß vielleicht diese Erweiterung desselben von Hypsiklcs herrĂŒhrt. Kap. 12. Nach diesen allgemeinen Regeln, die Bildung der Polygonalzahlcn betreffend, folgen nun einige besondere Eigcnthi'nn- lichkeitcn derselbe». Wie jede viereckige Figllr durch die Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt wird, so lĂ€ĂŸt sich jede viereckige Zahl in zwei, aber auf einander folgende dreieckige auflösen, und umgekehrt, je zwei auf einander folgende dreieckige Zahlen geben zur Summe eine Quadratzahl, z. B. 1 + 3 = 4, 3 -f- 6 = 9, 6 -f- 10 = 16 n. s. w. Aus einer viereckigen Figur wird, wenn man ihr eine dreieckige ansetzt, eine fĂŒnfeckige; ebenso in Zahlen, nur mit der BeschrĂ€nkung, daß die Seite der dreieckigen Zahl um 1 kleiner sein muß, als die Seite der viereckigen, zu der sie addirt wird, z. B. 4 -j- 1 — 5, 9 -j- 3 — 12, 16 -j- 6 — 22 u. s. w. Ebenso werden sechseckige Zahlen als Summen einer fĂŒnfeckigen und einer dreieckigen Zahl dargestellt, und so fort. Der Übersicht wegen schreibe man sich die Polygonalzahlcn jeder Ordnung in Pa- rallclrcihcn unter einander, 45 De Numeris Polyg. prop. 8. pag. 18. Ed. Buchet. — S. 3'29. der Vchulzsche» Übersetzung. 205 1 3 6 10 15 2k 28 36 45 55 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 sechseckige 1 siebeneckige 1 . u. s. w., so finden hier folgende Beziehungen Statt 1 Jedes Polygon ist gleich der Summe des zunĂ€chst ĂŒber ihm stehenden und des Dreiecks der um 1 kleineren Seite, z. B. das Siebeneck 148 ist gleich dem Sechseck 120 plus dem SDrClCcE 28. "ivu έÎșαο Ï€ÎżÎ»ÏÎłÎœÎż ύηΌα, 'jj ÎżÏ Δ vxlg αυΜ ÎżÎŒÎżÎ±ÎłÎżÏ‹ Ï€ÎżÎ»Ï…ÎłÏŽÎœÎżÏ… χα'Îč rou Î±ÎœÏŽÎ±ÎżÏ… tqi. ÎłÏŽ>ÎœÎżÏ… ÎżÏ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎč Î”Î»ÎŹÎżÎœÎż ÎŽÎŒÎżÎ±ÎłÎżÏ. 2 Die Vcrticalrcihcn sind arithmetische Progressionen, deren con- stantc Differenz das vorhergehende Dreieck ist. Kap. 13. „Hierauf nun ist leicht einzusehen, was eine körperliche Zahl ΔρΔ aQi^uoq ist und wie eine solche gleichseitig wird." Nach einer kleinen Digrcssion ĂŒber Dimensionen unb ĂŒber die Natur der Pyramide, als des einfachsten unter den Körpern, fĂ€hrt er so fort „Wie nun die Polygonalzahlen durch Summa- tion der einfachen arithmetischen Reihen entstanden, auf dieselbe Weise entstehen, wenn man die ebenen Polygonalzahlcn zu einander addirt und sie gleichsam ĂŒber einander schichtet, die einer jeden Klasse gleichnamigen Pyramiden, die mit dreieckiger Basis von den dreieckigen Zahlen, die mit viereckiger Basis von den viereckigen u. s. w. Es ist natĂŒrlich, daß nian die grĂ¶ĂŸere Zahl sich zu untcrst denkt; denn sie stellt die Basis vor; die zemĂ€chst kleinere ĂŒber ihr und so fort, bis die Einheit auf der Spitze erscheint und gleichsam in einem Punct die Vollendung der Pyramide abschwĂ€nzt. *Ε αΜ Îź ÎŒÎżÎœÎ± ύπÎč rij ÎșÎżÏÏ…Ï†ÎŻ] Ί^ίΐ ώαΜΔϊ ΔÎč ψÎčÎ”ÎÎżÎœ ÎŹÏ€ÎżÎŒÎ”ÎčÎżÏ…>ÎŻÎčÎč ηΜ ΔλΔÎčÎčΜ η πυ^Î±ÎŒÎŻÎŽÎż.“ Söcnii man den Ban einer arithnictischeu Pyramide von unten, das heißt, von dem grĂ¶ĂŸten Polygon beginnt, aber nicht bis zur Einheit fortsetzt, sondern eher abbricht, so entsteht eine abgestumpfte Pyramide, welche Nikomachus, wenn bloß die Einheit fehlt, xo/ouooi,., wenn die Einheit und die nĂ€chstfolgende Polygonal- zahl fehlt, ö, Ă€hnlich tqixoAovqol; u. s- w. nennt. Kap. ist. b giebt noch andere Körperzahlcn als Pyramiden, 206 nĂ€mlich Kubi, balkcnföriuige ÎŽÎżÎșίΎΔ, zicgclförmige πλÎčΜ^ίΎΔ, keilförmige φψηÎșÎżÎč , kugelförmige ψαÎčÎżÎčÎșοί, Parallelepipeda. Die Quadratzahlen haben in der Ebene zwei gleiche Dimensionen; giebt man ihnen noch eine dritte den vorigen gleiche Dimension, das heißt, mnltiplicirt man jede der Quadratzahlen noch einmal in ihre Seite, so erhĂ€lt man die Kubikzahlcn. Kap. 16. Dem Kubus, als aus drei gleichen Dimensionen gebildet, stehen entgegen die aus drei nnglciche» Dimensionen gebildeten Zahlen, wie 2 mal 3 mal 4. Solche Körper nennt man einfach schiefe ÎșαλÎčÎŹ Einige nennen sie Keile Îż-φψΊÎșÎżÎœ , Andere PfĂ€hle ψηÎșÎŻÎșÎżÎœ , noch Andere Stufen- oder Altarzahlcn ÎČÎŒÎŻÎșÎżÎœ 46 . In der Mitte zwischen beiden Ertremcn stehen die Zahlen, welche Parallelepipeda genannt werden, deren entsprechende ebene Zahlen die ÎŻÎčÎżÎżÎŒÎźÎșΔÎč s. das folg. Kap. sind, gleichwie die den Kubikzahlc» entsprechenden die Quadratzahlen. Kap. 17. Eine Zahl wird ΔΔ^ÎżÎŒÎźÎșη in den lateinischen Übersetzungen altern I>nrtv lonzsior genannt, wenn ihre LĂ€nge und ihre Breite nm die Einheit verschieden sind, ÎżÏ‹'& ÎŽ ÎŒÎźÎșÎż r Ï€Î»ÎŹÎ”Îč ÏŠÏ…ÎżÎœ, Ώλλα παρα ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± , das heißt, die Hetcromekes sind die Produkte aus je zwei auf einander folgenden Zahlen, n w-j-1 47 . 46 LT'LtzOL /" + +!, n n - j- 1 + n + l 2 und n + l 2 + n + 1 n + 2 drei auf einander folgende dreieckige Zahlen sein, was sich sogleich als wahr erweist, wenn wir die Formeln so umwandeln + „ „ + o = » 8 3 * - 3 - > »++ c>. + ,> + Ă€ = 3 . +Y *+ 3 ». B Jede Quadratzahl sowohl plus als minus ihrer Wurzel wird ein Hctcromekcs -r 2 + n — n n + 1. f Umgekehrt ist auch jedes Hctcromckes sowohl die Summe als die Differenz eines Quadrats und seiner Wurzel; denn n {n + 1 = »* + n = n + 1- ~ {n + 1]. Den Beschluß dieses Abschnitts macht folgende Betrachtung »Die ravroTrfi hat ihren Ursprung in dem Ungeraden, die in dem Geraden; die Quadrate entstehen aus den ungeraden Zahlen durch Addition, die Hctcromckes aus den geraden; in jeder von der Einheit ansaugenden geometrischen Progression sind die Glieder an den ungeraden Stellen Quadrate fnirofirixets, aber kein Glied an I. \A 210 einer geraden Stelle wenn nicht schon das erste selbst ein Quadrat ist. Selbst die ΙάÎșÎč ufoi ÎŻÎŹÏ‡Îč, das ist die Kubikzahlen, die drei Dimensionen und dadurch noch mehr Antheil an der αΜ^ haben als die Qnadratzahlen, sind ein Erzeugnis; der ungeraden Zahlen, nicht der geraden. Denn schreibt man sich von der Einheit an alle ungeraden Zahlen nach der Reihe hin, so ist die erste ein Kubus ÎŽÏ…ÎœÎŹÎŒÎ”Îč s. oben, die beiden folgenden zusammen bilden den zweite» Kubus, die drei nĂ€chstfolgenden den dritten, die folgende» vier den vierten und so fort." Dieser hĂŒbsche Satz scheint Nikomachus eigenthĂŒmlich anzugehören. Um die allgemeine Formel zu entwickeln, setzen wir n? gleicb der Summe von n ungeraden Zahlen; die erste sei - 1, so ist die n te - 2 n — 1, also die Summe derselben n* = 2λ -f- u n , x ~ - - n \ demnach hat man, um zu pro- dueiren, die ungeraden Zahlen von w a — » -f-1 bis id n — 1 zu addiren, deren arithmetisches Mittelist. Hier wĂ€re nun nach den Begriffen der SpĂ€tereir die Arithmetik des Nikomachus abgeschlossen; er zieht aber noch in ihren Bereich eine Theorie, welche, obgleich ihrer Natur nach ganz jur Arithmetik gehörig, von den SpĂ€teren, selbst schon von Theon von Smvrna, gewöhnlich in der Theorie der Musik abgehandelt wird, wo sie freilich eine vielfĂ€ltige Anwendung sindet. Es ist dieses die Lehre von den Analogien und MedietĂ€ten ΌΔψΔ, oder, was dasselbe sagen will, die Lehre von den verschiedenen Proportionen ^". Sie -19 ES ist bei den Neuern Sitte, die Worte dvaXoy'a und /iirror^g so }'* imierscheiden, daß dvaXoy'ou die 'Proportion im Allgemeinen, fuaötng dagegen die stetige Proportion bedellte. Ich »»iß geflebe», daß ich diese» den Worte» »w tergclcgic» Sinn bet den Alten nicht habe bestĂ€tigt gesunden. Nikomachus de- finirt II. 21. die nbet nicht die Theo» von Smvrna giebt iZItt». eug. 32. p. 132, 133. HĂŒll. mit gewohnter GeschwĂ€tzigkeit den Unterschied an, aber man ersteht aus seinen Worten weiter nichts, als daß der eben erwĂ€hutc Sinn in beiden Terminis nicht liegt >, heißt ti' dvaXoylug filöolffi kwklö d fdv tu uvaXoy'a, foiito f ,.taati]g d tu ficcroftig, oux f u^'U5 dvaKoyta' ty%c,iqtu y ,ig 7 -1 % aftt 7'iiliv fiftrov V’l %%zif dvcuX ergo? tu ixagrt., sog tu XQoq ÎŹ Öuo, er cp ÎŹ ÎŽÏ…Îż itqog ÎŹ Lcov' ÎŹ ovya, ÎșαÎč ÎŒÎŻÎ± αΜ ηη * oTov er, ßf Ö* Î±ÎœÎ±Î»ÎżÎłÎŻÎ±. Δ yaq ΙÎčΜ ^ rou trog *al iav ftaaaQw. Es scheint, als wenn Thron den Ausdruck ÎŒÎčη ganj attgcmciu von teilt Dazwischenliegen gebraucht wissen will. — Pappus III, 5. p. 121 sagt ganz kurz 11 istcrt uutoin mcdictas ÎŒÎčΔη ab analogia, liam si quid est analogia, Iioc ct mcdictas est; sed non contra. Medie- tates caim tres suiit, aritluactica, geometriea ot barmonica. etc. Demnach ist ÎŒÎčη der allgemeinere, Î±ÎœÎ±Î»ÎżÎłÎŻÎ± der speciellere Begriff, wie es auch aus den ersten Worten Thcon's einleuchtet; und aus dem Zusatz des tpappus ,»rdietatc8 cnim tres saut, kommt man in Versuchung des Gegensatzes halber zu ergĂ€nzen aber es giebt nur eine Analogie. Und baS scheint wirklich das Nich- tigc zu sein. Denn hĂ€ren wir, was Iamblichu cd. Tcmiul. p. 141 p 1;?t ΙΙΐÎčολÎčÎ§ÏŠÎ”ÎżÎœ ö\ , o'n χυÎčία ÎŹÎœÎ±Î»ÎżÎłÎŻÎ±Îœ ÎŻÏ‡ÎŹÎ»Îż'υΜ οί ÄuXaiol ÎŻÎ·Îœ ÎłÎčαΌÎč- 5 otvortQov Μ η ÎșÎŹ πηλ ÎčÎșÎż ] α Ï‡ÎŹÎż ÎŻÏ‡Î»/ηλα Ï€ÎżÎčα αχΔÎč. 'Î‘ÎœÎ±Î»ÎżÎłÎŻÎ± Ü' ÎŻÎż''ÎčΜ ÎŻ Μ Î»Î±ÎłÏŽÎœ ÎŒÎżÎč η. Auch Jamblichus fĂŒgt den von Nikomachus vernachlĂ€ssigten, aber nothwendigen Begriff der homogenen Großen hinzu p. 138, und ebenso snbstituirt er fĂŒr die bloße Zusammenstellung o-wStj-o/i, bei Nikomachus den richtigeren Begriff der Gleichstellung Îź r/. π’ Î±ÎœÎ±Î»ÎżÎłÎŻÎ± Î»ÎłÎœ Δυ’'Îč πλΔÎčΜυ ÎŒÎżÎčη ÎșαÎč αΜη. — i07 f aVTov /. i' a O V PtttQt'icrPcu Tt>oq dX>sq\oxiq rol's IV ct'iVrf oftoxiq. llllfc fast wörtlich ebenso Ia »lbiichns p. 117 Al Sv Sivripa fucdrriq ^ ysouE- TQivy iiox' izzitiir in trilius torminis con- sideratio sit, enntmna pro-portionnlitas b. i. dvaXoyiu dicitur. Sin vor llic iilius dnx ct alins rome, NUc veio utii8 zu dem grĂ¶ĂŸer», als Vorderglicd π,λο^Îż, bei BocthiuS ilux ju dem kleinern, so heißt eine solche Proportion eine stetige {ΜυηψΌέΜ>Îč. Weil" aber das zu dem kleiner» gestellte Hinterglicd verschieden ist von dem zu dem grĂ¶ĂŸer» gestellten Vordcrglicde, so heißt eine solche Mcdictat oder Analogie eine getrennte oiWVe Îż'υΜηΌΌΔΜη, αλλΏ ÎŽÎčÎ”ÎŸÎ”ÎœÎłÎŒÎ”Îčη λέγΔαÎč Îź ÎżÎčαυη ÎŒÎ­ÎżÎ· Δ » ,! Î±ÎœÎ±Î»ÎżÎłÎŻÎ± 50 . Hier spricht doch wohl der Gebrauch des Worts ÎŒÎ”ÎŹÎ· in dieser Verbindung ganz deutlich gegen die gewöhnliche Definition, dcrzttsolgc cS ausschließlich die stetige Proportion bezeichn neu soll. Kap. 22. Die ursprĂŒnglichen und allen Alte», Ppthagoras, Plato» und Aristoteles bekannten Analogien sind die drei ersten, die arithmetische, die geonictrischc, die harmonische, und die drei diesen entgegengesetzten, welche keine eigenen Namen haben, sonder» gewöhnlich die vierte, fĂŒnfte lnrd sechste Mcdictat genannt werden. Nach JainblichliS p. 141. 142. rĂŒhre» nur die drei ersten von Ppthagoras her, die drei letzteren dagegen von CudoruS. Zu diesen haben die Netteren snach Iamblichus p. 163. die PythagorĂ€cr Temuoni- des und Euphrauor t>och vier andere erstntdcn, um die Zahl zehn voll zu machen, weil diese dcit PpthagorĂ€crn fĂŒr die vollkommenste gilt. Kap. 23. Arithmetische Proportion, — b =~ e — d, oder n — b = b — c. Unter den Eigenschaften dieser Proportion fĂŒhrt NikomachuS auch folgende sehr schöne und von den Meisten ĂŒbersehent Îł?.Î±ÏˆÏ…ÎżÎŻÏ7Î±ÎżÎœ ÎșαÎč ÎżÏ… Ï€ÎżÎ»Î»ÎżÏ λΔλÎč^ an, daß ί» der stCti 50 Theon Mus. c. 31. pag. 129. und Pselius p. 10. nennen die stetige Proportion dvaXoyia ts'ovi%!fi, Theo» dagegen die getrennte Pselius SayJit;, Cuklides braucht »o» sietig proporlionirten Zahlen immer den dlusbruet ~ u A i tr .^ aioiooyav. ^aniblichtts p. 110. macht den aber ganz gewiß im Sprachgebrauch nicht gegrĂŒndeten Unterschied zwischen nv,ix 0 y 0 v und dvaXoyfa, baß ersteres von der getrennte», letzteres von der stetigen Proportion gebraucht werbe . . . öoxrl' to di'a/. 0 s o>v Trsi tlviiAioyiaq Ätaq>et>etr* T'o u 1 ' ai'aXo^ov Iv öifu' oqoiq ylvsTcu’ ^ dvaKo r j!n * ii- stu Tcov rov noivov \%bvTav oo v TikTiiTixt, 214 gm Proportion das Quadrat des Mittelgliedes, wenn man das Produkt der Ă€ußern Glieder davon abzieht, gleich wird dem Quadrat der constaiiten Differenz, d. h. b 2 — ac = a — b 2 = 4 — c 2 . Kap. 24. Geometrische Proportion, a b = c d oder a b — b c. EigenthĂŒmlichkeiten der stetigen Proportion sind folgende 1 Die Differenzen der Glieder verhalten sich wie die Glieder selbst. Dieser im Griechischen nicht ganz deutlich ausgedruckte Satz ’Ίή/ÎżÎœ ΎΔ ΔχΔÎč η ÎłÎ”ÎŒÎ”ÏÎčÎșÎź ÎŒÎ”ÎŹÎ·, Îż ÎŒÎ·ÎŽÎ”ÎŒÎŻÎ± Μ λοÎčπώΜ, ÎŽ ÎŹ Μ ÎżÏÏŽÎœ ÎŽÎčα Ï†ÎżÏÎŹ Ï€ÏÎż α?-ληλ b — c = a b = b . c. Der Satz lĂ€ĂŸt sich aber, ohne RĂŒcksicht auf die Stetigkeit der Proportion, allgemeiner so ausdrĂŒcken Wenn n \ b — c . d, so verhĂ€lt sich a — b c — d — u c = b d. 2 Wenn der Erponent der stetigen Proportion n ist, so ist die Differenz der großem Glieder das n — 1 fache des Mittelgliedes, und der Überschuß der Differenz der grĂ¶ĂŸern Glieder ĂŒber die Differenz der kleinern das n — 1 fache des kleinsten Gliedes. 3 πλαΜÎčÎșΜ ρΔρÎčψα. Zwischen zwei Quadratzahlen giebt es nur ein, zwischen zwei Kubikzahlen nur zwei geometrische Mittel. Eukl. VIH, 11. 12. Kap. 25. Harmonische Proportion^', a \ c — a — h b — c. Wenn die drei GrĂ¶ĂŸen a, b, c in dieser Reihenfolge von dem grĂ¶ĂŸer» zum kleinern fortschreiten, so ist in der arithmetischen Proportion a b b c, in dcr Mitte zwischen beiden steht die geometrische, in welcher a b = 51 Nach Iauiblichns p. 141. fließ diese Proportion frĂŒher ^ -LjtEmj" rla, die entgegengesetzte, nnd erhielt erst von Archvtas und Hippasns ihre» jetzigen Namen. Movae if. To ZaXaiov fquq ^aav fuaofTiftg ÂŁ* 1 Hu^aiyo^ou va\ Tav ct'oi'ov /laPrjfiaTinav , Tl xal yicj- fuTQixri, xal 7, Ko-n fxkv xsXivavTui Myo/ntvi] rjj Toigu ’uTo Ös rrZv *ÂŁ1>1 Tor 'AqXurav ai>p-ig xal 'iMaffov uq/i ovixi 0 T 1 j'o'WJ b c ist. Außerdem wird als eine besondere Eigenschaft der harmonischen Proportion angefahrt, daß +1 c5 e SuXZrfattau. 216 die siebente a c — a — c b — e, z. B. 9, 8, 6 die achte a c = a — c \ a — b - 9, 7, 6 die neunte b c = a — c b — c - 7, 6, 4 die zehnte b c = a — c a — b - 8, 5, 3 Kap. 29. „Es ist noch ĂŒbrig auch die vollkommenste, drei Dimensionen begreifende, und alle ĂŒbrigen umfassende McdietĂ€t kurz zu erklĂ€ren, da sie sehr viele Anwendung in der Musik und Naturkunde findet." Diese McdietĂ€t, welche Nikomachus die vollkommenste Ve- Afioran], Iamblichus die musikalische 1 uovoW nennt, ist nach der ErzĂ€hlung des Letzteren von den Babylonicrn erfunden und von Pythagoras zuerst nach Griechenland gebracht worden 52 . Die Sache ist folgende Wenn man zu zwei Tcrminis zwei mittlere sucht, so daß der eine von ihnen mit den beide» Ă€ußeren eine arithmetische, der andere mit denselben eine harmonische stetige Proportion bildet, so bilden alle vier Zahlen eine geometrische Proportion. Z. B. zwischen 12 und 6 ist das arithmetische Mittel 9, das harmonische 8 , demnach bilden die vier Zahlen 12 , 9, 8 , 6 eine geometrische Proportion. Noch allgemeiner lĂ€ĂŸt der Satz sich so fassen, daß, wenn zwei der genannten Bedingungen stattfinden, allemal auch die dritte stattfindet. Seien die gegebenen Ă€ußern Glieder a und b, so ist ihr arithmetisches Mittel ihr harmonisches Mittel —j— 7 , nnd es ist offenbar, daß die Zahlen l - f- U a - f- b 2 ab eine geometrische Proportion bilden. Wenn man aber zwischen a und b zwei Zahlen x, y so sucht, daß a, x, y, b eine geometrische, a, x, b eine stetige arithmetische Proportion bilden, so wird x — b , V — ^+6' ^lich bilden dann u, y, b eine harmonische Proportion. Und eben so leuchtet der dritte Fall ein. Ich beschließe diesen Gegenstand mit der Bemerkung, daß Pap- 52 Iambl. p. 168. Eug'i/Iia 5' arV-iJr . I. variar. epist. 45. Exstant- qnc atlliuc libri duo Arithmetices Boethii, quae pro liberiore versioue Ni- comaclii haberi possunt, quem nominctenus Inudat png. 1323 et 1341 quamquam non hanc isagogen solum, sed et alterum mnjus Nicomaehi opus Arithmeticum, quod temporum injuria amisimus, simul consuluisse ct in compendium misisse videtur. Ea, inquit in praes., quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi, et quae transcursa velocius angustiorem intelligentiae praestabant aditum, mediocri adjectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur. Aus diesen Worten folgt aber wohl weder, was Fabricius behauptet, die Existenz tiucs ausfĂŒhrlicheren Werks von Nikomachus, noch auch die Verschiedenheit der vorhandenen Arithmetik dieses Kirchenvaters von seiner Bearbeitung des Werkes von Nikomachus, worauf Fabriciits ebenfalls hinzudeuten scheint. — Daß Nito- 218 hcitcn bekannt machen, nnd ja bicscni Zwecke ist es ihm hinreichend , an einem oder etlichen Zahlenbeispielcii die Richtigkeit seiner Aussagen darzuthun, so daß der Mangel derselbe» in dieser Einleitung uns nicht zu dem SchlĂŒsse berechtigt, Nikomachus habe selbst keine grĂŒndliche wissenschaftliche Beweise gehabt; er hatte ja doch fĂŒr eine große Anzahl seiner Lehren die Euklidischen Beweise und hatte, wenn Mittheilung derselben in seinem Plane gelegen hatte, ja doch diese gewiß geben können. Und macht cS Diophant, wie wir spĂ€ter sehen werden, nicht ebenso? Wenn er am SchlĂŒsse scincr Auflösung, nachdem er irgend welche Zahlen gefunden, die der Aufgabe ein GenĂŒge leisten, sagt xai r\ d-xoÖEt^iq cpavt-qĂ€, heißt das etwas Anderes, als versuche, und du wirst finden, daß diese Zahlen daS leisten, was verlangt wurde? Ebenso zeigt Nikomachus an Zahlenbeispielcii, daß seine SĂ€tze wahr find. Fragen wir endlich, welche Fortschritte die Arithmetik von Euklid es bis anf NikomachnS gemacht hat, so dĂŒrften sich etwa folgende Resultate ergeben 1 Bei Nikomachils erscheint die Arithmetik zum erstenmal frei von den Fesseln gcomctrischcr Vorstellungen, mit denen sie bei Eukli- dcs noch behaftet ist. Nikomachus erlĂ€utert Zahlcnlchrcn an Zahle», nicht an Linien, ein Fortschritt, der bei der weitem Ausbildung machus auch eine praktische Arithmetik, d. h. eine Rechenkunst, unter dem Titel έχΜη ,Ι^ΌηÎčχη, wie Montucla 1,319, Reimer in Boffut's Geschichte d. Math. I, 43, KlĂŒgcl Math. Wörtcrb. I, 174 it. Andere behaupte», ist ein bloßes Mißbcrstandniß. Denn erstens wĂŒrde der Titel έχΜη ÎŹÏˆÎĄÎŒÎ·ÎŻÏ‡Îź das nicht bedeute», was man hineinlegt, und zweitens beruht, wie es scheint, die Angabe bei Monlucla, die Reimer und KlĂŒgcl wahrscheinlich bloß nachgesprochen, wenn nicht oieimehr alle die genannten Auctorc» aus Fabricius s. uiilc» abgeschrieben habe», auf einer Stelle bei Iamblichus 3., wo er sagt „Ich beabsichtige eine wiffcitscheisniche Arithmetik zu schreiben; da finde ich aber, daß Nikomachus alles dicsts nach dem Shstcm des stchthagcras bereits in scincr έχΜη abgehandelt hat. Weil nun dieses Buch so vorzĂŒglich ist dieser Gedanke ist etwas weit ausgefĂŒhrt, dann heißt es am Ende der >>. 4. weiter, so will ich, ohne etwas wtgzunchiiicn oder hinzuzusetzen, die Nikomachischc Arbeit selbst αύη ηΜ ΝÎčÏ‡Ï…ÎŒÎŹÏ‡Ï€ÎżÎœ έχΜηΜ meiner Schrift zu Grunde legen." Demnach ist diese έχΜη nichts Anderes, als eben die ΔÎčαγγΟ, die Iamblichus commcnlirt hat und die uns zu Handen ist. Danach ist auch die Angabe bei Fabricius Ktl. Ilarles. V, 038 zu berichtigen; denn die it, den T'l„-,>I,»K»MI-I>i>j 33. 43 bei Ast >>. 32. 42 cilirtc 'ΆÎč>Îčρ>ÎčηΜχ,Îź ist ganz sicher das dem Nikomachus zugeschriebene Werk ÂŁsoXoyav, eis ÎŹÎčρΌηÎčχη. bei Arithmetik nicht ohne bedeutenden Einfluß geblieben ist, der vielmehr, wie die spĂ€teren Werke zeigen, der ganzen Griechischen Arith- nietik eine andere Riehtnng gegeben Hut. 2 AIS neu ist bei Nikomachns hinzugekommen die ganze Theorie der Polygonalzahleu, selbst die allgemeine Regel ihrer Bildung, wonach sie alS die Summenreihen arithmetischer Progressionen erscheinen. 3 Zum erstenmal schriftlich behandelt, wenn auch eingestandener Maaßen nicht von ihm herrĂŒhrend, ist hier die Theorie der MedietĂ€- te», wĂ€hrend Euklides nur die geometrische Proportion kennt. 4 Nikomachns giebt zuweilen strengere Desinitionen und Unterschiede, die Euklides ĂŒbersehen hat, z. B. die Eintheilung der geraden Zahlen in {pojtio/cro’oi, jrso/ru'griOi, Nlld doruxxiq cxq-iqi I, 8. Die Eintheilung der FlĂ€chenzahlen in und heo o- fiiiKnq II, 17, ttiib die darauf gegrĂŒndeten SĂ€tze ĂŒber die Beziehungen der letztgenannten zu den Quadratzahlen. Dagegen vernachlĂ€ssigt Nikomachns die mathematische PrĂ€cision des Ausdrucks, wenn er Sachen anfĂŒhrt, die er aus Euklides als bekannt voraussetzt und annimmt. Vergl. II, 21 die Desinitionen von Xöyoq und avaXoylu, 5 Hin und wieder, und nicht eben selten giebt Nikomachns einzelne interessante, treffende Bemerkungen, in welcher Beziehung ich auf die oben gegebene Analyse verweise und die Kapitel 4. 12. 19. 20. 23. 24 des zweiten Buchs zu vergleichen bitte z. B. die Zusammensetzung der Kubikzahlen durch die Summation einer Reihe ungerader Zahlen n. a.. Es ist indeß nicht zu leugne», daß Nikomachns in dem Bestreben, MerkwĂŒrdigkeiten zu entdecken, nicht immer glĂŒcklich ist, und daß er manchmal als sehr wunderbar etwas hervorhebt, was sich ganz von selbst versteht. Obgleich, wie ich oben erwĂ€hnt habe, zwischen Euklides und Nikomachns uns kein arithmetischer Schriftsteller bekannt ist, so rĂŒhren doch gewiß nicht alle ZuwĂŒchse, welche die Arithmetik in diesen, Zeitraume erfahren hat, von Nikomachns selbst her. Er selbst deutet zuweilen, aber freilich ohne Namen zu nennen, auf frĂŒhere Au- toreu hin, z. B. II, 14. fra ös />j dvt\Kooi cöfisv xoXavocov xui Öiko?mvqcov Scott tqixoXovqoiv , ibv rotq ovo/iuo'tv ivrev^öa^a l v f oTq Qr\fixTi xoTq etc. „Dci- wit wir aber nicht die Kolureu, Dikoluren und Trikoluren ungenannt lassen, deren Namen wir besonders in den theoretischen Schriften antreffen u. s. w." Ferner Die Körperzahlen, welche er II, 16 220 crxuArjr nennt, nennen, sagt er, Einige o'gn, 1 - 60 x 01 , Andere o-q»;- xnfKoi, noch Andere j3. 358. Jamblichus, aus Chaleis in Cblesprien, der berĂŒhmte Pvlha- gorĂ€cr, hat im vierten Jahrhundert die Einleitung des Nikomachus bearbeitet; diese Bearbeitung bildet den vierten Theil seines nmfang- 5i S. in Fnbricii Hibl. grncca V, 635. reichen Werkes ĂŒber die PythagorĂ€ische Philosophie, und fĂŒhrt den Titel ’ΐα,αÎČλ,Ï‡ÎżÎœ ΧαλχÎčΎΔ riju Îșοίλη Î–Ï…ÎżÎŻÎ±, Mol ÎŻ N/xo- > bis 132 n. Chr. vorgenommen hat S8 . Demnach können wir mit 1 einem > - , 58 Die vier Stellen bei PtolemĂ€us in seiner ÎœÎ”ÎłÎŹÎ»Î· χύΜα&. sind foi- 1 flcntc 1. IX. c. 9. p. 234. Ed. Uns. ĂŒber Merkur φ ÎŒ\Μ yaq 5 ’ίΔÎč * ΆΎηÎčÎ±ÎœÎżÏ, Îșα' ΑÎčÎłÏ…Ï€ÎŻÎżÏ… ÎŒÎ”ÎżÎčΑ Îčη ΔχΔηα, ώ ΔΜ fa~q Χαα ΘΔ- ^ ÎœÎż Î”ÎÎ»Î·ÎŒÎŒÎŻÎœÎ±Îč Ttq ÎčγΔ ciiv Î”Ï…ÎżÎŒÎ”Îœ, Îż Ï‡Î§Î”ÎÎżÎœ, ψηÎčΜ, ÎŹÏ‡Î”Î· ÎżÏ ΟλÎčÎżÏ… ' χÎčΧολΔÎčÏ‡ÎŒÎ”ÎœÎż ÎżÏ… Δπ η xaqöiaq ÎżÏ… Î§Î”ÎżÎœÎż ÎŒÎżÎŻÏÎ± oTt Tio iß ’hzi d ’ASqiavov etc. — bildlich X, 2. p. 239 Iv / itr 7 . Über geradcmal Ungerade ÎŹÎżÎčÎżÏ€^ÎșηοÎč. . 10. Über »ngcradcmal Gerade uqtwi. 11. Îčΐίοί ÎčÎŹÎșÎč d. h. ĂŒber vcrgl. 15. 21. 2’ 28. 12. Î ÎŻÏÎŻ ÎŹÎœÎčÎčÏŠÎŹÏ‡Îč ÎŹÎœ'ÎčΰΜ. 13. Über ein specieller Fall des folgenden. 14. Über Parallclogrammzahlcn. tata est >z„ain saoculo p. Chr. eloeimo soptimo !!!, quo Albertus Girat- »lus et Cartcsius, invento Arithmetices universalis Algcbrnm vocant auxilia, floruerunt, et hinc reeentiores Mathematici aliam ratiocinandi viam ingressi sunt. Wenn dic Mehrten sich streiten, cb Siom i»i Jahre 75'1 ober 753 ober 754 erbaut sei, so bat das seinen guten Grund. Wenn aber ei» Gelehrter ? in der Geschichte der letzten Jahrhunderte einen Anachronismus ve» mehr als vierhundert Jahren macht, so ist das eine Unwissenheit, fĂŒr die ei» SchĂŒler, wenn er sie an den Tag legte, offenbar wegen Faulheit bestraft werde» wĂŒrde. Wart»» nicht lieber erst lernen, und dann lehren? Auf diese Stelle $ nicht einmal anwendbar, was Schiller von jenem kurzen GedĂ€rm sagt. 227 15. Über Quadratzahlen s. o. 16. Daß die Qnadratzahlcn die HctcromckcS als geometrische Mittel haben. 17. Über die go ÎŒÎŻÎŸÎ”Îč, einerlei mit 14. 18. ĂŒber ebene Zahlen, der allgemeine Begriff, von welchem alle von 11 bis 28 genannten specielle FĂ€lle sind. 19. Über dreieckige und die folgenden Polvgonalzahlcn; ihre Ent- stchnng. 20. Über die folgenden Polygonalzahlcn. 21. liege ΙάÎșÎč ÎŻÎœ s. 11. 15. ÎșαÎč ÎŹÎœ ÎčÎŹÎșÎč αΜ ÎŻÎœ s. 12.. 22. Über Ă€hnliche Zahlen. 23. Über dreieckige Zahlen, s. 19. 24. Über kreis- und kugelförmige, und wiederkehrende Zahlen. 25. Über Qnadratzahlcn noch einmal. 26. Über fĂŒnfeckige Zahlen. 27. Über sechseckige Zahlen. 28. Daß eine Quadratzahl aus zwei dreieckigen Zahlen besteht. 29. Über Körpcrzahlen. 30. Über Pyramidalzahlen. 31. Über Seiten- und Diagonalzahlcn. 32. Über vollstĂ€ndige, unvollstĂ€ndige lind ĂŒbervollstĂ€ndige Zahlen. Das ist eilt wahres Labyrinth, und mit dem Inhalt steht cS nicht besser. Der Satz z. B., daß die Qnadratzahlcn durch die Summation der tmgcradcn Zahlen entstehen, kommt viermal vor, am Anfange des 15., in der Mitte des 19., a», Anfange des 20. und in dem 25. Kapitel, welches letztere weiter nichts enthĂ€lt, als diesen zum viertenmal wiederholten Satz. Ich ĂŒbergehe indeß alles Übrige und begnĂŒge mich hier damit, zwei Stellen herauszuheben, welche Wahrheiten enthalten, die ich bei NikomachuS nicht gefunden habe. ZunĂ€chst Kap. 20 p. 55 eine Bemerkung ĂŒber die Qnadratzahlcn. Thcon sagt Jede Qnadratzahl ist entweder durch 3 thcil- S kr ' »der sie ist, wenn man 1 snblrahirt, durch 3 thcilbar d. h. "ll eine Quadratzahl kann nicht die Form 3» + 2 haben; ferner ist ein sie entweder durch 4 thcilbar, oder die um 1 verminderte Zahl ist vo» durch 4 thcilbar d. h. eine Qnadratzahl kann weder die Form ci» An -}_ 2 noch An -f- 3 haben; und diejenige, welche nach Sub- traction der Einheit durch 3 thcilbar ist, ist immer auch durch 4 thcilbar, oder wenn sie nach Subtraktion der Einheit durch 4 thcil- 15° 228 bar ist, ist sie selbst durch 3 theilbar, oder sie ist selbst durch 3 uud durch 4, oder weder durch 3 »och durch 4 theilbar; da»» ist sie aber »ach Subtractio» der Einheit durch 3 uud durch 4 theilbar. Die vier letzte» Bestimmungen sind sehr schlecht ausgedruckt, auch ist der Tert an dieser Stelle fehlerhaft; diese Bestimmungen, welche ĂŒbrigens unmittelbar aus den beiden erste» folge», sagcit so viel es sind im- nier zugleich .. m s m s — 1 entweder 1 —- uud — ; — 3 4 oder 2 —— und 4 nr — 1 3 oder 3 und 9il* "T oder 4 — I 3 Mtd ganze Zahle». No. 1 begreift die Zahlen bn - f- 3, No. 2 die Zahle» bn + 2, No. 3 die Zahle» b n und No. 4 die Zahle» bn-^r h wodurch allerdings alle Zahlen erschöpft sind. Besser siude» wir die ganze Sache bei Iamblichus >>. 126 ausgedrĂŒckt πΰ Î”ÏÎŹÎł wo? ÏˆÎżÎč αΜΎρΔΜ ÏÎŻÎżÎœ ΔχΔÎč, η /Îčη ΔχΔÎč., Ï€ÎŹÎœ γΔ Î­Î±ÏÎżÎœ, η Δΐ ÎčÎčÎź χαÎč 7ÎżÎœÎż ^ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± ÎŹÏ†Î±ÎčÏÎ”ÏÎ”ÎŻÎ· Δχ ΌΔΜ ÏÎŻÎżÎœ Î”Ï‡ÎżÎœÎż Î­Î±ÏÎżÎœ Î”Ï‡ÎżÎœÎ±. ÎŹÏ€ÎżÎ”Î»Î”'ÎčΔÎč, Δχ Δ Î­Î±ÏÎżÎœ Î”Ï‡ÎżÎœÎż ÏÎŻÎżÎœ Î”Ï‡ÎżÎœÎ±, Δχ ΎΔ / Îč,’ Î”Î”ÏÎżÎœ, ÎŹÎŒÏˆÎ”ÏÎ±. Εϊ Δ Δ'Ï‡ÎżÎč ÎŹÎŒÏ†Î”ÏÎ±, Δο'ÎčΜ Îż Δ Îź ÎŹÏ†Î±ÎŻÏÎ”Ï…ÎŠ η ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± ÎŹÎŒÏˆÎżÎ”ÏÎœ Δρ!Î±Ï‡Î”ÎŻ. Die AusdrĂŒckt ÏÎŻÎżÎœ, Î­Î±ÏÎżÎœ sind von Tcmiulius, der an dieser Stelle gar nicht weiß, wovon die Rede ist, sonderbar falsch verstanden, indem er sie das dritte, das vierte Quadrat wiedergiebt °°. Eine zweite, aber auch die letzte Erweiterung der Lehre des Ni- komachus enthĂ€lt daö Kap. Zl. ES heißt Griechisch Ï€Î”ÏÎŻ πλΔΜρÎč- χΜ χαÎč ÎŽÎčαΌΔρÎčχΜ ÎŹÏÎčÎĄÎŒÎœ. Der Inhalt ist folgender „So wie die Zahlen die Eigenschaften der Dreiecke, Quadrate, FĂŒnfecke tt. s. w. in sich tragen, so finden wir auch das VerhĂ€ltniß der Seite und Diagonale des Quadrats in ihnen ausgedrĂŒckt." Die folgende Darstellung ist nun bei Theo» nicht sehr lichtvoll, wenigstens trĂ€gt sie nicht dazu bei, das Bild zu inotiviren. Der Sinn ist der in dem gcomctrischeit Quadrate ist das Quadrat der Diagonale dop- i l 1 1 d g h sl d a li di F A lii A G u> gc "f m ge eil f in 3/ 62 Notae in .Tnmbl. p. 188. pclt so groß, als das Quadrat dcr Scitc. Das laßt sich allerdings in Zahlen nicht darstellen. Wohl aber kann man immer Paare von Zahlen finden, so daß das Quadrat dcr einen abwechselnd um 1 großer und um 1 kleiner ist als das doppelte Quadrat dcr andern. Solche Zahlen nun hat Theo» im Sinne, indem er lehrt, man soll von zwei Einheiten ausgehen, eine als Scitc, die andere als Diagonale betrachtend, und damt immer die Sumnic dcr Seite und Diagonale gleich einer ncucii Seite, die Summe dcr doppelten Seile und dcr Diagonale gleich einer netten Diagonale setzen. In der. That erhĂ€lt man auf dem Wege immer Zahlcnpaare, welche die Ei- gcitschaft haben, daß das einfache Quadrat dcr einen von dem doppelten Quadrate dcr andern um 1 verschieden ist, und zwar stets abwechselnd großer und klciitcr. Von zwei Einheiten ist das klar, also sind sie die Anfangspunctc dcr Operation; und zwar ist das doppelte Quadrat der Seite um 1 grĂ¶ĂŸer als das Quadrat dcr Diagonale. NtM bilde man nach dcr vorgeschriebenen Regel die neue Seite — 1 -j- 1 — 2, die neue Diagonale — 2.. 1 -f-1 — 3, so ist — 8 ltm 1 kleiner als 3* — 3. FĂ€hrt man nun in dcr Anwendung dcr Regel fort, so wird die dritte Seite = 2 —f- 3 = 5, die dritte Diagonale — 2 . 2 -s- 3 — 7, ferner 5 -s- 7 — 12, -J- 7 c= 17 u. s. w. Fahrt man so beliebig weit, aber in gerader Anzahl fort, so ist die Summe der Quadrate sĂ€mmtlicher Diagonalen gcnalt doppelt so groß als die Sumrne dcr Quadrate sĂ€mmtlicher Seiten, und die Analogie mit dcr geometrischen Figur wird dadurch vollkommeit hergestellt. Diese Spielerei mit Analogien wird aber wichtiger, weitn wir sie vo>t ihrer wissenschaftlichen Scitc ins Auge fassen, uitd sie wird dann eine Methode, alle Auflösungen in ganzen rationalen Zahlen ztl finden, dercit die beiden Gleichungen 2/" -ch- 1 — u~ und 2 a 2 — 1. = if fĂ€hig find; und zwar sagt dcr Satz wenn m und n respektive fĂŒr t und u gefitzt der ersten Gleichung genĂŒgen, so genĂŒgen m - f- n und { i»> + ii rcspcetivc fĂŒr x und y gesetzt der zweiten Gleichung; und umgekehrt, genĂŒgen p und y fĂŒr x imb y gesetzt der Gleichung -‱ t ' 2 — 1 = y~, so genĂŒgen p - st y und 2 p -}- y fĂŒr * und // gesetzt dcr Gleichung 2,? 1 — U \ Gesetzt nun, man hĂ€tte fĂŒr eine der beiden Gleichungen versuchsweise die Wurzelt! p und y ge- fmifccii, so hĂ€tte man daraus fĂŒr die andere die Wurzeln p - ,/ tmb 2 p „„ jj ^ slrlu? ; wiederum fĂŒr die erste die Wurzeln 'V + 2y und 4 p -f- 3y, und NUN abermals fĂŒr die zweite 230 die Wurzeln lp - f- 6y und 10 p -}- 7,/ und so fort. Nun ergeben sich aber fĂŒr die Gleichung 2 — 1 y l sofort die Werthe x — 1 und y — 1, daher erhalten wir nach Thcon'S Regel folgende Auflösungen beider Gleichungen X y t u 1 1 2 3 5 7 12 17 29 41 70 99 169 239 408 577 985 1393 2378 3363 u. f. w. Die Wahrheit der Theonfchcn Regel lĂ€ĂŸt sich sehr leicht beweisen. Denn wenn der vorigen Annahme gemĂ€ĂŸ p — t und ,/ — u die Gleichung 1 = u 2 lösen, d. h. wenn 2/> 2 - s- 1 = * -f- 4 py - ch- y 2 y — 2 / + 7 - Hat man dagegen gefunden 2w 2 — 1 — -r 2 , und man setzt in der Gleichung 2ÎĄÎżÎłÎœÎŻÎœ ÏÎŻÎłÎœÎœ, Μ ΌΔΜ ΙοÎșΔλώΜ, Μ ΎΔ ÎșαληΜώΜ, ΔΜ ΌΔΜ οΐ Î™ÎżÏ‡Î”- λΔÎčΜ ÎżÎœÎș αΜ ίοΐΔ Δυ%ÎżÎčΌΔΜ ÎŹÎ¶Ï†ÎŒÎżÏ… Δφα ÎčΌαÎč αΐ Ï€Î»Î”ÎœÎżÎč/Ά' 33 c ΄πΌΜηΌα ΔÎč Ε weniger l." Ader keiner der genannten Auroren giebt uns irgend einen Wink darĂŒber, wie man auf diese Auslosung obiger Gleichungen gekonnncu ist, vielmehr steht dieselbe in ihrem Resultate als ganz nackte Wahrheit da. Und nun noch einen kleine» Beitrag zur Geschichte der Geschichte. Thron 64 sagt ÎșΔψαλαÎșΎη ÎșÎŻ ÏÎœÎżÎŒÎżÎœ Λοη]ξ’- ΌφO Cap. 1. p. 2. Eil. HĂŒll. >5 llist. Iv VAslrmi. ane. T. Π. p. 6U8. 232 Thcou's ouvragc n bciiucoup scrvi a Pscllus, qui s’cn cst tsiit 1’abbvcviateur. Nun wird diese neue Wahrheit auf Dclam- brc's AutoritĂ€t hin wieder iu manches Buch ĂŒbergehen, dessen Verfasser weder Theon's noch Pscllus Werk gelesen hat. Ich sagte, Bouillaud's Hypothese habe wenig fĂŒr sich; denn ein so elendes mageres Werk, wie das von Pscllus sherausgegeben von Wilh. Lylan- dcr, Gricch. u. Lat. Basel 1554. kl. 8. konnte eben so gut aus jedem andcru Autor crccrpirt werden, als gerade aus Thron; es ist so schlecht, daß es die AlitoritĂ€t, auf die es sich stĂŒtzt, durchaus gar nicht verrĂ€th. Vielleicht fĂ€llt in diese oder die nĂ€chstfolgende Zeit das Alter eines gewissen ThymaridaS, dem die Mathematik manche» Zuwachs zu verdanken scheint. Wir kennen den Mann aber nur aus einigen Citaten bei Iamblichus 6r ’. Um von dem Unbedeutenderen anzufangen, so erwĂ€hne ich, daß Iamblichus zwei Definitionen von ThymaridaS mittheilt; die erste ist die die Einheit ist die tcrmiui- rcnde Große zieoaa’ovmx noamrfi p. 11; die zweite ist die, daß ThymaridaS die Primzahlen geradlinige, genannt habe p. 36, weil nur diese Zahlen allein sich nicht als FlĂ€chen, d. h. als Prodncte darstellen lassen. Wichtiger aber ist eine Regel des ThymaridaS, welche in die Algebra einschlĂ€gt, inid die Jambli- chus unter dem sonderbaren Namen des r-r Ă€v^st\ daS Daran- blĂŒhcu, das Anhaften von Tcunulius florida scntcnlia ĂŒbersetzt einfĂŒhrt. Es war nĂ€mlich vorher p. 87 gesagt worden „Bei der bildlichcit Darstellung der Polygonalzahlcn bleiben immer zwei Seiten dieselben, indem jede nach einer Seite hin verlĂ€ngert wird /.irixwoftzvai jcaÂŁr’ ixamov die aber um diese liegen, werden durch das Hcrumsctzcn der Guomoucs eingeschlossen, indem sie sich immer Ă€ndern, eine im Dreieck, zwei im Viereck, drei im FĂŒnfeck und so bis ins Unendliche fort, indem die Benennung der Polygone von der Anzahl der verĂ€nderten Seiten immer tim 2 diffcrirt." Und da heißt es denn nun p. 88 weiter „Daher ist auch die Methode des Epanthcma von ThymaridaS entnommen. Wenn nĂ€mlich gegebene und uubckanntc GrĂŒĂŸen sich in eine gegebene theilen sd. h. zusammengenommen dieser gleich sind, und eine von ihnen mit jeder 66 Oommvut. i» Nicom. p. 11. 36. 88. 91. 95. Vita Fytliag. c. 23. 28. Rcceiis. l’j'tliag. c. 33. 36. 233 andern zu einer Summe verbunden wird, so wird die Summe alter dieser Paare nach Snbtractiow der ursprĂŒnglichen Summe, bei drei Zahlen, der zu den ĂŒbrigen addirtcn ganz zuerkannt gleich gesetzt, bei vieren deren Halste, bei fĂŒnfcn deren Drittel, bei scchscn deren Viertel, und so fort." — TcnnulinS hat, wie aus seiner völlig sinnlosen Übersetzung hervorgeht, den an dieser Stelle sehr verstĂŒmmelten Text nicht verstanden, und auch sein sonst ausfĂŒhrlicher Commentar ist nicht im Stande ihn an dieser Stelle gegen den gemachten Vor- wnrf zu vertheidigen 67 Um meinen Lesern ein Exempel zu statui- rcit, wie dieser Herausgeber seinen Autor behandelt, schreibe ich die kurze Regel des Epanthcma, die ich so eben deutsch gegeben habe, nach des Tcnnulius Text und Übersetzung hier ab η Î­Ï†ÎżÎŽÎż Λΰ Θυ- ÎŒÎ±Î¶ÎŻÎŽÎŻÎżÏ… Î”Î›Î±ÎœÎĄÎčÎŒÎ±Îż Î”Î»Î·ÏˆÎĄÎ·. ' ΌΔΜώΜ γαο η Ώαοίο'Μ ΌΔ. ÎżÎčα. ΌΔΜώΜ ÎżÎčÎŒÎ”ÎœÎżÎœ Îč, Îșαί ΔΜ ÎżÏÎčÎœÎżÎżÎœÎœ οΓ λοÎčίοΐ w,?’ έÎșÎ±ÎżÎœ ÎœÎœÎ”ÏÎ”ÎœÎż, Îż ΔÎș, ζΑΜ- Μ dp-QoiuPtv Ï€Î»ÎŻÎžÎż, Î­Ï€ÎŻ ΌΔΜ Qi Μ ÎŒÎ”ÎŹ ηΜ ΔΟ ÎŹÎżÏ‡Î· ÎŽÎżÎčρΔΐαΜ Λοηα ÎżÎ»ÎżÎœ Ζ ÎœÎłÏ‡^ÎčρέΜ Îč Îč^ÎżÎ±ÎœÎ”ÎŒÎ”Îč, ÎŹÏˆ ÎżÎœ Îż λοÎčπΜ χαρ' έÎșÎ±ÎżÎœ Μ λοÎčÎŻÎœ αφαÎč- ^ΔΥηΔαÎč, Î”Ï€ÎŻ. ΎΔ Î”ÎŹÎżÎœ Îż η.ΐÎčÎż"υ, Îșαί Î”Ï€ÎŻ πέΜΔ Îż tq>- ÎżÎœ, Îșαί Î”Ï€ÎŻ ΔΟ Î­Î±ÏÎżÎœ, Îșαί αΔί αÎșÎżÎ»ÎżÏÎž. HĂ€tte Tcnnulius zum Besten Ilinc ctinni cognoscitur ratio floridae sententiae, quam tra- didit Thymaridas. uni enim, ait, linita vel indefinita dividunt aliquid definitum, et unum quodlibet singulis reliquis apponitur, cumulata ex omnibus multitudo, in tribus quidem post priorem definitam quantitatem, totum attribuit concreto, a quo reliquum secundum singula reliqua auferetur, in quatuor vero dimidiam, in quinque tertiam, iu sex quartam partem, et ad eandem sequentium in omnibus proceditur. dcrcr, wclchc uicht Gricchisch vcr- 67 Der ganze Commentar, den er zu dieser Stelle giebt, die nianchc llele- gcnhcit zu ErlĂ€nterungen darbot, ist folgender p. 171. 'Sigio/Avar auctor liic usque ad pag. 06 . demonstrat proportionem enjusque polygoni ct laterum lutandorum. — ’Exl f u,v tquSv \ in tribus est illiquid definitum. — ’ to TsraqTov quia sexanguli gnomon continet quatuor latera. Diese tui Notizen sind ein wahres Muster von Commentar, besonders die zweite; Tcn- uulius hat wieder nicht einmal von ferne gewittert, wovon die Rede ist. stehen, die Griechischen Wörter mit Lateinischen Buchstaben geschrieben, so wĂ€ren dieselben eben so gut daran gewesen, wie jetzt mit seiner Lateinischen Übersetzung. Was nun den Tert anlangt, so muss es zlniĂ€chst iivevpev statt irraZpev heißen; die aber in der Mitte ausgezeichnete Stelle ist nach einigen Änderungen und Umstellungen so JU lesen /iÂŁ7 xcxp' ekomtov 7Zv konuZv cruyxo;- P^wi TtQocrvej-iercu, litt 6s 7 E, x -f- y — //, so ist x — b -J- b' — u 68 ; werden vier GrĂ¶ĂŸe» gesucht, also + y + y + y — , x + y — b, x + y = b', h 4- // 4- b' bei fĂŒnseil x x - y' — b", so ist X — h + />' + h" + 11" und so fort. Daß dieser Sinn, den ich dem Epanthema untergelegt habe, der einzig ricbtige ist, beweist Iam- blichus selbst, indem er die Regel gleich hinterher an zwei Beispielen erlĂ€utert, von denen ich eines mittheilen will. „Daß aber dieses Epanthcma nicht mĂŒĂŸig dasteht sondern auch auf eine arithmetische Regel Bezug hat, und tlns zu einer sehr zierlichen Methode der Auffindung fĂŒhrt, wollen wir so darthun. Es sei uns zlnn Beispiel ausgegeben, vier Zahlen ju finden, so daß die erste sammt der zweiten doppelt so groß sei, als die dritte und vierte zusannncu, 68 Addirt um» nĂ€mlich die beiben lelzlc» Gleich»,,gen, so wird x + .t 4 - y y — h 4 " //, oder x 4 " V 4 " !/' — a > also x 4 - u — b 4 " b und x = b 4- h' — . Ähnlich bei den folgenden. 235 die erste und dritte dreimal so groß als die zweite und vierte, und auf Ă€hnliche Weise, die erste und vierte viermal so groß als die beiden mittlern, nĂ€mlich die zweite imb dritte zusammengenommen, alle zusammen aber fĂŒnfmal so groß, als eben diese beiden mittlern was unmittelbar aus der vorigen Bedingung folgt." Jamblichus wird bei der AusfĂŒhrung dieser Aufgabe etwas wcitlĂ€uftig; ich will kurz den Inhalt angeben, ohne an dem Wesentlichen seiner Methode etwas zu Ă€ndern. Da hier ein Doppeltes, ein Dreifaches, ein Vierfaches und ein FĂŒnffaches gebraucht wird, so setze ich die Summe der vier Zahlen gleich — 120. Da nun die Summe der beiden ersten Zahlen gleich der doppelten Summe der beiden letzten ist, also die dreifache Summe der ersten beiden gleich der doppelten Summe aller vier Zahlen wenn man nĂ€mlich zu beiden Seiten die doppelte Summe der ersten beiden addirt, so multiplicirc ich die 120 mit 2, und dividire das Product durch 3, so habe ich den Quotienten 80 als Summe der ersten beiden ZĂ€hlen. Weil ferner die erste und dritte gleich dem der dreifachen Summe der zweiten und vierten, also die vierfache Summe der ersten und dritten gleich der dreifachen Summe aller vier Zahlen ist, so multiplicirc ich 120 mit 3, und dividire das Product durch 4, so ist der Quotient 90 die Summe der ersten und dritten. Auf dieselbe Weise erhalte ich, wenn ich 120 mit 4 multiplicirc und das Product durch 5 dividire, den Quotienten 96 gleich der Slnumc der ersten und vierten Zahl. „Da nun," fĂ€hrt Jamblichus fort, „die vier Zahlen in ihrer Verbindung gefunden, aber noch nicht einzeln geschieden sind, so giebt uns den Weg zu ihrer Absonderung von einander das Epanthcma des Thymaridas an die Hand. Wen» wir nĂ€mlich die drei Summen ad- dircn, das heißt 80, 90, 96, und von dieser Gcsammtsumme, 266, die anfangs gegebene „in die vier Zahlen getheilte" Summe 120 subtrahircn, so erhalten wir den Rest 146, und dieses Restes HĂ€lfte, weil nĂ€mlich vier Zahlen gegeben waren, giebt die zu den ĂŒbrigen addirtc; diese HĂ€lfte °° aber ist 73, und das ist die erste Zahl, ihr Rest von 80, nĂ€mlich 7, wird also die zweite, ihr Rest von 90, nĂ€mlich 17, die dritte, und ihr Rest von 96, nĂ€mlich 23, die vierte 69 Der Schluß von hier e>» ist im Griechische» Tcrlc p. 92. wieder sehr verstĂŒmmelt,- da die Hauptsache aber heisst, und das Übrige mir als ein Anhang 1» betrachte» ist, so mag ich mich bei der Cerrcclur nicht anfhallcii. Zahl sci». Dieses sind die kleinsten Werthe i» ganzen Zahlen, welche die gegebenen VerhĂ€ltnisse beobachten; wen» man sie durch eine beliebige Zahl dividirt oder mit einer solchen mnltiplicirt, so werden die dadurch entstandene» Zahlen ebenfalls der Aufgabe genĂŒgen. " Diese Auslosung ist so einfach und leicht, daß ich es nicht fĂŒr nöthig halte, unsern modernen Augen ;» Gefallen die gegebenen Worte in algebraische Zeichen zn ĂŒbersetzen. Es ist hinreichend, wenn ich durch Mittheilung dieser Auflösung die Richtigkeit meiner Deutung des Epanthcma nachgewiesen habe. Wichtiger aber noch als der Inhalt dieser Regel ist deren Form, weil darin bereits von bekannten und unbekannten GrĂ¶ĂŸen die Rede ist. ’ Aoqiotoder begrenzte» oder gegebenen Zahl. Also hat man vor Diophant reine algebraische Operationen gekannt, das heißt, man hat mit einem allgemeinen Ausdrucke fĂŒr die Unbekannte umzugehen gewußt — wenigstens in Worten. ES folgt aber aus dem Epanthcma nicht als durchaus nothwendig, daß man die Unbekannte auch durch ein allgemeines Zeichen ausgedrĂŒckt habe, wie Diophant es thut. Jedenfalls aber ist dieses Epanthcma ein herrlicher Fund fĂŒr die Geschichte der Algebra. Außer dieser interessanten Mittheilung ĂŒber Thymaridas enthĂ€lt der Commentar des Iamblichus wenig Neues, einige einzelne Bemerkungen abgerechnet, die ich kurz erwĂ€hnen will. Jede Zahl mit einer der beiden ihr zunĂ€chst liegenden gleichartigen d. h. gerade mit geraden, ungerade mit ungeraden mnltiplicirt, giebt, wenn man zu dem Producte 1 addirt, ein Quadrat, und zwar geben ungerade Zahlen gerade Quadrate und gerade Zahlen ungerade Quadrate 70 . Das heißt, a a + 2 -s- 1 — + l 2 . 70 I’ag 127. Diese Stellt sieht bei Tcnilulius ganz und gar wunderbar aus. Sie schließt sich nĂ€mlich immlitelbar an die oben bei Gelegenheit Thcon's ĂŒber die Thellbarkelt der Quadrate durch 3 und 4 mitgetheilte Stelle an, daher ich hier deren letzten Satz wiederhole. Ei 6t a/upoi'fga, taiiv oVs atpaijÂŁfftg ? uOl'aöos’ ilfi cpoJ'eQCOv G'i'ZdfsyZi , y al arfag i/inp-uu^ tov 6/sit" tfisyoi’j'a. ta ixafsQix. c O>o j'eq ov ouv oiioytvij MoXXaxXaaidaai jiiQvdSai XEj'tidycnvov rf ottt, Äf^tcrcrol 7 2...3...4...5..' Es ist dieses eine ;n weite AuSspinnung des ganz angenehmen Witzes ĂŒber die Quadratzahlcn, um die sich allerdings schon Mancher mĂŒde gejagt und gerechnet hat, ohne gerade immer bis an die vvurffa zu gelangen. 239 Pag. 124 — 126 enthalten Bemerkungen, welche eine etwas tiefere Einsicht in das Dccimalspsicm verrathen, indem hier die Potenzen von 10 als ebenso viele Einheiten höherer Ordnungen erschci- ncn. Ich will die Stelle, obgleich sie nach Jamblichus Manier in ihrer WcitlĂ€nftigkcit manchen unnĂŒtzen Zusatz enthĂ€lt, wörtlich ĂŒbersetzen „Eine bedeutende Auszeichnung bringt der Dekas die nach dem eben beschriebenen Doppcllauf Slavloq ist eben jener Circus angestellte Bildung der Quadratzahlcn, wenn man in der ersten Zah- lcnsiufc, welche die Zahl begrenzt, von der Einheit bis zu dieser fortschreitet, und wiederum von ihr, als einer Zahl, welche die Einer von den Zehnern absondert, zurĂŒck, gleichsam von einer Einheit zu einer andern. Es entsteht nĂ€mlich aus der Dekas, gleichsam durch Zusanimcnrcihlnig 71 , die Quadratzahl 100, die ebenfalls ein Grenz- glicd ist zwischen den Zehnern und Hunderten, und von den Py- thagoraern die Einheit des dritten Ganges /.iovou; rgm- genannt wird, gleich wie die Zehn die Einheit des zweiten Ganges SevTEgcoSovfuvri . Die Seite des Quadrats 100 wird eben die 10 sein, und ihr Quadrat die Summe, welche entsteht, wenn man zu ihr alle vorhergehenden Zahlen, doppelt gc- nomme», addirt »ct Svva/.u; ocOrrjy ro crri^x>-gaXcc>i/t rrji, ixi ruvT'n 7Zv hvo; avjvi; doi^-iuZiv Si; . etmv . So nĂ€mlich gleicht, wie ich gesagt habe, diese Aneinanderreihung der Zahlen dem Wcttlanf auf der Rennbahn, sowohl hinsichts des Auslaufens von dem Anfange, gleichsam aus der Schranke, als auch hinsichts der RĂŒckkehr von der SĂ€ule, gleichsam von dem Wende- pfeiler. Wenn wir aber die DckaS nicht mehr als Wcndepfeilcr, sondern als Schranke gebrauchen, und der Ansang des Auslaufs von ihr bis zur Hckontas geschieht, von welcher wir wiederum bis zur Dekas zurĂŒckgehen, so geht aus der Addition als erste Zahl 6 *81e * 'w> ^ T SvÄSos H, ", Wrltncht ist zu lesen Vag Tennulius auch so slclcfcn, “*° S MQayavot aw° s ^ stwt Äbersetzung unzu- dst abdruckt, Werte atso nur riet, nn,nor»8 gun^. , nt " n jX denartn dum _ c j ncm Komma geworden, »>is UM. ii-s wĂ€re tfinuact mit tut Drucke J uud die Worte ck-rĂ€ a-uvpeacca? in eins zusummcngcluuscu. 240 dcn Hunderten und Tausenden ist im Tcrte fivgidSaw fehlerhaft fi'ir aber die Quadratwurzel der Zahl 1000 ist nicht 100; denn 1000 ist gar keine Quadratzahl, sondern ein Kubus von der Seite 10. Um sie aber in der Ebene als Parallelogramm rrmvi^xixcx, darzustellen, werden ihre Seiten 100 und 10 feilt, so daß es klar ist, daß die Hundert noch der Zehn bedarf, um eine Seite zu werden, mystisch. Wenn wir wiederum von der Hundert als Schranke ausgehen und die nach ihr folgenden Hunderter addircnd bis zu 1000 fortschreiten und von da als Wcndcpunrt ebenso wieder bis zu 100 als Ziel zurĂŒckgehen, so ist die Summe 10000 eine Einheit des fĂŒnften Ganges iwmoSou/uVi'] die als Quadrat die Seite 100, als Parallelogramm die Seiten 1000 und 10 hat. So bedarf die Zehn, um in dieser Nachahmung des Wcttlanfs Seitenzahl zu werden, keiner der ĂŒbrigen Grcnzglicdcr, ich meine der Hundert oder der Tausend; diese dagegen, damit ihnen dasselbe zu Theil werde damit sie Seitenzahlen werden, bedĂŒrfen durchaus der Zehn; daher ertheilen wir gerade ihr dieses Lob." Es ist also bildlich dargestellt 1—2—3—4—5—6—7—8 — 9-^ 10 = 100 = 10-10 1—2—3 — 4—5—6—7—8—9—^ 10-20-30-40-50-60-70-80-90 100 = 1000 = 100 - 10 10-20-30-40-50-60-70-80-90^ 100-200-300-400-500-600-700-800-900^ 1000 = 10000 = 100-100 I00-200-300-400-500-600-700-S00-900 J = 1000-10. Jamblichus scheint nicht bemerkt zu haben, daß dieselbe Erscheinung sich bei jeder andern Zahl zeigt, und daß sie nur insofern ein eigenthĂŒmliches eyx&Vuou der Zehn ist, als deren Potenzen die Grenzen in der Reihe der gewöhnlichen Zahlensysteme abgeben. Dcn» da die Summe der Zahlen von 1 bis und von da zurĂŒck bis 1 gleich 2 ist, so ist nothwendig dieselbe Summe, wenn man jedes Glied mit a multiplicirt, das heißt, tvcim mau von a die Vielfachen durchlaufend bis 2 und von da bis zurĂŒckgeht, gleich 3 u. s. iv- 241 u. s. w. So ist z. B. der Kubus 125 aus der Summation folgender Rennbahn entstanden 5 ... 10 .. . 15 ... 2» ,. ,,, l,; ’ 25 5 ... 10 ... 15 ... 20' was ganz dasselbe ist, als wenn ich die Summe der Rennbahn 1 ... 2 ... 3 ... 4 . . 5 1 ... 2 ... 3 ... 4 . . ' welche gleich 25 ist, mit 5 multiplici. Indeß wird Iamblichus durch diese Darstellung der Zehn und ihrer Potenzen als Einheiten höherer Ordnungen auf folgenden hĂŒbschen Satz gefĂŒhrt p. 145. 146 Wenn man die drei Zahle» 1, 2, 3 zu einander bbirt, so erhĂ€lt man die Summe 6. Dieselbe Summe erhĂ€lt man durch die Addition jeder folgenden Copulatio von drei Zahlen, ohne eine jll ĂŒberspringen oder doppelt zu nehmen, wenn man immer statt der Zehner ihre entsprechenden Einer setzt, oder die Zehn als eine Einheit höherer Ordnung betrachtet, was Pythagoras, wie oben erwĂ€hnt, gethan hat. ΕπΔ ΎΔ ÎŻ^ÎŹÎŽÎż Î±Ï€Îż ΔλΔαÎčÎșÎź ίαÎčΜ Îź rtgoinj παρ’ ÎżÏ…ÎŽ ΔΜ αχ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± αχ ÎčÎŸÏ…ÎłÎŻÎ±, Îź ΛζΏη u. ÎČ. Îł Î”ÎŻÎŽÎżÏ‡ÎżÎčΟαΔÎč ÎŹ Δ^ Î±Ï…Îź, ΌηΎΔΜ ÎżÏÎżÏ ÎșÎżÎčÎœÎżÏ λαΌÎČÎ±ÎœÎżÎŒÎ”ÎœÎżÏ… , ΌηΎΔ ΌηΜ παχαλλΔÎčÏ€Îż/.ÎčÎ”ÎœÎżÎœ , Ώλλα ÎŒÎ”ÎŹ, ηΜ α. ÎČ. Îł λαΌÎČÎ±ÎœÎżÎŒÎ”Ï…Î· η ÎŽ. Δ. ? , Δία Ο, η, ϊ Îșαί Δ^ ÎŹÏ‡ÎżÎ»ÎżÏÎČ. ΙΙΏαÎč γΏο Î±ÎœÎż,Îč ÎčΏΎΔ ÎłÎ”ÎœÎŻÎŒÎżÎœÎ±Îč , ΌΔαλαΌÎČα- ÎœÎżÎœÎ· ÎżÎœ ÎŒÎżÎœÎŹÏ‡Îż Ï€ÎżÎœ ΏΔÎč η ΎΔÎșΏΎα , ÎżÎœÎ”ÎŹÎčΜ, ΔÎč ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± Î±ÎœÎ±ÎłÎŒÎ”ÎœÎ·. Wir wĂŒrden bcii Satz so ausdrĂŒcken Wenn man drei aufeinander folgende Zahlen, deren grĂ¶ĂŸte durch 3 thcilbar ist, zu einander addirt, von der Silinme die Ziffcrnstunme, von dic- scr Ziffcrnsumme abermals die Ziffcrnsummc nimmt, und so fort, so kommt man endlich immer einmal auf eine Ziffcrnsummc, welche 6 'st- Z. B. 907 -j- 998 -s- 999 — 2991 2 -j. 9 -_ 9 + 4 = 24 2 -f 4 = 6 I. 16 242 Solche Vorstellungen waren fĂŒr die Griechen umstĂ€ndlicher und schwieriger, als fĂŒr uns, weil sie das Bild unserer Ziffern nicht vor dem Auge und im Sinne hatten, sondern wirklich erst eine Umgestaltung der Zchit zu einer Einheit vornehmen mußten, indem sie statt 7, ÎŒ statt 7 u. s. w. setzten. Als Privatansicht des Jamblichus fĂŒhre ich mir noch an, daß er die Zahl 2 fĂŒr keine Primzahl hĂ€lt. Er sagt nĂ€mlich 42 / KuVTavSru ΎΔ ÎŽ ΕυÎșλΔίΎη Ï‡ÎżÎżÎŽÎ·Î»Î°Î±ÎżÎœ Ï‡Î±Î¶ÎŻÏ‡Î”Îč, " ,,Μ Ï…ÎŹ'α Μ TtQwtiov Ï‡ÎżÎŻÎč hjvvp-ironi αÎčÎŒÎ”ÎœÎż Î”ÎŻÎœÎ±Îč, ΔπΔÎč ÎŒÎčηÎč ÎŒÎŻ^ χφραÎč, ΔÎșÎ»Î”Î»ÎŒÎŒÎŻÎœÎ±, ÎŽÎč Îź ΌΔΜ ÎżÎœ Ï…ÎŒÎŻÎżÏ… Î”ÎŻÎŽÎżÏ… Î”ÎŻÏ…. „Auch hier legt EuklidcS einen ganz augenscheinlichen Irrthum an den Tag, indem er die Zwei fĂŒr eine Primzahl hĂ€lt, weil ihr einziges Maaß die Einheit ist, und ĂŒbersehen hat, daß sie zu der Klaffe der geraden Zahle» gehört." Nach Nikomachus I, 11 aber gehören, wie wir oben gesehen haben, die Primzahlen zu den ungeraden. Hier niĂŒssen wir denn aber doch den Vater EuklidcS gegen Jamblichus in Schliß nehmen. Aber es ist Zeit, diesen Gegenstand zu verlassen. Wir sind nachgerade in eine Periode gerathen in welcher wichtigere Dinge unsrer warten, nĂ€mlich in das muthmaßlichc Zeitalter DiophantS, und ich will nicht lĂ€nger sĂ€umen den Leser in die Darstellung zunĂ€chst der Ă€ußern Schicksale dieses in jeder Beziehung merkwĂŒrdigen Mathematikers und seines berĂŒhmten Werkes einzufĂŒhren. Aus einem doppelte» Grunde dagegen lasse ich alle spĂ€teren Griechischen Arithmcti- kcr alten Stvls hier unberĂŒhrt, cincstheils, weil seit dem vierten Jahrhundert in Griechenland nichts mehr ist erfunden worden, lind die spĂ€teren Werke immer mehr zu bloßen Coiiipilationcn schon bekannter Sachen aus Ă€lteren Werken hcrabsinken, andrerseits aber, weil ich ĂŒberhaupt die Geschichte der Griechischen Arithmetik hier nur aus dem Gesichtspunete aufgefaßt habe, insofern die Diophantischc Algebra auf sie als Vorarbeit sich grĂŒndet. Darum jetzt genug davon. Sechstes Kapitel. Historisches ĂŒber Diophantus mid seine Schriften. des allgemeinen Interesses, dessen das Werk Diophant's seit dem ersten Augenblicke seines Wiedcrcrschcincns in Europa sich bei allen Mathematikern zn erfreuen hatte, ist es bis jetzt weder gelungen, das ĂŒber dem Zeitalter und den allstem LcbcnsvcrhĂ€ltnisscn des Verfassers verbreitete Dunkel zu zerstreuen, noch hat man vermocht, den Inhalt seines Werks, welches von den ĂŒbrigen mathematischen Schriften der Griechen so gailz abweichend ist, mit den frĂŒhern Erzeugnissen dieser Nation in einen innern wissenschaftlichen Zusammenhang zn bringen. So sehr wir indeß den erstgenannten Mangel bedanern, so wenig Grund haben wir uns ĂŒber dieses Dunkel, in welches die Person des Verfassers gehĂŒllt ist, zu wundern. Aus demselben Errulde nĂ€mlich, aus welchem es geschah, daß Diophant gerade der letzte der Griechischen Mathematiker ist, der den Euro- PĂ€crn nach dem WiederaufblĂŒhcn der Wissenschaft bekannt wurde, aus demselben Gnmde, sage ich, war er der erste, den seine LandS- Icute vergaßen, und ist ihnen eigentlich immer verborgen geblieben, so daß sie uns keine Notiz ĂŒber ihn hinterlassen haben. Und dieser Grund ist bei den Einen wie bei dm Andern kein anderer als der, daß man sein Werk nicht verstand. Euklid's Elemente haben sich in hundert und abermals hundert Abschriften erhalten, von Apollonius Kegelschnitten sind nicht zufĂ€llig gerade die letzten vier BĂŒcher verloren gegangen, sondern darum, weil sie zu schwer waren; und indem wir bedauern, daß das Werk Diophant's in so wenigen noch ĂŒberdies unvollstĂ€ndigen und uncorrcctcn Exemplaren uf unsere Zeit gekommen ist, können wir uns auf der andern Seite gratulircn, daß wir ĂŒberhaupt irgend etwas von ihm dem allgemeinen Schiffbruche abgewonnen haben. 16 * 244 Die Zweifel ĂŒber Diophant beginnen, wie Cossali ' geistreich bemerkt, bereits bei der letzten Sylbe feines Namens. Man weiß nicht recht, ob er Aiocpavroc; oder AKxptivrriq geheimen. Die Ma- nuscriptc zeigen den Namen nur im Genitiv, A/aq>ur>ron, der die Endung des Nominativs unbestimmt lĂ€ĂŸt. Irr den Ausgaben von SuidaS Wörterbuch steht in dem Artikel 'Tu!/, auf den wir sogleich noch einmal zurĂŒckkommen werden, der Accusativ Atofptiivur, aber Dachet 1 2 versichert, daß zwei vorzĂŒgliche Pariser Handschriften Aioyawov lesen. Außerdem hat SuidaS den Artikel A/öcpu^np, cwofxa xvotov, nicht aber Atocpavn-fi-, in einem dritten Artikel dagegen, ArSuwoq, wo der Name Diophant auch vorkommt, steht wieder der unglĂŒckliche Genitiv. Dazu kommt, daß uns mehre . MĂ€nner im Alterthum mit Namen Diophantos bekannt sind, aber kein einziger DiophantcS, wenn auch nicht, wie Dachet am angefĂŒhrten Orte fĂ€lschlich behauptet, AtoyavT^q eine »»griechische Form jst; man braucht gegen diese Behauptung nur an Sitxncpdrrry;, ' isoo- pavrrjt; etc. jit criuncvn. Ich will hier noch folgendes erwĂ€hnen. Als AutoritĂ€t fĂŒr die Form auf rt^- wird hĂ€ufig Pococke in seiner Übersetzung der Geschichte der Dynast!cir von Abulfaraj angefĂŒhrt, wo er allerdings zweimal Dioplmntes schreibt. Man hĂ€tte aber statt dessen besser gethan, daö daneben gedruckte Original zu berĂŒcksichtige». Abulfaraj erwĂ€hnt unsern Autor zweimal, einmal p. 141, wo er uwiaisjjo Ot03SYH schreibt, also die letzte Sylbe in cknl'io lĂ€ĂŸt, das zwcitcmal p. .888, wo er ganz unzweifelhaft DIEMaVH schreibt. Demnach ist Abulfaraj gerade umgekehrt eine AutoritĂ€t fĂŒr die Form Diophantos, und das um so mehr, als auch die Lescart obgleich sie den Vocal der letzten Sylbe nicht ausdrĂŒckt, doch immer mehr auf die Griechische Endung oa, als auf die Endung »m* deutet, welche letztere die Araber gern durch ^ is wiedergeben 3 . Der Verfasser der liiblio- 1 Origine dell’ Alg. T. 1. p. 01. Sn la dcsinctiza del nome cia la diversitĂ€ tra gli scriltori. 2 Diopb. Alex. Aritlim. Paris. 1621. — Epist. ad Lcct. p. 1. 3 So beißt j. SS. Nikomachus {JM J, U yLß Abulf. p. 94. Casiri I. p. 390 j ebenso Augustus Paulus neues Rrpcrt. I. 1^2. Autolptus jL} s Aristarchus j*o> Garz de interpreti. B uC *' 245 theca pliilosophoi'um ki Casiri * * * 4 5 schreibt, wie Abulfaraj an der ersten Stelle, Unter den alteren AutoritĂ€ten ist noch Bomklli zu nennen, der in der Vorrede seiner 1572 herausgegebenen Algebra Italienisch Itiostmto schreibt, also Griechisch A/ocpixvrr^ voraussetzt. Aber Xulandcr schreibt Diophautus, ebenso Dachet, und diese ninthmafilich richtige Form des Namens hat denn anch j„ neuern Zeiten den vollkommensten Sieg ĂŒber ihre Nebenbuhlerin davongetragen. Wichtiger sind die Uutersuchungcit ĂŒber Diophant's Zeitalter. Ohne Angabe eines Motivs setzt ihn Abulfaraj in die Negicrungs- zcit des Kaisers Jnlianus Apostata 361—363, eine Annahme ĂŒber welche wir weiter unten mehr sagen werden. Ebenso willkĂŒhr- lich lĂ€ĂŸt Bombelli ihn umcr Autoninus Pius 138—161 leben, und obgleich man auch das Fundament dieser Annahinc nicht kennt, so haben sich doch Bombelli's Ansicht Jacob de Billy, Biancanus, Vossins, Dcchalcs, Heilbronncr und Andere angeschlossen. Dachet hĂ€lt unsern Autor fĂŒr identisch mit einem Astrologen dieses NanicnS untcr TibcriuS 14—37, den Lucillius in einigen Gedichten der Anthologie lĂ€cherlich macht,- aber auch diese Annahme ist willkĂŒhr- lich, indem sie sich bloß auf die Gleichheit des bei den Griechen nichts weniger als ungewöhnlichen Namens stĂŒtzt; dagegen ist die Annahme der IndcntitĂ€t unseres tiefen Mathematikers mit jcncin elenden lĂ€cherlichen Astrologen des Ersteren unwĂŒrdig . Stcvi» Arab. p. 2. chlpparchus Casiri I. woraus die sonderbare In altern aus Arabische» Quellen gestoßenen astrouoiiiischeii Schriften sich findende VerstĂŒmmelung Abraetns entstanden ist. Dagegen heißt Archimcdcs ^ CmpedofteS , Aristoteles Abulf. p. 50. 64. ». s. w. Eine große Conscgucnz muß nia» indeß hierin nicht suchen; Euklides heißt immer ohne 1 oder und so manche andere. Sonderbar entstellt findet man den Namen unsers Autors in Baucr's Übersetzung des Abulf. Th. 1. S. 129., nĂ€mlich in Diophantra, ohne daß diese Schreibart in dem zahlreichen Druckfeblerverzeichiiiffc als solcher aufgefĂŒhrt wĂ€re. Dagegen schreibt Bauer an der zweiten Stelle richtig, dem Arabischen Texte, nicht Pococke, folgend, Diophantus. II, 9-2. 4 T. 1. p. 371. 434. 5 Über alle diese erwĂ€hnten Angaben vergleiche Ahulfar. bist. lyn. p. 94. — 11. Bombelli Algebra praef. — J. Biancanus, chron. Matli. p. 51.— G. J. f'ossius dc miivcrs. Mall, mit. ct coust, p. 432. — Backet Diopb. 246 endlich setzt ihn gar nach Mohammed den Musa, dem bekannten Arabischen Algcbristcn im Anfange des nennten Jahrhunderts * * * * * 6 7 Wollen wir es ĂŒber uns nehmen, in diesen bunten Wirrwarr einiges Licht zu bringen, so mĂŒssen wir uns durchaus vorher nach neuen Elmtenten zur Bestimmung des möglichen Zeitalters unseres Autors umsehen, deren wir zum GlĂŒcke nicht ganz entblĂ¶ĂŸt sind. ZlmĂ€chst kommt uns fĂŒr den Augenblick sehr willkommen das einzige Citat eines frĂŒheren Mathematikers, welches in Diophant's Schriften sich findet, nĂ€mlich des Hypsiklcs im achten Satze der Schrift ĂŒber die Polygonalzahlcn. Leider aber kennen wir auch das Alter des HvpflklcS nicht genau. Er ist jedenfalls jĂŒnger als Apollonius, den er in der Vorrede zu seiner Schrift ĂŒber die regelmĂ€ĂŸigen Körper, welche gewöhnlich fĂ€lschlich als das vierzehnte und fĂŒnfzehnte Buch der Euklidischen Elemente erscheint, citirt. Ferner nennt Hypsiklcs im fĂŒnften Satze des zweiten fĂŒnfzehnten Buchs seinen Lehrer Jsi- dorus, in AusdrĂŒcken, die auf einen berĂŒhmten Mann dieses Namens schließen lassen ', und dieser Umstand macht es nicht unwahrscheinlich, daß der hier genannte Jsidorus einerlei sei mit demjenigen, von dem Suidas unter diesem Artikel sagt 'Î™ÎŻÎŽÏÎż φÎčÎ»ÎżÏ†Îż Îż ÎŻÏˆÎčÎ»ÎżÏ†ÎčÎčΔ ΌΔΜ υπ οΐ ÎŹÎŽÎčλφ οΓ, Î”ÎŻÏ€Î”Ï Îč Ώλλο , ΔΜ οΐ ΌαρψÎčαÎčΜ. Was soll die Redensart heißen öl 710 οΐ ÎŹÎŽÎčλ- cpoty? Fabricius 8 macht hier die zwar gewagte, aber nicht ganz verwerfliche Conjcctur, Jsidorus habe unter den beiden gemeinschaftlich Arithmct. cpist. ad Lcctorom. — Cossaii origine T. 1. p. 62— 65. — O. Schulz Dioph. arilhm. Sliifg. Borr. S. V—XV. — Heilbronner bist. matli. p. 338—340. — Montucla liist. des Math. T. 1. p, 320. — Je- c/wlcs curs. Math. T. 1. p. 30. — Frobesii introd. in matli. p. 126. — Chr. Wolfs kurzer Untcrr. v. Math. Schriften S. 34. u. s. w. 6 S. Lcs Oeuvres Malhem. de Sim. Stevin, augm. par Alb. Gi rard. Leyden. 1634. fol. T. 1. p. 62. Stevin nennt hier unter der Überschrift Dos inventenrs de ees rciglcs de trois des juantitcz Mohammed den 2>iusa den Erfinder der quadratischen Gleichungen, und fugt dann hinzu Quant Ă€ Diophant, il scrnhlc qu’en son temps lcs inventions de Muhoinct aycid seulcmeut cst6 cognues, comme sc peult völliger do ses six premiers livres. 7 Er sagt nĂ€mlich Δΐ’ }ÎœÎłÏ‡Î±ÎœÎżÎœ ΎΔ αΌ,ÏˆÎżÎ”^ÎżÎč Î”Ï€ÎŻ Î˜Î”ÎżÎŽÎżÎŻÎżÏ… ÎČαÎčλΔ ÎżÏ… πΔÎČÏ…Î”ÎżÏ…' Î”ÎłÎ±ÏˆÎ” ΌαÎčΔΏ* ’Agi^iijTixoi etc. Ullb UlltCC PappIIs! Î™ÎÎŹÏ€Ï€Îż â€™Î‘Î»ÎŻÎ±ÎœÎŽÎ”Ï…, φÎčÎ»Ï…ÎżÏ†Îż γΔ ÎłÎżÎœÎč vara ÎżÎœ ^ÎșÎČύ>ÎżÎœ ÎČαΰÎčΜÎčΐ ΘΔοΎÎčÎżÎœ, οΔ ΜαÎč ΘΔώΜ Ο φÎčÎ»ÎżÏ†Îż ηΜΌα^ÎčΜ, Îł>ÎŹÏˆÎ± ΔÎč ÎżÎœ ΙΐολΔ/Ï‡Î±ÎŻÎżÏ… Μ,αΜΜα. der Zeit gelebt habe», als die Mathematik der Grieche» bereits ihre» Grabesgang zu gehe» anfing. Nur daraus laßt sich das fĂŒr die Fortbildung der Grieche» nioralische Nichtvorhandensei» sciucs Werks erklĂ€re». HĂ€tte Diophaut i» einer frĂŒher» Periode gelebt, als der wissenschaftliche Geist des Volks »och regbarcr und empfĂ€nglicher war, wie hĂ€tte da ein Werk, welches der Wissenschaft eine» so ganz neue» Schwung zu gebe» geeignet war, so völlig unbeachtet und einflußlos bleiben können. Denken wir nur an den ungeheucru und fortdauernden Einfluß, den daö viel weniger bedeutende Werk von Nikomachus auf die geistige ThĂ€tigkeit der Griechen ausgeĂŒbt hat. Setzen wir aber Diophaut in die Mitte, oder gar gegen das Ende des vierten Jahrhunderts, so wird seine isolirtc Stellung zur Griechischen Mathematik dadurch vollkommen erklĂ€rt 17 . Nun ist er der letzte scibftstĂ€ndig schaffende Geist in der Reihe der Mathematiker seiner Nation. Er steht bereits in der Zeit der Commcntatorcii und Sammler-, deren Auftreten auf die BĂŒhne im- 17 Vossut wĂŒrde sich wunder», wenn er diese Stelle meiner Geschichte leise; denn er kennt unzĂ€hlige Griechische Eommentare »der Diophaut. Er sagt nĂ€mlich I, 9 lAuuteur a c» pnrmi les anciens wie foule d'intreprdtes, dont les ouvrages sollt In plupnrt perdus. Noiis regrcttons, ilmis cc nnmhre, le cmmnriitairc de la cdlebrc Hipathia sie!. Schade, das; ich Herrn Vossut nicht fragen kann, 1 woher er die Nachricht hat, und 2 welches denn die noch vorhandenen Eommentare der Alten ĂŒber Diophaut sind, da doch, wie er sagt, nicht alle, sondern nur der grĂ¶ĂŸere Theil derselben verlören gegangen. Die einzige Nachricht, die wir vielleicht von eiiicni alten Eommentator ĂŒber Diophaut haben, ist die bereits gewĂŒrdigte Stelle bei Suidas. Außerdem ist nur eine Arbeit der Art bekannt, nĂ€mlich dir Schollen des Mapimns Plann des, die aber erst aus dein vierzehnten Jahrhundert herrĂŒhren. Das ist also die foule d'intrc- protes parmi les anciens, nĂ€mlich ein einziger unter den Neuern.— Alan verstehe mich ĂŒbrigens nicht falsch, als wollte ich mit Diophanl's Jsolirung soviel sagen, daß er den Alten nicht bekannt gewesen sei. Ich habe nur seine» Einfluß auf die geistige Richtung des Volks und sein Einwirken auf die Fortbildung der Wiffenichast im Auge. Daß er den Griechen bekannt, und als großer Arithmetikcr bekannt geweicn, beweist eine Stelle, die Vossius de iiniv. inatli. mit. et ooust. p. 432 citirt, und die ich nicht habe nachschlagen können; Vossius sagt nĂ€mlich luanti jum olim Imbitus sit Diopbanhis, arguit, quod eum cum l'jtlia- gora conjungat Joannes patriarchn llierusohjmitunus, in vita Jo. Ia- mesccni, ubi, cum Damasceni ct Cosmae in Arillimcticis peritiam vellet cxtollerc, Itunc in inoduin ait p. 683. ed Uns. , Ava%oy'ag . S. IX. 253 ntcv auf bcn wissenschaftlichen Ruin des Volks hindeutet. Die Mathematik wurde ĂŒberhaupt nach seiner Zeit nicht mehr fortgebildet, darum konnte er auch keinen Einfluß auf die Fortbildung derselben mehr haben. PappuS und Theo» sind die letzten große» Mathematiker der Griechen, und auch diese, fĂŒr ihre Zeit zwar Heroen, treten weniger selbst schaffend als ordnend und erklĂ€rend auf. Dazu kommt noch, daß der falsche Christencifcr des Kaisers ThcodosiuS ein Ercig- niß herbeifĂŒhrte, welches fĂŒr die Mathematik, wie fĂŒr die ganze Wissenschaft aller Zeiten von nie genug zu beklagende», EinflĂŒsse war, nĂ€mlich die Zerstörung der Bibliothek zu Alerandrie», wodurch dem bereits immer nichr und mehr zum AlltĂ€glichen sich verflachenden Geiste der Gelehrten auch noch die Ă€llßcrcn Mittel zu ihrer wissenschaftlichen Attsbilduug geraubt wurden. Dieser sonst energische und weise Regent nĂ€mlich, umgeben und verleitet durch orthodorc Pfaffen, gab im Jahre 392 den unheilvollen Befehl zur Vernichtung aller heidnischen Tempel in dem ganzen Umfange seiner Herrschaft. Ein Opfer dieses Befehls ward auch der Scrapistcmpcl zu Aleran- dricn, in welchem sich seit der EinĂ€scherung des BruchcionS wĂ€hrend der Belagerung Alerandriens durch Julius CĂ€sar, die große von den PtolemĂ€crn gegrĂŒndete und durch die Freigebigkeit der Römischen Kaiser vielfĂ€ltig vermehrte Bibliothek befand; die der Wissenschaft unersetzlichei, SchĂ€tze wurden ein Raub des fanatischen durch Priester angefĂŒhrten christlichen Pöbels, desselben Pöbels, welcher drei und zwanzig Jahre spĂ€ter, im Jahre 415, von einem christlichen Bischöfe, Cprillus, angefeuert, die ebenso gelehrte als liebenswĂŒrdige, aber noch dem Hcidcnthum anhĂ€ngende Hypatia auf öffentlicher Straße im eigentlichsten Sinne des Worts in StĂŒcke zerriß und die Fetzen ihres Leichnams in allen Gassen der Stadt herumschleppte. Vergebens sind die BemĂŒhungen gewesen, wenigstens eine dieser GrĂ€nelthatcn, die das Christenthum schĂ€nden, von demselben abzuwĂ€lzen, indem man die Zerstörung der Bibliothek dem Khalifcn Omar, unter dessen Regierung am ersten Wcihnachtstage des Jahres 640 Alcrandria erobert ward, aufgebĂŒrdet hat. Denn schon Oro- sins, ein Schriftsteller des fĂŒnften Jahrhunderts, bezeugt, daß er die leeren SchrĂ€nke der zerstörten Bibliothek gesehen habe ". Aber wir kehren zu Diophaut zurĂŒck. 18 Orosii Uistorii mlv. pagaiios VI, 15 Extant fjuae rt nos vidi- Wenn ich aus innern wissenschaftlichen GrĂŒnden mich dafĂŒr entschieden habe, daß Diophant nicht vor der Mitte des vierten Jahrhunderts gelebt hat und daß dadurch die aus unbekannter Quelle geschöpfte Notiz des Abulfaraj Haltung gewinnt, so findet nun auch diese Aitgabe des Arabischen Historikers noch einen bedentenden Ă€ußeren StĂŒtzpunct in einem Artikel bei SllidaS. Wir lesen nĂ€mlich bei Letzterem ΛÎčÎČÎŹÎœÎč Îż, ’Αϊ'Γ/ÎżÏ‡Î”Î±, φ/Îż η ÎżÎœ Î™ÎżÏ…Î»Îč/Ï‡ÎœÎżÎœ ÎżÏ… Π αοαÎČÎŹÎżÎœ Ï‡ÎżÎœÎœ, ÎșαÎč ÎŒÎ”Ï‡ÎżÎč Î˜Î”ÎżÎŽÎżÎŻÎżÏ… roi Eli. Kustcri Î“ÏÎ”Îż'ÎČÎżÏ… , ΊαÎčÎłÎčÏ‡ÎœÎŻÎżÎœ πÎčÏ‡ÎżÎż, ÎŒÎż&ψη Δ/ÎżÏ†ÎŹ- ÎżÎœ. Was hindert uns, diesen Lehrer des Libanins, ilt völliger Übereinstimmung mit der Angabe bei Abulfaraj, fĂŒr unsern Diophant zu halten? Etwa der Umstand, daß sich Libanins nicht auch als Mathematiker, sondern vorzĂŒglich als Redner bekannt gemacht hat? Schwerlich wird Jemand einen solchen Einwnrf, den Schulz mit Recht von seiner lĂ€cherlichen Seite auffaßt, im Ernste machen. Was fĂŒr SchlĂŒsse wollte man, mit diesem GrundsĂ€tze ausgerĂŒstet, z. D. auf Aristoteles zu Wege bringen, der bekanntlich Lehrer Alexanders des Großen war? Aber ein anderer Einwarf ist dieser Zusammcn- stellnng gemacht worden. Es habcit nĂ€mlich MĂ€nner, wie Cossali und Colebrookc 19 die Vermuthung ausgesprochen, daß Abulfaraj gerade auf Grund dieser Stelle bei Suidas, durch die Namcnglcich- hcit verleitet, dem Mathematiker Diophant seinen Platz unter den Zeitgenossen Julian's angewiesen habe. Aber mit Recht, wie es mir scheint, macht hier Schttlz 20 die gewiß treffende Gegenbemerkung, daß es nicht abzusehen ist, warum Suidas gerade die einzige Quelle sein soll, aus welcher Abulfaraj geschöpft hat, zumal dieser Geschicht- mus armaria librorum, quibus diruptis exinanita ea a nostris hominibus etc. Vergleiche liber diesen ganzen Gegenstand Scholl Geschichte der Griechischen Litteratur, deutsch von Minder. Berlin. 1828—30. am Anfang des dritten Bandes. 19 Cossali Origine T. I. p. 64. 65. Colebrookc Algebra of the Hindu's. Note M. p. LXIII. „Tbc Armenian Abu’lfuraj places the Algebraist Diopliantus ander the Emperor Julian. Hut it muy be questio- ned, whether he has any autliority for that date, besides the mention by Greek authors of a learned person of the name, the instructor of Liba- nius, who was contemporary with that emperor. Indeß erklĂ€rt Colebrookc gleich hinterher Abulfaraj's Angabe fĂŒr annehmbar. 20 A. a. O. S. XV. 255 schrciber uns noch eine Notiz ĂŒber Diophant giebt, die sicher aus anderer Quelle herrĂŒhrt, die nĂ€mlich, daß das Werk des Griechischen Anctors von Mohammed Abnlwafa ins Arabische ĂŒbersetzt worden ist. Wohl mochte diese Übersetzung oder Bearbeitung dem Historiker nicht unbekannt sein, und vielleicht selbst Notizm enthalten, die uns fehlen, zumal, wie wir unten sehen werden, der Verfasser derselbeit vor Suidas lebte. Es ist also nicht nur kein Grund vorhanden, die Zeitbestimmung ĂŒber Diophant's Alter, welche Abulfaraj darbietet, nicht anzunehmen, sondern wir haben vielmehr im Gegentheil mehrfache GrĂŒnde, welche das Zeugniß des Arabischen Geschichtschreibers bestĂ€tigen und bekrĂ€ftigen. Sonderbar benimmt sich hier wieder Bossnt. T. 1. p. 7, wo er von Diophant handelt, setzt er ihn vermöge am Rande beigefĂŒgter Jahrzahl, mit unserm Resultat ĂŒbereinstimmend, auf das Jahr 350 n. Chr., welches Datum der Übersetzer Reimer S. 26 Note mit Unrecht verwirft. Dagegcit in der dem zweiten Bande der Ausgabe von 1810 angehĂ€ngten chronologischen Tafel finden wir Diophant i» der Mitte des zweiten Jahrhunderts- Zwar ist die Tafel nicht von Bossnt selbst, sondern von seinem Englischen Übersetzer, Bonnycastle, entworfen; aber ich denke, wenn Bossnt sich veranlaßt sah, sie in seine zweite Auflage aufzunehmen, so mußte er sie wenigstens mit seinem Vortrage ĂŒbereinstimmend machen. Diophantus wird 'AXe^avdQsvg, der Alexandriner, genannt; er war also entweder aus Alcrandria gebĂŒrtig, oder was wahrscheinlicher ist, er lebte und lehrte daselbst. Alles, was wir sonst von seinen Schicksalen wissen, ist in folgenden RĂ€thsclversen des Metrodorus enthalte», deren deutsche Übertragung man in Schtilz's Übersetzung S. 276. 277 findet Ου 7oi ΑÎčÏ†Î±ÎœÎżÎœ έχΔÎč ÎŹÏ†Îż, J ÎŒÎ­ÎłÎ± ÎĄÎ±Ï…ÎŒÎ±, ΚαÎč ÎŹÏ†Îż ÎŻÎș έ%Μ\ Όέρα ÎČÎŻÎżÎčÎż λέγΔÎč, r Exrr l v Ï‡ÎżÎœÏÎŻÎ¶Î”ÎčΜ ÎČÎčÎżÏ… ΥΔ παΔ ÎŒÎżÎŻÎżÎ·Îœ, ΔήέÎșαη »- trllige de harmonicis mimeris, non de scripto quodam masici ÎŻ! rĂ€umenli. Was hier mit den harmonischen Zahlen gemeint ist, ist doch nicht klar. 22 Des. XI. am Ende ouro γΏ ΔυΎÎčυϊα ÎłÎ”ÎœÎ·Î”ÏŠÎ±Îč yo~g Î±Ï‡ÎżÎŒÎ”- votg, Îșα ϊ η uyayTj αχÎčΜ ÎŒÎœÎ·ÎŒÎżÎœÎ”ÎżÏÎč\ΔίαÎč, rr[g xqayaaftiag avrav ΔΜ ifiiav. αίΎΔ-χ,α ÎČφλ'ÎżÎč ÎłÎ”ÎłÎ”ÎœÎ·ÎŒÎ”ÎœÎ·. 23 Diese Kodices sind I —III. Drei Batieanische unter folgenden Nummern f. Cossali Origine T. I. p. 61. No. 191. Saec. XIII. cliarta boinbyeina. No. 200. Saec. XIV. cliarta pergamciia. No. 304. Saec. XV. cliarta. IV. Einer auf der Königlichen Bibliothek zu Paris, den Wachet seiner Ausgabe zu Grunde gelegt hat. S. Ep. nd Lect. V. Einer auf der palalinifchen Bibliothek, dessen Collalion fĂŒr Wachet Glaube Saumaife besorgte. S. ib. VI. Ein sechster ist dann vielleicht derjenige, den Mander bei seiner Bearbeitung in HĂ€nden halle, und der vorher dem Kaiserlichen Gesandten i» Warschau, Andreas Dudicius s. . angehörte. Indeß hĂ€lt Eolebroote Note 51. p. LXI die beiden letztgenannten fĂŒr wahrscheinlich identisch. 257 Bacher der und das in der Mitte abgebrochene Buch ĂŒber die Polygonalzahlcn, mit der einzigen Abweichung, daß der Vati- canischc Codex Ro. 200. denselben Text der Britin,,ktm>, welchen die ĂŒbrigen Manuscriptc in sechs BĂŒchern enthalten, auf sieben vertheilt. Ist schon die Ă€ußere Übereinstimmung so vieler Handschriften, die an ganz verschiedenen Orten sich bcßndcn und aus verschiedenen Jahrhunderten herrĂŒhren, wunderbar, so ist's der Umstand »och mehr, daß alle mit einander in den LĂŒcken, Fehlern und einzelnen Verunstaltungen so unglĂŒckseliger Weise zusannnentreffen, daß Buchet, der Herausgeber der Diophantischcn Überreste, fĂŒr die Kritik des Textes aus der Collation derselben gar nichts gewinnen konnte, was wir mit ihm herzlich bedauern. Und nicht ohne große Wahrscheinlichkeit stellt Dachet die Vermuthung aus, daß alle diese vorhandenen Handschriften Copien von einem und demselben Ă€lteren Hauptcodcx seien s4 . Unter solchen ungĂŒnstigen UmstĂ€nden konnte es nicht fehlen, daß Bachct's Recension des Textes, die einzige, die wir bis jetzt haben, an vielen Stellen sehr mangelhaft ausfallen mußte. Indeß ist die Hoffnung, einen wenn nicht wesentlich vollstĂ€ndigeren, so doch vielleicht im Einzelnen reineren Text zu erhalten, uns nicht ganz benommen. Dachet hat nĂ€mlich, wie aus der vorigen Note hervorgeht, nur einen der drei Vaticanischcn Codices, und auch den nicht vollstĂ€ndig vergleichen können, und somit wĂ€re immer »och zu erwarten, daß, wenn einmal Jemand sich der gewiß nicht unbclohncndcn MĂŒhe unterzöge, die drei Vaticanischcn Codices grĂŒndlich mit der Bachct'schcn Ausgabe zu vergleichen, diese Arbeit fĂŒr den Text des Diophantischcn Werkes ein erwĂŒnschteres Resultat herbeifĂŒhren könnte. Alle Nachrichten von beut einstmaligen Vorhandensein der drci- 24 Epist. ad Lcct. „Etenim neque codex Regius, cujus ope Iianc editionem adornavimus, neque is quem prae manibus habuit Xilandcr, 'icquc Palatinus, ut doctissimo viro Claudio Salmasio referente accepimus, neque \ aticanus, quem vir summus Jacobus Sirmondus mihi ex Parte transcribendum curavit, quicqunm amplius continent, quum sex hosce Arithmeticorum libros, et tractatum de numeris multangulis imperfectum. Sed et tam infeliciter hi omnes codices inter se consentiunt, at ab uno fonte manasse et ab eodem exemplari descriptos fuisse non dubitem. Itaque parum auxilii ab his subministratum nobis esse, verissime affirmare possum. I. 17 zehn BĂŒcher sind imsicher und zutu Theil erwiesen falsch. Ich schreibe hier zunĂ€chst folgende Stelle aus Bachct's Lpislola ad Lectorem ab Joamien tamen Hcgtomunfttnits fredecim lio- phanti libros s; alicubi vidisse asseverat, et Illustrissimus Cardinalis Pcrron'ntn, /nem nuper oxtinctum maano Christianae et litorariae lteipublicae detrimento Conquerimur, mihi saepe testatus est, se codicem manuseriptuin habuisse, pii trederĂ€m Diophaufi lihros integros contineret, piein cum Gui- Uclmo Gönnet, itio concivi suo, pii in Diophantum Commentaria meditabatur, perhumaniter more suo exhibuisset, paulo post accidit, ut Gosslinus peste correptus interiret, et Dio- phanli codex eodem fato nobis eriperetur. Cum enim precibus imsis motus Cardinalis amplissimus, nullispie sumptibus parcens, apud haeredes Gossclini codicem illum diligenter exquiri mandasset et quovis pretio redimi, nusquam repertus est. Was zuerst bic Nachricht in Betreff Rogiomoiitan's anlangt, so beruht dieselbe, wie ich schon S. 35. vorlĂ€ufig erwĂ€hnte, auf einem MißverstĂ€ndnisse. Tvlaudcr sagt in der Lpistoln nuueupato- ria von seiner Übersetzung Diopbant's, er habe gehört, daß in der Vaticauischcn Bibliothek die vollstĂ€ndigen dreizehn BĂŒcher von Dio- phant'S Arithmetik vorhanden seien, und wahrscheinlich habe Rcgie- montanus, welcher versichere auf Italienischen Bibliotheken Diopbant's Werk gesehen zu bade», diese drcizeb» BĂŒcher in HĂ€nden gehabt Nach damals gebrĂ€uchlicher und leider auch spĂ€ter oft noch vorkom- 25 Ütiter habe ich die Fvlandrischc Übersetzung bis jetzt nicht kennen zu lstesichte bekommen; die beiden Stellen, auf welche ich obige Aussage grĂŒnde, theilt Srflnfi mit, auf dessen vitale man sich verlassen kann. Die erste steht Oi-iu. T. 1. p. 58, und lautet Invrni tiiiiqnnin oxstuntis in bibliotbccis itnliris sibi vixi Uiupbanti operis mentionpin a Rpgiomontimo fnctiun; die zweite ebcnd. p. k>6 Saue trpdpcim libri nrithineticiie Diopluinti ab nliis pprhiben- tur exstarc in bibliotbcca. Vnticana, quns Hcjiioninntanus viderit. Über die erste dieser Stellen ist zu vergleichen, was ich weiter im Torte sage. Hinsichtlich der zweiten aber ist einleuchtend, das, Xvlander falsch war berichtet worden; denn, wie sich ergeben bat, enthalten die Baticanischen vodices nicht die vollstĂ€ndige» dreizehn BĂŒcher, sondern kĂŒndigen sie nur auf dem Titel an. Damit fĂ€llt denn aber auch die ganze Nachricht, daß Negiomonta» die dreizehn BĂŒcher gesehen babe, ĂŒber den Hansen, zumal da es nur eine vombinatien von Xvlandcr ist. daß Regiomontan gerade diese vorgeblich vollstĂ€ndigen Baticanii'chen tsodices gest' ben bade. 2oi inender ĂŒbler Sitte glaubt Tylandcr genug gethan zu haben, wenn er den Namen Regiomontanus citirt. Es ist in diesem Falle aber, bei den fast unzĂ€hligen Werken, welche Regiomontan verfaßt hat, und die zum grĂ¶ĂŸten Theil sogar nngcdruckt geblieben sind, ganz besonders schwierig 31 t ermitteln, auf welche Stelle in dieses fruchtbaren Schriftstellers Werke» Tylandcr sich bezicht. Vossius, wie ich oben S. 35 schon erwĂ€hnte, giebt uns einen genaueren Fingerzeig, und ich habe auch bis jetzt in Rcgiomontan's Schriften keine andere Stelle gefunden, welche hier gemeint sein könnte, als eben feine erwĂ€hnte Oratio habita Patavii in praelectione A 1 fragn 11 i, abgedruckt vor beut Werke Rudimenta astronomica Alfragani. Item Albalcgnins astronomiis peritissimus de motu stellarum, ex observationibus tum propriis tum Ptolemaei, omnia cum demonstrationibus Geometricis et Additionibus Joannis do Hcgiomonte. Itein Oratio introductori» in omnes scientius Mathematicus Joannis de liegiomontc, Patavii habita, cum Alfraganum publice praelegeret. Ejusdem utilissima introductio in elementa Euclidis. Item Epistola P/nlifrpi Mc- lanthoni* nuncupatori», ad Senatum Noribergensem. Omnia jam recens prelis publicata. Norimbergae anno 1537. 4. In der erwĂ€hnten Rede, welche auf die Vorrede von Ph. Mclan- thon folgt, heißt es Blatt ß. S. 2 ., nachdem von der Arithmetik des Enklidcs und Jordanus Ncmorianus die Rede gewesen, so Diofanti autem tredeeim libros subtilissimos nemo usquchac ex Graecis Latinos fecit, in ijnibus flos ipse totius Arithmeticae latet, ars videlicet, rei et census, quam hodie vocant Algebram Arabico nomine. Ilujus equidem artis pnlchcrimae multa fragmenta pussiin Latini contrectant, paucissimos autem egregie doctos offendo nostra tempestate post Joanncin de Hlanclnnis virum optimum. Wenn also RtgiomontanĂŒs, was ĂŒbrigens atis dieser Stelle auf keine Weise hervorgeht, ein Manu- script von Diophant selbst gesehen hat, noch weniger aber liegt in den Worten, daß er, wie Vossius p. 432 behauptet, Diophant fĂŒr den Ersindcr der Algebra ausgicbt, so folgt daraus noch nicht, daß bassclbc alle dreizehn BĂŒcher anderswo als auf dem Titel gehabt habe. GrĂŒndlich studirt hat Regiomontan es sicher nicht, wie schon seine Inhaltsangabe beweist. Dic ars rei ct census ist, wie wir in unserm zweiten Kapitel gesehen haben, die Auflösung der bestimmten quadratischen Gleichungen, und gerade diese fehlen in unserm 17 * Diophant; aber gesetzt, sie wĂ€re in dem Codcr, den Ncgiomontanus gesehen, vorhanden gewesen, so wĂ€re doch gerade diese Auflösung der quadratische» Gleichungen nicht der Glanzpunkt, der bei Diophant vorzugsweise einer besondern ErwĂ€hnung verdiente. Die meisten alten Codices sind aber so eingerichtet, daß Jemand, der einen solchen nicht grĂŒndlich durchsiudirt, nicht so leicht ĂŒbersehen kann, in wie viele BĂŒcher oder Abschnitte das Werk getheilt ist, weil sie hĂ€nßg ohne AbsĂ€tze das ganze Werk in einem Zuge darstellen. Wer dieses mit dem in der vorigen Note Gesagten vergleichen will, wird mir gern die UnzuvcrlĂ€ssigkcit dieser Nachrichten ĂŒber Rcgiomontan's VerhĂ€ltniß zu Diophant's dreizehn BĂŒchern zugeben. Wenn indeß aus den angezogenen Worten weiter auch nichts folgte, als daß Rcgio- montanuS von der Existenz Diophant's Kunde hatte, so ist diese Stelle doch schon immer historisch merkwĂŒrdig genug als die frĂŒheste ErwĂ€hnung Diophant's, die wir bis jetzt bei einem EuropĂ€ischen Mathematiker gefunden haben. Noch viel unbestimmter ist eine andere Stelle in derselben Rede Blatt ß2, S. 2, welche Tolandcr mit der eben angefĂŒhrten combinirt zu haben scheint. Regionionta- nus erzĂ€hlt, er sei nach dem Tode seines Lehrers Georg von Pcnr- bach + 1461 in Begleitung des Cardinalö Bcssarion nach Nom gereist, um den Plan Pcurbach's, die Griechischen Mathematiker im Original kennen zn lernen und bekannt zu machen, auszufĂŒhren. Quil i^'itur, sagt er, rcliqmim ernt nisi ut orltitani viri claris- simi sectiirer? coeptum foclix turnn pro virihus exequerer? Duce itaque patrono conuiiuni Hoimuri profeetns more meo litoris exereeor, uli scripfa phirima Graeconmi clarissiinoruin nd Uterus suas discendas wo iiivihuit, quo Latinitas in stu- liis praeserfii» jMatliematicis locuplotior roddcrelur. Wenn wir nun bedenken, daß Regiomontanns nach Italien ging, um vorlĂ€ußg Griechisch zu lernen, daß er sich ferner nicht gar lange Zeit in Rom aufgehalten und sich da nicht einmal ausschließlich mit mathcma- 26 Wegen tlnzugĂ€nglichkeit der Quellen kann ich einige Iahrzahlcn nicht genau angebe»; aber aus der folgende» Zusammenstellung wird dennoch erhellen, daß Regiomontan'S Aufenthalt in Rom von nicht langer Dauer gewesen sein kann. Am 8. April 1461 starb fettrbaeb, also nach diesem Datinn begab Jener stch auf die Reise. Als nach einiger Zeit Beffarion nach Griechenland abreiste, ging Re- giomontan aus Rom weg, hielt sich ĂŒber ein Jabr lang in Ferrara auf, wo er Griechische Berse machte und den PtolcniĂ€us verbesserte, darauf nahm er eine» 201 thematischen Schriftsteller», geschweige denn mit Diophant beschĂ€ftigt vielmehr wissen wir, baß, al-5 eines Astronomen von Profession, sein Hanptangcnmcrk immer anf PtolcmĂ€ns gerichtet blieb, dessen Bcar- bcitnng nach dem Original er auch bald nach seiner RĂŒckkehr ans Italien bekannt machte, bedenkcii wir ferner, daß Diophant nicht der Art ist, daß ein Mathematiker des fĂŒnfzehnten Iahrhnndcrts, dem der Gegenstand ganz neu lmd fĂŒr seinen mathematischen Gc- sichtskleis viel 31 t hoch und der noch dazu erst AnfĂ€nger im Griechischen war, das Studium dieses Werks in einigen Monaten zu vollenden im Stande ist; bedenken wir das Alles, so wird man mir leicht beistimmen, wenn ich sage, daß Regiomoutanus von Diophant nicht viel mehr als den Titel kennen und allenfalls im Allgcmcineit ans dem DurchblĂ€ttern eines Coder wissen konnte, daß er ĂŒber Algebra handele. Aber Regiomoutanus erwĂ€hnt ja auch Diophant's in der beigebrachten Stelle mit keiner Sylbe, und es ist eine bloße Coujcctur von Lylaudcr und Cossali °', daß unter den Griechischen Mathematikern, deren in obiger Stelle gedacht wird, sich auch Diophant befunden habe. Soviel aber, denke ich, sieht fest, daß das wirkliche Dasein der vollstĂ€ndigen dreizehn BĂŒck er aus der ErwĂ€hnung Rcgiomontan's ebenso wenig folgt, als wen» Blancanus in seiner Chronolo^ia j>. 52. von Diophant sagt cxtunt ejus 13 ĂŒbn i'iicci Arithmeticoruin, 9i»f »ach Padua au, m» daselbst Vorlesungen ĂŒber Alfraganus zu halte», uud hielt da die Antrittsrede, aus der ich obige Slclle cilirt habe; darauf ging er, nachdem er hier eine Zeitlang gelesen, nach Venedig, um die RĂŒckkehr des Kardinals abzuwarten, 00 » Venedig begab er sich noch einmal auf kurze Zeit nach Rom, ging dann nach Wien zurĂŒck, wo er eigentlich angestellt war, und warlclc eine Zeitlang feiner Professur, darauf »ahm er einen Ruf des Königs Matthias von Ungarn an, bei dem er einige Jahre in hohen Gunsten stand, und diese Stellung endlich verließ er im FrĂŒhling des Jahres 1471, um seinen bleibenden Wohnsitz in NĂŒrnberg zu nehmen. Welch' eine Menge von Begebenheiten auf kaum zehn Jahre vertheilt! Wieviel kaun davon fĂŒr den Slufcnlhalt in Rom, und namentlich fĂŒr den ersten Aufcnlhait, auf welchen seine in Padua erwĂ€hnte Bekanntschaft mit Diophant sich doch allein stĂŒtzen kann, ĂŒbrig geblieben sein? Und von diesem Wenigen wurde noch ein bedeutender Theil verbraucht, um erst Griechisch z» lernen, wozu er vorher in Wien keine Gelegenheit gehabt hatte. 27 Cossali 1 . 59 . ja tiefer achtunqswcrthe Gelehrte will sogar, daß Re- giomonianus sich eine Copic von einem Diophantischen Codex genommen. Er bringt nĂ€mlich eine Stelle aus Gassendo's Leben Sicgiomontan's bei, in der os I 262 Ob nun das andere von Bachct erwĂ€hnte Manuscript, welches alle dreizehn BĂŒcher enthalten haben soll, wirklich dem Titel entsprochen — ein Bedenken, was man bei dergleichen Nachrichten immer bereit halten muß, — oder ob es, wie die' ĂŒbrigen vorhandenen, die dreizehn BĂŒcher mir angekĂŒndigt habe, lĂ€ĂŸt sich aus Mangel an Dalis gar nicht ausmitteln. Ist das erstere der Fall gewesen, so scheint wirklich ein unheilvoller Fluch auf den Werken dieses Auctors zu ruhen, indem alle möglichen UnglĂŒcksfĂ€lle, selbst die Pest nicht ausgenommen, sich verbĂŒndet zu haben scheinen, um dieselben der Nachwelt zu entziehen. Eine Ă€hnliche Nachricht von einem vollstĂ€ndigen Diophant scheint Fcrmat gehabt zu haben. Er schreibt am 15. August 1657 an Digby°° Le nom do cct Aullieur Diopliante nie tlonuc l’occasion de vous faire Souvenir » HĂ€ndcii gcliabl habt, so dabc ich tiefe Stelle a§ Cossali Origine T, I. p 09, >ro sie »lihzcihcilt izi abgcschricbk». Da wir nun einmal Diophant's Werk unvollstĂ€ndig haben und uns vorlĂ€ufig darĂŒber beruhigen muffen, so ist die nĂ€chste und natĂŒrlichste Frage, die noch aufgeworfen werden kann, die an welcher Stelle des Werks hat die VerstĂŒmmelung statt gefunden, am Anfange, am Ende, oder in der Mitte? Am Anfange sicherlich nicht. Diophant beginnt ganz ordentlich mit einer Zueignung, der dann eine plane Auseinandersetzung der GrundsĂ€tze seiner Methode folgt, und geht von da 31t den einfachsten algebraischen Aufgaben des ersten Grades ĂŒber. Dagegen sucht die grosse Mehrzahl der Bcnrthci- ler lmd Verehrer Diophant's, von denen ĂŒbrigens Viele ihn nicht gelesen, wenigstens nicht so gelesen haben, dass sie des Gcsammtcin- druckS des Werks sich bcwnsst ĂŒber eine Frage der Art urtheilen könnten, den Dcfcct am Ende, und niair erzĂ€hlt sich von goldenen Bergen und Wunder was fĂŒr Dingen, welche in den noch fehlenden sechs oder sieben BĂŒchern sollen gesteckt haben. Dieser Ansicht milss ich mich aber durchaus widersetzen. Diophant's Kunst ist in seinem sechsten Buche am Ende. Wen» man die vier letzten BĂŒcher, vom dritten bis zum sechsten, successive mit Aufmerksamkeit durcharbeitet, so findet man, dass sich der Verfasser in einem ganz bestimmten abgeschlossenen Cvclus von Vorstellungen und Methoden bewegt, den er vergebens durch immer neu angehĂ€ufte Schwierigkeiten zu ĂŒberschreiten sich bemĂŒht; er wird immer, so oft er sich den Anschein giebt, als wolle er den einmal um ihn gezogenen Zauberkrcis ĂŒberspringen, von einer unsichtbaren Hand auf den bereits bekannten alten Bezirk zurĂŒckgeworfen; man sieht gleichsam hinter den genialen Ktlnstgriffcn, deren er sich zu seiner Befreiung bedienen will, im Halbdunkel die Fesseln, welche seinen Geist hemmen, man hört ihr Rasseln, wenn er bei gar zu freigebig sich selbst aufgelegten Schwierigkeiten sich nicht anders zu helfen weiss, als daß er den Knoten zerhaut, statt ihn zu lösen. Belege fĂŒr diese dem Anscheine nach kecken Behauptungen kann ich erst in der Folge geben, wenn die Leser mir in das Wesen der Diophantischcn Aualysis werden gefolgt sein. Hier will ich nur noch daS hinzufĂŒgen, dass das sechste Buch auch seiner Form nach einen ganz passenden Schluss des Ganzen bildet, indem der Verfasser hier, nachdem er in toi' vorigen BĂŒchern imitier nur rein arithmetische Aufgaben behandelt hat, den geometrischen Begriff des rechtwinkligen Dreiecks in seine Darstellung hineinzieht, lmd die vorhcrgelehrtcn Kunstgriffe inid Regeln auf die Allst finbiiitij solcher Dreiecke in rationalen Zahlen, unter mannigfachen beschrĂ€nkenden und erschwerenden UmstĂ€nden anwendet. Meine Ansicht ĂŒber die aufgeworfene Frage conccntrirt sich in folgenden SĂ€tzen erstens, daß uns von Diophant viel weniger fehlt, als man gewöhnlich glaubt, wenn man sich an das ZahlcnvcrhĂ€ltniß von 6 13 hĂ€lt, zweitens, daß der Dcfcct nicht am Ende, sondern in der Mitte des Werks, und zwar hauptsĂ€chlich zwischen dem ersten und zweiten Buche zu suchen ist; endlich drittens, daß diese VerstĂŒmmelung des Werks ziemlich frĂŒhe, gewiß aber vor dem dreizehnten oder vierzehnten Jahrhundert, und bereits in Griechenland selbst stattgefunden hat. Belege fĂŒr den ersten Satz kann ich jetzt noch nicht beibringen, sondern ich muß dieselben mir vcrsparen, bis ich ĂŒber die ĂŒbrigen Schriften Diophant's werde gesprochen haben. Darum wenden wir uns hier zunĂ€chst zu dem zweiten der ausgesprochenen SĂ€tze. Um mit einigem Anschein von Wahrscheinlichkeit bestimmen zu können, wo in Diophant's Werk etwas fehlt, mĂŒssen wir uns zuvörderst klar zu machen suchen, was denn eigentlich fehlt. Das wird uns aber eine vorlĂ€ufige Betrachtung des Inhalts der ciuzclncn BĂŒcher sogleich zeigen. Das erste Buch enthĂ€lt beftinnnte Aufgaben des ersten Grades, das zweite bis zum sechsten Buche dagegen in successiver Steigerung von dem Einfachen zum Schwierigeren unbestimmte Aufgaben des zweiten Grades. Demnach zeigt sich sofort eine ungeheure LĂŒcke zwischen dem ersten und zweiten Buche, indem hier die bestimmten Gleichungen des zweiten und die unbestimmten Aufgaben des ersten Grades fehlen. Daß Diophant Aufgaben der letztgenannten Art behandelt habe, bevor er sich an die unbestimmten Aufgaben des zweiten Grades gemacht, wird zwar nirgend atisdrĂŒcklich erwĂ€hnt, ist aber wahrscheinlich und ziemlich sicher anzunehmen. Ganz gewiß wissen wir aber, daß er die in dem Werke, wie es uns vorliegt, fehlende Auflösung der gemischten gtiadratischen Gleichungen gelehrt hat; denn eines Theils verspricht er die Auflösung derselben in der der Einleitung, andern Theils setzt er dieselbe in den folgenden BĂŒ- chcr» voraus, indem er theils, wen» er im Verlauf der Rechnung auf eine solche Gleichung gekommen ist, geradezu den Werth der Unbekannten hinschreibt, theils auch bei der unten naher zu erörternde» Methode der Zurnckrcchnung auf die Form des irrationalen Theils der Wnrzcl einer quadratischen Gleichung als auf eine bekannte Sache sich bezicht, ohne daß er die Wurzel selbst hingeschrieben hat. Beispiele von reinen quadratischen Gleichungen freilich finden sich schon im ersten Buche, z. B. Aufgabe 30. 31. 33. Aber diese rechnet Diophant zu den einfachen Gleichungen, tlnd thut meiner Meinung nach daran besser, als die meisten neuern LehrbĂŒcher und Lehrmeister, welche ĂŒber diesen Gegenstand lange Kapitel vortragen. Diophant braucht nĂ€mlich nicht die Potenz der Unbekannte» als Ein- thcilniigSgrnnd, sondern die Anzahl der in der Normalglcichung ĂŒbrig bleibenden Glieder; er spricht sich darĂŒber Des. XI. so aus „Wenn man durch die Aufgabe auf eine Gleichung gefĂŒhrt wird, in welcher auf beiden Seiten dieselben Potenzen ÎŻ&Îč der Unbekannten mit verschiedenen Cocfsicienteit vorkommen, so muß man so lange Gleiches gegen Gleiches wegheben fArab. .ilmukulmlah, und Negatives auf beiden Seiten addircn aljelir, bis man auf jeder Seite nur einen Ausdruck ĂŒbrig behalt, Ï€Î”ÏˆÎ»ÎżÎ”Ï‡ÎœÎÏÏ Ύΐ ÎżÏÎż ÎŻÎœ αχ ΜÎčÎżÎ±ÎŹÏÎ”Ï…Î· Μ Ï€ÏÎżÎ±Îż'ΔΜ, ÎŻÎ±Îœ Î”ÎœÎŽÎŻÏ‡ÏˆÎ±Îč^ Δ αΜ ΔΜ ΔίΎο ÎŻÎœÏŠ ΔϊΎΔÎč usov ÎșααλΔÎčφ^η ÎœÏ…Î”ÏÎżÎœ ÎŽÎŻ not ΎΔ'ÎčÎŻÏÎŒÎ”Îœ ÎșαÎč π ÎŽÏ…Îż ÎŻ ÎŻÎŽÎčÎżÎœ ÎčÎżÎœ ÎŻÎœÎč ÎșααλΔÎčψ^ÎŻÎœÎœ Îż ÎżÎčÏ…ÎœÎżÎœ d. H. ,, Dieses wende man auf den Ansatz der Aufgaben, wenn es möglich ist, so lange an, bis ein Glied einem Gliede also gleichviel von welcher Potenz gleich bleibt d. h. bis man auf eine Gleichung von der Form x — a oder x 2 — gelangt. SpĂ€terhin aber will ich dir zeigen, wie man die Aufgabe löst, wenn zuletzt zwei Glieder einem Gliede gleich sind b. h. wenn das Resultat des Wcghebcns die Gleichung x 2 + ux = + b ist." Diese Auflösung der qua- dratischcn Gleichungen nun, welche Diophant hier verspricht und auf welche er sich in den zweiten und den folgenden BĂŒchern mehrfach bezicht, und die ihrer Natur und diesen Beziehungen zufolge nicht fĂŒglich anderswo als zwischen dem ersten und zweiten Buche gestanden haben kann, ist in der gegenwĂ€rtigen Gestalt seines Werks nirgend zu finden. Aber außerdem, daß ein ivcsentlichcr Theil des Werks, der dem folgenden zur StĂŒtze dient, ausgefallen ist, hat auch das »och Vorhandene mancherlei VcrstĂŒimncluugcn erlitten. So gehören z. B. 267 dic Allfgabcn 6. 7. 18. 10. dcs zweiten Buchs, welche bestimmte Aufgaben dcs erste» Grades behandeln, sichtbar in das erste. Bei den beiden letztgenannten Aufgaben tritt ferner die sonderbare Erscheinung hervor, das; die neunzehnte gar nicht aufgelöst jst, sondern die ihr angehĂ€ngte Auflösung bloß eine zweite Auflösung der vorhergehenden Aufgabe ist, ohne auf dic bis zum AnsĂ€tze durchgefĂŒhrte ncun- zchntc Aufgabe irgend wie Bezug zu nehmen. Die Aufgaben 1 bis 5 dcs zweiten Buchs sind, so wie sie gelöst werden, bloß Wiederholungen der Aufgabe» 34. 37. 35. 36. dcs ersten Buchs. Demnach beginnt das eigentliche Sujet dcs zweiten Buchs erst mit der achten Aufgabe desselben, und reicht bis zur siebzehnten. Die Aufgaben 18. und 10. mĂŒssen, wie erwĂ€hnt, in das erste Buch geschoben werden, und zwar hinter dic Aufg. 25. dieses Buchs, der sie sich genau anschließen. Mit II, 20 beginnt dann eine ganz neue Gattrnig von Aufgaben, welche dergestalt im dritten Buche fortlĂ€uft, daß der Anfang des dritten Buchs gar keinen natĂŒrlichen Abschnitt bildet. Die beiden letzten Aufgaben dcs zweiten Buchs sind nĂ€mlich 35. Man soll drei Zahlen von der Beschaffenheit sindcn, daß das Quadrat einer jeden auch dann noch ein Quadrat bleibt, wenn man dic Summe der drei Zahlen dazu addirt. Man hat also dic drei Gleichungen x 2 - f- x - f- y - j- » = a 1 f + * + y + * = h* z 2 — .* -f y -j- x = c 2 Daran nun schließt sich ganz natĂŒrlich die erste Aufgabe des dritten Buchs an, in welcher die drei Gleichungen sich so gestalten .* “I“ y " 1" * — — 2 r- + y + * — y % — *’ “f y * — ** = c ~ mit ebenso die folgende. Es ist also mit Sicherheit anzunehmen, daß hier die natĂŒrliche und ursprĂŒngliche Einthciluug verschoben ist. Da Ă€hnliche Erscheinungen sich auch in den folgenden BĂŒcher» zeigen, daß nĂ€mlich hĂ€ufig in der Mitte eines Buchs ein viel merklicherer Abschnitt ist, als am Ende desselben, so ist es kcincswegcs befremdend, daß eines der Vaticanischcn Mannscripte denselben Stoff, den wir haben, anders eintheilt und so aus unsern sechs BĂŒchern sieben macht; und mit derselben Ungezwungenheit könnte ein anderer Codex acht und mehr BĂŒcher zĂ€hlen. Es kommt dazu, daß viele Aufgaben ganz verstĂŒmmelt erscheinen, andere dagegen, auf welche eine spĂ€tere sich bezieht, ausgefallen sind; namentlich ist in dieser Hinsicht das fĂŒnfte Buch stiefmĂŒtterlich von der Mutter Zeit behandelt worden. So sind augenscheinlich zwischen 21. und 22. drei Aufgaben, analog denen in 21. 22. 23. ausgefallen, aus deren eine der Verfasser in 22. verweist; bei 2Ă€. 25. ist die Auflösung verstĂŒmmelt, bei sehr vielen Aufgaben in sĂ€mmtlichen BĂŒchern ist die Auflösung nicht zu Ende gefĂŒhrt, und so weiter fort. Schwerlich aber sind wohl alle diese Entstellungen des ursprĂŒnglichen Textes bloß der Unachtsamkeit eines Abschreibers zlizuschreiben, sondern wohl, wenigstens zum Theil, der Unwissenheit tmd Ungeschicklichkeit eines vermeintlichen VerbcssercrS zur Last ju legen, wenn ich auch kcincswegcs der Ansicht Bachcl'S bcitretcn mag, welcher annimmt, unsere sechs BĂŒcher seien ein von einem spĂ€teren Bearbeiter angefertigter Auszug aus den vollstĂ€ndigen dreizehn BĂŒchern. Doch dem sei wie ihm wolle; fĂŒr uns stellt sich das historisch nicht un- tvichtige Resultat heraus, daß diese Corrnmpirung des Textes und die Bildung der großen LĂŒcke zwischen dem ersten und zweiten Buche vor Maximus PlanudcS, das heißt, vor dem vierzehnten, und wenn das Datum des Codex lill auf der Vaticanischcn Bibliothek seine Richtigkeit hat, vor dem dreizehnten Jahrhundert statt gefunden haben muß. Marimus Planudcs, unter der Regierung der Byzantinischen Kaiser Andronicus des Zweiten und des Dritten, in der ersten HĂ€lfte des vierzehnten Jahrhunderts, hat außer andern mathematischen Schriften, auf welche wir in einem spĂ€tern Theile dieser Geschichte zurĂŒckkommen werden, auch Scholicu zu den beide» ersten BĂŒchern von Diophant geschrieben, welche Lylandcr seiner Übersetzung einverleibt hat; und wir ersehen aus denselben, daß Plamidcs Dio- phant's Werk schon in derselben Form, mit denselben Auslassungen, Umstellungen und Eorrumpirungen, wenigstens soweit dieselben diese 269 beide» ersten BĂŒcher betreffe», vor Augen hatte wie wir. Desgleichen enthĂ€lt der erwĂ€hnte Vaticauischc Codcr keinen bessern vollstĂ€ndiger» Tert. Diese traurigen Erscheinlingen benehmen uns denn so ziemlich alle Hoffnung, das so frĂŒhzeitig und schon in seinem Va- tcrlande corrumpirte Werk unsers Autors jemals wieder in seiner VollstĂ€ndigkeit und Reinheit zu besitzen, wenn nicht etwa einmal ein glĂŒcklicher Zufall einem Gelehrten die im zehnten Jahrhundert vcr- fafftc Arabische Bearbeitung von Mohammed Abnlwafa in die HĂ€nde spielt. Dem Stoffe nach verwandt, aber ganz und gar abweichend in der Form der Behandlung, ist Diophant's Abbandlnng ĂŒber die Po- lygoiialzahlen. Sie ist nicht, wie das Hauptwerk, analytisch, sondern synthetisch gearbeitet; der Verfasser stellt einzelne LehrsĂ€tze auf und giebt hinter jedem den Beweis; und zwar sind diese Beweise ganz in der Euklidische» Manier des siebenten bis zehnten Buchs der Elemente gehalten, welche man mit Cossaii s. v. die lineĂ€re Arithmetik nennen konnte, weil sie Zahlcnproportionen und Zahlcn- cigcnschaftc» an Linien anschaulich macht. In den Aufgaben bedient sich Diophant nur einmal dieses HĂŒlfsmittels, nĂ€mlich V, 13, um zu veranschaulichen, daß wenn .r - j- y — 1 und und y + 6 Quadrate sein solle», die Aufgabe darauf hiuattskommt, die Zahl 9 in zwei Quadratzahlcn zu zerlegen, deren eine grosser als 2 und kleiner als 3 wird. Man ersieht sowohl aus dieser einzelnen Anwendung, als aus der Behandlung der SĂ€tze von den figurirtcn Zahlen, daß die lineĂ€re, der Geometrie verwandte Vorstcllungswcisc noch zu Diophant's Zeit fĂŒr die Griechen den Vorzug der grösser» Deutlichkeit hatte. Wir nannten aber noch unter Diophant's Werken seine Po- rismata. Wir kennen diesen Titel nur aus drei Citaten, in welchen der Verfasser sich selbst auf dieselben bezicht, nĂ€mlich in den Anfga- bcn 3. 5. und 19. des fĂŒnften Buchs. An allen drei Stellen fĂŒhrt der Verfasser mit der feststehenden Redensart Ixouev h tone oiapaoiv SĂ€tze aus der Zahlcntheoric als bekannt an. Es ist also nicht zu zweifeln, daß die Porismcn eine Sammlung solcher SĂ€tze ĂŒber die Natur und die Zusammensetzung der Zahlen aus Quadraten und dergleichen mehr enthielten, und dass eben daratlS auch alle die ĂŒbrigen SĂ€tze der Art entlehnt sind, welche Diophant gelegentlich entweder ausdrĂŒcklich ausspricht, oder deren Bekanntschaft seine De- 270 tcrminationcn voraussetzet, 3 ". Wie wĂ€re cS nun, wenn wir diese Porismcnsanimlung als einen einleitenden Theil in die unbestimmte Analvsis des zweiten Grades, als cincir bei der spater» VerstĂŒmmelung hcransgcfallcncn Theil dcS ganzen Werks betrachteten i NatĂŒrlich mĂŒĂŸte diese Sammlung dann auch vor der Behandlung der unbestimmten Aufgaben des zweiten Grades, das heißt, zwischen dem ersten und zweiten Buche gestanden haben. Wahrscheinlich war die Behandlungsart dieses Buchs, eben weil die Citate aus demselben uns lauter LehrsĂ€tze vorfĂŒhren, auch synthetisch. Das hindert inis aber nicht, dasselbe sammt der Abhandlung ĂŒber die Polygonalzahlcn, die dem Wesen nach ebenfalls dem Hauptgcgcnstande so sehr nahe verwandt ist, fĂŒr intcgrircnde Theile des ganzen Werks zu halten. Wenigstens ist diese Annahme immer noch viel wahrscheinlicher, als wenn man znr ErgĂ€nzung der dreizehn BĂŒcher voraussetzt, daß Dio- phant in den Verlornen BĂŒchern noch ganz neue Methoden zur Auflösung von llllbcstimmteit Aufgaben entwickelt habe, wie Schulz thut, oder gar mit Bombclli anzunehmen, Diophaitt habe in den Verlornen BĂŒchern sich bis zu den Gleichungen des dritten und vierten Grades verstiegen, was Bombclli dadurch motivirt, daß Diophant so viele Aufgabelt vorlegt, deren Zweck ist, die Stnnmc eines Quadrats und irgend eines AccidcnS zu einem Quadrat zu machen, was dieser, wie er glaubt, thut, um mit Hilfe dieser Methoden die Gleichung x A - f" P x = '1 5 U lesen 31 Bombclli hat sich sehr viel, ja fast sein ganzes Leben hindurch, mit der Verbcsserling tmd VervollstĂ€ndigung der zu seiner Zeit ganz neuen Anflösiingen der Gleichungen des dritten und vierten Grades beschĂ€ftigt, bei deren lctztcrn es nach der damals ĂŒblichen Auflösung allerdings darauf ankam, einen Ausdruck in der Form Ax* - f- Itx - f- C, dessen Cocfstcicn- tcn eine zweite in die Gleichung eingefĂŒhrte Unbekannte in sich schlössen, zu einem Quadrate zu machen. Wir dĂŒrfen uns also nicht wundern, wenn cr in Diophant's davon ganz unabhĂ€ngige Untersuchungen seine eigene Licblingsidcc hinciutrtig. Diophant crllĂ€rt ja aber, Des. XI. ausdrĂŒcklich, daß er bei dem Vortrage und der Ausarbeitung dieser Aufgaben kciiicn andern Zweck gehabt habe, als eben den SchĂŒler in der Methode zu ĂŒben, daß also diese Aufgaben 30 Z. B. IIF, 22. V, 12. 14. VI, 15. Siehe umrn Kap. X. 31 Schulz Vorr. S. XXI. Cossuli Originc I, 76. sich selbst Zweck seien; und in der That hĂ€tte der so scharfsinnige und sinnreiche Divphant, wenn er mit seinen Aufgaben den von Bombclli ihm snbstitnirten Zweck zu verfolgen beabsichtigt hĂ€tte, eben nicht den kĂŒrzesten Weg gewĂ€hlt, der zum Ziele fĂŒhrte. Aber auch in Betreff der Schulischen Hypothese gilt, was ich oben schon sagte. Wir finden in dem Vorhandenen durchaus nicht die geringste Andeutung, daß noch etwas Anderes, Höheres folgen solle. Dio- phant's System und Idccnkrcis erscheint so ganz in sich selbst abgeschlossen und seine Methoden kehren so regelmĂ€ĂŸig in einen und denselben Kreis mathematischer Vorstellungen zurĂŒck, daß sowohl die Schulische, als noch vielmehr die Bombelli'sche Annahme ganz ohne Haltung erscheint 3 ". Was aber vielmehr, wenn auch nur als Ă€ußeres Zeugniß, fĂŒr meine Hvpothcse zu sprechen scheint, fĂŒr die nĂ€mlich, daß die drei uns bekannten Werke Diophant's nur ein Ganzes bildeten, ist auf der einen Seite der Umstand, daß wir nirgend eine ErwĂ€hnung von niehr als einem Werke Diophant's finden 33 , auf der andern Seite aber der ganz unbestimmte Titel " 32 Man bat noch einen Grund fĂŒr die verloren gegangene Behandlung der höheren Glelchungen bei Diophant davon bergenonnnen, daß er Des. II. die Potenzen der Unbekannten und deren Zeichen bis jttm sechste» Grade erklĂ€rt. Warum das, sagt man, wenn er sie nicht brauchen, und warum nicht noch mehr, wen» er sie blos; nennen wolltet Aber er braucht sie wirklich und zwar gerade bis zur sechsten Potenz. Nur folgt daraus, daß man in einem Buche den Ausdruck 37 ° sindct, noch nicht, taß dieses Buch die Gleichungen des sechsten KradcS losen lehrt. Diophant kommt zuweilen durch seine Annahme auf eine Gleichung, welche Höhere Potenzen der Unbekannte», jedoch nie ĂŒber die sechste hinaus, enthalten, die sich dann aber allemal im Lause der Rechnung auf irgend eine Weise rcduci- ren lĂ€ĂŸt. Man vergleiche zu diesem Ende IV, 19. V, 21. 24. 25. VI, 23. 33 Da die beiden einzige» Stellen in Griechischen Autoren, welche mit völliger Evidenz von unserm Diopbantus reden, nĂ€mlich die oben beigebrachten Stellen von Theo» Alerandrinus und Johannes von Jerusalem bloß den Rainen ohne das Werk nennen, so können hier nur die Arabischen Auctore» in Betracht kommen; und da ist wirklich an beiden Stellen in Abulfaraj's Geschichte der Dvna- stien >>. 141 und p. 338, und ebenso i» den beiden Stellen in Easiri's Itiblintli. Von!,. Itisp. Kscur. T. I. p. 371 und p. 434 immer nur von dem Buche Diophant's die Rede. Woher anders ist das zu erklĂ€ren da doch, wie sĂ€mmtliche jetzt vorhandene Handschriften beweise», wenigstens das Buch ĂŒber die Polv- stonalzablen mit der Arithmetik verbunden zu fein pflegte, als daraus, daß man >">r ein Werk Diophant's, "’A^tP/L^ kannte, welches Alles enthielt, waS der Autor geschrieben hat. Arithmetisches. Dieses Pluralncutrum scheint mir geradezu auf ein Conglomcrat arithmetischer Abhandlungen verschiedenen Inhalts hinzudeuten, und ich halte es nicht fĂŒr unmöglich, daß dasselbe noch einen oder den andern Aussatz, Ă€hnlich dem ĂŒber die Polvgonalzah- len, der ĂŒberdies mitten in einem Satze abgebrochen ist, mit in sich begriff. Im Allgemeinen ist diese Hypothese nicht ganz neu; schon Colebrooke hat sie als möglich ausgesprochen, und daraus und aus der vielleicht frĂŒher abweichenden Abtheilung der einzelnen BĂŒcher, wofĂŒr der Vaticanischc Codex No. 200. spricht, den sehr probablen von mir oben ausgesprochenen Schluß gezogen, daß uns nĂ€mlich von Diophaitt viel weniger verloren gegangen sein mag, als man in der Regel zu glauben geneigt ist 34 . Unter dem Verlorenen dĂŒrften die Porismcu am Meisten zu bedauern sein, da Diophant in diesen SĂ€tzen, soviel sich aus den wenigen Citaten schließen lĂ€ĂŸt, seiner Zeit bedeutend vorausgeeilt zu sein scheint, und da viele derselben erst spĂ€t wieder bewiesen worden sind. Obgleich ich nun im Vorigen meine feste silbjcctive Überzeugung, hervorgegangen aus dem anhaltenden und gewissenhaften Studium des interessanten Mathematikers, ausgesprochen und mit den mir zu Gebote stehenden Mitteln und GrĂŒnden derselben ObjektivitĂ€t zu geben versucht habe, so bin ich doch weit davon entfernt, diese meine Ansicht als allein und fest dastehende Wahrheit geltend machen zu wollen; vielmehr gestehe ich gern ein, daß es bei der DĂŒrftigkeit aller 34 Algebra of tlic Ili»,Iu' Note M. p. LXi In trufli tlie division of manuscript books is very uncertain and it is by no means improbable, tbat tbc remains of Diopbantus, as wc possess tliem, may be less incomplete and constitute a largcr portion of tbe tbirteen books announced by bim cf. 11, tlian is commonly reckoned. His treatisc on polvgon numbers, vbich is surmised to bc one and tliat tbe last of tbe tbirteen, follows, as it secms, tbe six or seven books in tbe cxcmplars of tbe work, as if tbe prccceding portion were complete. It is itsclf iinpcrfect but tbe liinnner is essentially different from tbat of tbc foregoing books and tbc solution of problcms by equations is no longcr tbe objcct, but ratber tbe demonstration of propositions. Tbcrc appears no ground, beyond bare surmise, to presume, tbat tbc autbor, in tbe rest of tbe tracts relative to numbres whicb fultillcd bis promise of tbirteen books, resumed tbc Algebraic manner or in sbort, tbat tbc Algebraic part of liis performance is at ali mutilutcd in tbe copies extant, vvliich are consideret! to be all transcripta of singlc impcrfcct exemplar. aller Ă€ußer» Zeugnisse völlig unmöglich ist, in Bezug auf Diophant's Werk zu einem ganz sichern Resultat zu gelangen. Aber »vic ich selbst Tadel verdiente und selbst der Erste sein wĂŒrde, der ihn aussprĂ€chc, wenn ich mir in Betreff dieses dunkeln und schwierigen Gegenstandes irgend eine kategorische Behauptung erlaubt hĂ€tte, eben so sehe ich mich genöthigt, meinerseits jeder absprechenden Äußerung mit rĂŒcksichtloscr Strenge entgegenzutreten. Ich sehe zum Beispiel nicht ein, wie Reimer in seiner Übersetzung der Bossut'schen Geschichte der Mathematik 35 bei den Worten seines Auctors „11 avoit ecrit trcize livi-cs d’aritlunetiquc Jcs six pmnicrs ? sont, arm es jusqu’a noas; tous les autres sont perdus, si, lieannioins , uu seplieine, qu’on trouvo dans quclques ! edi- lions dc Diopliante, n’est pas dc Iui,” ich sehe nicht ein, sage ich, wie Reimer hier zu der apodiktisch ausgesprochenen Anmerkung kommt Dieses Buch dc numerls inultangnlis ist eine fĂŒr sich bestehende Schrift und gehört kcinesweges in die Sammlung der Arillnneticoruin Diophant's." Solcher Guosticismen muß sich jeder Historiker bei noch so wenig aufgeklarten Sujets, wie das vorliegende, enthalten. Ich habe absichtlich Bossut'S Worte hiehcr gesetzt, weil auch an ihnen manches zu erinnern ist. Über die six Premiers livres will ich nicht weiter sprechen; zweitens bcsindtt sich die Schrift ĂŒber die Polygonalzahlcn nicht bei einigen, sondern bei allen Ausgaben und Übersetzungen Diophant's, von A'plandcr bis Schulz; drittens aber ist bis jetzt Bossut der Einzige, der die Echtheit dieser Schrift als einer Diophautischcu in Zweifel zieht, wozu doch wohl gar kein Grund vorhanden ist. Wenn wir aus den oben auseinandergesetzten GrĂŒnden den oft angefĂŒhrten Commentar der Hypatia ĂŒber Diophant mĂŒssen fallen lassen, so bleibt uns nur ein Grieche ĂŒbrig, der ĂŒber diesen Auctor geschrieben hat, nĂ€mlich der schon erwĂ€hnte Mönch Maxi- mus Planudcs, dessen Schollen zu dem ersten und zweiten Buche der ’AyPpyixĂ€, sich bei einigen Handschriften, und Lateinisch in Xylandcr's Übersetzung des Diophant bcsinden. Wenn wir bedenken, wie mannigfach das in wissenschaftlicher Hinsicht viel weniger bedeutende Werk von Nikomachlls paraphrasirt und erlĂ€utert worden >si, so zeigt diese Armuth an einer Diophautischcn Literatur bei den 35 rl'. 1. S. 28. Die Stelle des Sriginals steht T. I. p. 9. ' 18 274 Griechen, verbunden mit dein »ekligen Anssterben der Diepbantiscbcn Methode, recht deutlich, wie wenig dieser Schriftsteller von seinen Lniidslenten beachtet und verstanden worden, wie wenig er auf das geistige Leben der spĂ€tern Mathematiker eingewirkt hat. Erst tausend Jahre nach dem Erscheinen seines Werkes wagte sich ein fĂŒr feine Zeit allerdings sehr gelehrter, namentlich als Kenner der Arabischen Mathematiker rĂŒhmlichst bekannter Mönch an eine Bearbeitung des Werks seines großen Landsmanncs, aber auch er blieb bei den beiden Elemcntarabschnittcn des Auctors stehen. Aber bedeutend frĂŒher hat Diophant das glĂŒckliche Loos gehabt, den Arabern in die HĂ€nde zu fallen. Unter den Schriften des Mohammed Abnlwafa ^°, der zn Bnzjan fpr. JĂŒiz-dschiin bei Nischapur in Pcrsicn im Jahre 940 328 II. geboren, 959 348 II. nach Bagdad ging, um sich in der Arithmetik und Geometrie auszubilden, spĂ€terhin daselbst als Lehrer auftrat lind im Jahre 998 388 II. zu Bagdad starb, findet sich nach Abulfaraj und dem Tharikh-al-Hokma liibliotli. pliilosopliomm bei Casiri, wörtlich Chronik der Gelehrten ein Connncntar ĂŒber das Werk Diophant'S 37 , der also etwa um das Jahr 970 verfaßt sein mag. 36 Sein vollstĂ€ndiger Name ist Mohammed ibn Mohammed ihn Valiyil ihn Ismail ihn AI-nhbAs AbnTnufil Al-JtiV/.jstni, ^ , y , >. 434 ausdrĂŒcklich Mohammed Abulwafa als Übersetzer »cn»t, ohne einer frĂŒheren Bearbeitung zu gedenken, so ist, i» Übereinstimmn»;; dieser Nachricht mit Abulfaraj, der auch an keine andere Arbeit ĂŒber Diophant denkt, nicht zu zweifeln, daß der Ler- faffcr des Tharikh-al-Hokma auch an der beigebrachten Stelle die Übersetzung von Abulwafa im Sinne hat. 39 Casiri I. p. 434 *JL*X*-! U .2. LjLĂŒsĂ€!! v_jLXJ xjlXS' ,Z bicfcn Sluctor ganz unbestimmt. Beinahe hundert Jahre »ach Re- giomontan erwĂ€hnt Joachim CamerariuS des Diophantischen Werks als in der Valieanischen Bibliothek vorhanden, und ist sehr begierig es ju sehen, hat aber, wie es scheint, darĂŒber die verkehrte Ansicht, dast es die Logistik, das heißt, die praktische Rechenknnst lehre 40 . Um dieselbe Zeit spricht Jacob Peletarius von einem gewissen Griechen Diophant 41 Wunderbar bleibt es indeß, daß nachdem deutsche Mathematiker seit 1470 und vielleicht frĂŒher von dem Daseiit des Diophantischen Codcr in Rom gesprochen hatten, diese Entdeckung den Italienern selbst ganz entgangen ztt sein scheint. In der Reihe ihrer großen Mathematiker, Luea Pacioli bc Burgo, Tartaglia, Cardan, findet sich keiner, der nur Diophant'S Namen nennte. Der erste Italiener, dem Diophant bekannt geworden zu sein scheiitt, und der zugleich ernstlich an eine Bearbeitung desselben gedacht hat, war R a p h a e l B o m b e l l i. Er hatte, wie aus seinen oben G. 263. mitgetheilten Worten hervorgeht, bisher von Diophant nichts gewußt. „Es hat sich," so sagt er im Jahre 1672, „in den jĂŒngst verflossenen Jahren ein Griechisches Werk ĂŒber Algebra in der Vaticanischen 40 Do Graecis Latinisque numerorum notis et praeterea Saraceni- ris seu Indicis etc. cte. studio Joacliinii Camerarii Papcbcrg. 155G. s. ebeu Kap. V . ©. 222. in ter gitcratnr bce Nitenmchus. Hicr bclftt ti !» bcr Kpistolu ad Zasium se Venit milii in mentem eorum quae et de hac et aliis liberalibus artibus dicta fuere, in eo convivio cujus iu tuis aedibus me et 1’cueerum nostrum participes esse, suavissima tua invitatio voluit. Cum autem dc autoribus Logisticos veri a fierent, et a me Diophmitus Graecus nominaretur, qui extaret in llibliotbeca Vaticana, ostendebatur tum spes quaedam, posse nobis copiam libri illius. Ibi ego cupiditate videndi incensus, fortasse audacias non tamen infeliciter, te quasi procuratorem constitui negotii gerendi, mandato voluntario, cum quidem et tu libenter susciperes quod imponebatur, et fides solenni festivitate firmaretur, de illo tuo et poculo elegante et vino optimo. Neque tu igitur oblivisceris ejus rei, cujus explicationem tua benignitas tibi commisit, neque ego non neminisse potero, non modo excellentis virtutis et sapientiae, sed singularis comitatis et incredibilis suavitatis tuae. 41 Arithmeticae practicac methodus facilis, per lemtnai» Fnsntm rtc. lluc acc. Jacohi Vvletnrn annotationes. Coloniae. 1571. Dic SPorrrbc beti ^pclctariiis Hat cibcr bttS Datum Lutetiae. 1558. S. p. 72. /V/, 07 sich ausdrĂŒckt t'oiueou st»»stu Sbardt'Ilsito; mit ebcnd. p. 30 kehrt V'ossali taS ganze Per l'Ă€Hnifi um, ant nennt ihn nobilr pulacro jucsso l’iuipcrial cortc oratore. * 280 ches entstellt 3 . B. Des. 7. 8 ., zwar ist seine Übersetzung rauh und nnlatcmisch, indem er sich aus Furcht zu fehlen gar zu Ă€ngstlich an den Buchstaben des Originals halt; aber das Resultat war darum nicht weniger glĂ€nzend. Das mathematische Publicum hatte Diophant's Werk, und wie einflußreich sofort das Erscheinen dieser Übersetzung auf die Entwickelung und Gestaltung der Algebra einwirkte, werden wir zu beobachten Gelegenheit haben, wenn wir an diesem Puncte unserer Geschichte werden angelangt sein. Man findet zuweilen 44 die falsche Angabe, daß Kalander auch das Griechische Original herausgegeben habe. Es scheint das aber auf einem MißverstĂ€ndnisse zu bcrlihcn, indem Tvlandcr an manchen Stellen des Commcntars auf das Original hindeutet, welches er wahrscheinlich herauszugeben beabsichtigte. Übrigens war schon Dachet ĂŒber diesen Punct in Zweifel, er schreibt in seiner oft von mir citirtcn Epistola ad Lectorem An vero ct Graeco a Xi- lanclro editus sit D'iopluiutus, nondum certo comperire potui. Vitietur sane in inultis suorum Commentariorum locis, do Graeco Dioplianto tamjuam a se edito, vel mox edendo, verba facere. Sed hanc editionem, neque milii vidisse, neque aliquem qui viderit hactenus audivisse contigit. Vielleicht wurde Lylander an der Edition des Textes durch seinen frĂŒhen Tod, der schon am 10. Februar des folgenden Jahres, 1576, erfolgte, verhindert. Vielleicht gleichzeitig, oder etwas spĂ€ter, aber noch im scchszchn- tcn Jahrhundert, scheint der Neapolitanische Mathematiker Joseph Anria Diophant's Schriften ins Lateinische ĂŒbersetzt, aber nicht durch den Druck bekannt gemacht zu haben. Nach Schulz 45 ist der Titel der Schrift Diophanti libri sex, cum scholiis graecis Maximi Planudae, atque liber de numeris polygonis, colluti 44 Z. B. Monnich II. 472. „ Xplanbcr hat ihn, nach einer ihm' so» Dubilius sie, Kaiserlichen Gesandte» am Polnischen Host, mitgetheilte» Handschrift, nebst einer Übersetzung davon, mit Konnncntarien 1575 herausgegeben. Aber diese Ausgabe ist von denen, welche Buchet de Megiriac sie 1G11 sie und Zcrmat 1670 veranstalteten, weit ĂŒbertreffen worden. 45 Aorr. S. XLHi. „Noch erwĂ€hnen die Litteratorcn, baß sich in der Bibliothek eines Carl von Montchall eine Bearbeitung des Diophaulu von dem berĂŒhmten Mathematiker Joseph Anria von Neapel vermuthlich doch nur handschriftlich befunden habe, welche den Titel fuhrt u. s. w." s. o. 281 cum Vaticanis codicibus, ct latiuc versi a Joseph» Anritt. Bei Hcilbronncr finde ich unter den Handschriften der Ambrosischen Bibliothek zu Mailand 46 Dioplianti arltlimct. libri ct dc juan. polygonis, Joscpbo Anria intcrpretc. Nach Föchcr 4T hat er, waS lniwahrschcinlich ist, nur die Schrift ĂŒber die Polygo- nalzahlcn ĂŒbersetzt. Sonst habe ich ĂŒber diese Arbeit keine Nachrichten finden können; selbst Cossali erwĂ€hnt ihrer nicht. Ich ĂŒbergehe hier solche Arbeiten ĂŒber Diophant, welche nicht ihn als Auctor, sondern nur die von ihm behandelten Sachen als Gegenstand mathematischer Untersuchungen angehen. Der Art sind die Arbeiten von Victa in seinen Zetcticis, ferner von Stcvi», Oughtrcd, Billy, Ozanam und Andern, von denen in der Geschichte ihrer Zeit die Rede sein wird. Demnach haben wir hier nur noch folgende Ausgaben und Übersetzungen zu nennen. Dioplianti Alexandrini Aritlimcticonim libri sex, ct dc numevis limltangulis Über unus. Nnnc priimun Graece ct Latiue editi, atque absolutissiiuis Coniniciitariis illustrali. Auctorc Claudia Caspare liacheto Mcziriaco Sebusiano. Lutetiae Parisiorum, sumptihus Sebastiani Crainois} r . 1621. fol. Es ist dieses die erste, oder eigentlich einzige Ausgabe des Griechischen Originals, die ihrem Bearbeiter alle Ehre macht. Mit unermĂŒdlichem Flcis?c, inmitten eines langwierigen Fiebers 4Ä , hat Bachct die niannigfachcn Hindernisse, welche die Schwierigkeit des Auctors auf einer, die Verdcrbthcit lnid Uncorrcetheit der Mann? 46 Hist. matli. univ. p. 503. §. 90. 47 Oielehrteii-Lepieon „AL’RIA Joseph, ein berĂŒhnitcr Malhemalikus ve» Neapolis, war „in das Jahr 1590 bekannt,.ĂŒbersetzte Diophantis sie Alexandrini Merck ,c lauroit jamais uehevd sans l’opimatrctd mclancoliquc que sa maludic lu> inspiroif. scriptc auf der andern Seite ihm in den Weg legten, ĂŒberwunden; lind sein gelehrter, nur manchmal zu wcitlĂ€uftigcr Commentar beweist nicht nur, wie tief er sich in seinen Auctor hineingearbeitet, sondern hat auch nicht wenig zu den; allgemeinen VerstĂ€ndnisse und zur nĂ€hern Bekanntschaft der Mathematiker mit den EigenthĂŒmlich- kcitcn Diophant's beigetragen. Zumal gilt dieses auch von den drei BĂŒchern Porismatum, welche er dem Tcrtc vorausgeschickt hat, und die Manches enthalten, was zu jener Zeit neu war, ebenso wie die am Ende angehĂ€ngten Appendicis ad librum de numeris polygonis libri duo, in welchen er die Diophantischc Theorie weiter fortfĂŒhrt. Dachet hat, wie oben Note 24 erwĂ€hnt ist, die Ausgabe nach einem Codec der Königlichen Bibliothek zu Paris veranstaltet, den er mit dem Palatinischcn und einem Vaticanischc», sowie mit der Tylandcrschcn Übersetzung verglichen hat, welche alle aber wunderbar in allen LĂŒcken und Fehlern ĂŒbereinstimmten, so daß er oft zu Conjccturcn hat seine Zuflucht nehmen mĂŒsse». Indeß ist er dabei sehr gewissenhaft zu Werke gegangen, und hat jede Einschaltung, ju der er sich, m» einen Sinn in den Tcrt zu bringen, genöthigt sah, durch Klammern, s j, und solche Worte, die ihm corrumpirt oder ĂŒberflĂŒssig schienen, durch Sternchen eingeschlossen, so daß man seine Conjccturen von dem Tcrtc immer genau unterscheiden kann. Wo es nöthig war, hat er sich ĂŒber diese Vcr- bcsscrtlngen oder ĂŒber VorschlĂ€ge zu solchen, auch in den Anmerkungen ausgesprochen. Die Mangel, welche diese Ausgabe noch behalten hat, sind nicht Schuld dcS Herausgebers, sondern leider bedingt durch die schlechte Beschaffenheit der Hilfsmittel, und so haben wir denn auch vorlĂ€usig noch keine genĂŒgendere Ausgabe dieses Mathematikers zu erwarten. Die Bachct'sche Ausgabe ist die einzige, welche sich auf die AutoritĂ€t von Handschriften stĂŒtzt. Ein bloßer Abdruck derselben ist folgender Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et de numeris multangulis liber unus. Cum Commentariis *. Buchet i et observationibus 1. /*. de Fcrmal Senatoris Tolosani. Accessit doctrinae Analyticac inventum novum, collectum ex variis ejusdem 1. de Fermat Epistolis. Tolosae. 1>7. l'ol. Unter der Vorrede nennt sich N. Format f Samuel, der Sohn des auf dem Titel genannten berĂŒhmten Mathematikers, als Herausgeber. Was dieser Abdrrick an Ă€ußerer Eleganz gewonnen hat denn die Bachct'schc Ausgabe ist mit Ă€ußerst unangenehme», namentlich Griechischen Lettern gedruckt, das bat sie an inncrm Werthe in Bezug auf den Tcrt verloren. Sie ist nicht bloß voller Druckfehler in einzelnen Worten und Zeichen sz. B. dnrchgchendS -r statt 900 sondern auch ganze Zeilen sind ausgelassen oder doppelt gedruckt, z. B. III, 12 eine Zeile doppelt, IV, 25 eine doppelt und gleich hinterher eine ausgelassen, IV", 52 eine doppelt, V, 11 eine ausgelassen, desgleichen V, 14. 25. 33, VI, 8. 13 u. s. w., die Zahlen verstĂŒmmelt, was aber das Ärgste ist, die Bachet'schcn kritischen Zeichen sind fast ĂŒberall, die Klammern durchgĂ€ngig weggefallen, so daß diese Ausgabe als Tcrt des Diophant völlig unbrauchbar geworden ist. Dagegen erhĂ€lt sie mathematischen Werth durch die sehr geschĂ€tzten OOserviitiones von Format, von denen zu ihrer Zeit die Rede sein wird. I» dem Zeitraum von 1070 bis 1810 ist dircet fĂŒr Diophant nichts gethan worden. I» dem lctzgcnanntcn Jahre erschien DiophantnS von Alcrandrien ĂŒber die Polvgon-Zahlen. Übersetzt mit ZusĂ€tzen von F. Th. Poselgcr. Leipzig. 1810. 8. mit sebr schĂ€tzbaren Anmerkungen und Mittheilungen ĂŒber den vom Auetor behandelten Gegenstand. Noch mehr Ancrkcmunig aber verdient die BemĂŒhemg des rĂŒhmlichst bekannten Professor Otto Schulz in Berlin, welcher uns in einer sehr vorzĂŒglichen Übersetzung endlich den ganzen Diophant deutsch gegeben hat unter dem Titel Di ophantus von Alcrandria arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift ĂŒber die Pologon-Zahlen. Aus dem Griechischen ĂŒbersetzt und mit Anmerkungen begleitet von Otto Schulz. Bcr- liu. 1822. 8. Das eben erwĂ€hnte Werk von Poselgcr ist mit Genehmigung des Letzten, in diese Gcsammtnbcrsctzung aufgenommen, wofĂŒr jeder Liebhaber des Diophant beiden MĂ€nnern Dank wissen wird. Die Übersetzung des Ganzen ist trat, ohne durch zu Ă€ngstliche Nachahmung des Originals in unwesentlichen Dingen ungenießbar zu werden. Die erlĂ€uternden Anmerkungen, welche einen bedeutenden Theil des ziemlich starken Octavbandcö cinnchmcn, beziehen sich der großen Mehrzahl nach auf den Inhalt, und geben nur selten Andeutungen >>bcr ctwanigc Verbesserungen im Tcrtc. Der Übersetzer ist nicht 284 Mathematiker von Profession, dcßnngcachtct werden seine Aiimcrkun- gcn Manchem das VerstĂ€ndniß des Schriftstellers erleichtern, und ihn auf den richtigen Etandpunet zur Beurtheilung desselben stellen 49 . Es wĂ€re in der That wi'mschcnSwerth, daß wir erst von allen Griechischen Mathematikern, wenigstens von den wichtiger», solche Übersetzungen hatten, wie von Diophant, Archimedes und Eu- klid'S Elementen. Ich will hier noch eine Frage vorausnehmen, welche eigentlich erst aufgeworfen und beantwortet werden sollte, nachdem wir unS in einer ĂŒbersichtlichen Darstellung mit dem Inhalte der Dwphanti- schcn Schriften bekannt gemacht haben, die ich aber theils darum hier anticipirc, weil sie ihrer Natur nach in diesem rein historischen Abschnitte einen Platz sucht, theils, weil ich fĂŒrchte, daß sie am Ende des Ganzen sich zu sehr vereinzeln könnte. Es ist nĂ€mlich die Frage, ob Diophant der Erfinder der algebraischen Methode bei den Griechen sei. ES ist kaum mehr der Muhe werth einen oft widerlegten AnSspruch Bombclli'S noch einmal zu widerlegen, den nĂ€mlich, daß Diophant >>n Verlaufe seines Werks Indische Auctorcn ci- tirc. Bombclli hat den Tort des Diophantns nicht hinlĂ€nglich sorgsam von den Schollen des Planudcs gesondert; in letzteren werden allerdings die Inder genannt, und zwar ihre Multiplicationsme- thode iĂŒ ; diese ErwĂ€hnung darf uns auch bei cincm Schriftsteller nicht Wunder nehmen, welcher selbst ein leider noch nicht cdirtcS Werk geschrieben unter dem Titel ijjTiepocpog/a x ut ! 'lv iSou, r] /ie- 49 Ich weiß nur ein Beispiel anzuslihre», in welche»! der gelehrte Ver- fasser, durch eine Übereilung selbst verteilet, den Leser irre fĂŒhrt, was er gewiß lĂ€ngst schon selbst bemerkt hat; es ist eine Anmerkung zu V, 14. S. 524 525. Diophaul'S Determination ist da in der Thal nicht ausreichend, und einem Manne wie Schulz sieht man's gerne nach, wenn er aus Versehen in der Formel in - j- 2 die Bedingung einer ungeraden Zahl sieht. 50 S. die Übers. v. Mander, Des. IX Ut ostendntiir, qno pneto peil uria in penurium duetu, copiam; in copiam ducla pcnui'ium procrccl, » γΏλη Î»Î”ÎłÎŹÎŒÎ”ÎœÎ·. Kein Citat bcr Art stt'cr findet sich in irgend einer Stelle des Diophautifcheii Textes, da dieser Auetor im Allgemeinen das Citiren nicht liebt. Überhaupt ist jedenfalls die Annahme irgend eines von auswĂ€rts ausgegangenen Einflusses auf Diophant's Werk unstatthaft, und die Frage kann hier nur fein, ob Diophant unter den Griechen direele VorgĂ€nger gehabt habe, welche durch fein hervorragendes Genie verdunkelt und verdrĂ€ngt lvordeu sind * * 5 ' Diejenigen, welche Diophant fĂŒr den ersten und alleinigen Erfinder der Algebra zu halten geneigt sind, stĂŒtzen sich besonders auf eine Stelle seiner Vorrede, welche die in dem folgenden Werke vorgetragenen Sachen als neu bezeichnet. Um diese Stelle in ihrem vollstĂ€ndigen Zusammenhange beurtheilen zu können, gebe ich hier die ganp Vorrede Ο» Δΐ^ΔÎčΜ Μ h> οΐ ÎŹÏÏ†ÎŒÎżÎ wo Îż- [ÎŠÎ»Î·ÎŒÎŹÎœ, ÎčÎŒÎčώαέ ÎŒÎżÎč ΑÎčÎżÎœÎœÎčΔ, ÎłÎčΜÎčÎżÎșΜ Δ Ï€ÎżÎœÎŽÎ±ÎŻ Ï‡ÎżÎœÎ± Όα^ΔΐΜ, ÎŽÎżÎłÎ±ÎœÎż'αÎč ηΜ ÎŒÎ­ÎžÎżÎŽÎżÎœ ΔπΔÎčÏÎŹ^ηΜ, ÎŹÏÎŸÎŹÎŒÎ”ÎœÎż αφ’ cov Ï…ÎœÎŹÎ·ÎșΔ α, Ï€ÏÎŹÎłÎŒÎ±Î± ÎžÎ”ÎŒÎ”Î»ÎŻÎœ, Ï…Ï€ÎżÎ·Î±Îč ηΜ Δυ οΐ ÎŹÏÏ†ÎŒÎżÎ» ψΜÎčΜ Δ Îșαί ΎύΜαΌη', ÎŻ ΌΔΜ ÎżÎ–Îœ ÎŽ ÎżÏ‡,Δΐ Îż Ï€ÏÎŹÎłÎŒÎ± ÎŽÏ…- χΔρΔÎč Î”ÏÎżÎœ, ΔπΔÎčÎŽÎź ÎŒ ÎŒ π Îż> ÎłÎœÏŽÏÎčΌΜ ΔÎč , ΎΜΔλπÎčÎżÎč ÎłÎŹÏ ΔÎč ÎșÎ±ÎŹÏÎĄÎŻÎœ ΔϊÎčΜ αΐ ÎčÎżÎœ ÎŹÏÏ‡ÎżÎŒÎ”ÏˆÎœ ψυχ,αί , ÎŒ ’ ÎżÎč ÎłÎ”ÎœÎ·Î”Î±Îč ÎŽÎčÎŹ ηΜ ηΜ Ï€ÏÎżÎžÏ…ÎŒÎŻÎ±Îœ Îșαί ηΜ non sndienm liic multiplicnmli ratlonem, qnae invevsam Graecniiici lmiris ordinem sequitar, seil aostrum tenebiinns. S. Schatz Vorrede S. XXIX. 8t Solche spurlos- VerdrĂ€ngungen ftĂŒl'erer Werke darch spĂ€tere, welche dieselbe» sehr ĂŒberragen, liegen ganz in der Ordnung der Dinge, so lange BĂŒcher nur noch als Manuseripte cristiren. Wir haben AristĂ€us und Anderer Werke ĂŒber die Kegelschnitte nicht erhalten, weil sie von Apollonius ĂŒbcrtroffcn wurden, und man »achgchcnds nur dieses vollstĂ€ndigere, vorzĂŒglichere Werk abzuschreiben sich die MĂŒde nahm. Eben darum sind die astronomischen Arbeiten von Hippar- chus durch die vollstĂ€ndigeren des PtolemĂ€us verdrĂ€ngt worden, und es heißt allen natĂŒrlichen Zusammenhang historischer Thatsachen umkehren, wenn Scholl Geschichte der griechischen Literatur, deutsch von Pinder. Bd. II. S. 702 sagt „Überhaupt verdankt PtolcmĂ€us einen Theil der ĂŒbertriebenen Verehrung, welche il'm gezollt worden ist, der Seltenheit der hipparchischen Schriften, welche unmit- lelbar nach seinen Lebzeiten verloren gegangen sind." — Die Hipparchischen Schriften sind vielmehr umgekehrt darum verloren gegangen, weil man dem >>plo- lemĂ€us eine so große und allgemeine, und wen» man will, Ă€berlriebcnc Verehrung zollte. 280 Îč o'jT ΧΛοήί/^ίΐ’ αχΔΐα γΏ ΔÎč ΌΰρψÎčΐ’ ΔπÎčÎžÏ…ÎŒÎŻÎ± Ï€ÎżÎżÎ»Îč/.ÎČΔÎčÎœÎż rx ötSuyJpK d. h. „Da ich sehe, daß Du, mein gcchrtcstcr Dionv- silis, eifrig bemĂŒht bist, die Auflösung der arithmetischen Probleme zu erlernen, so habe ich die Methode systematisch darzustellen l oo>’- vtotrai versucht, indem ich mit den Grundlage» beginnt, auf wcl- chcn die Operationen beruhe», nĂ€mlich mit der Entwickelung der den Zahle» cigenthĂŒmlichen Natnr und Eigenschaft ΎΰΜαΌÎč. Vielleicht nun erscheint die Sache etwas schwierig, da sie noch nicht bekannt ist, denn die GemĂŒther der AnfĂ€nger haben auf das Gelingen wenig Hoffnung. Aber es wird Dir doch leicht faßlich werden durch deinen Eifer und durch meine Darstellung; denn Eifer, der die Unterweisung zu Hilfe nimmt, fĂŒhrt schnell jur Wissenschaft." — Nun fragt sich, giebt Diophaut hier seine vorzutragende Lehre so geradezu und unzweifelhaft fĂŒr etwas ganz Neues, noch gar nicht vorhanden Gewesenes aus? Ich denke vielmehr, die Worte ΔπΔÎčÎŽÎź ΌΜ,π ÎłÎœ$ηÎčÎŹÎœ km stehen ganz subjektiv da, nur in Bezug auf den SchĂŒler, den der Verfasser vor sich hat. Es wird, sagt Diophant, dem SchĂŒler immer schwer etwas zu lernen, das seinem Wesen nach ihm noch neu ist. Dieser Sinn der in Rede stchcndeit Worte wird »icincr Meinung nach ganz unzweideutig bestĂ€tigt dtwch den Zusatz ΎυΔ?.πÎčÎżÎč γΏο ΔÎč Ï‡Î±ÏÎżÎĄÎŻÎœ ΔΐÎčΜ αÎč Μ ÎŹÎżÏ‡ÎżÎŒÎ”ÎœÎœ ψυχ,/. Dem AnfĂ€nger, sollte ich meinen, wird die Erlernung einer Sache nicht dadurch erschwert, daß diese wirklich noch objectiv neu ist, sondern die Schwierigkeit fĂŒr ihn entsteht nur aus der Neuheit, welche die Sache fĂŒr ihn hat. Ja, der Anfang der Vorrede sagt ja ganz dclitlich, daß Dionysius schon von Aufga- bcn der Art gehört hatte; Diophant fĂŒhrt ihn ja nicht aus eigenem Lchrertricbc, sondern von Jenem dazu aufgefordert in das Gebiet der arithmetischen Aufgaben ein. Und waS hat denn nun, als die Aufforderung an ihn ergangen war, Diophant gethan? '0 QyuvS- ÎŒÎŻÎżÎŽÎżÎœ έπΔÎčÎżÎŹÏ-ÎčÎčΜ „ich habe versucht die Methode systematisch darzustellen, zu ordnen." Darin liegt doch ganz klar, daß der Stoff wenigstens zum Theil, daß einzelne Methoden zur Auflösung solcher Probleme bereits vorhanden waren; er hat ja nur organisirt, systematisch angeordnet, was factisch hie und da zerstreut vorhanden war; er hat, wie es weiterhin heißt, die Sache so geordnet, wie er glaubt, daß sie fĂŒr AnfĂ€nger am faßlichsten sei. Dieses schließt indeß kcincswcges die Möglichkeit aus, daß Diophant 287 auch au dcm Inhalt sciucs Werks, an bcn vorgetragene» Sachen unb Mcthodcit, einen bedeutenden eigenen Antheil habe, und ein großer Tbeil des Gegebenen von ihm selbst herrĂŒhre. So folgt denn wohl schon aus dieser Stelle, auf welche gewöhnlich die Hypothese basirt wird, daß Diophant der Erfinder der Algebra gewesen, gerade das Gegentheil. Und diese auf die Deutung der Vorrede in obigem Sinne gestĂŒtzte Ansicht, in der ich ĂŒbrigens von sehr achtbaren AlltoritĂ€tcn unterstĂŒtzt werde M , erhĂ€lt noch mehr Wahrscheinlichkeit durch die Art und Weise, wie Diophant die Fundamente seiner Ncchmmgcn auseinandersetzt. Das Werk beginnt nĂ€m- 52 ganz die von mir entwickelte Ansicht bat Schul, Borr. XXII — XXIV ausgesprochen „Es ist aber nichts als MIßvcrstĂ€ndniß eines flĂŒchtigen Lesers, wen» man hinzusetzt, Diophantus eigne sich selbst die Erfindung der Ana- ivsis zu s. w.". Eossali ist auch der Meinung, daß Diophant nicht der Erfinder der Algebra sei; was aber so eigentlich seine Meinung ist, geht aus seinem RĂ€sonnement V. 1. p. 82. 83 nicht so recht hervor. Erst sagt er L» parola fnhricuri Bachet's Übersetzung von oqyavĂ€aai, 1’ asserzion ignotum atfhttc dimostrano a tanto luce, die Diofanto va a fare qualclie cosa ĂŒi nuovn, die bisognerebbc non avcr occhi per non vcderlo; wo er also das fLy*ei yvĂ€tJi./iov in dem Sinne von etwas absolut Neuem nimmt. Nachdem er nun eine Weile mit Montucla gezankt, fĂ€hrt er so fort A me par troppo il dirc, die da quelle cspressioni liou nc csca alcun lume; mi pure troppo il restingere la liovitĂ€, die annunziano, nl nictodo, dic nell’ opera di Diofanto regnar si mira; mn parini anelie troppo il dcilariic exuere stato Diofanto in nssoluto senso inventor doli’ analisi. Es tomillt am Ende weiterhin darauf hinaus, daß er die Algebra der bestimmte», selbst der guadratischen Gleichungen als vor Diophant vorhanden auninnnt. Und ungefĂ€hr in demselben Sinne spricht sich Eolebrooke Note M. p. LXII aus lt is ratber to bo inferred, as Cossali does, froin bc compcndious \v;ij in wbiclt tbe prineiplcs of Algebra arc delivered, or allnded to, bv bim, that tbe determinate analysis was previously not nnknown to tbe Grecks, wheresoever tbey got it; and that Diopbnntas, treating of it cnrsorily as a matter alrcady understood, gives all bis attention to cases of indeterminate analysis in wliidi perbaps be bad no Grcek precursor Coss. Orig. dell’ Alg. I. 4. 10. He certainly intimatos, that some part of wliat bc proposes to teadi is new rag fiev olv to qĂ€ir/fut ö'wXSQtGtiQov fL'ii r utK. - jvc.'iQitiov lati, wbitc in otlier places Des DI be expects tbe stndent to bc previously exereised in tbe algoritbm of Algebra. Tbe sceming contradiction is reconeiled by conceyving tbe principies to bave been known, but tbe ujiplication of thein to a certain dass of prolilems coueerning numbers to liuve beeil new. 288 lich mit elf SĂ€tzen, die zniii Theil ErklĂ€rungen, zum Theil die einfachen LehrsĂ€tze fĂŒr die algebraischen Operationen, den AgorithmnS enthalten wiewohl sie in den Ausgaben sĂ€mmtlich Defiuitioiies ĂŒberschrieben sind, und die KĂŒrze und BcilĂ€usigkcit, welche aus diesen ErklĂ€rungen und ErlĂ€uterungen der Elemente spricht, deutet jedem Unbefangenen ganz klar an, daß Diophant hier nichts Neues lehre, sondern nur Bekanntes ins GedĂ€chtniß rufe. Nachdem er in Des. I ĂŒber die Potenzen gesprochen, fĂ€hrt er Des. II. fort K- λΔΐαÎč ovv Îż ΌΔΜ Î”ÏÎŹÎłÎœÎż ΎΜΜαΌÎč, Îșα'Îč ΔÎčΜ oaVrj Î·ÎŒÎ”ÎÎżÎœ Îż ÎŽ Î”Ï€ÎŻÎ·ÎŒÎżÎœ Δ%ÎżÎœ Μ, und ebenso bei den folgenden. Das war also doch ganz gewiß schon zu seiner Zeit gebrĂ€uchlich. Ja selbst die Bezeichnung der Unbekannten fi'chrt er nicht anders ein 6 ΎΔ ΌηΎέΜ ÎżÏÎœ Μ ÎčÎŽÎčÎŒÎŹÎœ ÎșÎ·Î±ÎŹÎŒÎ”Îœ Îż, Δχ,Μ ΎΔ ΔΜ Δαυ Ï€Î»ÎÏÎż ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎœ ÎŹÎ»ÎżÎłÎżÎœ bei Blichet unrichtig Ώλογο ,ÎżÏ†ÎŒÎż ÎșαλΔίαÎč, ÎșαÎč ΔÎčΜ Î±ÎœÎżÎœ Ï…â€™Î·ÎŒÎ”ÎÎżÎœ Îż ', wo Ï€Î»ÎŻÎžÎż ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎœ ÎŹÎ»ÎżÎłÎżÎœ nicht, wie Dachet im Euklidischen Sinne des Ώλογο ĂŒbersetzt, multitudo unitahiin rationis expers, sondern eine unbekannte Menge von Einheiten bedeutet. In Des IX. hĂ€lt Diophant cs nicht fĂŒr nöthig, einen Satz, der selbst spĂ€tern Mathematikern so viel Kopfl'rechcn verursachte, den nĂ€mlich, daß Negatives mit Negativem multiplicirt Positives gebe, auch nur mit einer Sylbe zu erlĂ€utern, sondern er sagt, als sprĂ€che er von einer Sache, die sich langst von selbst versteht ΛΔΓψ, Δπ» λΔΐφÎčΜ Ï€ÎżÎ»Î»Î±Ï€Î»Î±ÎčαρΔΐα Ï€ÎżÎčΔί ύπαρΟÎčΜ λΔΐψÎč ΎΔ Δπ'Îč ΜπαρΟÎčΜ Ï€ÎżÎčΔί λΔη\ÎčÎčΜ. Die Divisions- rcgcln in allgemeinen AusdrĂŒcken giebt er gar nicht, weil sie, wie er meint, dem SchĂŒler schon aus den Des. 1Y. bis IX vorgetragenen Multiplicationsrcgcln klar sein mĂŒssen. Nachdem er nun in der zehnten Dcsinition ermĂ€hnt hat, in den Ncchnungcn mit algebraischen AusdrĂŒcken sich fleißig zu ĂŒben, namentlich in Operationen mit mchr- glicdrigcn GrĂ¶ĂŸen, von denen er vorher gar nichts gesagt hat Îșα - λ ovv ΔχΔÎč Î”ÎœÎ±ÏÏ‡ÎŒÎ”ÎœÎżÎœ η Ï€ÏÎ±ÎłÎŒÎ±Î”ÎŻÎ±, υΜΎέΔÎč ÎșαÎč ÎŹÏˆÎ±Îč- ρέΔÎč ÎșαÎč Ï€ÎżÎ»Î»Î±Ï€Î»Î±ÎčÎ±ÎŒÎżÎ οΐ Ï€Î”ÏÎŻ ÎŹ ΔίΎη ÎłÎ”ÎłÎœÎŒÎœÎ±ÎĄÎ±ÎŻ" ÎșαÎč π ΔίΎη Ï…Ï€ÎŹÏÏ‡ÎżÎœÎŹ Îșα'Îč Î»Î”Ï€ÎżÎŻ α, Όη ÎŒÎżÏ€Î»Î·^η, Ï€ÏÎżÎșΟΔÎč ΔΔ- ÏÎżÎč Δ’ίΎΔαÎčΜ ηοÎč Îșαί Î±ÎœÎżÎ Ï…Ï€ÎŹÎżÏ‡ÎżÏ…ÎčΜ, ÎŻ ÎșαÎč ÎżÎŒÎżÎŻ ÎœÏ€ÎŹÏÏ‡ÎżÎœÎč Îșα'Îč Î»Î”ÎŻÏ€ÎżÎœÎč’ X! π ÎŹÏ€ÎŽ υπαρχΜΜ ΔÎčΎώΜ ÎșαÎč Î”Î”ÏÎżÎżÎœ λΔÎč- πΜΜ ÎŹÏ†Î±ÎčρηΔÎč ΔΔρα ΟοÎč ÎœÏ€ÎŹÏÏ‡ÎżÎœÎ± η ÎșαÎč ÎżÎŒÎżÎŻ ÎœÏ€ÎŹÏ- ÎłÎżÎœÎ± Îșα'Îč Î»Î”ÎŻÏ€ÎżÎœÎ± , llllb sich dann erst an die Aufiösung von Aufgaben zu machen, so lehrt er eben so kurz und gleichfalls nur wie 289 wie eine Nebensache in der elften Definition, wie man eine gegebene Gleichung auf die einfachste Form bringen könne. Man ersieht aus dem Allen, daß Diophant die Elemente der Algebra nicht lehrt, sondern voraussetzt und nur im Vorbeigehen daran erinnert um den SchĂŒler zu veranlassen, daß er sich in denselben recht festsetze, weil er in seinem Werke sich derselben als Hilfsmittel der Untersuchung bediene. Nicht ebenso setzt er die Bekanntschaft mit den quadratischen Gleichungen voraus; die Auflösung dieser verspricht er, am Ende der I-e>f. XI., zu lcbren, wie wir oben gesehen haben. Demnach stellt sich in Bezug auf die aufgeworfene Frage ungefĂ€hr folgendes Resultat heraus. Die algebraische Methode war vor Diophant erfunden, und er durfte, als er davon Gebrauch machen wollte, an die Hauptrcgcln derselben, so wie an die Auflösung der Gleichungen des ersten und der reinen Gleichungen des zweiten Grades nur kurz erinnern. Ob die Auflösung der gemischten quadratischen Gleichungen seine Ersindung war, können wir nicht bestimmen, wenigstens glaubt er sie nicht ebenso uncrlĂ€utcrt voraussetzen zu dĂŒrfen. Die Behandlung der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades sind der Hauptzweck seines Werks; cS fehlen uns aber auch hier die historischen Elcincnte und Mittelglieder, um entscheiden zll können, wieviel davon ihm selbst angehört, lind was er etwa schon als Stoff vorgefunden hat. Zu diesen aus der Betrachtung des Diophantischen Werks her- vorgegangcncn Resultaten nun noch einige ZusĂ€tze voir außen her. Was zunĂ€chst den ersten von mir ausgesprochenen Satz anbelangt, so ist wohl an dessen Wahrheit auch aus Ă€ußeren GrĂŒnden nicht zu zweifeln. Algebra ist, wie ich oben schon einmal berĂŒhrte, weiter nichts, als die Anwendung der den Griechen seit Platon's Zeit bereits bekannten Methode der geometrischen Analysis auf die Rechnung 53 Das Princip der Algebra war also in seiner Anwendung 53 Ban; richtig fast diese Beziehung Dcchalr Cursus Math. T. I. P 8. 29. auf, dessen Theorie ĂŒberhaupt viel besser ist, als seine Geschichte. An der erste» Stelle heißt es von ssUato Modurnque demonstrandi aualyticum ln 'euit, nempe supponendo quod quaeritur factum esse et dari, quae me- Niodns dici potest Algebra quaedam naturalis, et Algebrac artificialis seminarium fuit. Und p. 29. Plato Socratis auditor modum demonstrandi 0 ialylicum invenit, nempe prima Algebrac fundamenta jecit. Und fbfilb. i. 19 290 Uif die Geometrie den Griechen lĂ€ngst gegeben. Die Schwierigkeit, dasselbe auf Zahlmopkrationrn anzuwenden, lag mir darin, daß man nicht so leicht, wie in der Geometrie, auf ein Mittel verfiel, eine von allen unwesentlichen Aeeidcntien befreite Zahl darzustellen, wie man es in der Geometrie durch Hinzeichnung einer willkĂŒhrlichcn von allen beschrĂ€nkenden Voraussetzungen befreiten Figur vermochte. Man zeichnete z. B. willknhrlich ein Dreieck, lind sagte gesetzt dieses sei das gesuchte Dreieck; an dem so beliebig angenommenen Dreiecke operirte man alsdann rĂŒckwĂ€rts, indem man von dem als bereits vorliegend gedachten Gesuchten, vermöge der gegebenen Bcdin- giingcn der Aufgabe, aus das VerhĂ€ltniß der AbhĂ€ngigkeit des Gesuchten von dem Gegebenen durch fortgesetzte SchlĂŒsse zu gelangen sich bemĂŒhte. Wie sollte man dagegen ebenso allgemein eine Zahl darstellen, ohne ihr gleich bei der Annahme einen bcstimmteil Werth brizulegm? Die Buchstaben des Alphabets, als gelĂ€ufige Schrift- zĂŒge, lagen hier am nĂ€chsten; aber an jeden Buchstaben knĂŒpfte die Einbildungskraft aus. Gewohnheit einen bestimmten Zahlbcgriff. Es blieb nichts Anderes ĂŒbrig, als entweder ein willkĂŒhrlich gewĂ€hltes Zeichen sich zu schaffen, oder den einzigen Buchstaben des Griechischen Alphabets, dessen Zug keinen conventioncllcn Zahlenwcrth in ! sich begriff, zu diesem Zwecke zu verwenden, nĂ€mlich das Finalsigma, vorher Algebra quae analytica dici potest, co quod per Analysin procedat, nempe id quod quaeritur jam quasi cognitum et datum supponat etc. ctc. — Minist hig, feie es febrint, ist der Unterschied, den Bezoiit Cours de Math. T. III. 1768. Prdf. p. III. IV. zwischen Analvsis und Algebra macht La methode qu on appelle Analyse, est ceile qui enseigne ii trnuver ces rrglcs, et 1’instrumont qu elle cmploic pour y parvenir, s’appelle VAl- gehre. — ' ianj falsch dagegen ist dic Definition von Analvsis In .ftlĂŒgct's Machcm. Wörterbuch Tb. 1. S. 77. „Analvsis, als wiffenschastliches Svstem, ist die aitgcmcinc Darstellung und Entwickelung der Zusammcnsetzungsarlen der Großen durch Rechnung. Sie behandelt alle GrĂ¶ĂŸen wie Zahle», aber als unbestimmte In Abzicht auf die Einlicit und die Menge der Einheiten. Dadurch unterscheidet sie sich von der Geometrie, welche die ausgedehnte» GrĂ¶ĂŸen u. s. w. mit einander vergleicht, ohne sie als Vielheit von irgend einer Einheit und Theilen der Einheit zu betrachten." — Die Analvsts gehört weder ausschließlich der Rechnung, noch ausschließlich der Geometrie an, sondern sie ist eine Methode, die in allen mathematischen, ja selbst In den philosophischen Disciplincn ihre Anwendung findet. *291 ?. Und man hat das Letztere wirklich gethan. Wann aber dieser Schritt geschehen ist, und von Wem, das laßt sich jetzt aus gĂ€nzlichem Mangel an vorhandenen Quellen nicht mehr bestimmen. Nur soviel laßt sich mit ziemlicher Gewißheit behaupten, daß diese so nahe liegende Anwendung so weit hinallsgcschobcn wurde wegen des erwĂ€hnten fĂŒr diesen Zweck ungĂŒnstigen VerhĂ€ltnisses des Griechischen Alphabets zu den Zahlen. Eine Spur von Unterscheidung unbekannter und gegebener Zahlen finden wir in dem alis Jamblichus oben mitgetheilten Epanthcma des Thymaridas, welches gleich so anfĂ€ngt oqiiffievotv »/ dnQiurroiv /.leQiirt/fievav u>Qiir/.itvav 71 etc. „Wenn gegebene oder unbekannte Zahlen zusammen einer gegebenen gleich sind"." Ja, die ganze Regel des sogenannten Epaiuhema beruht auf der Anschauung algebraischer Zahlmaus- drĂŒcke, z>l welchem Ende ich zu vergleichen bitte, was ich im vorigen Kapitel ĂŒber dasselbe gesagt habe. Jamblichus giebt uns ferner, wie wir gleichfalls gesehen haben, die Auflösung zweier Aufgaben, deren jede ailf drei Gleichungen des ersten Grades mit vier Unbekannten fuhrt, aber freilich ohne algebraische Bezeichnung, bloß in Worten, jedoch ganz im Sinne der Diophantischcn Algebra. Somit ist denn, wenn wir diese Thatsachen mit dem zusammenstellen, was wir eben ĂŒber Diophant's Definitionen gesagt haben, nicht daran zu zweifeln, daß die Anwendung der analytischen Methode auf die Rechnung vor Diophant in Gebrauch gewesen, mit andern Worten, daß Diophant nicht der Erfinder der Algebra ist. Woher es nun gekommen, daß die vor ihm vielleicht vorhandenen Werke selbst bis auf den Namen untergegangen sind, als das vollstĂ€ndigere und glĂ€nzendere Diophant's sich erhob, lind warum deshalb auch die Araber keines der Art nennen, habe ich oben angedeutet. Daß aber Diophant keinen seiner ctwanigcn VorgĂ€nger bi S. siOiHOYsil, UCfOg O Also * propone c scioglie nun eiln lnni vorn» nltro inateina- ticn^cbfiin’nbbia eercata In 116 vedesi da’ greei posteriori ci- tatoaltro scrittore cli tale scicnza unteriore a Diofnnto; ich gli Arabi, clii in jueHttt partc pnssono aver tanto peso di untorita, pianto gli stessi xroci, j;hi .ci sono rimasti, pnrlano di altro grcco algebrista ehe di Dia- fanto, tosnli Owg. I. p. 86 . das völlige Schweigen der Alten ĂŒber irgend eine andere Arbeit der Art, woraus, wenn auch nicht zu viel, doch so viel gefolgert werden kann, daß die vorhandenen BruchstĂŒcke, von denen Diophant ausgegangen ist, nicht von großer Bedeutung gewesen sein können. tu. ! ;! >>' t Siebentes Kapitel. S'orm der Diophaiitischeu Algebra. Erste, worauf wir bei der Darstellung der Diophanlischc» Analosis zu rĂŒcksichtigcn habe», ist seine Bczcichnungsmcthodc, welche gewissermaßen als das Gewand angesehen werde» muß, in welches er seine Kunst gekleidet hat. Ich will von derselben, weil von dieser Form so unendlich Vieles im Wesen abhĂ€ngt, ein möglichst vollstĂ€ndiges und treues Bild geben, tnid werde ich dadurch auch gezwungen Manches ju wiederholen, was schon oft gesagt worden ist, so kann ich doch eine ansfĂŒhrlichc Auseinandersetzung des hichcr Gehörigen um so weniger ĂŒbergehen, als man gerade auch im Betreff dieses Punctes in frĂŒheren Werken so viel Mangelhaftes und selbst Unwahres findet. Möge» also die Loser nur noch in diesem fĂŒr Manchen unter ihnen vielleicht weniger anziehenden Kapitel mit mir Geduld haben und bedenken-, das; der Gegenstand desselben ein nothwendiger Übergang zu der Darstellung der sehr interessanten Methoden ist, deren unser Auctor sich bedient. Sind schon die algebraischen Werke des Qccidcnts bis znr Mitte des siebzehnten Jahrhunderts in Vergleich mit den modernen arm an algebraischen Zeichen, so trifft das bei Diophant'S Werk in noch viel höherem Grade zu. Diophant hat ĂŒberhaupt mir drei Arten von Zeichen, erstens fĂŒr die Unbekannte und ihre Potenzen, zweitens fĂŒr das absolute Glied der Gleichung und drittens fĂŒr die siibtractivc Bedingung eines Gliedes. Die Unbekannte bezeichnet er, wie ich schon in dem vorigen Kapitel andeutete, durch den Buchstaben mit dem Aecent, - xvfiog, und ihre entsprechende» Zeichen sind . 195. 196. macht bic sonderbare Bemerkung, baß die Italiener »nd ihre Lehrer, die Araber, die Potcnzenseala nicht von der '-polen; 1, der Wurzel, sonder» von der Potenz 0, der bekannten Zahl, anfangen. Seine Worte laute» so Wallis nun Im rillcttuto a due altre differenze lra Ic scaic medesime nĂ€mlich der Diophantische» und der Italienisch-Arabiscben, deren erster Unterschied der ist, daß die Letzter» die höher» Potenzen als Potenzen von Potenzen darstellen, wĂ€hrend Diophant stc als Producte der niedrigeren Po- ze» betrachtet. La prima ci e, die liiddove Riofauto denomina con siu- golnritu Numero il numero ignoto, denominando Monade il numero dato di eompnrazione; gli nnticlii Italiuni degli Arabi seguaci denominuuo questo il Numero, e Radice, o Luto, o Cosa il numero sconosciuto. I,a seconda e die Diosnnto comincia Ia scala dal numero ignoto, e Fra Luca, Tarlaglia, Cardauo la incominciauu dal munero noto. Da;,, er folgende Tabelle Scala Diofantca Scala Araba 1. Numero , . . il noto ac 1. Numero . . v l'ignoto 2. Cosa, radice, lato Λ’ 3 2. l’odesta 3. Censo 3. Cubo 4. Cubo .r 4 4. I’odestĂ€-podesta 5. Censo di censo 5. Podesta-cubo 6. Relato primo 6. Cubo - cubo 7. Censo di cubo, o cubo di censo u. s. w. 298 Ich habe oben im dritten Kapitel bereits davon gesprochen, wie die Grieche» ĂŒberhaupt lind zumal auch Diophant Bruche zu bezeichnen pflegen. Dagegen muß ich als hichcr gehörig eine besondere Art von BrĂŒchen erwĂ€hne», solche nĂ€mlich, deren Nenner die Unbekannte in irgend einer Form in sich schließt. Die einfachste Art dieser BrĂŒche ist die, wenn der Nenner die Unbekannte selbst oder irgend eine nicht weiter complicirtc Potenz derselben ist. Wir finden darĂŒber in Diophant's dritter Definition die nöthigen AufschlĂŒsse. „Wie die den Zahlen gleichnamigen Theile, sagt Diophant, den Namen der Zahlcir entsprechend benannt werden, so das; man von drei den Namen ein Drittel, von vier den Namen ein Viertel bildet, so werden auch die den eben beschriebenen Zahlen ÎŹÎżÎč'ρΌ, ÎŽÎŻÎœÎ±ÎŒÎč, ÎșύÎČÎż u. s. w. gleichnamigen Theile nach den Namen dieser Zahlen bc- iianut werden, und man bildet von ÎŹÎŠÎŒ den Namen Îż agi- ÎĄÎŒÏ…Îœ, von ΎΜÎčÎșÎŒÎčÎč dM SRsllllCtl TU ÎŽÎœÎâ€™ÎŻÏ‡ÎŒÎżÎœ, V0N ÎșύÎČÎż 70 ÎșÎŻÎČÎżÎżÎżÏ… und so fort 70 ÎŽÏ…ÎœÎ±ÎŒÎżÎŽÎœÎč/ÎŒÎż, ÎŽ ÎŽÏ…ÎčΜ/.ÎŒÎżÏ‡Îœ'ÎŻÎżÏ…ÎżÎœ, Îż ÎșυÎČÎżÎșÎčÎČÎżÏ…Îâ€™. Jeder von ihnen wird seine Bczcichitung nach der gleichnamigen Zahl erhalten und eine Linie die Species abson- dMl ΎΔ ÏŠÎ±Î±Îż'ÎżÎœ uv~Zv Î­Ï€ÎŻ 7οΰ ÎżÎŒÏŽÎœÏ…ÎŒÎżÏ… ÎŹÎżÏ†ÎŒÎżÏ… Îč/η- S'icfc Tabelle ist insoweit ganz richtig, nur hĂ€tte ssossali, wie i» der zweiten Spalte, so auch in der ersten eine Stufe höher, nĂ€mlich mit den Diophantische» /aonietg anfaugeu, ober auch mit demselben Rechte in beide» Spalten diese erste Stufe weglassen sollen. Ich sehe gar nicht ein, was dem sonst so besonnene» Manne vier vorgeschwebt bat, und habe auch eben keinen der alten Italienischen Mathematiker bei der Hand, den ich zn diesem Behufe nachschlagen konnte. Vielleicht daß daselbst sich eine Stelle, wie folgende aus der Algebra ihres Lehrers, Mohammed den Musa, vorfand, aus welcher öoffali wider seine Gewohnheit einen Schluß gezogen hat, zu dem die Sache nicht berechtigt. Hier heißt es nĂ€mlich S, 3, der Rosen'schen Ausgabe j, UJ! ĂŒlX>. ^ „Ich fand, daß die Zahlen, deren man sich in der Rechnung Aljebr und Almukabalah bedient, dreierlei Art sind, und zwar Wurzeln und Luadrate und absolute Zahl, welche weder auf die Wurzel noch auf das Quadrat Bezug hat." Schwerlich aber dĂŒrste eine Darstellung der Art einen Schriftsteller bewege» zu sagen, der Arabische Auctor fange die Po- tenzenscala der Unbckannlr» mit der bekannte» Zahl an. Und daß die Ă€ltesten Italiener ungefĂ€hr dasselbe gesagt haben, lĂ€ĂŸt sich aus ihrcill sonstigen Zusammen- hange mit Mohammed den Musa schließe». 29ÎŻ ftuov ÎłÎżÎŹÎŒÎŒÎ·Ï… Î”Ï‡ÎżÎœ ÎŽÎčÎ±Î°Î”Î»Î»ÎżÏ…Î°Î±Îœ Îż ΔίΎο" 3 . Aus btcfcil legten Worte» scheint hervorzugehen,.daß Diophant seine BrĂŒche ursprĂŒnglich anders, als gewöhnlich geschieht, bezeichnet habe. In dem gedruckten Torte aber werden diese mit unbestimmtem Nenner bei» gewöhnlichen ganz analog ausgedrĂŒckt,gĂŒlden, das Ncmi erzelch en dem ZĂ€hler alv_Erponmt angesetzt wird, z. B. und noch vollstĂ€ndiger indem er W>, die Endsylbe von ρ/ÏŠÎŒÎżÏ…ÎżÏ…, nebst dem zugehörigen Coefsiciente» oben ansetzt, 0^ “, 0C . Ist dagegen der ZĂ€hler selbst schon ein Zahlenbruch, so finden wir die Formel in der Regel ausgeschrieben, z. B. ÎŹÏ†ÎŒÎżÎżÎœ u. uß , d. h. -ii-, ÎŽÎ”ÎœÎ±ÎŒÎżÎżÎżÎœ lmd ebenso bei algebraischen Nennern, z. B. Ό° η ÎŒÎżÏÎŻÎżÏ… S" 0 -. , d. h. -; 6' u u . 0 υ u. /i° η ÎŒÎżÏÎŻÎżÏ… ÎŽ' υ a oc das heißt X* + X ÎŽ' υ Ο Î»ÎŻÎŻÏˆÎ”ÎŻ χΎ ÎŒÎżÏÎŻÎżÏ… ÎŽ υ α, Ό°~ ÎčÎČ Î»Î”ÎŻÏˆÎ”Îč Ο, 3 Diese ganze Dkfinilio», sowie die siebente, welche die Mnltiplicationsregel snr solche BrĂŒche von der Forni ~ enthĂ€lt, hat Wachet falsch verstanden und so aufgefaßt, als hĂ€tte Diophant Ausdrucke von der Form -x im Sinne. WĂ€hrend n des Drucks bat der Herausgeber jedoch seinen Irrthum eingesehen und am Ende des sechsten Buchs, S. 451, verbessert. 4 Bergt. 111, 12. IV, 40, V, 30. VI, 3, 4. 5. 5 L. IV, 37. 300 d. x J + 12—7a ' 2a“ -f- 2 - f- -f- 1 und dergleichen mehr 6 . a 2 - j- 2a -j- 1 [3 . ö " L . gig° ö . ÂŁ i> fioQuo S “ . 4-/ n x ’ w °' u,^ z„„, Beispiel im Contcrtc fĂŒr λÎčπώΜ oder λΔί^α , sogar in den Worten der Aufgabe 10 . Ferner wird oft das Wort sowohl als seine Abbreviatur von dem zugehörigen Zahlcncocsficicnten durch Partikeln getrennt"; ganz besonders aber deutet auch auf den Charakter bloßer Abbreviaturen der Umstand hin, daß den Zeichen 4 und Ό°~ der den Worten ÎŹ^φΌ und ÎŒÎżÎœÎŹ nach der jedesmaligen Verbindung angemessene Artikel vorgesetzt, ferner daß dem Zeichen 4 statt des einfachen Accents in der Regel noch oben die Casusendung angehĂ€ngt wird, Îż-5, cö , ol, Îż ΰ , οΐ , und so auch mit den fĂŒr den Artikel gebrĂ€uchlichen Abbreviaturen " fĂŒr ÎŹÏÏ†ÎŒÎżÎœ, fĂŒr ÎŹÎżÎčρΌΜ, gleichwie man r" fĂŒr ÎżÎœ und f fĂŒr v schreibt. Fast alle diese erwĂ€hnten EigenthĂŒmlichkeiten finden wir in einer Formel vereinigt, welche wir in den letzten Zeilen des ersten Buchs lesen -» g , Ό°~ λ ÎŻÎżÎč Δ'ÎŻ'Îčυ οΐ , ÎŒÎżÎœÎŹÏ‡Î· , Δ. Die letztgenannten Erscheinungen kommen indeß so oft vor, daß es nicht nöthig ist, Beispiele als Belege anzufĂŒhren; jede Seite bietet deren mehrere. Um den Standpunct, welchen Diophant in der Geschichte der Algebra in dieser Hinsicht einnimmt, richtiger beurtheilen zu können, bemerken wir Folgendes. Wir können, was die formelle Darstellung der algebraischen Operationen und Gleichungen anlangt, drei histo- 9 §. B. II, 12. 19. III^ 19. zweimal IV, IN. 25. V, 12. VI, 10. und öftre. 5 III, 19. ÎčΜα ÎżÏÎœ Îż Ï€Î»ÎÎŻÏŠÏŠÎż Μ ÎŹÏ†ÎĄÎŒÎœ χρα Îż *λÎč>Îż Μ = v, so ist y = = 'imn Wenn x a = y 2 , m 2 it — / , — n 2 2 mn i/nn welches sowohl bei Diophant als bei allen genannten Mathematikern bis auf Vieta hin die Stelle eines wissenschaftlichen Beweises vertritt, Diophant kennt keinen andern Beweis als die Probe, das heißt, er beweist nicht die Zutafsigkeit der Methode, sondern er schließt auf deren Richtigkeit aus der Richtigkeit des speciellen Resultates, welches sie geliefert hat. Wir kommen endlich auf die Form der Wurzeln i» den Dio- phantischen Gleichungen. Wenn wir von den Auflösungen der unbestimmten quadratischen Gleichungen sprechen, so verstehen wir darunter nie die allgemeine Auflösung, dcrzufolgc eine der beiden Unbe- kanntcn durch die andere und durch die gegebenen Zahlen ausgedrĂŒckt wird; in diesem Sinne wurde die Behandlung der unbestimmten Gleichungen sich von der der bestimmten Gleichungen in gar nichts unterscheiden; nichts ist leichter als, wenn die Gleichung + 2y — 2 xy = b - j~ ux — 2 gegeben wĂ€re, zu sogen also ist y — x — a + - b — ux — λ — \ x*. Sondern die Sache ist hier immer die, fĂŒr eine der beiden Unbekannten einen solchen Werth oder solche Werthe in rationalen Zahle» zu finden, daß auch der Werth der zweiten Unbekannten rational werde; in dem angefĂŒhrten Beispiele wĂŒrde es also darauf ankommen, fĂŒr x solche Werthe zu bestimmen, daß die GrĂ¶ĂŸe hinter dem Wurzelzeichen ein wirkliches Quadrat wĂŒrde, damit wir den Ausdruck fĂŒr y in rationaler Form erhielten. Diese Bedingung drĂŒckt der Grieche einfach aus durch sein ρφ/Îč; die irrationale GrĂ¶ĂŸe ist ihm keine Zahl; daher sagt schon Ettklides 2 ' α Ï…ÎœÎŒÎŒÎ”ÎżÎ± ÎŒÎ”ÎłÎ”ÎĄÎ· Ï€ÏÎż αλληλα Î»ÎłÎżÎœ Δ%ΔÎč, ÎżÏ… Î±ÏˆÎĄÎŒÎż Ï€ÎżÎż ÎŹÏ†ÎŒÎœ, „symmetrische d. h. Nach unsrer Redeweise, wie wir oben gesehen haben, rationale GrĂ¶ĂŸen verhalten sich zu einander wie Zahlen." Wenn also Diophant in seinen Aufgaben sagt Î”ÏÎżÎ”ÎÎœ ÎŹÎż>ρΌΜ oder aotp -ÎŒÎżÎœ, so versteht sich seiner Mcimnig nach von selbst, ohne daß er nöthig hĂ€tte einen weiter» Zusatz zu machen, daß er rationale Zahlen meine. Und dieses gilt nicht nur von seinen unbestimmten, sondern auch von seinen bestimmten Aufgaben, So stellt er z. B. I, 30. die Forderung, man soll zlvci Zahlen sindcn, deren Summe und deren Pro- duct gegebenen Zahlen gleich sind. Nennt man hier die Summe der Zahlen *, ihr Produkt p, so werden bekanntlich die beiden Zah- 311 len im Allgemeinen is - s- Vt*' 2 — P "> id — V4 2 — Pi AusdrĂŒckt, welche fĂŒr die gesuchten Zahlen irrationale Werthe gebe», wenn nicht f 2 — p eine Quadratzahl ist. Darum fĂŒgt Dio- -phant hier, und ebenso in allen Ă€hnlichen FĂ€llen, als nothwendige Bedingung der Auflösung hinzu Ύέΐ örj Μ Î”ÎŻÏˆÏ‡ÎżÎŒÎ­ÎœÎœ ÎżÎœ Î°Ï€Îż ÎżÎœ ÏÎŒÎÎżÎż ÎżÏ‹_ ÏŠÎœÎœÎ±ÎŒÏ†ÎżÎ”'^ÎżÎœ Î”ÎżÎŹÎłÎœÎżÎœ ÎżÏ… Μπ αύΜ ÎœÏ€Î”ÎżÎ”Ï‡Î”ÎčΜ Δ^Î±ÎłÎœ, „Es muß das Quadrat der halben Summe der Zahlen deren Product um ein Quadrat ĂŒbertreffen" das heißt eben, 4-* a — p muß ein Quadrat fein. Dadurch erklĂ€rt Diophant auch in bestimmten Aufgaben jede irrationale Auflösung fĂŒr nnzu- lĂ€ssig. Tulandcr hatte sich nicht wenig auf seine Gewandtheit in der Behandlung der von EuklidcS gelehrten JrrationalgrĂ¶ĂŸcn eingebildet und hielt gerade das fĂŒr eine Berechtigung sich an die Bearbeitung des großen Arithmctikcrs Diophant zu wagen; er sah sich daher sehr ĂŒberrascht, als er fand, daß dieser Auctor jene GrĂ¶ĂŸen gerade geflissentlich vermeiden lehrte. Ferner betrachtet Diopdautus die negative Form der Wurzel als unstatthaft, wie die meisten Determinationen des ersten Buchs beweisen. Diese VernachlĂ€ssigung negativer Wurzeln darf uns bei Diophant um so weniger wundern, da ĂŒberhaupt aufgeklĂ€rte Ansichten ĂŒber die Bedeutung derselben sich erst im siebzehnten Jahrhundert entwickelten. Nur die Bemerkung will ich hier noch machen, daß die Begriffe von negativen, irrationalen und imaginĂ€ren Zahlen bei Diophant ganz gleichbedeutend sind, das heißt, in negativer oder irrationaler Gestalt diesem Mathematiker fĂŒr eine Wurzel in unmöglicher Gestalt gilt; er erklĂ€rt die Auflösung von Gleichungen, die aus eine negative oder irrationale Wurzel fĂŒhren, fĂŒr Î±ÎŽÏÎœÎ±Îż. Darum erklĂ€rt er IV, 28. die Asflndung von x so daß die Formel a — x" 1 - j- — 1 ein Kubus werde, fĂŒr Î±ÎŽÏÎœÎ±ÎżÎœ., weil die nach seinen Mitteln einzig mögliche Art, diese Formel zu bchaudeln, indem man nĂ€mlich, tun 3 und — 1 verschwinden zu lassen, die Wurzel des Kubus gleich — 1 setzt, ein negatives Resultat giebt, nĂ€mlich x — _ T 2 T . Ähnlich nennt er V, 2. die Gleichung 4 — 4 x - J- 20 αο-Ï‡Îż, weil sie das Rc- sutat x — — 4 geben wĂŒrde. In den meisten FĂ€llen, wenn eine Aufgabe auf eine dieser drei Unstatthaftigkciten fĂŒhren könnte, filgt Diophant derselben eine Determination, Ï€ÏÎżÎŽÎčÎżÏÎčÎŒ, hinzu. Diese Determinationen, auf welche als die hauptsĂ€chlichsten Fundgruben seiner Kenntniß der Zahlcnthcorie wir noch einmal zurĂŒckkomme» werden, haben demnach bei Diophant einen dreifachen Zweck 1. VerhĂŒtung eines negativen Resultats; in diese Rubrik gehöre» die Determinationen zu den Aufgaben I, 5. 6. 8. 9. 14. 16. 17. 20. 23. 24. II, 6. 2. VerhĂŒtung eines irrationalen Resultats; hichcr gehören I, 30. 31. 33. IV, 38. 40. von denen aber die beiden letzte» zu enge sind- 3. VerhĂŒtung der Unmöglichkeit der AusfĂŒhrung; es ist hier nicht von imaginĂ€ren Formen im modernen Sinne des Worts, das heißt, nicht von Quadratwurzeln aus negativen GrĂ¶ĂŸen die Rede, welche schon durch die zweite Klasse von Determinationen zugleich mit verhĂŒtet werden, sondern die beiden hichcr gehörigen Determinationen zu V, 12. und 14. beziehen sich auf die Zcrlcgbarkcit einer Zahl in zwei oder drei Quadratzahlcn, gehören aber insofern nicht unter die zweite Rubrik, weil man das Quadrat einer Irrationalzahl, \n, nicht fĂŒglich eine Quadratzahl nennen kaun; die Unmöglichkeit steckt also nicht in der Form der Wurzel, sondern in dem Sinne, den die Worte der Aufgabe in sich schließen. Ähnliche Determinationen zu den SĂ€tzen V, 13. 15. 16. hat Diophant vernachlĂ€ssigt, obgleich sie eben so nöthig gewesen wĂ€ren. Schließlich bemerke ich noch, daß Diophant BrĂŒche von sciiieu Auflösungen nicht ausschließt, wie man aus Boffut's Worten zu folgern geneigt sein könnte 22 . Die BeschrĂ€nkung der Auflösung der unbestimmten quadratischen Gleichungen auf ganze Zahlen ist ein Verdienst Fcrmat's und einiger seiner Zeitgenossen; von den dazll nöthigen HĂŒlfsmitteln und Methoden scheint Diophant keine Ahnung gehabt zu haben; ja er macht diese BeschrĂ€nkung nicht einmal bei 22 H>8t. T. I. p. 8. 9. Qu’on propose, par excniplc, Ics qucslions suivantes Partuger vn nnmhre curri en deux aulres nomhres Carres etc. etc.; ricn n’est plus facilc a risoudie que ccs qtiestions, si I’on permct d’employcr des nombrcs quelconques; mais si Tim impose la condition que les nombrcs chcrcliis scront rutionels; si, Von veutaussi exclure les nomhres fractionnaires alors la solution dcinandc g^ au xQ O 0 pe~vai Ta Xtlxovtci tlĂ€ij iv cuupo. ityots Xo*? U-tyeo-tv, tut av rĂŒv fuquv ia. eiöij ivvxdi>%ovta. 316 ncn, ist jede ungemischte Gleichung auf die Form m — 6 redn- civt und als aufgelöst zu betrachten. Diesen Gleichungen nun, oder vielmehr dcil Aufgaben, welche auf Gleichungen dieser Art fĂŒhren, scheint nach Diophant's eigener Andeutung am Ende der Einleitung das erste Buch ursprĂŒnglich gewidmet gewesen zu sein. Auch noch in der jetzigen Gestalt des Werks fĂŒhren die meisten Aufgaben dieses Buchs auf bestimmte Gleichungen des ersten Grades, einige 29. 34—41. in der Form x 2 — ax, drei 30. 31. 33. auf die reine quadratische Gleichung, was Alles ganz in der Ordnung ist. Vielleicht nur scheinbar ist die Abweichung von dieser vorgesetzten Ordnung, daß die Aufgaben 24 — 28 unbestimmt sind; denn sie werden dadurch, daß eine der gesuchten Zahlen gleich von vorne herein willkĂŒhrlich angenommen wird, sogleich auf bestimmte Gleichungen reducirt. Dagegen haben sich Aufgaben, welche auf bestimmte reine Gleichungen fĂŒhren und die also in das erste Buch gcbörten, in die folgenden BĂŒcher verirrt, z. D- die Aufgabe II, 18. 19., welche ihrem Inhalte nach unmittelbar hinter I, 25. stehen sollte; ferner die Aufgaben IV, 1. 2. 16. 38. 40., welche auf die Gleichung Ax l — B fĂŒhren; und IV, 42., welche, obgleich mit Hilfe zusammengesetzter quadratischer AusdrĂŒcke, doch auf die Endgleichung — Jix zurĂŒckgefĂŒhrt wird. Endlich gehören in ihrer jetzigen, aber ganz gewiß verstĂŒmmelten Gestalt hichcr die Aufgaben II, 1 — 5. Die große Mehrzahl der Aufgaben des ersten Buchs ist aber der Art, daß darin mehr als eine Unbekannte gesucht wird, und es sind davon nur sieben Aufgaben 7—11. 29. 43. ausgenommen. Es hat nun, wenn nur zwei Zahlen aus zwei Datis gesucht werden, in der Regel keine Schwierigkeit, mit Hilfe einer der gcgcbcncil Bedingungen beide Unbekannte durch dasselbe Symbol auszudrĂŒcken. Werden aber mehr als zwei Unbekannte gesucht, so legt Diophant einen ganz eigenthĂŒmlichen Scharfsinn an den Tag durch die Gewandtheit, mit welcher er sĂ€mmtliche Unbekannte auf die einfachste afi-i"'.?tx?tpt,/.of?X'i ; rt'~o du loulo fv fit?; ’oafo- cfj'aa'etfi rcov Xqoiucrtcov, sav trStJCi/rut, av t,v eiöo q gvt t’idti icfov otaia'M.0?$. Die Tautologie, welche der letzte Satz enthĂ€lt, beruht vielleicht auf einer fehlerhafte» Lcscart, u»d auf einem Ihcilwciscn Zusatnmcnschmclzcn desselben mit dem vorletzten. 317 Weise als Functionon des einzigen ibm 51 t Gebote siebende» Symbols darstellt. Indes; gehört die ErlĂ€uterung dieser seiner Methode», so wie der Art, wie er gemischte quadratische Gleichungen durch eine geschickte Annahme zu vermeide» weiß, i» das folgende Kapitel. In Betreff des letzter-, Punctes fĂŒge ich nur hinzu, das; es begreiflicher Weise nicht immer möglich ist, das Rcsnltircn einer gemischte» quadratischen Gleichung zu vermeide», und das; es grundfalsch ist, wenn von einigen fluchtigen Leser» oder Nachbetern bchanptct wird, Diophant löse keine andern als reine quadratische Gleichungen 2 . Das; er die Anflösung der gemischte» quadratische» Gleichungen gekannt habe, davon wollen wir uns sogleich vollkommen ĂŒberzeugen. 2. Gemischte quadratische Gleichungen. Da einerseits, wie ich schon oben erwĂ€hnt habe, Diophant nirgend die in der elften Dcsinition versprochene Auflösung der gemischten quadratischen Gleichungen lehrt, andrerseits er aber in seinem Vortrage durchweg die EigenthĂŒmlichkeit befolgt, zu der Gleichung, auf welche ihn die Annahme gefĂŒhrt hat, allemal sogleich und ohne weitere Dcduction die Wurzel anzugeben, so wĂŒrden wir nicht im Stande sein zu beurtheilen, ob er die geregelte Formel fĂŒr die Wurzeln dieser Gleichungen gekannt habe, oder ob seine Auflösung bloß auf Versuchen beruhe, wenn nicht ein anderer Umstand, den wir 2 So schreibt Reimer Boffttt's Gcfth. d. Mathen,. I. S. „Aber Diophant vermeidet tiefe dir gemischten quadrat. Gleich. mit absichtlicher Kunst und weiß hier immer reine quadratische Gleichungen zu erhalten. Was ihm also von der Auslösung zusammengesetzterer Gleichungen bekannt gewesen ist, lĂ€ĂŸt sich nicht angeben; zumal da die letzten sieben BĂŒcher seines Werks, die wahrscheinlich die vcrwickcUsten Aufgaben rnlhiellen, perlohren gegangen sind." — Ähnlich Klngel Mathe,,,. Worte-bl-ch Hh. I. 31 „Da er aber die unbekanntcn GrĂ¶ĂŸen so wĂ€hlt, und die Auslösung so einrichtet, daß er alle Bedingungen in Gleichungen von, ersten Grade oder höchstens einfache quadratische Gleichungen bringt, so kann man nicht wahrnehmen, was ihm von der Auslösung zusammengesetzter Gleichungen, der cigeullichen Algebra, bekannt gewesen sei." Indeß widerspricht KlĂŒgcl sich selbst, indem er cbcnd. S. 177. 1^. lagt „Sein großes Werk, wovon nur die erste HĂ€lfte vorhanden ist, enlhĂ€lt die Lehre von den Gleichungen de ersten und zweiten Grades." Ein Ausspruch ist so unwahr, wie der andere. Diophant'» Werk trĂ€gt nicht die Lehre von den Gleichungen vor. 318 sogleich erwĂ€hne» wollen, uns hier zu Hilfe kĂ€me. Zuvor aber einige Beispiele der ersten Art. In der Aufgabe IV, 23. lesen wir als Resultat einer Operation ΎΜΜαΌÎč g α Ιη Îż~ α λΔ/ÏˆÎ”ÎŻ ÎŒ\° ö, ÎșαÎč ÎłÎŻÎœÎ”Î±Îč b ° ß; das heißt, in unsere Sprache ĂŒbersetzt „cS ist also .- v 2 — 4x — 4 und x wird — 2." Ähnlich schreibt er VI, 6. ÎșαÎč ÎłÎŻÎœÎ”Î±Îč ... ÎŽ Ă€ π0 Îż\ Ο. αΜα ία ÎŒ Îż Ο } ÎżÎĄÎ”Îœ b uQipubt; Î”Ï…ÎżÎŻÎșΔαÎč α Îż ’Δ ÎŽ Îż α. /η Î”ÎżÎłÎŻÎœ Îč^ η ÎșαÎč ÎŹ^ÎčÎĄÎŒÏˆ ÎčΜ'Îč Î”Î»ÎŹÎżÎœÎč Ό° 4> ρΔΜ ΎΔÎč ÎżÎœ " Δΰοί 'ÎșΔΥαÎč Όη ÎŒÎ”ÎŻÎŸÎżÎœÎ± ÎŒ Îż t[i. Das heißt kurz Da X 2 — 60 > oder x 2 > 5 -s- 60, so ist x nicht kleiner 11. Da ferner 3 Ich werbe hier »nd im Folgende», sobald es sich nicht „m die DIophant eigenchiimiiche Darstellungswcisc, sondern nur um die Sache handelt, der bessern Anschaulichkeit wegen die Gleichungen und Formeln Immer in der uns gelĂ€ufige» Welse bezeichnen, und mich der Diophantischen Zeiche» nur bediene», wenn es darauf ankommt, seine eigenthĂŒmliche Denk- und Borstellungsweise wiederzugeben. x z — 60 - - - ober x > 10,6304, atls der zweiten x ''76 ober x > q , f D ist x = \p — \* /> 2 — q oder auch x — ip — Vi/' 2 — q. Et sic si non solvetur quaestio eum diminitioue, solvetur cum additione, alle ©lieber positiv darstellt. So haben wir oben in dem Beispiel V, 33. gesehen, daß er die Gleichungen oder vielmehr die Ungleichheiten x 2 — 60 > 5λ und x 2 — 60 s,.r -f- 60, . 4-2 8 . 4 - -j- 60 reducirt. Daß diese Form der Gleichung diejenige gewesen, fĂŒr welche er die Regel der Auflösung in einem der verlorenen BĂŒcher gegeben hat, dafĂŒr sprechen nicht bloß die schon erwĂ€hnten lind noch anzufĂŒhrenden Beispiele, sondern auch der Ausdruck in der elften Definition, wo von den quadratischen Gleichungen die Rede ist. Nachdem er gesagt hat, man solle die negativen Glieder auf beiden Seiten addiren und Gleiches von Gleichem sub- trahiren bis man dahin gekommen ist, daß ein Glied einem Gliede gleich wird, fĂ€hrt er so fort ΜÎč/Î”ÎżÎœ ΎΔ αοÎč ÎŽÎ”ÎŻÎ¶ÎżÎŒÎ”Îœ xai Λ ÎŽÏ…Îż Δ'ÎčÎŽÎŻÎżÎœ ÎŻÎœ ÎŻÎœÎč χααλΔÎčÏ†ÎĄÎ”ÎœÎčÎżÎœ Îż ÎżÎčÎżÎ°ÎżÎœ λύΔαÎč, „spĂ€terhin werde ich dir zeigen, wie der Fall aufzulösen ist, wenn zwei Species gleich einer Species ĂŒbrig bleiben." Offenbar setzt der Ausdruck χααλΔÎčφρΔΜΜ , der auch in der vorhergehenden Regel gebraucht war, voraus, daß von einer Gleichung die Rede ist, aus welcher auf dem eben gelehrten Wege die negativen Glieder entfernt sind. Demnach ergiebt sich, daß wir auch bei Diophant, da er ebenfalls den Fall x 2 - j- px - j- y = o vernachlĂ€ssigt, drei Normalformen der quadratischen Gleichung zu unterscheiden haben; und wirklich finden sich die Auflösungen jedes dieser FĂ€lle, jedoch fĂŒr den ersten nicht ganz vollstĂ€ndig, in seinem Werke gelegentlich zerstreut angegeben. Wir wollen sie nach der Reihe durchnehmen. Erster Fall. mx 2 - j- px = x = iP + + . m Seifpici II, 6 . Es wird in der Aufgabe gefordert, ein rechtwinkliges Dreieck zu suchen, so daß die Summe des Inhalts und emer Kachete Alles natĂŒrlich bloß als Zahl gedacht einer gegebenen ^ahl gleich sei. Diophant nimmt an, die gegebene Zahl sei 7, und das Dreieck sei der Form nach gegeben, und habe die Seiten 3x, i° 'st stin Inhalt 6x 2 , also fĂŒhrt die Aufgabe auf die Gleichung 6x 2 - j- 3 . r — 7 , Wollte Diophant nun diese Glei- chung auflösen, so wĂŒrde er fĂŒr x einen irrationalen, also dem Sinne » Aufgabe nach unstatthafte» Werth erhalten, darum untersucht er, wie er statt der Coefficienten 3 , 4, 5, welche die Form des * 01 322 Dreiecks von vorne herein als gegeben darstellen, andere hĂ€tten an- nchnicn mĂŒssen, damit diese Gleichung eine rationale Wurzel gĂ€be. Er fĂ€hrt darum so fort Wenn man nun den halben Coefsicicntcn von x ins Quadrat erhebt p — 3, \p 2 = lind dazu das Produkt der Zahl 7 und dcS Cocfficicntcn von x 2 addirt [tn// — 42, so mĂŒĂŸte die Summe ein Quadrat werden. Das trifft aber nicht zu. fx! ΎΔÎč Μ ÎŹ^φΌΜ Î·ÎŒÎŻÎ”Îč Δψ ÎŻÎčÏ‡ÎœÎż itQoopsivai ÎŹ ÎŽÏ…ÎœÎŹÎŒÎ”Îč ΔΛΏÎș/ ÎłÎ”ÎœÎżÎŒÎ­ÎœÎ±" ttul λο ÎčΔΐυ Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ' ÎżÏ ΊίοÎč'ΏαÎč ΎΔ]. In diesen Worten nun ist UNS die Gestalt des Theils der Wrirzel, der sich hinter dem Wurzelzeichen befindet, vollkommen gegeben. Zweiter Fall. mx 2 = px - j- x = Beispiel IY, 45. giebt uns zunĂ€chst eine Ungleichheit, die auf diesen Fall fĂŒhrt. Es soll nĂ€mlich 2 > s>.r 18 sein. Dio- phant dividirt diese Gleichung nicht durch 2, weil dann der Cocfsi- cimt von x, dessen HĂ€lfte er braucht, ungerade werden wĂŒrde. Er sagt „Um nun hier eine Vcrglcichung anzustellen, so erheben wir den halben Cocfficicnten von x ins Quadrat, und wir erhalten 9; nun Mttltiplicirttt wir den Corfficicntcn von x 2 mit der bestimmten Zahl 18, das giebt 36; dazu addircn wir 9, giebt 45, und davon ist die Wurzel nicht kleiner als 7 das heißt, wie ich oben erwĂ€hnt habe, 6 ist zu klein. Dazu addircn wir den halben Cocfsi- cicnten von x giebt 10, und dividiren durch den Coeffi- cicntcn von x 2 , so finden wir, daß x nicht kleiner als 5 sein dĂŒrfe." Hier ist uns also die vollstĂ€ndige Form der Wurzel gegeben, aus welcher Diophant'S Verfahren unzweifelhaft einleuchtet. Wir können aber auch fĂŒr diesen Fall eine wirkliche Gleichung beibringen. In der Aufgabe IY, 33. sagt Diophant ĂŒber die Gleichung -f- 18 — 5x 2 „und es findet keine Auflösung in rationalen Zahlen statt; aber 5 ist eine mit t vermehrte Quadratzahl; diese muß, mit 18 multiplicirt und um daS Quadrat des halben Cocfficientcn von x, oder um 2 vergrĂ¶ĂŸert, ein Quadrat geben." Dieses Naisonliciucnt giebt uns wieder nur Licht ĂŒber die GrĂ¶ĂŸe unter dem Wurzelzeichen. Dritter Fall. mx 2 - f- y = px\ x — - ÎŒ/ 323 Beispiel VI, 24. ± - f 196a 2 — 336 A — ^ -s- 172 s= 196 a 2 -s- „Man addirc an beiden Seiten die fehlenden GrĂ¶ĂŸen, ziehe Gleiches von Gleichem ab, und multiplicirc Alles mit x, so erhĂ€lt man 336a* - f- 24 — 172 a. Diese Gleichung aber lĂ€ĂŸt sich nicht auflöse», wenn nicht das Quadrat des halben Cocfsi- eicntc» von a dp* — 7396, nachdem man das Produkt der 24 Einheiten und des Cocfficicntcn von a 2 24-336 =8064 davon abgezogen hat, ein Quadrat wird." Diophant nimmt hier keine RĂŒcksicht darauf, daß die Wurzel nicht nur nicht rational, sondern sogar imaginĂ€r wird; genug daß sie nicht rational ausfĂ€llt, um die Gleichung als unstatthaft zu verwerfen. Auch fĂŒr diesen Fall sind wir im Stande, ein an einer Ungleichheit vollstĂ€ndig durchgefĂŒhrtes Beispiel beizubringen. V, 13. handelt es sich darum, x so anzunehmen, daß grĂ¶ĂŸer als also 17a 2 17 kleiner als 72a wird. „Man erhebe den halben Coefsicicntcn von a ins Quadrat, dieses giebt 1296, davon ziehe man das Prodnct der bestimmten Zahl 17 und des Cocfficicn- ten von a 2 ab, also 289, so bleibt 1007. Davon ist die Quadratwurzel nicht grĂ¶ĂŸer als 31 das heißt, wie oben, die nĂ€chste ganze Zahl, 32 wĂ€re zu groß; dazu addirc man den halben Cocfficicntcn von x, so erhĂ€lt man die gesuchte Zahl nicht grĂ¶ĂŸer als 67; endlich dividirc man mit dcn> Cocfficientcn von a 2 , so wird x nicht grĂ¶ĂŸer als Auch dieses Beispiel giebt eine unzweifelhafte GewĂ€hr fĂŒr die oben aufgestellte Form der Wurzel. In formeller Dezichnng bemerke ich nur noch, daß Diophant den Begriff, den wir durch das Wort Coefficicut bezeichnen, entweder durch ηλ'ÎÏÎż, Anzahl, oder gar nicht ausdrĂŒckt; so sagt er IV, 45. Ï€ÎżÎčÎżÎœÎŒÎčΜ Μ Îż Όυ Δφ Δαυ, das heißt „ wir erheben den halben Coefficienteu von x wörtlich die HĂ€lfte der Wahlen auf das Quadrat;" χαϊ ÎŹ ö"^ Î”Ï€ÎŻ ÎŹ Ό° "i, und wultiplicircu den Cocfficicntcn von a 2 , 2, in die 18 Einheiten," wörtlich und multiplicirc» die 2 Quadrate in die 18 Einheiten. Dagegen heißt es III, 18. s-o Ï€Î»ÎŻÎžÎż Μ Ο 7 ^> v ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎœ. Die angefĂŒhrten Beispiele stellen also die Thatsache fest, daß Diophant die allgemeine Atiflösung der quadratischen Eleichtingen 21 » gekannt habe. Es ist nun mehrfach bic Frage aufgeworfen worden, wie Man zu dieser Auflösung gelangt sei. Montucla und Cos- sali leiten die Erfindung aus Betrachtung geometrischer Construc- tioncn her. Allerdings lĂ€ĂŸt sich nicht leugnen, daß die Alten feit EuklidcS und vielleicht frĂŒher schon die Formeln .v 1 + px — q, — x 2 — q, geometrisch betrachtet, auflösen konnten. Der erste Fall, x* —— px — q, so dargestellt x .* - j- p = q wĂŒrde geometrisch heißen eine gegebene gerade Linie p um ein StĂŒck x zu verlĂ€ngern, so daß das Rechteck aus der ganzen vcrlĂ€ngertcir Linie p-j-x und dem angesetzten StĂŒcke x einem gegebenen Raume q gleich werde. Der zweite Fall xx — p unterscheidet sich von dem ersten blos darin, daß hier nicht die VerlĂ€ngerung, sondern die zusammengesetzte Linie gleich x gesetzt ist. Der dritte Fall dagegen px — x* oder xp — x = q befiehlt eine gegebene gerade Linie p in zwei Abschnitte x, p — x zu theilen, so daß das Rechteck derselben einem gegebenen Raume q gleich sei. Alle diese Aufgaben waren den alten Gcomctern bekannt und werden mehrfach von ihnen angewendet. Ganz direct schon findet sich die geometrische Auflösung derselben in der noch allgemeineren Gestalt mx 2 + px — q, px — mx 2 = q in Euklid'S Elementen VI, 28. 29., wo diese Aufgaben, geometrisch ausgedrĂŒckt, so lauten „An einer gegebenen geraden Linie, p, ein einer gegebenen geradlinigen Figur, q, gleiches Parallelogramm zu entwerfen, dessen Überschuß in dem ersten oder ErgĂ€nzung in dem zweiten Falle einem gegebenen Parallelogramm Ă€hnlich ist." Dieses letzterwĂ€hnte Parallelogramm wird ein Quadrat, wenn der Cocfficicnt m in obiger Formel 1 ist. Der geometrische Sinn der Aufgabe ist folgender a _ c n c' ii 1 T . "k An der gegebenen Linie AB = p soll man ein Rechteck AE, AE' so anlegen, daß AE = BE c/o mx 2 , oder CB = m 1 werde. Nennt man also AI x, so ist BC = n>x, AC = p — mx, ACf = p-\-mx, demnach das Rechteck = xp — mx, AE' — x{j» -j- mx\ und es ist klar, daß aus diesen beiden Euklidischen Aufgaben sich unmittelbar die geometrische Auslosung der quadratischen Gleichungen ergiebt. Auf diese Aufgaben nun will Montucla die algebraische Auflösung dieser Gleichungen zurĂŒckgefĂŒhrt wissen. Dieselbe geometrische Wahrheit nur etwas anders dargestellt, finden wir noch an einer andern Stelle der Euklidischen Werke wieder, nĂ€mlich Data 58. 50., welche den Lehrsatz aussprechen „Wenn ein gegebener Raum AE an eine gegebene Linie AB angefĂŒgt wird, aber um eine der Gestalt nach gegebene Figur BE hcrĂŒberragt oder zurĂŒckbleibt, so sind die Seiten BC, BE t>c$ Überschusses oder der ErgĂ€nzung gegeben." Das heißt, wenn x p -j_ ,„. r — ,j t so ist x und mx gegeben. Fast noch dircctcr wird uns die Hinweisung auf die quadratischen Gleichungen gegeben in den SĂ€tzen 84. 85. der Data „Wenn zwei gerade Linien einen gegebenen Raum unter einem gegebenen Winkel einschließe», und ihr Unterschied oder ihre Summe gegeben ist, so sind die Linien selbst gegeben." Das heißt, wenn xy — , /, .v + y so sind x und y gegeben. Diese Satze der Data macht Cossali? als Fundament fĂŒr die Erfindung der algebraischen Auflösung der quadratischen Gleichungen geltend. Der zuletzt angefĂŒhrte Satz wĂŒrde sogar beide Wurzeln der 6 Hist. 0. Matii. T. I. p. 413. Lorsquc j’al l sein. Wir finden wenigstens in dem Vorhandenen nirgend eine Spur, daß er sich diese Bcdinglnig gestellt habe. Ich will indeß eins diesen Schluß, der leicht das GeprĂ€ge eines logischen Cirkcls an sich tragen könnte, feinen weiteren Werth legen. Wir betrachten deshalb sogleich 1. die unbestimmten Gleichungen des ersten Grades. Diese Glcichnngen erscheinen bei Diophant immer in der Ge- stalt, daß irgend eine oder zwei, nie mehre Funktionen der Unbe- 330 saunten von der Form Ax 1 - f- Bx C zu einem rationalen Quadrat gemacht werden sollen. Demnach haben wir hier mit der Gleichung Ax 2 Bx -\- C — y*, oder mit zwei Gleichungen derselben Form zu thun. Es unterscheiden sich hier also ganz natĂŒrlich zwei Falle, die einfache nnd die doppelte Gleichung. u> Ei II fache Gleichung, neqnatio Simplex. Je nachdem einer oder mehre der Coesficienten A, B, C entweder verschwinden oder besonderit Bedingungen unterliegen, gewinnt die Gleichung Ax*BxCy" 1 specielle Gestalten, die ich hier, so weit sich bei Diophant Beispiele davon sinden, der Reihe nach durchgehen will. Zuvor bemerke ich nur noch, daß Diophant die rechte Seite der Gleichung, = y 2 , immer in Worten ausdrĂŒckt, itsov ’iu'oi etc. 7ÂŁ7oaytövp. 1. Gleichngen, deren rationale Auflösung immer möglieh ist. Dieser Fall tritt ein, wenn entweder A, oder C, oder beide zugleich o sind; demnach haben wir hier folgende drei Formeln zu betrachten Bx — y 2 . Diophant setzt in dem Beispiel III, 5. y 2 irgend einer Quadratzahl gleich; sein Beispiel ist 2,r- —y 2 ; er fetzt y 2 — 16, so wird x— 8. Man könnte auch y = mx setzen, so wĂŒrde n Bx - f- C — y 2 . FĂŒr y 2 wird irgend eine bestimmte Quadratzahl, »r 2 , substituirt; dann wird . Beispiele III, 7. 8. 10. 11. 19. Die rationale Auflösung dieser Gleichung wird im Allgemeinen immer möglich sei»; daß aber x in vielen FĂ€llen, z. B. -j- 2 — y 2 u. a, keine ganze Zahl sein kann, deutet Diophant nirgend an, weil ganze Zahlen nicht das sind, was er sucht. Seine einzige FĂŒrsorge bei dieser Gleichung ist die, daß x positiv werde, was in jedem bestimmten Zahlenbeispiel und nach den verschiedenen Vorzeichen von B und c sich immer leicht bewerkstelligen lĂ€ĂŸt, Ax 1 + Bx — y 2 > FĂŒr y setzt Diophant x mit irgend einem Zahleneoesfieienten, ~x, so erhĂ€lt er Ax-j-B — ^. r, also x— - Auf dasselbe Resultat fĂŒhrt die Leslie'sche Zerlegungsmethode, nach welcher mau x= ^ y, Ax - j- B = sttzO 331 eine Methode, die in vielen FĂ€llen die Auflösung der unbestimmten quadratischen Gleichungen sehr vereinfacht, von der sich aber bei Dio» phant keine Spuren finden. Beispiele fĂŒr diesen Fall siehe II, 22. 34. IV, 23. 34. 2. Gleichnngen, deren rationale Auflösung nur unter gewissen Bedingungen möglich ist. Es kann hier nicht meine Absicht fein, alle FĂ€lle und Bedingungen zu untersuchen, in und unter welchen die Gleichung Ax* * - - f- C = y 2 möglich oder unmöglich ist. Diese Untersuchungen gehören in eilt Lehrbuch ĂŒber die unbestimmte Algebra, nicht in einen historischen Bericht ĂŒber DiophantuS. Indem ich also den Leser, welcher sich ĂŒber den jetzigen Standpunkt dieser Methoden unterrichten will, an die neueren LehrbĂŒcher und in historischer Beziehung namentlich an die Schriften von Euler, Seilte, Lagrange, Legendre u. A. verweise^, begnĂŒge ich mich hier dasjenige aufzustellen, was bei Diophant sich vorfindet. Wenn wir also die Form Ax 2 = y' 2 , welche nur möglich ist, wenn A Quadratzahl ist, ĂŒbergehen, bleiben uns noch zwei Formen der Gleichung zu betrachten ĂŒbrig. Ax 2 - f- C — y\ Die rationale Auflösung dieser Gleichung ist nach Diophant in folgenden FĂ€llen möglich. I Wenn A positiv und Quadratzahl, also fx 2 C = y 2 ist. Diophant setzt y — + m, woraus sich ergiebt x = + — 2 ~”- Beispiele fĂŒr A= 1 finden sich II, 12. 13. 14. 29. 30. III, 12. 13. FĂŒr andere quadratische Werthe von A II, 29. III, 13. 29. IV, 17. 18. 46. — 2 Wenn , als auf Cm 2 -\-D reduciern. Da cS aber nicht in meinem Plane liegt, diese Theorie weiter zu fĂŒhren als Diophant gethan hat, so sei das Gesagte genug. 335 1» Doppelte Gleichung, acquntio dupUcatn. Unter dem Namen doppelte Gleichung'" versteht Dio- phant die Aufgabe, fĂŒr die Unbekannte x einen solche» Werth zu finden, daß zwei Funktionen derselben zugleich Quadrate werden. Demnach haben wir zwei Gleichlmgen Jx'+Bx+C— y 1 , A^-^-B^x+Cy—y? in rationalen Zahlen zu losen. Dio- phant's Unterricht ĂŒber die Behandlung dieser Gleichtmgen ist nicht vollstĂ€ndig und wir mĂŒssen uns die einzelnen Winke tmd Vorschriften, welche er hie ilud da giebt, aus den einzelnen Orten, an denen sie sich zerstreut befinden, zusammensuchen. Die erste Bedinglmg ist natĂŒrlich die, daß jede der beiden Funktionen an und fĂŒr sich ein Quadrat werden könne. Wir haben gesehen, daß das immer der Fall ist, wenn das erste Glied, welches x 1 enthĂ€lt, in der Funktion fehlt. FĂŒr diesen Fall giebt Diophant eine allgemeine Regel, nebst den nöthigen BeschrĂ€nkungen. Die Regel findet man in der Aufgabe II, 12.; die Bedingungen, von denen die Möglichkeit ihrer Anwendung abhĂ€ngt, in den SĂ€tzen III, 18. IV, 35. 45. zerstreut. Wir wollen das daselbst Vereinzelte hier kurz ztlsammenfaffen. Damit die gleichzeitige rationale Altflösimg der Gleichlmgen Bx-\-C = ByX-\-Cy =y,- möglich sei, ist nothwendig, entweder 1. daß B und B v sich zu einander verhalten, wie zwei Quadrat- zahlen, oder mit einem aildern Ausdrucke, daß B und Ă€hnliche FlĂ€chenzahlen seien. III, 18. IV, 35. Ein specieller Fall ist, wenn B=B t , z. B. II, 12. 14. III, 14. 18. IV, 35. Oder 2. daß C sowohl als C t jedes fĂŒr sich schon Qlladratzahl sei. IV, 45. Der Zweck der einen wie der andern Bedingung ist der, daß man durch Multiplication mit einem quadratischen Faetor entweder die Coefficienten von x, oder die absoluten Glieder in beiden Fmietionen einander gleich machen könne, damit sie bei der Eub- traetion sich gegenseitig wegheben. Trifft nun eine dieser beiden Bedingungen zu und hat man durch Multiplication mit quadratischen 1° Es finde» sich im Griechische» Texte dafĂŒr drei AusdrĂŒcke iai,,; II, 12. in, 14. 18. 20. IV, 24. 35. 45., und ölx^ U> III, 15. 17. 336 Factorcn entweder die Cocfsicicntcn von x oder die absoluten Glieder einander gleich gemacht, so ist Diophant's Regel II, 12. folgende Nimm die Differenz beider AusdrĂŒcke und suche zwei Zahlen, deren Produkt dieser Differenz gleich ist, so ist das Quadrat der halben Summe derselben gleich dem grĂ¶ĂŸer Ausdrucke, das Quadrat der halben Differenz gleich dem kleineren. Wir ivollen diese Regel an den einzelnen Fallen erlĂ€utern, mit besonderer BerĂŒcksichtigung die von Diophant gegebenen Beispiele. Erster Fall. Wenn ß und ß v sich wie zwei Quadratzah- lcn zu einander verhalten. Sie also ß- hm' 1 , ß L — bmY, so haben wir die beiden Gleichungen - j- C—y' 1 , - J- C\ = yf. Multiplicircn wir die erste Gleichung mit die zweite mit »**, so erhalten wir -s- CmY zn^-y' 1 , und lmYmYx-\- Cjzi 1 = zrYyY Die Differenz ist Cmf — C^zY = zziYy 1 — rtryY = m i y-\-zzty l zn l y — zziy t . Zerlegt man also den Ausdruck Crn , 2 — Cj/i 1 in zwei Faktoren, P, Q, und setzt m,y-\-my l — P, m l y — my l = Q, so wird m i y-^\P-\-l l my i = z^{P—Q. Substituiren wir nun einen dieser Werthe fĂŒr my oder fĂŒr w?y, in die betreffenden Gleichungen, so erhalten wir die Werthe fĂŒr x. Es wird also sein bzzYmYx-\-C>ziY — \{P-\-QY — iP*-\-?PQ. Aber PQ^Cm*—C\ziY f folglich x — ^ P ~^ ~ » 1 ^ * > und dasselbe Resultat hĂ€tten wir erhalten, wenn wir in die Gleichung hrfmfx-^Cjri 1 ~zzYyY fĂŒr die letzte GrĂŒĂŸe ihren Werth \{P — QY substituirt hĂ€tten. Da Diophant BrĂŒche nicht ausschließt, so lĂ€ĂŸt sich die GrĂŒĂŸe Vm* — jjrY allemal auf unzĂ€hlige Weise in zwei Faktoren zerlegen, und er hat nur darauf zu achten, daß nicht */*'-}- QY kleiner als CmY oder \P—Qf kleiner als C,ttY werde, um negative Werthe von x zu vermeiden. Sind die Cocfsicientcn ß und /?, beide negativ, so macht das in der Behandlung keinen Unterschied; ist aber einer von ihnen positiv und der andere negativ, so können sie sich natĂŒrlich nie wie Quadratzahlcn verhalten, und die Auflösung ist dann wenigstens auf diesem Wege nicht möglich. Sind ß und ß t nicht bloß Ă€hnliche Zahlen, sondern schon beide selbst 337 selbst Qnadratzahlcn, so macht das weiter keinen Unterschied, als daß man in der Formel b — 1 zn setzen hat. Ist dagegen schon von Hause aus B~B lt so ist weiter keine VerĂ€nderung mit den gegebenen Gleichungen nöthig. Die Snbtraction ergiebt dann geradezu — Ist hier wieder C— C = PQ, so wird y , = HP — {// also Ä*-+tf= */>-{- 2 , x = „ p °+^-i y t —Zx —dann wird x=-rA- Dem ganz Ă€hnlich ist das Beispiel III, 21-, wo 4x*-\-3x— i 1- E. Euter unbejl. Sinai. AVop. 5., >rv bewiesen wird, daß diese Bcdin- die cigcnNich nur Sinn hat, wenn P eine ganze Zahl ist, auch fĂŒr BrĂŒche gin. 342 =y 2 , kx 2 — x — i= y 2 . Die Differenz ist y 2 —y I 2 = und muß IN die Faktoren 4x und 1 zerlegt werden; daraus ergiebt sich T Ax 2 -\-Bx-\-C—y 2 , yl i x 2 -\-C l =y l 2 . Ein Beispiel mit denselben ZufĂ€lligkeiten behaftet, wie die in dem vorigen Falle, ist Alles, was Diophant uns bietet. Wir finden IV, 24. x 2 -\-x —1 =y 2 , x 2 —1 — y*> also y 2 — y*—x die Zerlegung muß so ge» schehcn, daß y und y, das Glied x enthalten; demnach ist y-f-y, — y — y L = i, y = x-\-\, und ^ — V- Ax 2 -\-C= y 2 ; ByX-^C^y 2 . In alle» drei Beispielen dieser Form ist A=i und C=C\, so daß die Differenz immer ohne weitere ZurĂŒstung die Form x 2 +ByX erhĂ€lt. V, 1. x 2 — 12 = y 2 , V 3 *— 12=y, 2 , y 2 — y 2 = x 2 — '^x~x{x— K?x. Diophant setzt y-s-y, — y—y.— χ— V/ also y=.r— Λ 3 , y. — V/ also X — j. Ähnlich V, 2., wo /r- 2 -j-20—y 2 , \ 9 x +2 0-yr, also y 2 — y? —.»- — V 2 , y+y, = *, y—y t =*—V/ y — '~i / yi = V e , ‱‱=tVV Und ebenso VI, 6. .v 2 -s-l—y 2 , l 2 j y 2 —y l 2 —x{x— 14, y—x — 7, y 1 = 7, χ— 2 Îł. Ax 2 -\-Bx-\-C—y 2 f ByX-\- Cy —y 2 . In dem einzigen Beispiel dieser Form sind Λ, C, Quadratzahlcn; es steht VI, 24., und die mit ziemlich großen Zahlen behafteten Gleichungen sind X 2 — 6144.—f—1048576 =y 2 , .r-f-64— y, 2 . Diophant fĂŒhrt die Auflösung nicht zu Ende, sondern giebt nur den Weg an, den man einzuschlagen hat; es heißt nĂ€mlich am Ende ziemlich lakonisch Îș,αÎč ΔΟÎčρ ÎżÎč 13 aoipiio'i, ÎșαÎč Îź t -Ï€ÎŻÏÎżÏ‡Îź, ÎșαÎč Îź /.ÎÎŻÏÎ·/, ÎșαÎč 7α λοÎčÏ€ÎŹ Ύηλ; d. h. I1UUI Macht die Zahlt» einander gleich, nehme die Differenz, zerlege sie in Factorcn, und das Übrige ist klar. Thut man das, so erhĂ€lt man λ 2 —6144λ- 1048576—y-, -j-104857 6 = 16384 y 2 , y 2 — 16384y t 2 — §- 2 — also y+i2Sy t =x f y — 128y, y — x —11264, 128y t = 11264, y^ — 88, demnach —88 2 — 64 — 7680. 13 Hier ist die Bachcl'sche Lescart wahrscheinlich zu verbissen. In i.....L ci r» ^ ^ > >. .. demnach muß 2/s—also - —und 2/,e-s-,/^— /1^2Ls — 7u' stst 2^st 2/e, also .r ^ / st e// der Gleichung genĂŒgen, sind ^2-^2,s— das heißt, die beiden W> t„st,/-—e// das heißt, die beiden Werthe vonwelche 4 Man setzt /—-st ^-st -h-?, und bestimmt so, daß außer dem ersten und letzten auch das vierte Glied 346 wegfĂ€llt, also k — Wen» man dann den Rest durch ' divi» dirt, so bleibt lix '4- C~ - f~2w/ -t- 2e -f-X a , also x ~b i lne~\-k 3 — /? J + 4e ? +-2e-0 AeeB+aD = D 'ttif^aU C 1 > auch auch * = ; daS heißt, es ist 2 >» — ke'Vae+O AeeB-\-aB Wir haben also durch diese vier Methoden sechs von einander verschiedene Werthe von x erhalte», von denen aber in der AusfĂŒhrung in der Regel mehrere negativ ausfallen. Von diesen vier Methoden nun, die ich der VollstĂ€ndigkeit und Übersicht wegen mitgetheilt habe, und von denen die beiden letzten ausschließlich auf die hier vorausgesetzte Form anwendbar sind, die beiden ersten dagegen allgemeiner auch den FĂ€llen angehören, wenn nur eine der beiden GrĂ¶ĂŸen A oder E Quadratzahl ist, braucht Diophant mu° die beiden letzten. Von seinen beiden hichcr gehörigen Beispielen ist daS erste I V, 20. folgendes 9x* — Ax 3 - j- 6x n ' — l = y s . Ax~ + Bx -\-C—y 3 . Wir haben fĂŒr diesen Fall nur zwei sehr einfache Beispiele. In dem erstem, VI, 1-, ist die Formel Ax 2 -\~Bx-[~ C ein vollstĂ€ndiges Quadrat, und zwar x* — bst setzt Diophant, was am natĂŒrlichste» ist, die Wurzel x —2 gleich einer bestimmten Knbikzahl, z. B. 8, so wird .v—10, y=8 350 Das zweite Beispiel, VI, 19., ist ganz eigenthĂŒmlicher Art, und oben schon erwĂ€hnt worden. ES soll eine Kubikzahl gefunden werden, die um 2 großer als eine Quadratzahl sei. Diophant setzt die Wurzel der Kubikzahl x —1, die Wurzel der Quadratzahl woraus sich die Gcichung crgicbt x 3 — 3x 2 -\-3x —1 = .=—-2^* -j-3, oder x 3 -\~x = 2 -f-4 und x — 4. Wir haben diese Gleichung als bestimmte kubische Gleichung schon besprochen. Hichcr aber gehört die Frage ist es Zufall, daß diese Gleichung so einfach ausfĂ€llt, oder liegt in der Annahme von x — 1 und x — 1 fĂŒr die Wurzeln der gesuchten Zahlen irgend eine die Einfachheit des Resultats herbeifĂŒhrende Kunst? Diophant sagt keine Sylbe ĂŒber daS Motiv, welches ihn bestimmt, die Differenz der Wurzeln als gegeben zu betrachten. Der Umstand aber, daß die Zahlen 27 und 25, welche das Verlangte leisten, so nahe liegen, und die einzigen ganzen Zahlen sind, welche der Gleichung y 3 — z 2 -j-2 genĂŒgen ", lĂ€ĂŸt vermuthen, daß Diophant feine Annahme x — x-j-1, y = x —l aus diesem schon vorher gekannten Falle hergeleitet habe, um dann durch eine scheinbar kunstvolle Rechnung auf denselben zurĂŒckgefĂŒhrt zu werden. Zu dieser Vermuthung sind wir um so mehr berechtigt, als Diophant nicht unterlassen hĂ€tte, uns vorher auf einen falschen Weg zu fĂŒhren, hĂ€tte eS in seinen KrĂ€ften gestanden, uns hinterher den richtigen zu zeigen. Demnach sind beide Beispiele der Gleichung Ax 2 -\-llx-\~C-~y 3 nicht geeignet, bei Diophant in dieser Theorie uns viel voraussetzen zu lassen. Ax 3 -s- lix 2 + Cx-\-JJ = y 3 . Diese Gleichung laßt sich auf directcm Wege nur behandeln, wenn A oder D Kubikzahl ist. Haben wir nĂ€mlich a 3 x 3 -\-Bx 2 -\-Cx-\-JJ — y 3 , so ist y — ax -J- zu setzen, so daß das kubische und das quadratische Glied aus der Gleichung verschwindet; ist dagegen Ax 3 -\-Bx 2 -\~Cx 14 Diese Bemerkung rĂŒhrt von Fcrmat her. S. Obsprv. in Iioph, VI, 19. Vermutn opera math. p. 192. Wnllis opern T. II. Commerc. epist. p. 770. In BrĂŒchen erleidet die Gleichung allerdings unendlich viele Auflösungen; setzt man z. B. in der Gleichung y 5 — 2=* a , y = 3+y, *=5±f' ?/ ', 129 so erhalt man zwei zusammengehörige Werthe fĂŒr y und *, nĂ€mlich y-— , 383 x 1000 * u. s. w. 351 _j -d 3 = y 3 , so setzen wir y — ^ - f- d, so daß die beiden niedrigsten Glieder aus der Endgleichung ausfallen. Beide Methoden lassen sich anwenden, wenn sowohl A als D Kubikzahl ist, wenn also die Gleichung die Form hat a 3 x 3 -\-Iix' l -\-Cx-\-jp — y 3 , auch kann man hier außerdem noch y = ax-\-d setzen, welche Annahme das erste lind letzte Glied ausfallen lĂ€ĂŸt; demnach sind wir in diesem Falle im Stande, auf directem Wege drei Werthe fĂŒr x anzugeben, von denen sich dann im Allgemeinen beliebig viele wieder ableiten lassen. In dieser Gestalt erscheint Diophant's Beispiel IV, 27., und wir können mit Gewißheit behaupten, daß er von den drei Formen, die man dem y geben kann, nĂ€mlich a,v-\-~, 2^-?, und ax —n = 4, also x = ^ r y~\, as = $. Im Allgemeinen hĂ€tte man, wenn die Gleichungen Ax 3 -{-Bx z x 3 , B l x l -s- C\x ~ y 2 gegeben wĂ€ren, erhalten x AC ,' , BC X 5 , CCt demnach r und wenn man diesen Ausdruck auf gleiche Benennung brĂ€chte, bliebe CCjn* — und Ax"* -f- -f- C~ y"* in mancher Beziehung beschrĂ€nkt. 5. FĂŒr die doppelte Gleichung des zweiten Grades hat er nur dann eine bestimmte Regel, wenn in beiden Formeln das quadratische Glied fehlt; doch ist auch da seine Auflösung nicht allgemein. FĂŒr complicirtere Formeln kommen nur Beispiele unter besonders begĂŒnstigenden UmstĂ€nden vor. 6. Die Auflösung der höhen, unbestimmten Gleichungen haftet fast ganz an den EigenthĂŒmlichkeiten einzelner gĂŒnstiger Zahlcnbei- spiele, und seine Methoden sind mangelhaft. Aus diesen SĂ€tzen, deren Wahrheit aus den eben ausgefĂŒhrten Thatsachen sich vollkommen bethĂ€tigt, ersehen wir, daß Diophant'S algebraische Technik nichts weniger als vollendet ist. Aber die Auflösung der Gleichungen ist auch gerade nicht dasjenige, was wir an ihm bewundern und was ihn noch heute so hoch stellt, sondern im Gegentheil die bis zur VirtuositĂ€t ausgebildete Kunst, solche Gleichungen zu vermeiden, die er technisch nicht lösen kann. Mit Erstaunen betrachten wir seine Operationen, wenn er die schwierigsten Aufgaben durch irgend eine ĂŒberraschende Wendung auf eine ganz einfache Gleichung zurĂŒckfĂŒhrt. Wir bewundern in ihm nicht sowohl die gigantische Kraft, die jedes Hinderniß, das sich ihr entgegenstellt, besiegt, als vielmehr die ausgebildete Klugheit, die meistens gerade in dem Augenblicke, wenn man den Beginn des KampfeS erwartet, still, aber sicher dem Hinderniß aus dem Wege geht, und so zwar auf Umwegen, aber doch oft schneller als jene ans Ziel gelangt. Die Äußerungen und Erfolge dieser Klugheit soll u»S das nĂ€chste Kapitel zeigen. Neuntes Kapitel. Diophant'S AuflofungSmethobe». Viophant's Meihodcn in ihrer ganzen Mannigfaltigkeit vollstĂ€ndig darstellen, hieße nichts andres, als sein Buch abschreiben. Die individuelle Beschaffenheit fast jeder Aufgabe giebt ihm Gelegenheit, ihr ein eigenthĂŒmliches Verfahren anzupassen oder auf sie eine Wendung zu begrĂŒnden, die sich auf kein zweites Beispiel anwenden lĂ€ĂŸt. Seine GrĂ¶ĂŸe beruht nicht, um dem Vergleiche am Ende des vorigen Kapitels einen neuen hinzuzufĂŒgen, auf einer im hohen Grade sich angeeigneten Kunstfertigkeit im Gebrauch einer oder einiger Waffen, sondern auf der unnachahmbaren Gewandtheit bei jeder sich darbietenden Gelegenheit vermöge eines augenblicklichen coup d’esprit gerade die Waffe zu ergreifen, mit welcher die momentane feindliche BlĂ¶ĂŸe am leichtesten verwundbar ist. Ist cö indeß auch nicht möglich, in einiger KĂŒrze alle feine Methoden darzustellen, so will ich doch versuchen, einige hĂ€ufiger wiederkehrende oder durch ihre Eleganz sich besonders auszeichnende Operationen hervorzuheben und wo möglich ihr wissenschaftliches Princip durch eine allgemeine Darstellung und durch eine zweckmĂ€ĂŸige Zusammenfassung des Gleichartigen unter gemeinschaftliche Gesichtspuncte zu veranschaulichen. Kann es mir gleich auf diesem Wege nicht gelingen, die Fundgrube dieses ĂŒberreichen Genius zu erschöpfen, so tragt doch vielleicht eine solche Darstellung etwas dazu bei, in Andern den Trieb fernerer Forschungen zu erwecken und die Begierde der eignen Anschauung rege zu machen, auf welche ich nicht angelegentlich genug zurĂŒckweisen kann. Unter allen hier zu erörternden Kunstgriffen steht oben an 356 1. die geschickte Annahme der Unbekannten. Jedem Mathematiker ist bekannt, wie wichtig dieser Theil der AnalysiS ist, der sich einzig und allein anf eine gewandte Benutzung der jedesmaligen besondern UmstĂ€nde grĂŒndet und auf keine allgemeine Regeln zurĂŒckgefĂŒhrt werden kann, und wie sehr die leichte und elegante Expedition einer Aufgabe von der zweckmĂ€ĂŸigen Annahme der Unbekannten abhĂ€ngt. In dieser Kunst nun steht Dio- phant bis auf den heutigen Tag als unerreichtes Muster da. Es ist unmöglich, in einer ĂŒbersichtlichen Darstellung in dieser Hinsicht den ganzen Reichthum dieses großen Geistes zu erschöpfen. Ich bin zufrieden, wenn es mir gelingt, die wesentlichsten Puncte, auf die es hier ankommt, einigermaßen aufzuklĂ€ren. Der erste und einfachste Gebrauch, den Diophant von seinem Talent zu einer geschickten Annahme der Unbekannten macht, besteht in der Vermeidung gemischter quadratischer Glcichltngcn. Hiehcr gehört zunĂ€chst seine Behandlung der Aufgaben 30. 31. 33. des ersten Buchs, die ich oben schon berĂŒhrt habe, und in denen respcctive Summe und Product, Summe und Summe der Quadrate, Differenz und Product zweier Zahlen gegeben sind. Nennen wir die Summe s, die Differenz d, das Product p, die Summe der Quadrate so wĂŒrde» alle drei Aufgaben, wenn man die eine der gesuchten Zahlen x , die andere also s — .% oder d-\-x setzen wollte, anf gemischte quadratische Gleichungen fĂŒhren. Was thut dagegen Diophant? Er setzt in den ersten beiden Aufgaben nicht eine der Zahlen selbst, sondern ihre halbe Differenz, in der dritten Aufgabe dagegen ihre halbe Summe als die in die Rcchimng einzufĂŒhrende Unbekannte und gelangt dadurch auf eine reine quadratische Gleichung. Indem nun nĂ€mlich z. D. i» der ersten Aufgabe die eine Zahl die andere >— x ist, so wird ihr Product i 2 —.r 5 also x = ^y> — p\ es bleibt also weiter nichts zu thun ĂŒbrig, als aus dieser gefundenen halben Differenz und der gegebenen Summe die Zahlen selbst zu finden. Ein Ă€bnlichcS Verfahren finden wir auch in einigen bestimmten Aufgaben des vierten Buchs angewandt, z. B. gleich in den ersten beiden Aufgaben desselben, welche verlangen, zwei Zahlen zu finden deren Summe und Summe der Kubcn, oder deren Differenz und Differenz der Kuben gegeben ist. Wollte man in der ersten Aufgabe dir eine Zahl x, die andere *—x setze», so wĂŒrde die Summe ihrer Kuben —3^'-s-3».r-2 _ c . llU i Ă€hnlich j,, der zweiten Aufgabe. Dagegen setzt Diophant wieder in der ersten Aufgabe die halbe Diffe? renz, in der zweiten die halbe Summe der Zahlen x, die Zahlen selbst also 1*-}-*'/ I*—x in der ersten, x-\-^d, x—\d in der zweiten; durch diese Annahme gelangt er auf reine quadratische Gleichungen. Als ein Paar hĂŒbsche Beispiele dieser Art fĂŒhre ich noch folgende an IV, 16. Drei Zahlen zu finden, so daß das Produkt aus der Summe von je zweien in die dritte eine gegebene Zahl sei. Nennen wir der KĂŒrze wegen die drei gesuchten Zahlen A, B, C, so soll nach Diopham's Annahme {A-\-IlC=?>b, B-\-CA = 27, {A-\-€B — 32 sein. Die dritte Zahl, C, nennt Dio- o-t 35 phant x, so ist A-\-B = — . Es kommt also darauf an, — so in zwei Theile zu zerlegen, daß die beiden andmi Bedingungen erfĂŒllt werden, Sei einstweilen A=~, B—^, so daß m-\-n = 35 ist. Dann ist B-\-C=x-{-^, A-\-C— jene Summe mit A, diese mit B multiplicirt, giebt die beiden Glcichun- gcn — — 32. Subtrahircn wir beide Gleichungen von einander, so erhalten wir n—m — 5, Es war aber m-\-nz=. 35. Demnach ist m=lb, = 20, also sind die dry Zahlen nun nach der Reihe *4, ℱ und x, welche so bcschaffeiz sind, daß wenn von den beiden letzten Gleichungen eine erfĂŒllt wird, auch die andere sich vcrificirt; cS ist also B-\-C= demnach B+ CA = = 27, also .r 2 = ~ = 25, folglich 5; und die drei Zahlen sind 3, 4, 5. Die Art, wie Dio- Phant hie GrĂŒĂŸen m und n bestimmt, da er dieselben nicht durch allgemeine Svmbole ausdrĂŒcken kann, wird uns Veranlassung geben, diese Aufgabe bei einer andern Gelegenheit noch einmal vorzunehmen, IV, 38. Drei Zahlen zu finden, so daß, wenn man zu dem Produkte von je zweien die Summe derselben beiden addir,, gegebene Zahlen herauskommen. 358 Diophant nimmt , p; nun setzt Dio- pbant sehr geschickt die Summe der drei Zahle» x, so erhĂ€lt man jede der Zahlen einzeln, wenn man von dieser Gesammtsummc jede der drei Partialsummcn abzieht; daher werden die einzelnen Zahlen x — n, x — b, x — c dadurch sind die drei Bedingungen der Aufgabe bereits gelöst und es kommt nur noch darauf an, daß die Summe der fĂŒr die drei Zahlen gefundenen AusdrĂŒcke wirklich x sei, das heißt, es bleibt die Gleichung 3x — a-\~b-\-c — x ju lösen ĂŒbrig; daraus crgiebt sich x = Ebenso löst Diophant die folgende Aufgabe, in welcher vier Zahlen aus den vier Partialsummcn von je dreien gesucht werden, indem er die Gesammtsumme x setzt. Ich bemerke nur noch, daß diese beiden Aufgaben einige Ähnlichkeit mit dem Exanthema von Thymaridas haben. I, 18. Drei Zahlen zu finden, so daß die Summe von je zweien um eine gegebene Zahl grĂ¶ĂŸer ist als die dritte. Bezeichnen wir der KĂŒrze wegen die drei gesuchten Zahlen mit A, / /, C, die drei gegebenen mit 2, 2ö, 2r, so soll A-\-B 362 = C+2e, B+C= A+Vu, A+C=B+2t seht. Die Summe der drei gesuchten Zahlen, also A-\-B-\-C sei =2*'. Nun war A+B—t'^lc, also A-\-B-\-C, d. i. 2* = 2 C -j-2 c, also J—x — c ebenso findet man B = x — b, A — x — a. Es ist also wieder weiter nichts zu thun, als die AusdrĂŒcke fĂŒr A, B, C zusammen — zu setzen. Dieser ganz analog ist wieder die Aufgabe I, 20. Es sollen von vier Zahlen A-\-B-\-C— D-\-2d, B-\-C-\-D — A-\-2a, C-\-D-\-A — B+M, D-\-A+B — C+2c sein. Diophant setzt A-j-B-j-C-j-Z = 2x, dann wird wie vorher D — x — d, C—x — c, B—x — b, A = x — a] und eS bleibt die Gleichung Ax ~a-\-bc-\-d ~ x zu lösen ĂŒbrig, welche tt - f- h * 4- c - j- d . x = ——~—— ergiebt. I, 23. Drei Zahlen zu finden, so daß die grĂ¶ĂŸte UM einen gegebenen Theil 4 der kleinsten grĂ¶ĂŸer sei als die mittclste, die mittelstc um einen gegebenen Theil der grĂ¶ĂŸten grĂ¶ĂŸer als die kleinste, die kleinste aber um eine gegebene Zahl iö grĂ¶ĂŸer sei als ein gegebener Theil 4 der mMeisten. Neunen wir die drei Zahlen, die grĂ¶ĂŸte A, die mittlere B, die kleinste C, so setzt Diophant C~x-\-U dann ist x = ±B, also B=3x-, nach der Aufgabe B— C-\-^A, also ^A = B — C— folglich A — bx — 30. Endlich soll A = B 6'sein, also ist \C— A—B — 30-3^- — 3x —30, also C— 9.*—00. Es war aber C~ . r-j-10; folglich x-\-V —90, x — Wir haben hier eine bedeutende Anzahl bestimmter Aufgaben kennen gelernt, die sich in Diophant'S Werk finden, und könncii daraus auf die GrĂŒndlichkeit eines Schriftstellers schließen, welcher behauptet, Diophant habe mit den bestimmten Aufgaben sich gar nicht beschĂ€ftigt. Piuccnzo Riccati sagt in der Einleitung zu seinen Institutiones analyticao l>e pvoblematibus lotcrininiitis, rjuao resolutis aeqiiaiionibus dignoscuntiir, nihil oiiiniiio Diophan- tus agit. Iiinfaxat, tlo oo probleinatum semideterininatorum gonorc, jiiac respiciunt _ auf cubos iiuiiiororuiu, quae problemata ut rcsolvantiir, qnanlitatcs radicalas de industria sunt vitaiulao. Bei Cossali T. 1. p, 80. lind Riccati ver? stchrrt die Griechen mit großem Eifer gelesen zu habe»! Den weitesten Spielraum aber gewinnt Diophaut's Talent in dieser Annahme der Unbekannten bei den schwierigeren unbestimmten Aufgaben. Hier besteht seine grĂ¶ĂŸte Kunst darin, den gesuchten Zahlen, oder wenn deren nur eine vorhanden ist, dieser gleich durch die Annahme eine solche Form zu geben, daß alle Bedingungen der Aufgabe bis auf eine oder höchstens z>vci ohne weitere Rechnung erledigt werden, und nur noch die ErfĂŒllung dieser einen oder zwei dem Calcul anheimfĂ€llt. In einem Beispiel V, 21. werden sogar durch die bloße Annahme alle Bedingungen gelöst, und anstatt der bestimmte» Zahlen, welche er suchte, erhĂ€lt Diophant eine Auflösung in allgemeinen AussdrĂŒcken. Er will nĂ€mlich, um den Bedingungen der Hauptaufgabe zu genĂŒgen, drei Zahlen suchen, so daß jede ein um 1 vermindertes Quadrat, die Summe aller aber ein Biquadrat werde. Nun setzt er die erste Zahl x* — 2 , die zweite ^ 2 die dritte .r- 2 — 2^-, so ist die Aufgabe mit allen vier Erfordernissen gelöst; denn jeder dieser AusdrĂŒcke wird ein Quadrat, wenn man 1 daztl addirt, und die Summe aller drei ist — x\ also sicher in jedem Falle ein Biquadrat. In den meisten FĂ€llen bleibt indeß eine Bedingung fĂŒr die Rechnung ĂŒbrig, seltener zwei, welche dann auf die im vorigen Kapitel erwĂ€hnten doppelten Gleichungen fĂŒhren. Es mögen hier einige Beispiele dieser Methode folgen, welche immer die Sache klarer machen als weitlĂ€ufige Reflexionen. II, 3^ Drei Zahle» zu finden, so daß das Quadrat einer jeden auch dann noch ein Quadrat bleibt, wenn man die folgende Zahl hinzu addirt. Wollte man hier nach gewöhnlicher Sitte die drei Zahlen .r, »/, * nennen und die drei aus der Aufgabe hervorgehenden Gleichungen x"-\-y — »t 2 , , y 2 -j-~ — - r 2 , x 2 -f-a p* losen, so wĂŒrde man sich in nicht geringe Schwierigkeiten verwickeln. Diophant bedenkt dagegen, daß, wenn eine Zahl das um 1 vermehrte Doppelte einer andern ist, dann das Qliadrat der kleiner» zu der grĂ¶ĂŸer» addirt ein Quadrat giebt. Darum setzt er die erste Zahl x, die zweite so ist das Quadrat der ersten nebst der zweiten gewiß ein Quadrat, nĂ€mlich ,r 2 - f- 2^- 1; und somit ist eine von den drei Bedingungen, welche die Aufgabe stellte, gelöst. Aber auf gliche Weise setzt er die dritte tun l grĂ¶ĂŸer als die doppelte zweite, also — 2 = so ist das Quadrat der zweiten, wenn man die dritte hinzu addirt, — , also ebenfalls Μ&'*5 >' 5-ÏÎŻÎ“ Î±ÎżÏ†ÎŒÎżÎč\; ÎŻÎżÏ… ΔοÎčÏ‡ÎłÏŽÎœ , π ÎčϊυΜ ÎŽÏÎż λαΌÎČυÎčÎœÎŒÎ”ÎœÎżÎč roy λο;Ï€ÎżÎ° Î°Ï€Î”ÏÎ”Ï‡ÎŻ Î”ÎżÎ±ÎłÎœÏ†. Die Summe der drei Zahlen sei .r- 2 -> das Quadrat, um welches die Summe der ersten und zweiten die dritte ĂŒbertrifft, sei l, so wird die dritte Zahl ^x 2 -\-x sein. Das Quadrat ferner, um welches die Summe der zweiten und dritten die erste ĂŒbertrifft, sei x 2 , so wird die erste x-j-? sein. Folglich ist die erste und dritte zusammen ^x 2 -\^-^^, also die zweite Es bleibt also nur noch zu erledigen ĂŒbrig, daß alich die Summe der ersten und drittelt, wenn man die zweite davon abzieht, ein Quadrat werde, das heißt, daß 2x ein Quadrat werde. Um die Operationen zu erlĂ€utern und zugleich das Verfahren allgemeiner darzustellen, gebe ich folgende Darstellung. Die Aufgabe verlangt, daß die vier Formeln A-j-ß-j- C, A-\-B—€, Quadrate werden sollen. Nun sei A-\-B-\-C — x 2 ~\- 2 mx - f- m 2 A-\-ß — 6 ' — m 2 also 2 C == x 2 ~\~ 2 mx C — i[X 2 -\-mx fei ferner -A-\-B-\-€=x' i , so erhĂ€lt man, wenn man diese Gleichung von der ersten subtrahirt und zu der zweiten addirt und die Resultate durch 2 dividirt, A — mx - j- li = \x 2 - s- \m 2 Es bleibt also ĂŒbrig, daß A — B-\-C ein Quadrat werde; aber A — Ii-\-C ist —2 mx, also 2 mx — y 2 . III, 6. giebt eine andere Auflösung dieser Aufgabe. Diophant sucht zuerst drei Quadratzahlen, deren Summe auch eine Quadratzahl ist. Er findet als solche die Zahlen 4, 9, 36. Nun setzt er jede dieser Quadratzahlen als einen der drei quadratischen ÜberschĂŒsse, so verwandelt sich die gegebene Aufgabe in eine frĂŒher gelöste, drei Zahlen zu finden, so daß die Summe von je zweien UM eine gegebene Zahl grĂ¶ĂŸer sei als die dritte. III, 7. Drei Zahlen zu finden, so daß die Summe von allen dreien und auch die Summe von je zweien eine Quabratzahl sei. Diese Aufgabe löst Diophant ungemein einfach auf folgende Weise. Er setzt nĂ€mlich die Stimme aller drei Zahlen — x 2 die erste und zweite — x 2 so ist die dritte — Sei ferner die zweite und dritte — x 2 —2-r-j-1 so wird die erste — Lv die zweite — x 2 — ix Es bleibt also nur noch ĂŒbrig, die Summe der ersten und dritten, das ist die Formel 6-r-f- l zu einem Quadrat zu mache». Ähnlich ist die Auflösung von III, 10. 11. Es ist ĂŒbrigens leicht einzusehen, wie auch das hier befolgte Verfahren etwas verallgemeinern könne, wenn man die Summe der drei Zahlen x 2 - j -^jhx - s- m 2 fetzt und die ĂŒbrigen Formeln dieser conform bildet. III, 16. Drei Zahlen zu finden, so daß das Pro- duet von je zweien ein Quadrat wird, wenn man das Quadrat der dritten Zahl dazu addirt. Die erste Zahl sei x, die zweite 4^+4, die dritte 1, so sind wei Bedingungen der Aufgabe erfĂŒllt, es ist nĂ€mlich das Prodliet der ersten und zweiten plus dem Quadrat der dritten ein Qua- nĂ€mlich 4.^ und ebenfalls das Produkt der zweiten und dritten plus dem Quadrat der ersten, nĂ€mlich ^-j-4^-j-4. Es 366 bleibt also nur ĂŒbrig, daß auch das Produkt der ersten und dritten plus dem Quadrat der zweiten, das heißt, der Ausdruck 16.*-* -J-17^+16 ein Quadrat werde. IV, 14. Zwei Zahle» zu finde», so daß sowohl jede Zahl fĂŒr sich, als auch die Summe und der Unterschied beider ein Quadrat werde, wenn man 1 dazu addirt. „Wenn ich von irgend einem Quadrate 1 subtrahire, so habe ich die erste Zahl. Ich bilde also ein Quadrat von x mit einem beliebigen Coefstcicnicn und der Zahl 1, z. B. von 3-r-j-l, so ist das Quadrat 9.*-*-j-6^-j-I; ich sehe also die erste Zahl 9^-j-tQ-, Da ferner die Summe beider Zahlen, wenn man 1 dazu addirt, ein Quadrat werden soll, und ebenso die zweite, wenn man 1 dazi addirt; so suche ich irgend ein Quadrat, welches zu 9-r* ad, dirt ein Quadrat giebt. Ich nehme zwei Zahlen, deren Product 9-r?-j-6-r- ist, z. B. und x\ ihr Unterschied ist 8^-f-6 und die HĂ€lfte davon und das Quadrat dieses letzten Ausdrucks wird davon nehme ich 1 weg und setze die zweite Zahl 16^*-j-24^-s-8; so wird jede Zahl fĂŒr sich und auch die Summe beider ein Quadrat, wenn man 1 addirt. Es ist also mir noch ĂŒbrig, daß auch der Unterschied beider, wenn man 1 dazu addirt, ein Quadrat werde; es soll also 7L-*-j-l8^-j-9 einem Quadrate gleich sein, u. s. w." Diophant setzt also, um sein Verfahren allgemein zu betrachten, A = w/.r-f- I 5 — 1 — rn l x' 1 -\-'2mx. Da nun auch B sowohl als A-\-B ein um 1 vermindertes Quadrat sein soll, so setzen wir vorlĂ€ufig B — p -— 1, so wird A-\-B-\-\ = iri i x 1 -\- ? -j- 4 2 .r und x gesetzt hatte, so ist ihre Summe 4 -j-Ä 2 -j-l.r; folglich muß {a?fr \ x = 7a Settereov ovratq. Anstatt die Unbekannte, welche zu 2 und zll 3 addirt in beiden FĂ€llen Quadrate zur Summe gebe, wie setze», setzt er sie x~ —2, wodurch die eine Bedingung bereits erfĂŒllt wird; fĂŒr die andere bleibt dann nur die Gleichung x-\-l = y 2 ĂŒbrig. Ähnlich II, 14. u. a. m. 2. Methode der ZurĂŒckrcchnuug und Nebenaufgabe. Nicht immer ist die Annahme der Unbekannten in solcher Form, daß dadurch * — 1 oder wenigstens V »- s. w. IV, 25. Eine gegebene Zahl in zwei andere zu zerlegen, so daß das Product beider der Unterschied zwischen einem Kubus und seiner Wurzel werde. Die gegebene Zahl sei 6; die erste der gesuchten Zahlen sei 373 so ist dic andere 6 — .r; ihr Product v 2 soll also die Differenz zwischen einem Kubns lind seiner Wurzel sein. Ich bilde den Kubus von einer Wurzel, welche x mit irgend einem Cocfficientcn weniger 1 ist, z. B. von 1; der Kubus weniger der Wurzel macht a — 2 und soll — 6x — λ 2 sein. Wenn nun die Coefficicnten von x auf beiden Seiten gleich wĂ€ren, so wĂŒrde x nur in der zweiten und dritten Potenz ĂŒbrig bleiben und x wĂŒrde rational werden ÎșÎčÏ‡ÎŻ Δΐ [αΜ oe °' ΔΜ ΔχαΔ>α rij ΙώΔÎč ÎŻÎżÎč, λοÎčÏ€ÎżÎŻ, Î”ÎłÎŻÎœÎ”Îż ϊαÎč ÎșΜÎČÎżÎœ ’Îč'ÎżÏ… ÎŽÏ…ÎœÎŹÎŒÎ”Îč, ÎșαÎč ° ηÎč> ηÎč,. Aber die \χ sind die Differenz von und dreimal 2x; wenn man aber 2x von dreimal 2x abzieht, so bleiben zweimal 2x; die Zahl 6 aber ist nach der Voraussetzung gegeben. Es kommt also darauf an, eine Zahl zu suchen statt der obigen 2x, so daß ihr doppelter Cocfsicicnt 6 ist; eine solche Zahl ist Nun suche ich wieder 6χ—& Λ gleich einem Kubus weniger seiner Wurzel zu machen, und setze dic Wurzel des Kubus —1, so wird der KubuS weniger der Wurzel — 27.* ,2 -f-6^; lind daS ist gleich — x~, und x wird — Demnach sind dic gesuch- teil Zahlen ^ und Hut Diophant's Verfahren zu veranschaulichen, wiederhole ich es hier furz in allgemeinen AusdrĂŒcken. Die gegebene Zahl sei a, die gesuchten seien x und u — x, so ist ihr Product ux —.v 2 . Setzt man nun die Seite des Kubus mx —1 l, damit dieses Glied, welches dem Kubus und der Wurzel gemeinschaftlich bleibt, bei der Subtraction sich weghebe, so wird der Kubus m 3 x A — 3 //Λ* 2 4 3 "/,Μ —i, also dic Differenz zwischen Kubus und Wurzel m 3 x 3 — 3 / 2 ,* 2 — ax — x t . Damit hier die ersten Potenzen sich wegheben, muß er so genommen werden, daß 2>n=a wird; und gerade das ist auch das Resultat von Diophant's Untersuchung. IV, 26, Eine gegebene Zahl in drei andere zu zerlegen, so daß das Product aus allen dreien eine Kubik- zahl werde, deren Wurzel gleich ist der Summe der Unterschiede zwischen je zweien. Die gegebene Zahl sei 4, und da das Product aus allen ein Kubus sein soll, so setze ich dasselbe ~8x 3 ; dic Kubikwurzel ist 2x. Wcmi man aber drei ungleiche Zahlen hat, so ist dic Summe der Unterschiede von je zweien gleich dem doppelten Unterschiede der grĂ¶ĂŸten und kleinsten. Demnach ist 2.*- der doppelte, also x der einfache Unterschied der grĂ¶ĂŸten und kleinsten der drei Zahlen. Die kleinste sei z. D. 2.*-, so ist die grĂ¶ĂŸte 3.*-. Und da das Produkt aus allen dreien 8 .*^, daö Produkt aus der grĂ¶ĂŸten und kleinsten aber 6 ^ ist, so ist die mittlere 4 .*. Wenn nun diese mittlere grĂ¶ĂŸer als die kleinste, und kleiner als die grĂ¶ĂŸte wĂ€re, so wĂ€re die Aufgabe gelöst. Aber die mittlere entstand dadurch, daß wir 8 di- vidirtcn durch das Prodnct der grĂ¶ĂŸten und kleinsten; diese erste und zweite sind aber nicht beliebig, sondern um l verschiede». Darum bin ich darauf hingefĂŒhrt, zwei um 1 verschiedene Zahlen zu suchen, so daß der Quotient, der entsteht, wenn ich 8 durch das Produkt beider dividirc, kleiner als die grĂ¶ĂŸere und grĂ¶ĂŸer als die kleinere von beiden Zahlen werde. Die kleinere Zahl sei x, so ist die grĂ¶ĂŸere .r-s-I, also die mittlere Dieser Ausdruck soll also grĂ¶ĂŸer als x und kleiner -1 sein. Da der Unterschied bei- der 1 ist, so ist der Unterschied zwischen j "" ö x ^ c ncr 1 ; daher ist p ~ 1 grĂ¶ĂŸer 1 , oder -j- k und x 1 - j- x - s -8 x 3 - - 2 .*'' -x oder 8 x’ i -\-x' t . Ich bilde einen Kubus, welcher die Glieder .-r’ cnlhĂ€lt; seine Wurzel ist x-{-i Da nun 8 grĂ¶ĂŸer ist als x^-^-x* und auch .r-fi' 1 grĂ¶ĂŸer grĂ¶ĂŸer ist als .r 3 so setze ich 8 — .*'+\ so sind auch die Kubikwurzeln einander gleich, und x — 4 . Gehe ich nun anf die Attliahmc zurĂŒck, so wild die kleinste Zahl 4 , die grĂ¶ĂŸte 4 , die mittlere also 8 dividirt durch V, das ist oder wenn ich alle mit l'> multiplicirc, wird die erste 40, die zweite 27, die dritte 25. Der gemeinschaftliche Divisor 15 ist nĂ€mlich weggeworfen, tmd es sind drei Zahlen gefunden worden, so daß das Produkt derselben eine Kubikzahl ist, welches die Summe ihrer Unterschiede zur Wurzel hat. Jetzt setze ich die erste Zahl die zweite 27.*, die dritte so ist auch das Produkt dieser ein Kubus, dessen Wurzel die Summe der drei Unterschiede ist. Die drei Zahlen sollen aber zusammen der gegebenen Zahl 4 gleich sein. Daher bleibt die Gleichung 92.*-^ 4 ĂŒbrig, und .*- ist — T V Nennen wir die drei Zahlen /, B, C, so daß ./>/?, Ä> C so verlangt die Aufgabe, daß l A-j-Jf-j-C— , 2 s ABC § leid? einem Kubus, z. B. 8.*-', und 3 {A — li-\-B~ C-\-A—O 375 3 - das ist 2 A — ! — y 8 .r a = also A — C=-x sei. Nun setzt Diophant C—mx, also A = {m-\-\x, so wird B— — ; und es kommt also zunĂ€chst darauf au, daß grĂ¶ĂŸer als m und kleiner als »t-f-1 ist. In der sehr geistreichen ErfĂŒllung dieser Bedingung ist Diopham'S Vortrug nicht ganz vollstĂ€ndig. Zeigst soll 7> m > also sein. Nun bildet Dio- phaut einen Kubus, der die beiden Glieder enthĂ€lt, dessen Wurzel also m-\-^ ist, so ist dieser Kubus m 3 -\-m' l -\-^m-\-^j, also jedenfalls grĂ¶ĂŸer als *» 3 -J-a» a ; da nun auch 8 > r 3 -j-»r 2 sein sollte, so setzt er 8 — /-f-? 3 / also 2 — m -s-Es sollte aber auch —— dieser Ausdruck soll also /r 2 = x* —2/ttlr 2 - tu*, und die Kubikzahl p 3 , so bleibt fĂŒr die dreieckige Zahl der Ausdruck 2„rV — in* — p 3 ĂŒbrig; demnach mufi nach dem angefĂŒhrten Satze l6/w 2 .r 2 —8*w*—8/> 3 -{-l ein Quadrat werde». Da hier in Folge der Annahme fĂŒr die Quadratzahl der Coefsicient von x* eine Quadratzahl ist, so hat im Allgemeinen die Auflösung dieser Gleichung keine Schwierigkeit; aber nicht jeder Werth von x ist hier brauchbar; sondern die Auflösung muß so genommen werden, daß der Ausdruck fĂŒr die dreieckige Zahl eine ganze Zahl werde, weil ein Bruch hier keinen Sinn geben wĂŒrde. HĂ€tten wir also fĂŒr m und p ganze Zahlen angenommen, so mußte x entweder auch eine ganze Zahl oder ein Bruch sein, dessen Nenner m oder ein Theiler von m ist, damit auch 2/ 2 .* 2 eine ganze Zahl wird. Setzen wir also 16//» 2 . 2 — 8» 3 -j-1 — bnx—q' 1 = 16>V 2 —Stnqx -J- q’ 1 , so wird x — > ^ cu,; "ach sind die Zahlen m, p, q so anzunehmen, daß 8»r 4 -j-8/- 3 -ch-7^1 durch Sq theilbar ist. Hieraus folgt im Allgemeinen, daß q eine ungerade Zahl sei» mĂŒsse; dann lĂ€ĂŸt sich f— 1, folg- 378 sich der ganze Ausdruck fĂŒr .* durch 8 dividircu; die nĂ€heren Bc- stimiiilingcn hĂ€ngen von der Beschaffenheit der in jedem Falle will- kĂŒhrlich gewĂ€hlten Zahlen ab. VI, 6. Ein rechtwinklichcS Dreieck zu finden, so daß die Summe der FlĂ€che und der einen Kathete einer gegebenen Zahl gleich werde. Die gegebene Zahl sei 7. Man nehme an, das Dreieck sei der Form nach gegeben und habe die Seiten so verlangt die Aufgabe, daß 6^ — 7 sei. Wenn man nun zu dem halben Cocfficicntc» von x den siebenfachen Coefßcicnten von .r’ addirt, so muß ein Quadrat herauskommen. Das geschieht aber nicht. Daher muß man ein rcchtwinkliches Dreieck suchen, so daß das Quadrat einer halben Kathete zu dem siebenfachen Inhalt addirt ein Quadrat giebt. Die eine Kathete sei x, die andere 1, so soll ix-\-\, oder ei» Quadrat sein. Damit wir aber das Dreieck in rationalen Zahlen erhalten, muß auch .r^-j-l ein Quadrat sein. Die Differenz beider Ausdrucke ist x t — welche die Faktoren x und .*—14 hat. Die HĂ€lfte ihres Unterschiedes auf das Quadrat erhoben giebt 49, welches dem kleineren Ausdrucke gleich zu setzen ist; und es wird x=%f. Ich setze also die eine Kathete des Dreiecks V 4 , die andere 1, oder da diese Annahme bloß die Form des Dreiecks bestimmen soll die eine die andere Ix ; die Hypotenuse wird dann und die Summe des Inhalts und der zweiten Kathete — 7, woraus .r — ^ gefunden wird. Ähnlich sind die nĂ€chstfolgenden Aufgaben. So interessant es wĂ€re, mehre Beispiele der Art aus Dio- phant's Werk zusammenzustellen, weil die große Mannigfaltigkeit seiner Darstellung fast in jedem Beispiele eine ganz ncnc Anwendung dieser Methode zeigt, so sehe ich mich doch genöthigt, den Zweck dieses Werks im Auge haltend, mir hier Schranken zu setzen, in welche das innige Wohlgefallen an den Äußerungen des Gcnie's sich so ungern fĂŒgt. Ich muß mich begnĂŒgen, hier auf folgende noch besonders ausgezeichnete Aufgaben zu verweisen IV, l9. 46. V, 18. 20. 21. VI, 3. 4. 5. 8. In einigen Beispielen, welche ich Behufs der weiter zu erwĂ€hnenden Methoden werde anfĂŒhren mĂŒssen, werden wir noch Gelegenheit haben, auch die hier besprochene zu beobachten. Ich kann aber hier diejenigen Aufgaben nicht ganz stillschweigend ĂŒbergehen, in welchen diese Methode der ZurĂŒckrechnung zweimal und öfter gewissermaßen in einander geschachtelt vorkommt. 379 Hirhcr gehören besonders die Aufgaben IV, 43. 45. V, 33. VI, 13., von denen ich die letzte der Anschaulichkeit wegen hier ausfĂŒhren will. VI, 13. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finde», so daß der Inhalt desselben ein Quadrat wird, wenn man jede der Katheten dazu addirt. „Man nehme das Dreieck als der Gestalt nach gegeben an; cS habe die Seiten 5.*, 1 ix, 13.*; so soll zuerst 30^-j-12.* ein Quadrat sein; es sei —36.**, so wird x— 1. FĂŒr denselben Werth von x soll aber auch 30.*-* -j- 5.* ein Quadrat sein; dar geschieht aber nicht. Darum kommt cS darauf an, ein Quadrat zu suchen, so daß, wenn man 30 davoit abzieht und den Rest in 12 dividirt, dann den Quotienten auf das Quadrat erhebt, dieses mit 30 multiplicirt und dazu den fĂŒnffachen Quotienten addirt, diese Summe ein Quadrat werde. Das gesuchte Quadrat sei .**. Wenn man davon 30 abzieht, und den Rest in 12 dividirt, wird der Quotient das Quadrat davon ^ dieses mit 30 multiplicirt p ^ ° to! , +9u , und dazu fĂŒnfmal addirt, giebt Dieser Ausdruck soll Quadrat werden; der Nenner aber ist ein Quadrat; daher muß auch 60.** -f- 2520 ein Quadrat werden, das heißt, man soll ein Quadrat finden, welches mit 60 multiplicirt, und zu 2520 addirt, ein Quadrat giebt. Hatten wir nun das Dreieck so gebildet, das 60-f-2520 eine Quadrat- zahl geworden wĂ€re, so hĂ€tten wir die Aufgabe gelĂŒst. Aber 60 eutstchl aus dem Produkt der beiden Katheten; 2520 aber aus dem Product der grĂ¶ĂŸer» Kathete, des Überschusses der beiden Katheten, lind des Inhalts. Wir kommen also darauf hin, ein rechtwinkliges Dreieck zu suchen, so daß das Product der beiden Katheten addirt zu dem Product aus der grĂ¶ĂŸer» Kathete, dem ÜberschĂŒsse der Ka- tbctcn und dem Inhalt, ein Quadrat giebt. Wenn wir nun fĂŒr die grĂ¶ĂŸere Kathete eine Quadratzahl annehmen, und alles durch dieselbe dividircn, so haben wir die Aufgabe, daß die kleinere Kathete addirt zu dem Produetc des Überschusses der Katheten in den Inhalt ein Qtladrat werde. Und dann kommt es nur darauf an, r» zwei gegebenen Zahlen, dem Inhalt und der kleinen Kathete, ein Quadrat zu suchen, welches mit einer der gegebenen Zahle» mul- tipiicirt und zu der andern addirt ein Quadrat giebt. Das ist aber 380 schon oben gezeigt worden, lind das Dreieck hat die Seiten 3, 4, 5. Ich mache diese Zahlen zu Coefficienten von x ÎŹ umbv iv w°~ 5 , und es kommt darauf an, die AusdrĂŒcke 6x" - - 4x und 6^ zu Quadraten zu machen. Wenn wir die erste Glci- so wird x 12 *+24 6. 5 -} 12/λ 2 -j-36 I '2/λ 3 -j-36 chung lösen, so wird x Dieses soll ein Quadrat folglich 6.^ — sei». Man hat also ein Quadrat suchen, welches mit der kleinern gegebenen Zahl multiplicirt und zu der grĂ¶ĂŸer» addirt ein Quadrat giebt. Ein solches Quadrat ist 25; demnach ist 25, m — 5. Wenn wir also 2 zu einem Quadrat machen wollen, setzen wir es gleich 25^, so wird x = T 4 T ; die Seiten des gesuchten Dreiecks sind also j, i, Wir wollen den Gang, den Diophant genommen hat, Schritt fĂŒr Schritt verfolgen. Diophant nimmt das gesuchte Dreieck als i» den Seiten der Form nach gegeben an; der Inhalt ist also und die Aufgabe fĂŒhrt auf die doppelte Gleichung 2 -j-12./' — y a , 30.*' s - = y 1 2 . Setzt man y—nx, 4320 . _____ 60 so wird x = i, 1 “ ; also 2 /i 2 — 30 2 ' 5,r— n*— 30 y t a . Es kommt also dar60n 2 - f -2520 auf an, den ZĂ€hler dieses Bruchs zu einem Quadrat zu machen. Diophant verwirft die Formel als unauflösbar, weil 60+2520 kein Quadrat ist. Um nun eine andere Form des Dreiecks zu finden, welche auf eine auflösbare Gleichung fĂŒhrt, untersucht er zunĂ€chst durch seine ZiirĂŒckrechnnng, wie die Zahlen 60 und 2520 entstanden sind. HĂ€tten wir die Katheten Ă€x, k'x, die Hypotenuse hx genannt, so wĂ€re der Inhalt i/rA'x, also ergĂ€be die Aufgabe die doppelte Gleichung ^kk l x’ l -\-Aw — y' 1 , ^A-A-'x" 1 -f-A-'x- = yi 2 Setzen wir nun y—nx, so erhalten wir aus der ersten Gleichung x — demnach iAA-'x* = ^ kk 1 2 — jk L- ~ M 2 — i 1 3 ' Was also oben 60 war, der ist das Product der beiden Katheten, die obigen Co efficient von n-, 2520 aber, das absolute Glied, ist das Product aus der großem 381 Kathete k, dein ÜberschĂŒsse der Katheten k —/', und dem Inhalt y6 ist, weil x — ^ Ă€ _g war; darum ist der erste Werth n—i unbrauchbar, ut»b Diophant nimmt ,r —5, also x = T V 4 r? 382 3. Gebrauch deS Symbols fĂŒr die Unbekannte in verschiedenen Bedeutungen. Schon die vorige Methode fĂŒhrte hĂ€ufig die Unbequemlichkeit mit sich, daß in zwei in einander gefĂŒgten Aufgaben das nĂ€mliche Zeichen in ganz verschiedener Bedeutung gebraucht wurde; indeß ballen wir es da doch immer mit zwei zwar in einander geschobenen, aber doch leicht von einander zu trennenden Aufgaben zu thun. Auffallender und unbequemer wird dieser mehrdeutige Gebrauch des Zeichens, wenn dasselbe in der nĂ€mlichen Aufgabe, in einer und derselben Operation zwei Bedeutungen hat, die nur in Gedanken von einander können geschieden werden. Es finden sich nĂ€mlich Aufgaben, in welchen Diophant die CinfĂŒhrung zweier Unbekannten nicht hat vermeiden können; weil er nun aber zur Bezeichnung derselben nur ein Symbol hat, so tritt der Übclstand ein, daß beide Unbekannte durch dasselbe Zeichen ausgedrĂŒckt erscheinen. Dieses geschieht entweder successive, wo es dann weniger Unbequemlichkeit verursacht, oder implicite, so daß sogar eine Unbekannte als Function der andern, das heißt, x durch x ausgedrĂŒckt erscheint. Beide Arten der Anwendung dieser Methoden will ich an Beispielen erlĂ€utern. Beispiele der ersten Art. I, 22. Eine gegebene Zahl in drei andere zu zerle, gen, so daß jede der beiden Ă€ußersten zu der mittclstci» addirt, ein gegebenes VerhĂ€ltniß zu der dritten habe. Es sei aufgegeben, die Zahl 100 in drei Zahlen zu zerlegen, so daß die Summe der ersten und zweiten das Dreifache der dritten, die Summe der zweiten und dritten das Vierfache der ersten sei. Die dritte Zahl sei x, so ist die Summe der ersten und zweiten 3x, alle drei zusammen also 4x; die drei Zahlen zusammen sind aber 100; daher ist x, daS ist, die dritte Zahl, —25; die erste und zweite zusammen also 75. Da ferner die Summe der zweiten und dritten das Vierfache der ersten ist, so wird, wenn man die erste x nennt, die Summe der zweiten und dritten 4x fein; die drei Zahlen zusammen also 5x-, sie sind aber auch gleich 100; demnach ist x, die erste Zahl, —20. Es ist also die erste 20, die dritte 25; die zweite also wird 55 sei». 383 Diese Methode mit der vorigen vereinigt, so dos? x oder viel- mehr if in nicht weniger als vier verschiedenen Bedeutungen vorkommt, finden wir in der Aufgabe. IN, 18. Drei Zahlen zu finden, so daß das Product von zc zweien zu der Summe derselben beiden addirt, ein Quadrat giebt. Die erste Zahl sei .*, die zweite 3; so soll, wenn man ihr Produkt zu ihrer Summe addirt, ein Quadrat werden, z. B. — 25; dann wird x — 54. Die erste Zahl ist also 54, die zweite 3, und eine der Bedingungen ist gelöst; denn ihr Product sammt ihrer Summe niacht ein Quadrat. Es soll aber auch das Product sammt der Summe der zweiten und dritten, und ferner das Product sammt der Stimme der ersten und dritten ein Quadrat machen. Sei nun die dritte x, so wird das Product und die Summe der zweiten und dritten wiederum das Product und die Summe der ersten und dritten wird V, und beide AusdrĂŒcke sollen Quadrate werden. Da aber in der einen Formel die Anzahl der Zahlen d. i. der Cocfficicnt von x und der Einheiten grĂ¶ĂŸer ist als in der andern, und sie sich auch nicht wie zwei Quadratzahlcn zu einander verhalten, so ist die gemachte Annahme unpassend. Wir sind also darauf hingewiesen, zwei Zahlen zu finden, so daß nicht nur ihr Product zu ihrer Summe addirt ein Quadrat giebt, sondern auch noch die um l verinchrtcn Zahlen sich zu einander wie zwei Quadratzahlcn verhalten. Nennt man nĂ€mlich die erste a, die zweite b, die dritte x, so soll erstens ab -\-a-\-b eilt Quadrat fein; ferner aber soll ax-\-a-\-x, d. i. -J-I-]-», und ebenso auch {b -j-1 .*-j -b ein Quadrat fein; damit beide letzteren Bedingungen erfĂŒllt werden können, mĂŒssen sich die Zahlen -j-1 und /-s- l wie Quadratzahlen zu einander verhalten. Da nun, wenn eine Zahl um 3 grĂ¶ĂŸer als das Vierfache einer andern ist, die nm l vermehrten Zahlen sich wie Quadratzahlcn zu einander verhalten, so setze ich die erste Zahl x, die Zweite 4^r -f- 3; so soll, wenn man das Product dieser Zahlen zu ihrer Summe addirt, ein Quadrat herauskomme». Aber ibr Pro- buct zu ihrer Summe addirt giebt 4-r 3 4- -s- 3; dieses soll also ein Quadrat sein. Ich bilde das Quadrat von ix — 3, so wird ts 3 — l2jr-j-9, und x wird A oder T V Daher wird die erste Zahl A, fcj e zweite 44 oder y sein. Dadurch ist „un eine 384 Forderung der Aufgabe erfĂŒllt. Es sind nun noch die beiden andern ĂŒbrig. Ich setze jetzt die dritte Zahl .v; so wird Produkt und Summe der zweiten und dritten V 6 - r -f“V> bas soll ein Quadrat sein, z. B. — 25. Ferner ist Product und Summe der ersten und drittelt 44*+-ℱ; das soll ebenfalls ein Quadrat sein, z. B. 100. Ich niultiplicirc den ersten Ausdruck mit 25, so soll J 30^r-f-105 ein Quadrat fein; und den zweiten Ausdruck multiplicire ich mit 100, so soll auch ein Quadrat sein. Die Differenz beider ist 75, und die Auflösung der doppelten Gleichung giebt x = T V Demnach sind die drei Zahlen r 3 v , y, T y Diophant hat nĂ€mlich 75 in die Factorcn 3 und 25 zerlegt, und — 196 oder 130-r-j-30 - 121 gesetzt. Diophant setzt also, um einen kurzen RĂŒckblick zu thun, zuerst die erste der gesuchten Zahlen x, die zweite 3, und findet .*= y. Nun setzt er die dritte Zahl x. Da ihn dieses aber zu keinem Resultate fĂŒhrt, so setzt er von Neuem die erste Zahl x, die zweite 4 r __3 allgemeiner hĂ€tte er die zweite n'.v+n ' 1 —1 setzen können und findet daraus die erste tV, die zweite V; und nun setzt er abermals die dritte Zahl — x, die sich dann gleich -V crgicbt. Man könnte diese Auflösung vermittelst einer successiven doppelten Annahme des Symbols fĂŒr die Unbekannte eine Auflösung in zwei Hieben, ĂŒ deiix coups, nennen. Die verschiedenen unbekannten Zahlen werden nicht, in einander complieirt, durch ein und dasselbe Verfahren gefunden, sondern aus mehren von einander abgesonderten Operationen gehen sie nach einander einzeln hervor. Übrigens liefie die letzte Aufgabe sich sehr leicht allgcmeiit lösen. Nennt man nĂ€mlich die drei Zahlen x, y, x, so hat man die drei Gleichungen ju lösen xy-\-x-\-y — xz-j-x-px — A 2 y*-fy-b 5 — x+i ' Aus den ersten beiden Gleichungen crgiebt sich y = x — Substituirt man diese beiden Werthe in die dritte X-\- 1 Gleichung, so erhĂ€lt man n— ^ // Ă€ — x — _ „ S+i 2 ^ x + i ~ a — x h*—x + " s + A 3 — .t +1 -FRF ~- b Da oder 385 Da der Nenner ein Quadrat ist, so kommt es mir noch darauf an, den ZĂ€hler zu einem Quadrate zn machen. Wenn wir die angedeuteten Rcchnnngcit ausfĂŒhren, so ergicbt sich die Gleichung a l lr -j- a "- h 5 — 2x — x" — ni 1 lmd nach x aufgelöst .V — — l Nimmt man nun zwei dieser GrĂ¶ĂŸen beliebig an, z. B. n und b t so ist es in jedem bestimmten Fall nicht schwer, unendlich viele Werthe fĂŒr die dritte zu finden, welche x rational machen; es ist dabei nur zu beachten, daß keine der drei gesuchten Zahlen negativ werde. Setzen wir z. B. - 9, A 2 = 16, so wird — 1 4-Vl70 — vi 1 . Hier kann ni 1 allein in ganzen Zahlen die Werthe 1, 49 und 121 haben. Ist nun 1 so ist .r= 12 * — 49 - —121 = 10 = 6 Da nun y so wĂŒrde fĂŒr die beiden zuerst gefundenen Werthe fĂŒr x die Zahl y negativ werden; demnach ist nur der letzte brauchbar; drei Zahlen der Art sind also allster den Diophantischcn noch 6, Beispiele der zweiten Art. Wenn eine Gleichung von der Form Ax”-\-Bx~y' 2 die einzige oder wenigstens die letzte Bcdingllng ist, welche das gesuchte x erfĂŒllen soll, so setzt Diophaiit y gleich irgend einem bestimmten Vielfachen von x, dividirt dann die Gleichung dklrch x und findet x aus einer Gleichung des ersten Grades. Soll er z. B. IV, 23. den Ausdruck x"~-\-ix zu einem Quadrate machen, so setzt er x-\-%x-—hx~, so wird x-\-^ — 4x, also x~^. Wir haben aber bei den vorhergehenden Darstellungen schon mehrmals solche FĂ€lle gefunden, in denen die Auflösung der Gleichung Ax~-\-Bx ~y 2 nicht die letzte Bedingung fĂŒr x war, sondern es sollte der aus dieser Gleichung gefundene Werth fĂŒr x noch in eine andere' substitllirt und auch dieser genĂŒgt werden. Ich habe mich bisher des Mittels bedient, in dem Falle y — mx, also Ax’ 2 -\-Bx = m^x' 1 J» setzen, woraus sich x~-JL— rrgiebt. ES fragt sich, wie drĂŒckt Diophant i» diesem Falle den unbestimmten Coefficicnten m ane, slir den er kein neues Symbol bat? lrr druckt m ebenfalls 386 durch x aus. Da cS aber, wenn beide x als verschiedene Großen betrachtet werden, ihm nicht möglich ist, χ 2 χ 2 auszudrĂŒcken, weil υ υ bei ihm x* bedeutet, also die IdentitĂ€t beider x voraussetzen wĂŒrde, so behĂ€lt er den unbestimmten Coefsieicntc» so lange im Sinne, bis er aus der Formel den Werth fĂŒr x entwickelt hat, und subftituirt fĂŒr denselben erst das Zeichen, nachdem die Entwickelung geschehen ist. Sein Verfahren ist demnach folgendes. Wenn Ax 2 -s -Jix ein Quadrat werden soll, so setze ich es gleich x 2 mit irgend einem quadratischen Cocfficientcu; dann wird x gleich li dividirt durch ein um A vermindertes Quadrat, also x — 111,15 diesen Werth setzt er dann fĂŒr x in die zweite Gleichung ein, wie folgende Beispiele beweisen mögen. VI, 23. In dieser Aufgabe wird Diophant auf die beiden Gleichungen —y*, λ 3 -2 x 2 -\-x=y* gefĂŒhrt. Nun fĂ€hrt er fort den Ausdruck zu einem Quadrat zu machen ist ganz leicht; denn wenn ich 2 durch ein um 2 vermindertes Quadrat dividirc, so habe ich x. Aber dieses muß so gefunden werden, daß auch der zweiten Glcichring ein GenĂŒge geschieht. Nun ist x gleich 2 dividirt durch x 2 — 2 das ist x — ĂŒber diese Art BrĂŒche mit zusammengesetztem Nenner zu bezeichnen, habe ich im siebenten Kapitel gesprochen; also der Kubus ö ΔÎč Ό° ÎČ Ï‡Î°ÎČφ, und das doppelte Quadrat wird Îșαί οί ÎŽÎŻÎș> απ’ rtiVoĂŒ Î”ÎżÎŹÎłÎœÎżÎč ÎłÎŻÎœÎżÎčΜαÎč Ό°η ΔΜ ÎŒÎżÎżÎŻÎ”Îč Ό°ÎČ Î”ÎżÎ±ÎłÎ·,Îč , 1 . s. >v. Ich habe dieses Beispiel zuerst gewĂ€hlt, weil Diophant hier noch am umstĂ€ndlichsten ist, und daS Zusammentreffen beider Zeichen dadurch vermeidet, daß er in der weiteren Entwickelung die erste ursprĂŒngliche Unbekannte durch Worte aus- j drĂŒckt. Eben so sage er am Ende, als er das zweite x-\l, also j gefunden hat Îșαί Î”ÎŹÎœ ÎŽÏ…ÎŹÎŽÎ± /ÎčΔοία'ÎčÎčΔΜ ΔΰΔ ÎżÎœ rourou ÎŽÎœÎŹÎŽÎč Î”Î»ÎŹÏ‹ÏÎżÎœÎ±, Î”ÏÏ†ÎŒÎżÎŒÎ”Îœ 7ÎżÎœ ' φÎčÎČ ÎŻ $ , „ lind WcilN Wir 2 durch eine um 2 kleinere Zahl, als dieses Quadrat ist, dividirc», finden wir x =In den andern Beispielen ist er weniger ausfĂŒhrlich. IV, 17. 18. In beiden Aufgaben soll x in allgemeinen Aus- druckt» so gefunden werden, daß ein Quadrat wird; er sagt ΔÎč > ΔÎčÎ±ÎłÎœÎčÎșΜ ÎŽ υ gi'b , Îșαί ÎłÎŻÎœÎ”Î±Îč Îż ° ÎŽ υ ÎčÎł. Das heißt, man setze 13.»' gleich x~ mit einem quadratischen Coefsicieiite», z. B. — so ist x — Um nun im fernern Verlauf der Rechnung MißverstĂ€ndnisse und Verwirrungen zu vermeiden, setzt er sogleich in die Funktionen fĂŒr sĂ€mmtliche Unbekannte, die durch das erste x ausgedrĂŒckt waren, den durch das zweite x ausgedrĂŒckte» Werth dafĂŒr. Der Anschaulichkeit wegen will ich das Beispiel IV, 17. kĂŒrzlich durchfĂŒhren. Drei Zahlen zu finden, deren Summe eine Quadratzahl ist, und die außerdem die Eigenschaft haben, daß das Quadrat einer jeden zu der folgenden Zahl ad- dirt eine Quadratzahl giebt. Die mittlere Zahl sei x mit irgend einem Coefßcicntcn, z. B. 4x Î”ÎŹÏ‡ÎÎ·Îż ÎŽ ÎŒÎ­Îż Μ ÎŽÎŻ\Ï€ÎżÎ”, έ ÎŽ. Da das Quadrat der ersten Zahl, wenn man die zweite dazu addirt, ein Qtladrat werden soll, so suche ich ein Quadrat, welches zu 4x addirt ein Quadrat giebt. Die erste Zahl ist also x —1. So ist die erste Bedingung erfĂŒllt. Da nun auch das Quadrat der zweiten zu der dritten addirt ein Quadrat geben soll, so werde ich die dritte Zahl haben, wenn ich 2 von irgend einem Quadrat, z. B. von ls,.r'-s-8.»'-s-1, subtrahire; dann ist die dritte Zahl 8»'-s-1. So sind zwei Bedingungen erfĂŒllt. Nun soll auch die Summe der drei Zahlen eine Quadratzahl sein. Die Summe ist aber 13x; das soll ein Quadrat sein. Ich setze 13.»' gleich x- mit irgend einem quadratischen Cocfsicienten, z. B. gleich 109x-, so ist x ~ 1 3 a 2 . Kehre ich nun zu den Annahme» zurĂŒck, so wĂŒrd die erste Zahl 13.»-—1, die zweite 52.»-, die dritte 104.^ 2 — j— l fein. So habe ich in allgemeinen AusdrĂŒcken drei Bedingungen erfĂŒllt Î»Î”Î»ÎœÎ±ÎŻ ÎŒÎżÎč έΜ r TQia Μ ΔπÎčÎżÎčÎłÎŒÎŹÎœ. Es ist lUtr noch ĂŒbrig, daß auch das Quadrat der drittelt Zahl, wenn man die erste dazu addirt, ein Quadrat werde. Es soll also 10816.^-^-221.»-', oder durch x 2 dividirt, 108l6^-j-22t ein Quadrat werden, und zwar gleich dem Qtladrate von der Wurzel fv wird x = Diesen Werth nun substituirt er in die AusdrĂŒcke fĂŒr d>c drei Zahlen 1, 52.**, 104.»' 5 -f-l Oian; Ă€hnlich ist die Aufgabe IV, 18. VI, 13. 14. 15 . Von diesen drei einander ziemlich confor- 23 " inen Aufgaben, deren jede darauf fuhrt, eine doppelte Gleichung von der Form Ax 2 -\-Bx—y 2 , A l x 2 -s- B t x ^ y , 2 zu lösen, haben wir die erste oben weitlĂ€ufiger behandelt, weshalb ich hier nur das hieher Gehörige kurz wiederholen will. Die aus dem ersten Theile der Rechnung gefundene Annahme des gesuchten rechtwinkligen Dreiecks in der Form 3x, 4 x, 5x fĂŒhrte auf die doppelte Gleichung 6x 2 -j-4x—y 2 und 6x 2 -}-3x—y l 2 . Nun sagt Diophant Und wenn wir die grĂ¶ĂŸere das Glied 4x enthaltende Gleichung auflösen, so wird X — y'ivtrcu o /.i°ö iv / logiw 6 U ftfi fi v q. Hier ist das x 2 im Nenner dieselbe GrĂ¶ĂŸe, welche wir oben m 2 genannt haben, nĂ€mlich der Coefficient von x 2 , welcher fĂŒr y 2 snb- siitnirt ward. Indem nun Diophant den gefundenen Ausdruck in die zweite Gleichung ßa^-^Zx — y 2 substituier, und dann diese Gleichung auslöst, findet er das zweite x, das heißt, unser m und nun kehrt er zu der ersten Gleichung zurĂŒck, und setzt 6x 2 -\-4x = dem Quadrate eines Vielfachen von x, dessen Coefficient das zweite, durch die zweite Gleiehung bestimmte x ist. Die folgende vierzehnte Aufgabe verlangt, Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so daß der Inhalt ein Quadrat wird, wenn man jede Kathete da- t von abzieht. , Wie in der vorigen Aufgabe, so wird man auch hier darauf gefĂŒhrt, das gesuchte Dreieck dem Dreiecke st, 4, 5 Ă€hnlich anzurechnen. Seien also die Seiten des gesuchten Dreiecks 3x, 4x, six rfrd%a-c.> oini iv g also wird auch diese Bedingung erledigt. Aber außer 1 kann m auch noch unzĂ€hlige andere Werthe haben. Um einen solchen zu finden, braucht Diophant dasselbe Symbol noch einmal in einer dritten Bedeutung. Es heißt nĂ€mlich „Wenn man aber die Einheit nicht anwenden will, so setze man die Wurzel des Quadrats .r-J-1, so daß das dreifache Quadrat nebst der Zahl 6 wird und dieses ist leicht zu einem Quadrate zu machen; und man findet x nicht großer als y, aber die Wurzel des gesuchten Quadrats, nĂ€mlich nicht großer als y*. Das so gefundene Quadrat von 6 abgezogen macht x rational." Diophant hat sich hier einige SprĂŒnge erlaubt, zu deren ErklĂ€rung Folgendes hinreichen wird. Es sollte, um das zweite x oder das m zu bestimmen, 12^ 2 -j-24 ei» Quadrat werden, was, da 12-j-24 ein Quadrat, also der Werth x~l sogleich gegeben ist, keine Schwierigkeit hat. Man setzt nĂ€mlich x ~ x t -j- 1, so wird 12x Q -j- c 2-i — 2 H—36. So erscheint aber die Formel bei Diophant nicht. Da nĂ€mlich der Ausdruck 12x 2 -j-24 durch das Quadrat 4 thcilbar ist, so kommen wir zu demselben Ziel in kleineren Zahlen, wenn wir — 4 T das ist zu einem Quadrate machen. Dann crgiebt die Substitution von x L + 1 fĂŒr x die Formel dxf+Gx, +9. Nun muß aber x 2 , weil es von 6 abgezogen lvcrden soll, kleiner als 6, also .^ ~ 3 — ,*,", so wird .r, — ; cs ist also n so anzuueh- uic», daß - t'- 1 '' 38 , oder, da 1936 â€”ĂŒ i-, sein mĂŒsse. Nehmen wir Beispiels halber n — 6 a», so wird x, — , also das zweite x oder unser m = , r - j- 1 — f f ; wir siude» also eine» Werth fĂŒr das erste x, welcher den beide» Glei- chnngen 6x 2 — ix—y' und 6x- — — yc genĂŒgt, wenn wir y — \\x setzen; nĂ€mlich x = , welcher Werth — - 1020 t 4 — OmrT !luu{ ' f 3" dieser Aufgabe hat also das Zeichen x oder das Diophantische drei verschiedene Bedenumgen; erstens bedeutet es den gemeinschaftliche» Faetor, in welche» die Seiten des seiner Form nach aus frĂŒheren Betrachtungen gegebenen Dreiecks mnltiplicirt werden mĂŒssen, damit es den Fordertmgen gegenwĂ€rtiger Attfgaben angepaßt werden könne. Setzt man nun 6x 2 —4.*— m-x-, so bedeutet dasselbe Zeiche» zweitens den Fac- tor m. Dieser Faetor ist so zu bestimmen, daß auch 6x~ — ix ein Quadrat werde; die Sttbstitntion des attS der ersten Gleichtmg geftindenen und durch tu ausgedruckten Werthes fĂŒr x ergiebt die Bedingung, daß 12/-—— 24 oder 3»^-s-6 ein Quadrat sein mlisse; da hier der Werth m—\ bekannt ist, so erhĂ€lt man neue Werthe fĂŒr m, wenn man m = setzt; und so bedeutet Diophant's Zeichen drittens die Große s; und dasselbe Zeichen wĂ€re viertens fĂŒr die obeit mit n bezeichnete Große verwandt worden, wenn Diophant die Auflösung, die er bloß andeutet, durchgefĂŒhrt > hĂ€tte. "VI, 15. Ein rechtwinkliges Dreieck ztt finden, so daß der FlĂ€cheninhalt, sowohl wenn man eine Kathete, als auch, wenn man die Hypotenuse subtrahirt, ein Quadrat giebt. Auch in dieser Aufgabe, welche aus der Annahme der Seiten 3.-, ix, r ox auf die doppelte Gleichung fĂŒhrt 6x 2 —3x~y 2 , >x- — 5x — y 2 , ivird x durch x ausgedrĂŒckt, indem wir vorher y gleich einem unbestimmten Vielfachen von x gesetzt wird, als dessen Coefsicieut Diophant »ach der Entwickeltmg x substituirt; mit faßt er sich hier ganz kurz, indem er sagt Îșαί Î”ÎŹÎœ Ï€ÎżÎčÎź '^'Γ “ und bp n die Zahl c n , so wird der Forderung genĂŒgt, wenn man v — ~ setzt; den» dann ist x n — da nun so ist ~ und da r" i> n , so ist ~ . 392 Sucht man z. B. ein Quadrat, welches zwischen lO und 11 liegen soll, so multiplieire man 10 und 11 successive mit 4, 0, 16 u. s. w. so lange, bis zwischen beide Producte eine Quadratzahl fallt; die Multiplication mit 4 und 9 giebt kein Resultat, denn weder zwischen 40 und 44, noch zwischen 90 und 99 liegt eine Quadratzahl; dagegen giebt die Multiplikation mit 16 die Grenzen 160 und 176 und zwischen beiden liegt die Qliadratzahl 169; demnach liegt x 2 innerhalb der erforderten Grenzen, wenn wir es gleich '-nr, also x~ V setzen. Von diesem einfachsten Falle der Grenzmethoden finden sich bei Diophant folgende Beispiele. IV, 34. Man soll die Zahl 1 in zwei Stucke zerlegen und zu jedem StĂŒcke eine gegebene Zahl addiren, und das Produkt der beiden Summen soll ein Quadrat sein. Die beiden gegebenen Zahlen seien 3 und 5. Da§ eine StĂŒck sei x —3, so ist das andere 4— x. Legt man zu dem ersten 3 hinzu, so erhalt man x, legt man aber zu dem zweiten 5 hinzu, so erhalt man 9—*; demnach soll x 2 ein Quadrat sein. ES sei gleich 4x 2 , so wird .=ÂŁ. Wenn ich diesen Werth in die obigen AusdrĂŒcke substituiren will, so kann ich 3 von x nicht subtrahier»; x muß also grĂ¶ĂŸer als 3 und kleiner als 4 werden, Wir haben aber x gefunden, indem wir 9 durch 5 dividirten, und 5 ist ein um 1 vermehrtes Quadrat; wenn nun 9 durch ein »in 1 vermehrtes Quadrat dividirt einen Quotienten geben soll, welcher grĂ¶ĂŸer als 3 ist, so muß der Divisor kleiner als 3 sein; es soll also ein um 1 vermehrtes Qliadrat kleiner als 3, also das Qliadrat kleiner als 2 sein. Ferner soll aber der Quotient auch kleiner als 4 sein; demnach muß der Divisor grĂ¶ĂŸer als 2ÂŁ sein; aber der Divisor ist ein um 1 vermehrtes Quadrat; folglich muß das Quadrat grĂ¶ĂŸer sein als lÂŁ; das Quadrat soll aber auch kleiner als 2 sein. Ich muß also ein Quadrat suchen, welches grĂ¶ĂŸer als 1{- und kleiner als 2 ist. Ich verwandele beide AusdrĂŒcke in BrĂŒche mit quadratischem Renner ÎŹÎœÎ±Î»Î° ruvfn ΔÎč ÎŒ ρÎčα Î”ÏÎ±ÎłÎâ€™ÎÎșÎŹ, z. D. 64; so werden sie 80 und 128. Das erste ist leicht, und es ist das Quadrat VV »der . Run komme ich zu der ursprĂŒnglichen Aufgabe; ich suchte — x 2 zu citiern Quadrat zu machen; ich setze es gleich dem gefundene», nĂ€mlich 2 *& 2 , so wird 393 .r=y T 4 . — Um also ein Quadrat zu finde», das zwischen 4 und 2 liegt, multiplicirt Diophant beide Ausdrucke mit 64; er wĂ€re einfacher zu demselben Resultate gelangt, wenn er mit 16 multiplicirt hĂ€tte; er hĂ€tte die Grenzen 20 und 32 erhalten; da zwischen beiden die Quadratzahl 25 liegt, so ist 44 ein Quadrat, welches grĂ¶ĂŸer als 4 und kleiner als 2 ist. HĂ€tte er mit 36 multiplicirt, so hĂ€tte er die Grenzcit 45 und 72, und zwischen beiden die Quadratzahlen 49 und 64 gefunden; demnach konnte er 9— x* auch gleich und gleich 2 oder V* 2 setzen. Die von ihm angeordnete Mnltiplication mit 64, welche die Grenzen 80 und 128 gab, gestattete außer yy auch die Werthe 44 und W; '»an ersieht also, wie man unendlich viele Werthe fĂŒr x finden kann, welche alle innerhalb der vorgeschriebenen Grenzen liegen. VI, 2. sucht Diophant cincit Kubus, der zwischen den Grenzen 2 und 4 liegt; hier crgicbt sogleich die Multiplication mit 8—2» ein erwĂŒnschtes Resultat; es liegt nĂ€mlich zwischen 16 und 32 die Knbikzahl 27, demnach ist y ein zwischen 2 und 4 liegender Kubus. Die Multiplication mit 27 hĂ€tte die Grenzen 54 und 108 gegeben; da zwischen beiden die Kubikzahl 64 liegt, so wĂ€re auch 44 ein brauchbarer Kubus gewesen; ebenso 444 s- w. VI, 23. wird eine sechste Potenz, ein Kttboktlbus, gesucht zwischen den Grenzen 8 und 16, Nim sind die sechste,; Potenzen der ersten natĂŒrlichen Zahlen 64, 729, 4096, 15625, 46656 u. s. w. Multiplicirt man also die Grenzen 8 und 16 mit 64, so erhĂ€lt man 512 und 1024; da zwischen beiden 729 liegt, so ist Y „ 9 ein der Forderung entsprechender Kubokubus. Die Multiplication mit 729 ergĂ€be dagegen kein Resultat; denn 8 mal 729 ist 5832, 16mal 729 ist 11664 und zwischen beiden liegt keine sechste Potenz. Ein complicirteres Beispiel habe ich oben schon gelegentlich erörtert, In der Aufgabe IV, 26. wurde nĂ€mlich verlangt, x so zu finden, daß grĂ¶ĂŸer als .* und kleiner alS x-\-l werde. Da ich DiophantS Verfahren dort weitlĂ€ufig auseinandergesetzt habe, so will ich es hier nicht wiederholen, sondern zu einigen andern Beispielen dieser geistreichen Methode ĂŒbergehen. V, 33. Diese im Original in Versen ausgedrĂŒckte Aufgabe lalltet nach Echulz's Übersetzung so 394 Zweierlei Wein, acht Drachme» das Maaß, und schlechter» zu sĂŒttf nur Mischte der gĂŒtige Herr seinen Bedienten zu». Fest. Was er als Preis fĂŒr beides bezahlt, war eine Quadratzahl; Legst du zu dem Quadrat aber noch Sechzig hinzu, Siehe so hast du ein zweites Quadrat; nun merke, die Wurzel Zeigt dir, wie viel Maaß jener im Ganzen gekauft. Uud nun sage mir an, wie viel des besseren Weines, Und wie viel zu fĂŒnf, wurde zusammen gemischt? * Diophcmt's Auflösung ist wörtlich diese „Der Siuu dieses Epigramms ist folgender. Es hat Jemand zwei FĂ€sser Weiu gekauft; von dem eincil kostet das Maaß 8 Drachmen, von dem andern 5 Drachmen. Der Preis, den er fĂŒr alles zusammen bezahlt hat, ist eine Quadratzahl; und wenn man dazu 60 addirt, so wird das wieder eine Quadratzahl, deren Wurzel die Anzahl der Maaße augicbt. Wie viel war da zu acht, wie viel zu fĂŒnf Drachmen? — Die Anzahl der Maaße fei .*-, so ist der Preis x 2 — 60; und es soll x 2 —60 eine Quadratzahl sein; ihre Wurzel muß man gleich .r weniger einer gewissen Zahl setzen. Aber x 2 — 60 ist zusammengesetzt aus zwei Zahlen, dem Preise des Weins zu 8 Drachme» uud dem Preise des Weins zu 5 Drachmen; und ein FĂŒnftel des letzten, ist die Anzahl der Maaße zu 5 Drachmen, ein Achtel des erster» die Anzahl der Maaße zu 8 Drachmen; und da die Anzahl der Maaße beider Arten x sein soll, so kommt es darauf a», x *—60 in zwei Zahlen zu zerlege», so daß ein FĂŒnftel der einen und ein Achtel der andern zusammengenommen x ausmacht. Das ist aber nicht anders möglich, als wen» x grĂ¶ĂŸer als ein Achtel von x 2 —60 uud kleiner als ein FĂŒnftel von x 2 —60 ist; es wird also x 2 —60 grĂ¶ĂŸer als 5x und kleiner als 8.* sein. Da nun .*‱* — 60 grĂ¶ĂŸer als sein soll, so addire man auf beiden Seite» 60, so wird x 2 grĂ¶ĂŸer als also x 2 grĂ¶ĂŸer als 5.* plus einer Zahl, welche grĂ¶ĂŸer als 60 ist; daher wird x grĂ¶ĂŸer oder wenigstens nicht kleiner sein mĂŒssen als I l. Da ferner x 2 — 60 kleiner als 8 .t ist, so addire man auf beiden Seiten 60, so wird .** gleich sein 8r plus einer Zahl, welche kleiner als 60 ist, woraus folgt, daß .* nicht grĂ¶ĂŸer als 12 sein mĂŒsse. Es ist aber gezeigt worden, daß eö auch nicht kleiner als l l sei» dĂŒrfe. Daher wird grĂ¶ĂŸer als 1l und kleiner als 12 werde» mĂŒssen. Wen» wir aber .**— 60 zu einem Quadrate machen solle», so bilden wir die Wurzel dieses Quadrats von x weniger einer gewissen Zahl, und 395 es entsteht x, tveini wir zu bcm Quadrate einer Zahl 60 addire», und die Stimme durch das Doppelte derselbe» Zahl dividircu. Wir mĂŒssen also eine Zahl suche», so daß, wenn man zu ihrem Quadrate 60 addirt und die Summe durch die doppelte Zahl dividirt, der Quotient grĂ¶ĂŸer als l l, aber kleiner als 12 wird. Nennen wir die gesuchte Zahl x, so soll - grĂ¶ĂŸer als 11 und kleiner als 12 werden. Zuerst also soll —> 11 werden, also x 2 -j-0ĂŒ > ist also gleich x 2 plus einer Zahl, welche kleiner ist als 60; daher darf x nicht kleiner als 19 sein. Ferner soll — + 60 folglich ist x > x 8 b 5 .r, oder x a — 54 >60 sein soll, so muß x > 2bj , oder .*> 10,6394 sein. Die zweite Bedingung x 2 —60 > 84 oder ^ — 84 >60, giebt ^->4-s-f/76, oder 4 -> 12,7178. Ich habe bei einer andern Gelegenheit darauf aufmerksam gemacht, was es bedeute, wenn aus diesen Resultaten Diophant den Schluß zieht also darf x nicht kleiner als 11 und nicht grĂ¶ĂŸer als 12 sein. Wenn wir nun x 2 — 60 zu einem Quadrate machen sollen, so setzen wir den Ausdruck = x—p 2 = x 2 — 2 />.r-f-/; 2 ; dann wird x — —. Welchen Werth wir nun auch fĂŒr p setzen, so wird x immer so beschaffen sei», daß x 2 — 60 ein Quadrat wird. Aber p muß hier so gewĂ€hlt werden, daß x innerhalb der eben gefundenen Grenzen 11 und 12 liegt. Es darf also zuerst V nicht kleiner als 11 , also p 2 - f- 60 nicht kleiner als 22 /- wcrdcn; demnach p nicht kleiner als 11-s-^61, das heißt, nicht kleiner als 18,81-, oder nach Diophant's Vorstellung nicht kleiner als 19. Ferner darf aber auch nicht grĂ¶ĂŸer als 12, also />*4-60 nicht grĂ¶ĂŸer als 24/,, folglich p nicht grĂ¶ĂŸer als 124-V84, das heißt, nicht grĂ¶ĂŸer als 21,165-, oder nach Diophant nicht grĂ¶ĂŸer als 21 sein. Wir werde» also einen passenden Werth fĂŒr x erhalte», wenn wir p innerhalb der gefundenen Grenzen, also etwa gleich 20 annehmen; da wir aber p auch gleich 19 und gleich 21 und gleich jedem Brliche innerhalb dieser Grenzen annehmen können, so erhellt daraus, daß die Aufgabe unzĂ€hlige Auflösungen zulĂ€ĂŸt. Setzen wir nun mit Diophant p — 20, so wird 4004-60 23 x — —— = - j=11t, und das ist der Voraussetzung gemĂ€ĂŸ die Anzahl der gekauften Maaße. Der dafĂŒr bezahlte Preis war aber x 2 —60, Somit haben , 23 m-j-n = -j, Hi lft ℱ_, = ^ = "’ = 72 4 . wir nur noch m und n aus den beiden Gleichungen 8 ,4-5,* — 4s- Zll bestimmen. Diophant setzt nun 397 n — x, so wird m — — — x, also 8»» j }-fvi = 92— und das >st gleich -j-, lo -*— i2 IV, 45. Drei Zahlen zu finden, so daß der Überschuß der grĂ¶ĂŸte» ĂŒber die mittlere zu dem Überschuß der mittlern ĂŒber die kleinste ein gegebenes VerhĂ€ltniß habe, außerdem aber je zwei zusammengenommen ein Quadrat zur Summe geben. Die Auflösung dieser Aufgabe, in welcher fast alle bisher er- - wĂ€hnten Methoden sich gegenseitig die Hand bieten, gehört zu den schönsten, aber auch zu den schwierigsten, welche Diophant's Werk uns darbietet, weshalb ich sie in ihrem ganzen Umfange darstellen will. Diophant nimmt an, daß der Überschuß der grĂ¶ĂŸten Zahl ĂŒber die mittclste das Dreifache des Überschusses der mittclsien ĂŒber die kleinste sein soll. Es soll also, wenn wir die drei gesuchten Zahlen in ihrer Reihenfolge von der grĂ¶ĂŸten zur kleinsten A, B, ' nennen, A—B—Ziß—C, außerdem aber sollen die drei Summen A-\-B, B-\-C, ^-s-C, so ist B^> 2, rA + 4-y, 2 . Weil hier die bestimmten Zahle» Quadrate sind, so ist, sagt Diophant, die Auflösung ganz leicht- Es ist nĂ€mlich y 5 —y, 2 — Damit man nun sowohl in dem Allsdruck fĂŒr y 2 als fĂŒr y , 2 das Glied 4 erhalte, muß man y-f-yi — ÂŁ.r, y—y, — 4 setzen; dann wird y = ^.r-}-2, y, — —2; also 112. Nun war aber mA r p' > m 2 , so wird m — , und dieser Ausdruck soll kleiner sein als 2. Nachdem Diophant diese Formel >m Kopfe ausgerechnet hat, setzt er p wieder =x die Stelle lautet bei ihm so! ÎłÎ”ÎłÎżÎœÎ” ovv i / o / - grĂ¶ĂŸer als 6p -J-18. Die Art, wie Diophant diese Gleichung auflöst, haben wir gehörigen Orts nĂ€her belklichtct, und es sindct sich, daß p grĂ¶ĂŸer als 399 also grĂ¶ĂŸer als 4, 854, oder wie Diophant sich immer ausdruckt, nicht kleiner als 5 sein darf. Setzen wir nun /-—5, also — 3 — 5 tnf, so wird = Nun war die Wurzel des zweite» Quadrats »r-s-2, also —1, das zweite Quadrat selbst also dieses zweite Quadrat war aber auch 6^+4, folglich haben w,r6^-s-4 —also x — Nun waren die drei Zahlen 7^-s-2, 2— x; sie sind also lUs' -§is' lĂŒs' obcr wcnn ,,,sln bei, Nenner quadratisch e"'rlchtm w , w , w . Das einzige, was bei dieser Darstellung vielleicht dunkel geblieben ist, ist bei der Betrachtung der drei Quadrate Sx - f- 4, 4 die Forderung, diese Quadrate so zu finden, daß der Überschuß des grĂ¶ĂŸten ĂŒber das zweite ein Drittel des Überschusses des zweiten ĂŒber das kleinste werden mĂŒsse, damit das VerhĂ€ltniß der ÜberschĂŒsse der ursprĂŒnglich gesuchten drei Zahlen A , B, C erhalten werde. Die Sache ist aber ganz einfach, wenn wir bedenken, daß nach der Annahme A—B~3B—C sein sollte, nach der Entwickelung aber — A-\-B, — A-\- C, 4 = B-\- C ist. Ist nun A — li Mt—ZC so ist A-\~B - 5// — 4C r und A-\-C=Ui— iC da nun b\-C= B-\-C so ist A-\-B — A-\-C = B-C {A+ C — {B-\- C = ZB-ZC folglich {A + B — {A+C = ^{A+C-i{B+C. Wird also die eine Bedingung erfĂŒllt, so wird die andere zugleich mit erledigt. Es war also, uni allen Bedingungen der Aufgabe zu genĂŒgen, weiter nichts nöthig, als das eine Quadrat 4, das andere kleiner als 16, aber in der Form und das dritte um ein Drittel des Unterschiedes dieser beiden grĂ¶ĂŸer als das zweite zu machen. 13. Die Zahl 1 in zwei StĂŒcke zu zerlegen, so 400 daß, wenn man jedem StĂŒcke eine andere gegebene Zahl addirt, die beiden Summen Quadrate werde». Die beide» gegebenen Zahlen seien 2 und 6. Diese Aufgabe gĂ€be ist die einzige, in welcher Diophant sich einer geometrischen Betrachtung bedient. Man nehme, sagt er, eine Einheit AB, die der Aufgabe gemĂ€ĂŸ in C geschnitten ist- l \ A . 11 ___ _ ^ dann lege man dem StĂŒcke AC ' c zwei Einheiten AI und dem StĂŒcke CJt sechs Einheiten BE zu, so werden CD und CE Quadrate sein. Da nun AB eine Einheit, AI und BE zusammen aber acht Eiuhcitcn sind, so ist die ganze Linie 1E gleich neun Einheiten. Man hat also die Zahl 9 in zwei Quadrate zu zerlegen; da aber eines dieser Quadrate, nĂ€mlich CD großer als AD, aber kleiner als BJ ist, so stellt die Aufgabe sich so die Quadratzahl 9 in zwei Quadrate ju zerlegen, so daß das eine zwischen 2 und 3 fĂ€llt. Ist auf diese Weise CD gesunden, so ist auch AC gegeben, da AD— 2 gegeben ist; lind wenn man AC von der Einheit AB abzieht, so hat man das andere StĂŒck CB. Das eine Quadrat, welches zwischen 2 und 3 liegen soll, sei x 2 , so ist das andere 9— x 1 Dieser Ausdruck soll Quadrat sein. Das ist zwar leicht zu bewerkstelligen, aber man soll x so finden, daß x- zwischen 2 und 3 fĂ€llt. Wir nehmen zwei Quadrate, deren eines grĂ¶ĂŸer als 2, das andere kleiner als 3 ist, r- B. ^ und Wenn wir nun x 2 so finden können, daß es zwischen diesen beiden Quadraten liegt, so haben wir die Aufgabe gelöst. Es muß also auch die Wurzel von x 2 , nĂ€mlich x, grĂ¶ĂŸer als 14 und kleiner als -4 sein. Wollen wir aber 9—.r 2 zu einem Quadrate machen, so setzen wir die Wurzel dieses Quadrats gleich 3 — mx diese Operation ist bei Diophant auf die gewöhnliche Weise umschriebe», und finden x = 1 Dieser Ausdruck soll grĂ¶ĂŸer als n uud kleiner als sein. Es soll also zuerst > tt, also 72,>» 17w, 5 4-17 sein, demnach muß ,„ 36 oder >-, oder 401 oder nicht kleiner als sein. Nun ist ÂŁÂŁ = 3^4, 4 = 3 T y, daher nimmt Diophant fĂŒr m den zwischen beiden Grenzen liegenden liegenden Werth 3^ oder i, dann wird = woraus sich die gesuchten StĂŒcke, in welche 1 zu theilen war, leicht ergeben. Ich will dieser Auflösung nur die Bemerkung hinzufĂŒgen, daß das Verfahren, zwei Quadrate wie ^ und ^ zu finden, die zwischen den gegebenen Grenzen 2 und 3 liegen, ganz dasselbe ist, welches ich oben fĂŒr ein Quadrat angegeben habe. Man multiplicirt die beiden Zahlen 2 und 3 so lange mit der Reihe der Quadrat- zahlen, bis zwischen zwei solcher zusammengehöriger Productc zwei Quadratzahlcn fallen. Die folgende Tabelle wird zeigen, daß Diophant seine Grenzen fĂŒr x in viel kleinern Zahlen hĂ€tte finden können. n 2 2 n 1 3 n 1 Dazwischen liegende Quadrate. 36 72 108 81, 100 49 98 147 100, 121, 144 64 128 192 144, 169 81 162 243 169, 196, 225 100 200 300 225, 256, 289 121 242 363 256, 289, 324, 361 144 288 432 289, 324, 361, 400 Selbst wenn er, wie es scheint, solche Quadrate suchte, die bei gemeinschaftlichen Ncimcrn in den kleinsten Zahlen ausgedrĂŒckt sind, so hatte die zweite Reihe ihm die viel kleinern und dcit beiden Grcn- 100 14-1 zen ziemlich nahe liegenden Quadrate und geboten, so daß er also x zwischen y und y hĂ€tte zu suchen gehabt, wodurch ĂŒbcr- dicß die Grenzen fĂŒr x etwas weiter geworden wĂ€ren. Von ganz besonderem Interesse aber ist in dieser Methode der Grenzen eine Operation, welche Diophant tfctgio-orw oder gro. rT i 5 '°>’ aycöj-rj, Methode der Beinahegleichhcit, nennt, und die zum Zweck hat, zwei oder drei Quadrate zu finden, deren Summe einer gegebenen Zahl gleich ist, und die alle einer und derselben Zahl, also auch einander möglichst nahe liegen. Ich will diese höchst sin»- l- 26 402 reiche Methode an den beiden auch noch in anderer Beziehung interessanten Beispielen, in denen wir sie dargestellt finden, nĂ€mlich V, 12. 14., entwickeln. V, 12. Die Zahl 1 in zwei StĂŒcke zu zerlegen, so daß, wenn man zu jedem StĂŒcke dieselbe gegebene Zahl addirt, beide Summe» Quadrate werden. Ich ĂŒbergehe bei dieser, wie bei der folgenden Aufgabe die Determination, von der ich bei einer andern Gelegenheit spreche» werde, und stelle gleich Diophant's Auflösung dar. Die gegebene Zahl sei 6 ; nennen wir nun vorlĂ€ufig die beiden Theile der Zahl 1 A und B, so sollen A -\-6 und B-\-6 Quadrate werden. Sei A-\-6 — ni 1 , B-\-6 — n z , so ist ihre Summe J + Ä+12, das ist, da A+B= 1 ist, l3 = m 2 -\-n 2 . Es kommt also darauf hinaus, die Zahl 13, welche die Summe der Quadrate 9 und 4 ist, in zwei andere Quadrate m 2 und ri l zu zerlegen, deren jedes grĂ¶ĂŸer als 6 ist, damit nĂ€mlich A-~m 2 —6 B -n 2 — 6 positiv werde». Wenn ich also, sagt Diophant, die Zahl 13 in zwei Quadrate zerlege, deren Differenz kleiner als 1 ist, so habe ich die Aufgabe gelöst. Nun schlĂ€gt Diophant folgenden cigenthiimlichcu Weg ein. Er nimmt die HĂ€lfte von 13, nĂ€mlich 67 , und untersucht, welchen quadratische» Bruch man zu 6 ^ addireu muffe, damit die Summe ein Quadrat werde. Es ist also die Gleichung ober 2G-f-~j, oder 26.^ -f -1 zu einem Quadrate zu machen gesetzt. Diophant setzt 26 §^-j -1 — 5.*-, -j— l 2 und findet .-!= 10, also .r- —20; demnach wird ^ + —'S — tu’ Die Annahme des o.^-j-l war aber nicht willkĂŒhrlich, sondern der Cocfficicut von .t\ mußte so genommen werden, daß ein Ă€chter und wo möglich kleiner Bruch wurde. HĂ€tten wir also 1 a -j-l allgemein = /-,-}- Q 1 - /> 1 ' 3 -j- 2 /At , J -l gesetzt, so hĂ€tten wir . 3 -, = ^ gefunden. Es mußte also 26— /> J .26, also />>.— 1 -f-V27; demnach ist i» ganzen Zahle» 5 der kleinste Werth, den /> haben konnte. Da wir nun das Quadrat gefunden haben, welches nur um grĂ¶ĂŸer ist als 6 ^, so kommt es darauf an, 403 13 in zwei Quadrate zu zerlegen, deren jedes dem Quadrate ^ möglichst nahe kommt; folglich werden die Wurzeln der gesuchten Quadrate der Wurzel des gefundenen, möglichst nahe kommen mĂŒssen. Nun sind die Wurzeln der beiden Quadrate, aus welchen 13 von Natur zusammengesetzt ist, 2 und 3; und zwar ist 2 um ^ kleiner und 3 um ^ grĂ¶ĂŸer als Wollte man nun die Wur- Sei des einen gesuchten Quadrats 2-j-^, die des andern 3 —~ setzen, so wĂŒrde die Summe ihrer Quadrate genau - ~ 6 q 01 -, also um grĂ¶ĂŸer als 13 wurden. Darum setzt Diophant die Wurzel des einen Quadrats die des zweiten 3—9^, wo x begreiflicher Weise einen Werth haben wird, der nicht genau t 'tt ist, aber diesem Bruche nahe kommt. Nun setzt er die Summe der Quadrate dieser beiden AusdrĂŒcke gleich 13, woraus sich der Werth fĂŒr x crgicbk. Es ist nĂ€mlich 2 -j-1 - 4 -j- Aix -\-121 x-, 3— 2 — 9 — 54also ihre Summe 13— 202a 2 = 13, also x = ^. Demnach sind die Wurzeln der beiden Quadrate, in welche man 13 zu theilen hatte, ^ und ihre Quadrate ^ und und wenn man von ;edcm derselben 6 subtrahirt, so erhalt man die beiden Theile, in welche die Einheit gecheckt werden sollte, nĂ€mlich - ^ ut ~ rmd 12u j. Ich glaube in dieser Darstellung die Methode von jeder Un- dcutlichkcit befreit zu haben. Bei Diophant, der sich hier wider seine Gewohnheit an manchen Stellen tingebĂŒhrlich kurz faßt, ist Manches nicht ganz cinsichtlich dargestellt; so scheint mir die Annahme von 2 -s- l I x und 3— fĂŒr die Wurzeln der beiden Quadrate bei ihm nicht hinlĂ€nglich motivirt zu sein. Er sagt nĂ€mlich, nachdem er das zu y zu addircnde Quadrat ~~ = ^ gefunden hat, ganz kurz „Wenn man also 13 in zwei Quadrate zerlegen will, so muß man die Wurzel eines jeden möglichst nahe an ^ nehmen; und ich suche, was von 3 subtrahirt und zu 2 addirt diese Zahl, nĂ€mlich giebt. Daher setze ich die Wurzel des ei- 26 * 404 um Quadrats 11.-2, die des andern 3—9., so ist die Summe ihrer Quadrate u. s. w." Dieser Auflösung ganz Ă€hnlich ist V, 14. Die Zahl 1 in drei StĂŒcke zu zerlegen, so daß, wenn man zu jedem StĂŒcke dieselbe gegebene Zahl addirt, die drei Summen Quadrate werden. Die gegebene, zu jedem der StĂŒcke zu addircndc Zahl sei 3. Nennen wir nun wieder die drei StĂŒcke A, B, C, so soll A-\-3 — m% B-\-3=n i t C-\- 3-/>', also ihre Summe A-\-B-\-C -j-9 = sein; aber A-\-B-\-C ist — J, also 10 — Demnach soll man die Zahl 10 in drei Quadrate zerlegen, so jedoch, daß jedes grĂ¶ĂŸer als 3 wird, damit die drei gesuchten Zahlen A, B, C positiv ausfallen können. Wir nehmen von 10 ein Drittel, das ist 3^, und untersuchen, welchen quadratischen Bruch wir zu 3ÂŁ addircn Â»ĂŒ'isscn, damit die Summe ein Quadrat werde. Wir nehmen Alles neunfach, rmd suchen, welchen quadratischen Bruch wir zu 30 addircn mĂŒssen, damit die Summe ein Quadrat werde. Der Bruch sei so soll 30-}-oder 30^ +1 ein Quadrat werden. Diophant setzt 30 ^ -s-1 — 5.-{-l 2 , und findet 6-—2, also Wenn man also zu 30 den Bruch ÂŁ zu addiren hat, so hat man zu 3^ den Bruch . 121 zu addiren, und die Summe giebt das Quadrat -7^0-, dessen Wurzel ^ ist. Aber 10 besteht aus den beiden Quadraten 9 und 1, 1 aber aus den Quadraten ^ und r, demnach ist 10 zusam- mengesetzt aus den Quadrateir 9, ^ und bereit Wurzeln 3, -f-, - sind. Nun muß man die Wurzeln der gesuchten drei Qua- drate der Zahl -g- nahe zu bringen suchcit. Diophant bringt also diese Zahlen auf den gleichen Nenner 30, so sind die drei Wurzeln W S' 55' '"'d X wird g. Nun ist 3 oder g um g grĂ¶ĂŸer, dagegen ^ um und ^ lim ^ kleiner als Wollte man also die Wurzeln der drei gesuchten Quadrate 3—g, y+g setzen, so wĂŒrde jedes dieser Quadrate genau ihre 405 Summe also also um & großer als 10 werden. Darum setzt Diophant wieder, wie vorher statt des Nenners 30 das Symbol x, und bildet die drei Wurzeln 3-35^-, ^-j-31^-, -j-37^, wo x also nicht genau, aber beinahe ^ sein wird, und setzt mm wieder die Summe der drei Quadrate gleich 10; diese Summe ist aber 10— — 10, woraus x = gefunden wird, also um xt Vt kleiner als ^-V Die Wurzeln der drei Quadrate sind demnach , 1658944 16512-25 505521 ' 505521 ' 1288 7TT' W' M» °.r i-iimpraie - gÖ 552 l "' Zieht man von jedem dieser Quadrate 3 ab, 1285 , s .. ^ w t 1745041 -fĂŒ;, also dre Quadrate so erhalt man die drei gesuchten StĂŒcke der Einheit, nĂ€mlich 228478, 142381, 134662, alle drei dividirt durch 505521. Diophant bricht ĂŒbrigens seine Rechnung ab, nachdem er den Werth fĂŒr x gefunden hat. Bei dieser Aufgabe, wie bei der vorigen kommt es darauf an, daß, wenn wir 2 -f-l zu einem Quadrat machen, x grĂ¶ĂŸer als 1 gefunden werde. Setzen wir nun 2 -j-1 — {px-\-iy, so wird x — 30 ^ . Es muß also 2/>>30— p 1 , also /»*+-P >30, demnach /->—1-s-/31 werden. Demnach ist auch hier 5 die kleinste ganze Zahl, welche fĂŒr p gesetzt werden darf, nicht aber, wie Schulz in den Anmerkungen zu V, 12. sagt, zugleich die grĂ¶ĂŸte. Denn da von x nur das Quadrat gebraucht wird, so ist es von keinem Belange, wenn der Werth fĂŒr x negativ ausfallt, und es wĂ€re in dem Falle nur px —l 2 statt px- f-1 2 zu denken, und Diophant hĂ€tte sicher auch SOx 2 -s-1 — px —l 2 gesetzt, wenn er Grund gehabt hĂ€tte, mit dem Werthe p —5 unzufrieden zu sein. Bei der Aufgabe V, 16. 17. fĂŒhrt Diophant die Auflösung auch auf die eben erörterte Operation der?tao/croj-r] — χ ^ ni 1 , q % —y =?*% tf ' 6 X ~P* 3. x-\ ~y \-x=- q' f x—q 6 = y — q 6 = iP, x — q^—p 1 . 4- x+y-\-x = a, a 3 —m\ 3 +y = 2 , o 3 -\-z = p\ 412 n. x-\-y-\-z=a, n 3 — x = nr, a 3 —y ~n 2 , a 3 —z — />- . 6. x-\-yA-z—a, x — a 3 — ni 1 , y — n 3 ~n 2 , z — u 3 = />-. Die erste dieser Aufgaben ist vollstĂ€ndig ausgesprochen und gelost in der Aufgabe 21., die sechste ebenso in der Aufgabe 23. Die zweite ist ausgesprochen in den Worten der Aufgabe 22., aber durch ein Versehen des Abschreibers ist mit Übcrspringung eines StĂŒcks des Tertcs statt ihrer eigenen die Auflösung der fĂŒnften beigefĂŒgt worden. Uns fehlt also das StĂŒck von der Auflösung der zweiten bis zu den Tcrtcswortcn der fĂŒnften inclnsive. Wenn wir das Fehlende durch Einschaltung andeuten, so verhĂ€lt sich das Vorhandene zu dem Fehlenden folgendermaßen 1. Aufgabe. Auflösung. 2. Aufgabe. Auflösung. 3. Aufgabe. Auflösung. 4. Aufgabe. Auflösung. 5. Aufgabe. Auflösung. 6. Aufgabe. Auflösung. Nehmen wir nun an, daß die zweite und dritte Allfgabc der crstcrn analog durch Algebra gelöst worden seien, und ĂŒberlassen wir dieselben ihrem Schicksal, daß dagegen die ganz fehlende vierte sich an die folgenden beiden angeschlossen habe, so war ihre Auflösung vielleicht folgender Art Da x-j-y-j-z = a, a 3 -\-x=m 2 , 3 -f-y = 5 / a 3 -\-Z~p 2 , so ist, wenn man die drei letzten Gleichungen addirt, Za 3 -\-x-\-y -s-L, das ist 3 3 -s-tt — m 2 -[- n 2 -{- 2 . Nun ist x — m 2 — 3 , y — n~ — 3 , L />- —st. Nun kommt es darauf an, die gegebene Zahl 3st 3 -s-st in drei Quadrate ni 1 , n 2 , p 2 zu zerlegen, deren jedes grĂ¶ĂŸer als a 3 , aber kleiner als st 3 -st ist, weil jede der drei Zahlen x, y, z kleiner als a werden muß. Diophant hat, wie aus der Auflösung der Aufgabe 22. erhellt, st—2 gesetzt. Demnach fĂŒhrt seine Aufgabe darauf hinaus, die Zahl 26 in drei Quadrate zu zerlegen, so daß jedes grĂ¶ĂŸer als 8, aber kleiner als 10 ist, was nach den frĂŒher gelehrten Methoden sich leicht bewerkstelligen lĂ€ĂŸt. Die Zahl 26 ist nĂ€mlich die Summe der Quadrate 16-j-9-j-1, von denen 9 bereits fĂŒr diesen Zweck brauchbar ist, weil es zwischen 8 und 10 liegt. Es ist also nur noch ĂŒbrig, den Rest 17 in zwei Quadrate zu theilen, die innerhalb derselben Grenzen liegen. Lassen wir nun in Gedanken diese Auflösung vorausgehen, so wird die Auflösung der Aufgabe 22., wenn wir ihr als Aufgabe die fĂŒnfte der ausgesteiften zutheilen, völlig verstĂ€ndlich. Auch hier ist a ~2 angenommen,- es soll also .*-+y+» = 2, 8—x- = m-, 8—ij=zn~ t 8——/^ fein. Die drei letzten Bedingungen ergeben 3-8—0+y+*/ das ist 22 = wi 5 -f- I +/> 2 . Nm, ist .v = 8— ni 1 , y — 8 — n% x = 8 —/?*, aber x-\-y-\- x — 2. Demnach hat man die Zahl 22 in drei AusdrĂŒcke zu zerlegen, so daß jedes derselben kleiner als 8, aber grĂ¶ĂŸer als 6 werde, damit nĂ€mlich die Differenzen 8 — ni 1 u. s. w. kleiner als 2 werden. Diesen ganz analog ist dann die Auflösung der Aufgabe 23., in welcher nur statt der Zahl a, welche in drei andere zerlegt werden soll, ein Bruch subsiitnirt ist, weil, wenn x-\-y-\-% = a , und x — 3 , y — a 3 , z — a 3 Quadrate sein sollen, diese lctztcrn Bedingungen nur möglich sind, wenn u, x, y, z Bruche sind. Die Auflösung selbst habe ich oben schon mitgetheilt. Ich muß noch erwĂ€hnen, daß schon Dachet die LĂŒcke an dieser Stelle bemerkt und die drei fehlenden Aufgaben in seinem Com- mentar zu V, 22. gelöst hat. Aber er sowohl als Schulz stellt die Sache so dar, als wĂ€ren zwischen V, 21. und 22. drei vollstĂ€ndige Aufgaben mit ihrer Auflösung ausgefallen. Keinen von Beiden haben die Tcxtcswortc in der Aufgabe 22. auf die ErklĂ€rung der Entstehung dieser LĂŒcke hingefĂŒhrt. Der Fehler ist, wie gesagt, so entstanden, daß der Abschreiber, nachdem er die nach Y, 21. folgende Aufgabe richtig hingeschrieben, aus Versehen dazu die Auslösung einer spĂ€tern stellte, und nach dieser wieder regelmĂ€ĂŸig weiter schrieb. 6. Auflösung in allgemeinen AusdrĂŒcken. Wir haben oben schon ein Beispiel berĂŒhrt, in welchem Dio- phant gleich durch die Form, welche er den durch das Symbol der Unbekannten ausgedrĂŒckten gesuchten Zahlen gab, alle erforderlichen Bedingungen der Aufgabe löste. Er suchte nĂ€mlich V, 2l. drei Zahlen, deren jede eine um 1 verminderte Quadratzahl und deren Summe eine Biguadratzahl sein sollte. Indem er die eine Zahl x* —2.* /! , die zweite Ä- 2 -{-2;r, die dritte x z —2.* setzte, hatte er bereits die ganze Aufgabe gelöst. Denn jede der drei Zahlen ist ein um 1 vermindertes Quadrat, und die Summe von allen dreien ist x*, also eine Biguadratzahl. Eine solche Auflösung nennt Dio- 414 phant eine mibcstmnnte, und er sagt bei diesem Beispiel, in welchem eine Auflösung der Art gar nicht einmal sein Zweck war ÎșαÎč h> ΏοοÎčÎżÎč ÎŹÎżÏ†ÎŒÎżÎ λΔλυαÎč Îż ÎŸÏˆÎżÏÎŒÎ”ÎœÎżÎœ. Aber Weder sind die hier gefundenen AusdrĂŒcke die ganz allgemeine Form dreier Zahlen, welche die verlangten Bedingungen erfĂŒllen, noch hat ĂŒberhaupt Dio- phant eine klare Vorstellung von einer ganz allgemeinen Auflösung, das heißt, von der Auffindung der Unbekannten in einer völlig erschöpfenden, alle mögliche Zahlen in sich schließenden Formel. So wie es ihm bei der gewöhnliche» Auflösung genĂŒgt, irgend welche Zahlen gefunden zu habe», die das Verlangte leiste», so ist es ihm bei der Auflösung ΔΜ Ώοοί völlig hinreichend, ĂŒberhaupt eine Formel gefunden ju haben, welche die Auflösung löst, unbekĂŒmmert darum, ob es nicht etwa noch Zahlen gebe, die ebenfalls die Auflösung lösen, ohne die von ihm aufgestellte Form zu haben. Auch liegt der Sinn, den wir mit einer allgemeinen Auflösung verbinden, gar nicht in den Worten, mit denen er die allgemeine Auflösung definirt. Es heißt nĂ€mlich IV, 20. am Ende Îż γΏο Î±ÎżÏÎŻÎœ ΟψΔÎčΜ stf -ÎčΜ iva η Ï…Ï€ÎżÎż αÎčÎŻÎč roiuvrr] rj, ÎčΜα Îż/ÎżÏ… Îč ρΔλΔÎč ÎżÎœ Î±ÎżÏ†ÎŒÎżÎœ Î”ÎŻÎœÎ±Îč, Î­Ï€ÎŻ 7α ÎœÎ¶Î¶ÎżÎ±ÎŹÎ±Î”Îč %οΐΎ\α Îż*Îż*] Î”Ï€ÎŻÎ±ÎłÎŒ α. „Denn das heißt eine Aufgabe unbestimmt lösen, wenn der Ano- druck fĂŒr die gesuchte Zahl so beschaffen ist, daß, welchen Werth man auch der Unbekannten geben mag, dieser in die allgemeinen AusdrĂŒcke eingesetzt immer die Aufgabe löst." Und IV, 37. am Ende Îż diese in den Exponenten niultiplicirt, giebt 3-r-; wenn ich dieses dividirc durch den Überschuß der zweiten Zahl ĂŒber den Exponenten, nĂ€mlich durch x —3, so wird die erste Zahl In allen drei Beispielen ist also die Regel, welche Diophant giebt, ganz allgemein und fĂŒr jede gegebene Zahl geltend, und es ist nur ein Mangel seiner Symbolik, daß er die Regel in ihrer Allgemeinheit nicht in eine Formel ĂŒbersetzen kann. Die Regel IV, 37. sagt Wenn die eine Zahl x —1 ist, so ist die andere iLz£Ü, Die Regel IV, 39. Wenn die eine Zahl x-j~l ist, so ist die andere Bei dem dritten Beispiel ist zu bedenken, daß Diophant durchgchcnds unter dem VerhĂ€ltniß inuncr das Vielfache versteht, das heißt, daß er nur VerhĂ€ltnisse statuirt, deren Exponenten ganze Zahlen sind. Er nimmt also an, das Produkt der beiden Zahlen verhalte sich zu ihrer Summe, wie m 1; ist dann die eine Zahl x, so ist die andere x ~~ ~ Setzten wir allgemeiner das VerhĂ€ltniß m n, und die erste Zahl x, so wĂŒrde die zweite —-werden. 01X — o/l Etwas complicirter, aber darum nicht weniger allgemein gelost ist das Beispiel IV, 20. Drei Zahlen in allgemeinen AusdrĂŒcken zu finden, so daß das Product von je zweie» ein Quadrat wird, wenn man I dazu addirt. „Da ich verlange, daß das Product der ersten und zweiten um 1 vermehrt eine Quadratzahl werde, so werde ich dieses Product haben, wenn ich von irgend einem Quadrate 1 abziehe. Ich bilde das Quadrat von x mit irgend einem Koefficienten rrAauw., 7ÂŁ7 OOi- 417 Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ Ï€Îż Μ ÎŽÎźÏ€ÎżÎ” NNd bCr Zahl 1, z. B- .r'-s-l, so ist das Quadrat .^ wenn ich davon 1 abziehe, so wird der Nest ^ das Product der ersten und zweiten Zahl sein. Die zweite Zahl sei x, so ist die erste .r-f-2. Da ich ferner verlange, daß das Product der zweiten und dritten Zahl um 1 vermehrt eine Quadratzahl werde, so werde ich, wenn ich von irgend einer Quadratzahl 1 subtrahire, das Product der zweiten und dritten haben. Ich bilde das Quadrat von 3^-f-l, welches 9^ +1 ist, so wird das Product der zweiten und dritten Zahl 9^ -j-6.*. Die zweite Zahl ist aber x ; also die dritte 9^-s-6. Da ich endlich will, daß auch das Product der ersten und dritten Zahl ein Quadrat werden soll, wenn man 1 addirt, so muß 9.^-s-24r- 4-13 ein Quadrat sein." — HĂ€tte nun Diophant nicht eine allgemeine, sondern eine gewöhnliche Auflösung in bestimmten Zahlen verlangt, so wĂ€re nichts leichter, als diesen Ausdruck zu einem Quadrate zu machen. Nun aber wendet er die Methode der ZurĂŒck- rechnung an, um durch eine neue Annahme statt der oben willkĂŒhr- lich gewĂ€hlten Quadrate von .*-1 und von 3x-\-l auf einen Endausdruck zu gelangen, der schon seiner Form nach Quadrat ist. Er fĂ€hrt also so fort „Nun ist zwar der Coefficient von x* ein Quadrat Îșαί Δχ Γα ÎŽÏ…ÎœÎŹÎŒÎ”Îč Î”ÏÎ±ÎłÎœÎčÎș, wenn nun auch die bestimmte Zahl 13 ein Quadrat, und das doppelte Product der Wnrzclir beider Quadratzahlcn des Cocfficicntcn von x l und der bestimmten Zahl dem Cocfsicientcn von x gleich wĂ€re, so wĂ€ren die drei Bedingungen allgemein gelöst. Aber die 13 sind entstanden aus dem Product der 6 und der 2, zu welchem 1 addirt ist. Die 2 aber rĂŒhrt her von dem doppelten Product des x in 1, die 6 von dem doppelten Product von Zx in 1. Ich will also, daß der doppelte Cocfßcicnt von x in der einen Wurzel mit dem doppelten Cocfficicntcn von x in der andern Wurzel multipli- cirt und um 1 vermehrt ein Quadrat gebe ΙΔλ ow ÎŽÎŻ ÎżÏ… °υ έπÎč ÏŽÎŻ ÎżÏ… ÎżÏ… ÎŒÎ”ÎŹ Ό° α Ï€ÎżÎčΔΐΜ Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ. Aber das Doppelte mit dem Doppelten multiplicirt ist das Vierfache. Ich will also, daß das vierfache Product der Coefficiemen um die Einheit vermehrt ein Quadrat gebe. Wenn man aber zu dem vierfachen Produkte irgend zweier Zahlen das Quadrat ihres Unterschiedes addirt, so erhĂ€lt man ein Quadrat. Wenn ich also das Quadrat des Unterschiedes gleich 1 setze, so wird das vierfache Product der Zahlen, um 1 vermehrt, ein Quadrat sein. Wenn aber das I. 27 418 Quadrat des Unterschiedes 1 ist, so ist der Unterschied selbst I. Darum muß man die obigen Quadrate so bilden, daß die Cocfn- cienten von x in den Wurzeln zwei zunĂ€chst auf einander folgende Zahlen sind, z. B. von .r-j-1 und von Das Quadrat von ^*—1—1 ist ^ also das Produkt der ersten und zweiten Zahl x 2 -{~2x, die zweite Zahl sei x, so ist die erste.‱-{-2. Ferner da das Quadrat von 2x-{-l gleich 2 -4.* , -j-l ist, so ist das Prodnct der zweiten und dritten Zahl kx % -\-4x\ die zweite ist aber x, also die dritte ES ist also in allgemeinen AusdrĂŒcken erlangt, daß das Produkt von je zweien um die Einheit vermehrt ein Quadrat ist, und man kann x annehmen wie man will. Es hat bei dieser Auflösung den Anschein, als ob Diophant eme der Bedingungen, welche nöthig ist, um die Formel 9.^ —j—13 in eine quadratische Form zu verwandeln, vernachlĂ€ssigt habe. Es muß nĂ€mlich, damit dieser Ausdruck ein allgemeines Quadrat sei, zuerst statt 13 eine Quadratzahl erlangt werden, und sodann muß statt 24 das doppelte Produkt der Wurzeln der statt 9 und und 13 zu substituirendcn Quadrate in die Formel kommen. Von dieser letzten Bedingung spricht Diophant gar nicht, dagegen fĂŒhrt er einen scheinbar willkĂŒhrlichcn Satz ein, nach welchem die Annahme so zu machen ist, daß man fĂŒr 13 eine Quadratzahl erhalte. Indeß ist nur sein Vortrug insofern fehlerhaft, als er die EinfĂŒhrung dieses Satzes und die dadurch zugleich bewirkte ErfĂŒllung der zweiten Bedingung nicht gehörig motivirt; die Sache aber ist ganz richtig, wie die AusfĂŒhrung in allgemeinen Zeichen beweist. Nennen wir die drei gesuchten Zahlen, A, U, C, und setzen Ali 4-1 = mx^ l 2 , liC -\-1 = 1 2 , und 11=x, so wird A=m’ 1 x-\- 2m / n 2 x -j- 2n. Nun soll auch noch xlC-j-l ein Quadrat werden. Aber AC-j- 1 wird =ni i n?x l -\- nn -j-1 = /4, 22 mnm-{-n ~2mnp, also 7ti-\ fei». Demnach muß = also 1 =m 2 — 2mn»i 1 , folglich m — n oder n — m=\, n—m- j-1 fein. Das ist aber eben das Resultat, welches Diophant herausgebracht hat. Setzen wir also B=.v, A=}n' l x-\-2m, so wird l^.r'4^2 w4~ 1. Fragen wir nun, welchen Zweck diese vereinzelten allgemein gelösten Aufgaben habe», so ergicbt sich die Antwort hierauf sofort, 419 wenn wir die Stellung, welche diese Aufgaben einnehmen, berĂŒcksichtigen. Alle diese hier erörterten Aufgaben sind als Hilfsaufgabcn fĂŒr zusammengesetztere in Zahlen zu lösende zu betrachten, welche den Zweck haben, fĂŒr die folgende Aufgabe die Annahme s§ zu bestimme», daß von den -r Bedingungen n— 1 sogleich durch die Annahme erledigt werden. Die eben betrachtete Aufgabe IV, 20. lehrt in allgemeinen AusdrĂŒcken drei Zahlen finden, so daß das Product vou je zweien um 1 vermehrt ein Quadrat wird. Die nĂ€chstfolgende Aufgabe verlangt, vier Zahlen unter derselben Bedingung zu finden. Auf die vorhcrgclöste Aufgabe gestĂŒtzt nun setzt Diophant AB+l = x+l\ AC-\-l = ix+i\ AD 1 = 3 *- 1 ~ , und A=x, so wird B=x-\- 2, C— 4.-J-4, D =9*6, und es sind außer den drei hingeschriebenen Bedingungen, der vorigen Aufgabe gemĂ€ĂŸ, auch noch die beiden erledigt, daß und CZJ-j-1 Quadrate sind. Es bleibt also nur noch ĂŒbrig, daß auch B/-\-l Quadratzahl werde. Aber BU-j-i ist — dx^^-Mx ——13; dieser Ausdruck ist also noch zu einem Quadrate zu machen, wodurch der Werth von x bestimmt wird. Ganz Ă€hnlich verhĂ€lt es sich mit den drei ĂŒbrigen Aufgaben dieser Art. Alle drei setzten sich vor, zwei Zahlen unter gewissen Bedingungen zu suchen; die die nĂ€chstfolgende Aufgabe verlangt dann drei Zahlen unter denselben Bedingungen. Die sechs Aufgaben IV, 37—42. sind demnach folgende 37. In allgemeinen AusdrĂŒcken AB-\-A-\-B—a-, Resultat B—X— 1 , A—' x ~ . 38. In Zahlen AB-\-A-\-B~a, BC^B-^-C—b, AC -j-A+C=c. mB^x—l t so ist A^ a ~ x+ \ b — x+i und die beiden ersten Bedingungen sind cr- 39. fĂŒllt, die dritte bleibt zur Bestimmung des x ĂŒbrig. In allgemeinen AusdrĂŒcken AB — A-~-B~a\ Resultat In Zahlen AB—A—B=a, BC—B—C=b, AC —A — C ~ c. Sei B = x+ 1, so ist N^j,^„„gen sind erfĂŒllt; die dritte giebt x. 27 » 40 . 420 41. In allgemeinen AusdrĂŒcken AB~mA-\-B. Es wird 42. In Wahlen AB~m{A-\-B, BC=n{B-\-C, AC = P {A+C. Sei B=x, so ist C=ÂŁL f und zwei Bedingungen sind erfĂŒllt; die dritte giebt x. Außer diesen vier vollstĂ€ndigen Aufgaben aber finden wir dieselbe Methode hĂ€ufig innerhalb anderer Aufgaben angewandt, und wir haben in den bisher bei verschiedenen Gelegenheiten mitgetheilten Beispielen bereits FĂ€lle kennen gelernt, in denen Diophant die in den Nebenaufgabcn concret geftindcncn Zahlen in x multiplicirte, wenn die Natur der Aufgabe es mit sich brachte, daß jede Zahlen in dem gefundenen VerhĂ€ltnisse dasselbe leisteten. Wir haben z. B. oben die Aufgabe IV, 26. betrachtet. Sie befahl, eine gegebene Zahl in drei andere zu zerlegen, so daß das Product aus allen dreien ein Kubus wird, dessen Wurzel der Summe der Unterschiede von je zweien gleich ist. Wenn nun drei Zahlen, a, h, c, die Eigenschaft haben, daß ihr Product abc ein Kubus ist, dessen Wurzel die Summe der Unterschiede —— c oder 2 a — e ist, so haben jede drei Zahlen, die sich wie a, b, c verhalten, dieselbe Eigenschaft. Denn wenn abc = $a — c 3 ist, und man substituirt tna, mb, mc fĂŒr a, b, c, so ist das Product derselben m 3 abc\ der Kubus der Summe der Unterschiede aber 8*».a— mc 3 — 8m 3 a — c 3 ; da aber abc — 8s — e 3 war, so ist auch m 3 tibc = Sm 3 a —c 3 . Nun findet Diophant, daß die Zahlen Z-, ÂŁ und , dieser Forderung genĂŒgen; daher auch jedes gleichartige Vielfache derselben. Zuerst nun schafft er die Nenner weg, indem er alle drei Zahlen mit 15 mul- tiplicirt; dann werden noch die Zahlen 40, 27, 25 dieselbe Eigen- sckaft haben. Nun sollen aber die drei Zahlen nicht bloß diese Eigenschaft haben, es soll auch ihre Summe einer gegebenen Zahl, 4, gleich sein. Um noch diese Bedingung erfĂŒllen zu können, betrachtet Diophant die drei gefundenen Zahlen als Coefficientcn von x, und setzt nun die gesuchten Zahlen 40.*-, 27.*-, 25.*, wie wir oben gesehen haben. — Sehr oft findet sich dieses Vcrfabrcn in dem sechsten Buche angewandt, dessen Aufgaben ĂŒber die rechtwinkligen Dreiecke zum großen Theil der Art sind, daß einen Theil den in der Aufgabe bestimmten Bedingungen alle Ă€hnlichen Dreiecke gemein haben. Es kommt da also zunĂ€chst darauf an, die Form des gesuchten Dreiecks zu bestimmen. Ist die gefunden, so sagt Diophant rctcrcr ro i-QtyĂŒwov sv aQip/uoii ;, d. h. ich Mttltiplicirc die gefundenen Seiten des Dreiecks in x. Ich will von diesem an und fĂŒr sich einfachen Verfahren keine Beispiele weiter ausfĂŒhren, sondern begnĂŒge mich auf die Aufgaben VI, 3. 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 13. 15. 17. zu verweisen. 7. WillkĂŒhrliche Bestimmungen und Annahmen. Wenn ich hier von willkĂŒhrlichen Bestimmungen, deren sich Diophant als Auflösungsmittcl bedient, sprechen will, so habe ich nicht solche WillkĂŒhrlichkciten im Sinne, welche als unmittelbare und nothwendige Folge seiner unvollkommenen Zeichensprache erscheinen. Wenn er ;. B. den Ausdruck zu einem Quadrate machen will, und nun sagt, ich setze so ist x = 4, so ist das allerdings eine willkĂŒhrliche Annahme. Aber Jedermann sieht ohne weitere ErklĂ€rung sogleich ein, daß er statt 25 jede beliebige Quadratzahl hĂ€tte setzen, und so durch allmahlige Substitution beliebig viele Werthe fĂŒr x hĂ€tte herleiten können, daß also Diophant's Verfahren im Grunde ebenso allgemein ist als das un- srigc, mit dem Unterschiede, daß jenes die Zahlcnwerthc fĂŒr x successive liefert, welche wir in der allgemeinen Formel x-= m ~ — auf einmal vor Augen sehen. Von solchen verzeihlichen Mangeln, die durch die Mangclhaftigkcit seiner Symbolik bedingt sind, spreche ich hier nicht. Vielmehr will ich hier dasjenige Verfahren Diophant's erörtern, vermöge dessen er durch irgend eine willkĂŒhrliche Voraussetzung neue Bedingungen in die Aufgabe hineinlegt, die den Worten derselben fremd sind. Dieses verzweifelten Hilfsmittels, welches natĂŒrlich nur bei unbestimmten Aufgaben anwendbar ist, bedient sich Diophant so hĂ€ufig und in so mannigfacher Gestalt, daß es mir in der That schwer wird, einige allgemeinere Gcsichtspunctc aufzustellen, unter welche die einzelnen FĂ€lle sich mit Übersichtlichkeit unterordnen laßen. Zwei Klaffen solcher willkĂŒhrlichen Bestimmungen lassen sich indeß leicht aus der großen Masse herausfinden; die erste begreift den Fall, in welchem von mehren Unbekannten eine von vorn herein als bestimmte gegebene Zahl angenommen wird; die zweite Klasse begreift den Fall, wenn irgend eine Relation zwi- 4 22 schen zwei oder mehren Unbekannten durch die Form, die Diophant denselben giebt, als gegeben vorausgesetzt wird, wodurch den Bedingungen der Aufgabe eine neue hinzugefĂŒgt wird. Die Beispiele fĂŒr beide Klassen sind so hĂ€ufig, daß es sich nicht der MĂŒhe belohnt, sie alle namhaft zu machen. Zu der ersten Klasse gehört z. B. die Aufgabe ^ I, 14. Zwei Zahlen zu finden, deren Produkt zĂŒ ihrer Summe ein gegebenes VerhĂ€ltniß habe. Diophant nimmt an, daß das Product dreimal so groß als die Summe sein soll. Demnach wĂŒrden wir, wenn wir die Zahlen x und y setzten, die Gleichung erhalten xy = 3x-\-y, also Zx y — ^Tzj Diophant setzt dagegen die eine Zahl x f die andere 12, woraus die erste sich — 4 crgicbt. Dieser Ă€hnlich nimmt Diophant in den Aufgaben I, 25. 26. 27. 28, II, 19. Y, 7. 30. 31. und andern fĂŒr eine der gesuchte» Zahlen eine bestimmte Zahl an. Beispiele der zweiten Klasse sind die Aufgaben II, l—5., in welchen zu der Bestimmung der Aufgabe durch die willkĂŒhrlichc Annahme noch das VerhĂ€ltniß der beiden gesuchten Zahlen als gegeben angenommen wird. Ähnlich geschieht das in der Aufgabe II, 18. Drei Zahlen zu finden, so daß, wenn jede an die folgende einen bestimmte» Theil ihrer selbst und außerdem eine gegebene Zahl abgicbt, die Resultate nach der gegenseitigen Mittheilung am Ende gleich werden. Die erste Zahl soll an die zweite ein FĂŒnftel und die Zahl 6, die zweite an die Dritte ein Sechstel und die Zahl 7, die dritte an die erste ein Siebentel und die Zahl 8 abgeben. Nennen wir nun, um BrĂŒche zu vermeiden, die erste Zahl bx, die zweite 6y, die dritte Ix, so giebt die erste ^-j-6 ab und empfĂ€ngt -r-s-8; die zweite giebt y-j-7 und empfĂ€ngt x-j~6; die dritte giebt z-J-8 und empfĂ€ngt y-s-7; demnach wird nach dieser Mittheilung die erste 4.-s-L-s-2, die zweite x-j-by —1, die dritte y-s-6—1. Diese drei AusdrĂŒcke sollen einander gleich sein; man erhĂ€lt also zwei Gleichungen unter den drei Unbekannten, und wenn man daraus y und x durch x ausdrĂŒckt, so bleibt die erste Zahl bx, die zweite wird —jj—, die dritte —^— Will man ganze Zah- 423 tcn erhalten, so setze man x— 26-}-10, so wird die erste 130 m —J— 50, die zweite 114 m+ 48, die dritte 119/r-s-49. Dieses ist der allgemeine Ausdruck aller Zahlen, welche der Aufgabe genĂŒgen. Was thut aber Diophant? Er setzt die erste Zahl — bx, die zweite = 6-r-, er fĂŒgt also der ursprĂŒnglichen Aufgabe noch die Bedingung hinzu, daß die beiden ersten Zahlen sich wie 5 zu 6 verhalten, wodurch die unbestimmte Aufgabe in eine bestimmte verwandelt wird. Denn indem nun unter unsern allgemeinen Formeln noch die Bedingung stattfinden soll, daß 130/»-f-501 14 m- 4S = 56 ist, so erhĂ€lt n einen bestimmten Werth, nĂ€mlich —4/ und die drei Zahlen werden y, —, —. Wenn Diophant VI, 19. zwei Zahlen sucht, so daß der Kubus der einen um 2 grĂ¶ĂŸer ist als das Quadrat der andern, und dann die erste x —1, die zweite x-\-l setzt, so löst er ja nicht mehr jene Aufgabe, wie sie allgemein gestellt war, sondern er fĂŒgt durch diese Annahme die neue Bedingung hinzu, daß die beiden Zahlen die Differenz 2 haben. Die WillkĂŒhrlichkeit ist gerade an dieser Stelle um so unverantwortlicher, als gerade aus dieser Annahme die Operation eine Wendung erhĂ€lt, welche auf keinen andern Fall anwendbar ist. Es wĂ€re ein vergebliches BemĂŒhen, auf demselben Wege zwei Zahlen unter den obigen Bedingungen zu suchen, deren Differenz nicht 2 ist. Offenbar ist in einem Falle, wie dieser, die begangene WillkĂŒhr von weit mehr Bedeutung, als in den vorher- erwĂ€hntcn, in denen immer noch der Vorwurf dadurch abgewehrt werden konnte, daß man sagte es kann ja statt der hier eingefĂŒhrten Bestimmung irgend eine andere gemacht werden. Indem ich also die beiden erwĂ€hnten Klassen von WillkĂŒhrlichkeiten ĂŒbergehe, wende ich mich hier zu solchen Beispielen, in welchen durch die will- kĂŒhrliche Bestimmung entweder, wie in dem angefĂŒhrten Beispiele VI, 19. eine partielle Auflösung erschlichen wird, die nicht von allgemeiner Anwendbarkeit ist, oder auf der andern Seite der Knoten, um dessen Lösung es sich handelt, eigenmĂ€chtig zerhauen wird. Ein merkwĂŒrdiges Beispiel von einer erschlichenen Auflösung bietet uns die oben bei Gelegenheit der Grenzmethode ausgefĂŒhrte Aufgabe V, 13. Diese Aufgabe verlangte, die Zahl 1 in zwei StĂŒcke zu theilen, so daß, wenn man zu jedem derselben eine andere gegebene Zahl addirt, beide Summen Quadrate werden. Nennen wir das eine StĂŒck A, das andere B, und die gegebenen Zah- 424 [eil a und b, so haben wir die drei Gleichungen A-\-B~ I, A-\-a—x 2 , B-\-b = y 2 . Die Addition der beiden letzten Gleichungen giebt A-\-B-\-a-\-b , das ist, +4 + 1 = .r 2 -}-y 2 . Daraus folgt die Determination, die Diophant ausgelassen hat, daß die gegebene» Zahlen so beschaffen sein mĂŒssen, daß ihre Summe, wenn man 1 dazu addirt, die Summe von zwei Quadraten sein könne. Diophant setzt — 2 und 4 — 6, so wird a-\-b-\-\~ 9; anstatt nun, um die Auflösung allgemein gĂŒltig darzustellen, 9 als eine Zahl zu betrachten, die sich in zwei Quadrate zerlegen lĂ€ĂŸt, betrachtet er sie als Quadratzahl, so daß sein ganzes folgendes Verfahren nicht mehr anwendbar ist, wenn die Zahl a-{-b-\- 1 bloß als Summe zweier Quadratzahlcn ausfĂ€llt; ein Fall, in dem die Auflösung immer noch möglich bleibt. Aber wir wollen weiter gehen und sehen, was Diophant aus folgender Aufgabe macht. IV, 7. Man soll zu einem Kubus und zu einem Quadrate ein anderes Quadrat addircn, und die Summen sollen verwechselt dieselbe Eigenschaft haben. Κυ/ÎŻ ÎșαÎč Î”ÎżÎ±ÎłÎœ kqo ’ζΔΐΜαÎč ÎżÎœ avrbv Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ ÎșαÎč ÎŻÎżÎčΔΐΜ tu ΔΜα.Î»ÎŹÎŸ . Das heißt, man soll drei Zahlen w 3 , y 2 , z 2 suchen, so daß ein Quadrat, dagegen y 2 -j-* 2 ein Kubus werde. Da nun ein Kubus sein soll, so sei, sagt Diophant, diese Summe gleich tv 3 . Durch diese ganz willkĂŒhrlichc Bestimmung wird aber der Aufgabe eine völlig neue Gestalt gegeben. Nun heißt es Man soll zwei Quadratzahlen finden, so daß ihre Summe ein Kubus, die Summe der ersten und der doppelten zweiten aber ein Quadrat werde; und statt der obigen Gleichungen erhalten wir nun diese y 2 -\-z 2 ~w 3 , y 2 -j-2z 2 ~t 2 . Von dieser Aufgabe, welche ein ganz specieller Fall der ursprĂŒnglich gegebenen ist, giebt Diophant zwei verschiedene Auflösungen, die nicht das Ansprechende der sonstigen Diophantischcn Manier haben. Die erste ist diese. Es soll w 3 -\-z 2 ein Quadrat werden. Wenn ich aber irgend zwei Zahlen uchmc, und zu der Summe ihrer Quadrate ihr doppeltes Produkt addirc, so erhalte ich immer wieder ein Quadrat. Wenn ich also irgend zwei Zahlen nehme, so setze ich die Summe ihrer Quadrate gleich w 3 , ihr doppeltes Produkt aber gleich z 2 . Aber z 2 ist ein Quadrat; daher mĂŒssen die Zahlen so gewĂ€hlt werden, daß ihr doppeltes Produkt ein Quadrat ist. Die 425 eine Zahl fei x, die andere 2.*, damit ihr doppeltes Produkt ein Quadrat werde. Darum setze ich die erste Zahl w 3 = 5x 2 , der Summe der Quadrate der angenommenen Zahlen, ihr doppeltes Produet aber, nĂ€mlich 4?* — **/ so ist y 2 —w 3 —— So ist die Bedingung erfĂŒllt, daß y- -f- x 2 der ersten Zahl w 3 gleich und zugleich, daß die Summe der ersten und dritten, r^-s-x-, ein Quadrat ist. Es bleibt nur noch ĂŒbrig, den Ausdruck fĂŒr w 3 , nĂ€mlich 2 , zu einem Kubus zu machen. Sei also 5x 2 =x s , so ist Ä- 5. Der gesuchte Kubus ist also 125, das Quadrat 25, und das zweite Quadrat, welches man zu beiden addiren soll, ist 100; epaveod i] aTiaöe/t/g. — In der zweiten Auflösung sucht Dio- phant zuerst, nm der Gleichung y 2 -}-2z 2 —t 2 zu genĂŒgen, zwei Quadrate, so daß die Summe des einen und des doppelten andern ein Quadrat sei. Zu dem Ende setzt er das eine Quadrat — x 2 , das andere =4, so soll 2^- 2 -4 ein Quadrat sein, und zwar bildet er das Quadrat von 2^—2, das ist 4^ 2 — so wird x = 4. Die beiden gesuchten Quadrate werden also 4 und 16 sein. Diese gefundenen Zahlen mm macht er zu Coefsicienken von x 2 , und setzt y 2 — 2 , x 2 =l6x 2 , demnach wird ihre Summe 2 der gesuchte Kubus sein mĂŒssen. Damit nun 2 ein Kubus werde, setzt Diophant wieder 20x 2 ~.v 3 , so wird x =20. Die drei gesuchten Zahlen sind also, die Kubikzahl 8000, die erste Qnadratzahl 1600, die zweite Quadratzahl, die addirt werden soll, — 6400. To'Dro 6s anÂŁtga%ux; deixvvrat. Nachdem die Aufgabe einmal durch die willkĂŒhrliche Annahme, daß die zu einem Kubus zu machende Summe der beiden gesuchten Quadrate dem gesuchten Kubus gleich sein soll, auf diese specielle Form redneirt ist, ist es leicht, beide Diophantische Auflösungen allgemeiner darzustellen. Da sowohl w 3 -\~x 2 als w 3 — ss 2 ein Quadrat werden soll, so setzt Diophant w 3 gleich der Summe zweier Quadrate, z 2 gleich dem doppelten Produkte der Wurzel. Damit aber x 2 ein Quadrat werde, muß, wenn die eine der angenommenen Zahlen m ist, die andere Imp 2 sein. Dann wird w 3 -m 2 l-f-4//, as 2 = 4 m 2 p 2 , also w 3 - j-x 2 — m 2 2/> 2 -f-l s , w 3 —x , daß ist y % ~ m 2 2/> 2 —l 2 , und es bleibt nur noch ĂŒbrig den Ausdruck fĂŒr w 3 zu einem Kubus zu machen; das geschieht aber, wenn wir tn 2 ip* 1 = m 3 t/ 3 setzen, so wird m - - - Demnach werden die Wurzeln der drei gesuchten Zahlen w — 426 12/> a — 1 2»4» 4 -fl v, , y — - ~r —- Bci Diophant ist p — di°scs fti =9***, s» wird also = , und die Conformitat dieser y 3 2/ J — l 2 _ » 3 4a»*-f-l _ — l a/ 35 ” y 3 '2//i s —l 3 Formeln mit den vorher gefundenen leuchtet ein, obgleich ihr Ă€ußeres Aussehen etwas abweichend ist. Bci Diophant ist n — 2, » = 1 , 7 = 1 . Zu entschuldige» ist die kleine Willknhr in den Aufgaben V, 1. 2., in welchen drei stetig proportionirtc Zahlen gesucht werden, deren jede, wenn man eine gegebene Zahl, 12, davon subtrahirt oder dazu addirt, zum Rest oder zur Summe ein Quadrat giebt. Nun ist der allgemeine Ausdruck dreier stetig proportionirter Zahlen y, xy, x % y, es solle» also in der erste» Aufgabe die Formel» y —12, xy —12, .*>—12 Quadrate werden. Nach sciner Art hĂ€tte Diophant nun fĂŒr y irgend eine Zahl annchmc» können, welche ein Quadrat ĂŒbrig lĂ€ĂŸt, wenn man 12 davon abzieht, z. B. 28. Dann blieben noch zwei Bedingungen zu erfĂŒllen, daß nĂ€mlich 28.*—12 und 28.* 2 —12 Quadrate werden. Diese doppelte Gleichung kann er aber nicht lösen; darum sucht er fĂŒr y nicht im Allgemeinen eine Zahl, sondern eine Quadratzahl, welche um ein Quadrat grĂ¶ĂŸer ist als 12, z. B. -j-, dann werden die beiden andern Zahlen '^x und x~, und die zu Quadraten zu machenden AusdrĂŒcke sind jetzt \?x — 12 und .* 2 —12, wo der Coefsicient von x“ 1 die Einheit ist, j„ welchem Falle die Auflösung, wie wir in dem vorigen Kapitel gesehen haben, keine Schwierigkeit hat. Wesentlichere EinwĂŒrfe aber lassen sich gegen folgende Auflö- -suug machcir, tvcnn auch die WillkĂŒhrlichkcit daselbst weniger in der Sache, als in der Darstellung liegt. V, 19. Drei Zahlen zu finden, so daß der Kubus 427 ihrer Sum>»e ein Kubus bleibt, wenn man jede der drei Zahlen davon abzieht. Diophant setzt die Summe der drei jede der drei Zahlen aber gleich .* -3 mit einem Cocfficicntcn von der Form ~- J ~, so ist der Kubus der Summe, wenn man die einzelne Zahl davon abzieht, — ~p x3 i also sicher ein Kubus. Es kommt also nur noch darauf an, daß die Summe der drei Zahlen wirklich = .v sei. Wir haben also, wenn wir die drei Zahlen —.r 3 , und setzen, die Gleichung ^1=1 _ L ^ _L PLzl' = . x rbcr 1 ~i+ 1 “i+ 1 ~ p —i oder 3 — s-^+4 + A = 4- V»* 3 1 9t 3 1 f**/ X 2 Es kommt also darauf an, drei Knbikzahlcn zu finden, deren Summe von 3 abgezogen ein Quadrat zum Reste laßt. Wenn aber die oben fĂŒr die drei Zahlen angenommenen AusdrĂŒcke positiv werde» sollen, so muß jede der drei Zahlen m, n, p grĂ¶ĂŸer als 1, also muß auch jede der drei hier gesuchten Knbikzahlcn ~ kleiner als 1 sein. Damit das letztere geschehe, nimmt Diophant ohne weiter» Grund an, daß schon ihre Summe kleiner als 1 sei. Halten wir diese Annahme nun einmal fest, so folgt daraus, daß ~ grĂ¶ĂŸer als 2 und kleiner als 3 sein mĂŒsse. Unter den unzĂ€hligen Quadraten, welche innerhalb dieser Grenzen liegen, nimmt Diophant ÂŁ fĂŒr so stellt sich nun die Aufgabe so die Zabl 3—-J, das ist, ! in drei Kubikzahlcu zu zerlegen. Man gebe dem Bruche f einen kubischen Nenner, z. B. 216, so soll man also. oder mit andern Worten den ZĂ€hler 162 in die Summe von drei Kubikzahlen zerlegen. „Nun besteht, sagt Diophant, die Zahl 162 aus dem Kubus 125 und der Differenz der beiden Kubi 64 und 27 nĂ€mlich 162 —125-s-3 7. Wir haben aber in den Poris-' mcn den Satz, daß die Differenz zweier Kubi allemal auch die Summe zweier Kubi ist. Wir kehren zu der ursprĂŒnglichen Aus- 428 gĂ€be zurĂŒck, und nchmcn fĂŒr die drei Kubikzahlcu jede der drei gc- fundencn. FĂŒr die Summe aber nehmen wir wieder x an; so trifft es zu, daß der Kubus der Summe, wenn man jede der drei Zahlen davon abzieht, einen Kubus zum Rest laßt; es ist also nur noch nöthig, daß die drei Zahlen zusammen gleich x sind; die Summe der drei Zahlen ist aber \x z , also * = §." 1 1 1 Abgesehen von der willkĂŒhrlichcu Annahme — -f- ^ -f- ^ > 1, 1 1 da doch aus der Natur der Aufgabe nur die Bedingung folgt, da jeder der drei Kubi an und fĂŒr sich kleiner als 1 sein muß, so scheint die ganze Auslösung, wie sie von Diophant dargestellt ist, auf dem zufĂ€lligen UmstĂ€nde zu beruhen, daß 162 die Summe eines Kubus und der Differenz zweier andern Kubi ist, und es erhellt aus dem Vortrage nicht, wie man sich zu benehmen habe, wenn man statt des willkĂŒhrlich angenommenen Quadrats ÂŁ ein anderes gewĂ€hlt hĂ€tte. Wir können es daher Bacher nicht eben verargen, wenn er gesteht, daß aus dem angefĂŒhrten Grunde die ganze Auflösung ihm dunkel geblieben sei *. Jedenfalls hĂ€tte 1 llacc propositio, scigt er in scinein Commentar, est de numero eorum, quas ut ad nos pervenerunt, fateor me non satis assequi. Uuamvis enim de illius solutione satis milii constet, ut infra patebit, duo tamen sunt, quae totam ejus tractationem valde imperfectam milii videri faciunt. Primum enim licet ingeniose inferat Diophautus inveniendos esse tres cubos, quorum quilibet sit unitate minor, ita ut sumina eorum a ternario sublata, relinquat quadratum; unde concludit curandum esse ut tres cubi simul sint unitate minores, sic enim quilibet inulto magis erit unitate minor, quare sequitur quadratum qui relinquitur, summum cuborum auferendo a ternario, debere esse majorem quam 2 minorem quam 3.; licet inquam haec subtiliter edisserat Diopliantus, non docet tamen quomodo talis inveniendus sit quadratus, et cur 2j, sumat potius quam alium quemlibet ex infinitis qui cadunt inter 1 et 3 fott heiqcit 2 et 3. Certe, ut ex processu apparet, talis deligendus est quadratus, quo a ternario sublato, relinquatur numerus ex tribus cubis compositus. Id ergo qui fieri possit arte certa, docere debuit Diopliantus, neque enim in promptu est si loco quadrati 2^ sumatur quadratus 2ÂŁ, quomodo residuum de 3, ‱puta dividi possit in tres cubos, cudcmquc de aliis ratio. Quamobrcm casu lactum videtur, ut sumpserit autlior 2ÂŁ. quo de 3 sublato relinquitur ex tribus cubis compositus. Deinde porisma, quod hic assumitur, quale sit non est facile divinare, cum Graeca Dioplianti hoc loco mutila Diophant, um fein Auslosung eine wissenschaftliche Form zu geben, zeigen mĂŒssen, daß sein Verfahren in jedem Falle anwendbar sei und wie man namentlich die Kubikzahl 125 so zu wĂ€hlen habe, daß der Rest die Differenz zweier Knbikzahlen werde. Das Verdienst auch ĂŒber diese an und fĂŒr sich schöne Aufgabe zuerst das gehörige Licht verbreitet zu haben, hat wiederum der schon oft genannte Fermat sich erworben. ZunĂ€chst hat Fermat das von Dio- phant ausgefĂŒhrte Porisma, daß die Differenz zweier Kubi allemal auch die Summe zweier Kubi sei, allgemein bewiesen", wĂ€hrend Dachet es nur fĂŒr den in der Note erwĂ€hnten bestimmten Fall kannte. Sodann aber hat der Erstere gezeigt, daß es immer möglich sei, x so zu finden, daß der Ausdruck 3 —x* sich mit Hilfe dieses Porisma's in die Summe dreier Knbikzahlen zerlegen lasse. Setzt man nĂ€mlich % — mx —1, so wird 3—x 2 = 2 -f- 2»*.r—V, und diesen Ausdruck soll man in drei Kubi zerlegen. Es kommt also darauf an, zwei Kubi so anzunehmen, daß, wenn man sie von dem gefundenen Ausdrucke snbtrahirt, fĂŒr den dritten Kubus eine Formel ĂŒbrig bleibt, in welcher x nur in der zweiten und dritten Potenz vorkommt, so daß man x rational finden kann, wenn man den Rest gleich einer in x 3 multiplicirten Kubikzahl setzt. Es muß also die Summe der beiden ersten Kubi die Glieder 2-j-2-,?.v em- sint. Es heißt nĂ€mlich im Texte â€™ÎŻÏ‡ÎżÎŒÎ”Îœ ϋ\ lv ro~g Λοί-ΌαÎčΜ π χ 3 - f-216/t 2 — f-47 27;'-f54 2 -f2 die Wurzel des ersten Kubus — zweiten drittm 27-' —162 n 5 — 45ra — i;i 27;’ + 54rc 2 -j-2 27/' + 162re' + 45 —13 27;' + 54rc 2 -f-2 l62m 2 -i-45- 27?' +54ra 2 -f-2 3 diesen Formeln bleibt nur ĂŒbrig, p und n so zu bestimmen, daß L 2 kleiner als 3 und großer als 2 wird. Übrigens dĂŒrfte vielleicht der mangelhafte Vertrag dieser Auflösung nicht auf Rcchnling Diophant's, sondern vielmehr auf Rechnung der Zeit oder irgend eines sorglosen Abschreibers zu setzen sein; ebenso wie die unvollkommene Behandlung der Aufgaben II, 1—5. und einiger andern. Analog der zu enge gezogenen Bedingung ist die in der Aufgabe III, 12.; indem hier zwei Zahlen gesucht werden sollen, deren Produkt ein Quadrat ist, sagt Diophant Wenn ich fĂŒr die beiden Zahlen Quadrate suche, so wird ihr Product gewiß ein Quadrat sein. In III, 17. wird auf Ă€hnliche Weise willkĂŒhrlich angenommen, daß von drei gesuchten Zahlen zwei Quadratzahlcn seien. Reich an Beispielen von solchen Annahmen, die zwar sichtbar zum Ziele fĂŒhren, deren Princip und Veranlassung aber von Diophant nicht erlĂ€utert wird, ist das sechste Buch. Nehmen wir z. B. die Aufgabe VI, 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so daß der durch eine Zahl ausgedrĂŒckte FlĂ€cheninhalt, wenn mau eine gegebene Zahl dazu addirt, ein Quadrat wird. Die gegebene Zahl sei 5. Gesetzt das Dreieck wĂ€re der Form »ach gegeben und hĂ€tte die Seiten 3.*-, 4.*, bx, so wird der FlĂ€cheninhalt, wenn man die gegebene Zahl dazu addirt, 6^ 2 -s-5, rmd das soll ein Quadrat sein. Es sei gleich 9*' 2 , so wird 3.* 2 — 5. 432 Es mĂŒĂŸten sich also, wenn x rational werden sollte, die Cocfsicicn- tcii wie Quadratzahlen zu einander verhalten. Wir mĂŒssen also ein rechtwinkliges Dreieck und ein Quadrat suchen, so daß, wenn man von dem Quadrate den FlĂ€cheninhalt des Dreiecks abzieht, diese Differenz der fĂŒnfte Theil eines Quadrats wird, weil 5 die gegebene Zahl ist. — Bis hichcr ist das Verfahren ganz verstĂ€ndlich. Setzen wir nĂ€mlich die gegebene Zahl a, und die Katheten des Dreiecks mx und nx, so soll mnx 2 - f- a ein Quadrat werden. Dieses Quadrat sei /»V*, so wird x 2 — ρ3 ~„ Îčη Es kommt also darauf an, m, n ttnb p so zu bestimmen, daß der Cocfficicnt - ein Quadrat wird. Anstatt daß nun Diophant, wie er sonst zu thun pflegt, auf eine ĂŒberzeugende Weise dcdncirt, wie die Zahlen p, m, n beschaffen sein mĂŒssen, schlĂ€gt er hier einen ganz eigenthĂŒmlichen Wcg ein, der zwar, wie der Erfolg zeigt, sicher zum Ziele fĂŒhrt, bei dem man aber nicht einsieht, was ihn bewogen habe, gerade diesen und keinen andern Weg einzuschlagen. Er bildet nĂ€mlich das gesuchte Dreieck aus den Zahlen x und — ein rechtwinkliges Dreieck aus zwei Zahlen bilden, -Ï‡Î»ÎŹÎ”ÎčΜ ÏÎŻÎłÎœÎżÎœ ooĂ€-o- ÎłÎœÎčÎżÎœ Î±Ï€Îż ÎŽÏÎż ÎŹÎżÏ†ÎŒÎœ, heißt, die Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate, die eine Kathete gleich der Differenz der Quadrate, und die zweite Kathete gleich dem doppelten Productc der beiden Zahlen setzen; so sind die Katheten x 2 — ~ und 2, also der Inhalt x 2 —Das gesuchte Quadrat bildet er von der Wurzel x-j-^, so ist das Quadrat x 2 -j-4a-j~^, demnach das Qua- drar weniger dem Inhalt des Dreiecks 4a -\—, und dieser Ausdruck soll mit a multiplicirt ein Quadrat werden; wenn wir aber Mit a multjplicircn, so wird er — 4a 2 -\- ' in ^ a , und multi- pliciren wir nun noch mit x 1 , so soll ka 2 x 2 -\-4a 3 -\ a ein Quadrat werden. Wir sehen also, daß die Annahme der Zahlen x und -i fĂŒr das Dreieck und fĂŒr die Wurzel des gesuchten Quadrats sehr kunstvoll so gewĂ€hlt ist, daß in der zuletzt erhaltenen Formel der Coefficient von x 2 ein Quadrat wird. Aber ist darum diese 433 tiefe Annahme ĂŒberzeugend und stellt sie sich in der Weise, wie sie vorgetragen ist, als nothwendig dar? Keinesweges. Wie ĂŒbrigens nun die Auflösung zu Ende gefĂŒhrt wird, ist klar nnd bedarf keiner weiter,! Erörterung. Ähnliche unerklĂ€rte, ich möchte sagen, dogmatische Verfahrungs- weisen finden wir in den Ausgaben VI, 4. 5. 6. 8. 10. und öfter. Ein Beispiel der Art, welches denselben Fehler noch mit dem einer ganz willkĂŒhrlich eingefĂŒhrte» Bestimmung verbindet, werden wir in dem folgenden Kapitel zu betrachten Gelegenheit finden. Über die Art, wie Diophant in der Aufgabe VI, 19. die Nebenaufgabe behandelt, eine Kubikzahl zu finden, welche um 2 grĂ¶ĂŸer ist, als eine Quadratzahl, haben wir oben schon gesprochen. Hier wollen wir noch einmal die ganze Aufgabe betrachten. Sie heißt Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so daß der Inhalt und die Hypotenuse zusammen eine Quadratzahl, der Umfang aber eine Kubikzahl ausmacht. Der Inhalt sei = .*, die Hypotenuse aber irgend ein Quadrat weniger x, z. B. 16— x. Da wir den Inhalt x gesetzt haben, so ist das Produet der Katheten 2.*; aber 2x ist das Pro- duet von x und 2; setzen wir also eine Kathete 2, so ist die andere x, und der Umfang 18; und das ist keine Kubikzahl. Aber 18 ist entstanden aus der Addition einer Quadratzahl 16 und der Zahl 2. Wir mĂŒssen also eine Quadratzahl suchen, welche um 2 vermehrt eine Kubikzahl giebt. Nachdem nun Diophant sein schon erörtertes Verfahren angewendet hat, welches durchaus auf keinen zweiten Fall anwendbar ist, sondern geradezu auf die beiden Zahlen 25 und 27 hinsteuert, substituirt er in der Annahme fĂŒr die Hypotenuse den Ausdruck 25 —x statt 16 — .*; so wird, wenn die ĂŒbrigen Voraussetzungen dieselben bleiben, nun der Umfang 27, also eine Kubikzahl, und es bleibt nur noch ĂŒbrig, daß das aus den Seiten 2, x und 25—x bestehende Dreieck rechtwinklich sei; darum muß x i -\-A=2o—x' 1 sein, woraus man x = findet. 621 629 Demnach sind die Seiten des gesuchten Dreiecks 2, i und Die Aufgabe ist also insofern gelöst, als Diophant ein Dreieck an- giebt, welches die verlangten Eigenschaften hat. Da die Aufgabe aber unbestimmt ist, so gebe man doch einem SchĂŒler auf, auf dem I. 28 434 von Diopbant gelehrten Wege ein zweites Dreieck zu finden, welches ebenfalls den Forderungen der Aufgabe entspricht. Ich wĂ€re in der That neugierig, zu erfahre», wie er das anstellen wollte, vorausgesetzt, daß ihm die, wie es scheint, Diophant selbst unbekannte Methode, aus der gefundenen Auflösung seiner Ncbcnaufgabc andere Auflösungen herzuleiten, unbekannt wĂ€re. Diophant verwandelt wiederum die gestellte Aufgabe in eine ganz andere, indem er gleich von vorne herein die eine Kathete als gegeben betrachtet. Wollten wir uns dieser WillkĂŒhr enthalte», und das Geforderte allgemeiner darstellen, so wĂŒrden wir, wenn wir mit Diophant den Inhalt — x, die Hypotenuse = ri l —.* setzten, und das Produkt der Katheten 2 -r- in die unbestimmten Factore», etwa mx und ^ zerlegen. Dadurch kĂ€men wir auf die zwiefache Forderung, daß »*— x* — »Sx 2 - - ^ a , und außerdem eine Kubikzahl fein sollte. Wenn wir die erste Gleichung nach x auflösen, so fin- —w s +l/ ni i n i — den wir x — -;—;-— . Aber den Ausdruck hinter dem Wurzelzeichen hat Diophant selbst uns auf eine sehr einfache Weise zwiefach rational zu machen gelehrt, indem wir denselben entweder = 7 1 * 11 * oder — ~ setzen. Die erste Annahme wĂŒrde ergeben m = t, wĂŒrde uns also auf die Diophantischc Voraussetzung zurĂŒckfĂŒhren; die zweite dagegen giebt m = Dann wird x - 2ra 2 2rc 6 Setzen wir nun die beiden Werthe fĂŒr x l —- und m in die zweite Formel, n*-\-{7n — lx-\-^, so nimmt diese 2ir*2— n s „ 2 n* in* die Gestalt an 2 n*- 2 n* und n* — 4 n*-j- 2 n*-j- 2' dieser Ausdruck soll Kubikzahl werden; das wird geschehen, wenn sich verhĂ€lt An* = & l 3 , oder wenn wir fĂŒr ~ den einfachen Ausdruck p anwenden, wenn 4w 2 w*-j-2 = 1 /» 3 , wenn also 2 4 kn*p 3 = n*A r 1 f also ^ — 4^—1 — 8 y 3 —2 ' Da in diesem Bruche der ZĂ€hler bereits Quadratzahl ist, so kommt es nur darauf an, auch den Nenner zu einem Quadrate zu machen, und da sind wir gerade wieder auf die Diophantische Zwischcnatlfgabe gelangt, eine Kubikzahl 8-»^ zu suchen, welche um 2 vermindert Quadratzahl wird. Leider wird, wenn wir hier den bekannten Fall anwenden und 8/; 3 = 27 setzen, wodurch wir n = erhalte», x negativ, also auch die eine durch mx ausgedrĂŒckte Kathete negativ, was hier die Bedeutung hat, daß nicht der Umfang, oder die Summe der Hypotenuse und beider Katheten, sondern die Summe der Hypotenuse und der Differenz der Katheten eine Kubikzahl wird. Man muß sich also nach andern Werthen von p umsehen. Übrigens war es hier bloß meine Absicht, zu zeigen, wie die vorliegende Aufgabe ohne die Diophantischc willkĂŒhrlichc Annahme auf der einen, und ohne eben ungeheuren Kraftaufwand auf der andern Seite sich hĂ€tte lösen lassen. Eine Ă€hnliche WillkĂŒhr erlaubt sich Diophant in der folgenden Aufgabe VI, 20. Aber genug hiervon. Ich hatte unter den Diophantischcn Auflösungsmtthoden vielleicht noch den 8. Gebrauch des rechtwinkligen Dreiecks anfĂŒhren sollen. Aber die unter dem Namen des rechtwinkligen Dreiecks in rationalen Zahlen bekannte Theorie hat nichts ihr ausschließlich EigenthĂŒmliches. Die Auffindung eines solchen Dreiecks ist nichts anderes, als eine ganz gewöhnliche Zahlcnaufgabc, welche Diophant, ohne den Namen zu nennen, in den Aufgaben II, 8. 0. 11. unter verschiedener Gestalt löst, und welche, wie wir bei einer andern Gelegenheit gesehen haben, bereits von Pythagoras berĂŒhrt, von Platon oder Archytas um etwas ergĂ€nzt und von Euklid es in einem Lemma zu X, 29. der Elemente vollstĂ€ndig vorgetragen worden ist. Die Redensart, ein rechtwinkliges Dreieck finden, ist in der Arithmetik weiter nichts, als ein abgekĂŒrzter Ausdruck fĂŒr den rein arithmetischen Ausspruch des Satzes, Quadratzahlcn zu finden, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist. Diophant bedient sich dieser Theorie unter dem abgekĂŒrzten geometrischen Namen sehr oft, und dieselbe ist seitdem, namentlich bei den Mathematikern des siebzehnten Jahrhunderts, sehr beliebt geworden. Außerhalb des sechsten Buchs, dessen Aufgaben sĂ€mmtlich den Zweck haben, solche rechtwinklige Dreiecke 28 * 436 unter gewissen Bedingungen zu finden, erwĂ€hnt und bedient sich Dio- phant dieser Theorie in den Aufgaben III, 22. V, 8. 9. 11. 24. 30. Hier nun will ich diesen Gegenstand abbrechen. Wohl fĂŒhle ich, wie unvollkommen und wenig genĂŒgend gerade dieses Kapitel ausgefallen ist; wohl aber darf ich auch hoffen, wenn irgendwo, so hier bei billigen Lesern und Beurtheilern freundliche Nachsicht zu finden. Neben der unendlichen Mannigfaltigkeit der Diopbantischcn Methoden, welche gar keiner erschöpfenden Darstellung fĂ€hig ist, dĂŒrfte wohl noch der gĂ€nzliche Mangel an Vorarbeiten ĂŒber diesen Gegenstand zu meiner Entschuldigung dienen, wenn es mir hier nicht gelungen ist, das Wesen des großen Mathematikers in seinem wab- rcn Lichte zu zeigen und in seine Elemente zu zergliedern. Die Lcc- ti'trc seines Werkes ist, wie ich schon oben erwĂ€hnte, das einzige Mittel, welches zu einem vollstĂ€ndigen und treuen Bilde und j» der richtigen WĂŒrdigung dieses Vaters der Algebra fĂŒhren kann, und schwerlich hat schon irgend Jemanden die darauf verwandte MĂŒhe gereut. Wenn es daher manchem Verehrer dieses Heroen der Wissenschaft scheint, als habe ich demselben des Lobes nicht genug gespendet, wenn Mancher in der Aufdeckung auch der SchwĂ€chen des Auctors eine ungebĂŒhrliche Herabsetzung desselben sehen will, so kann ich darauf nur erwiedern, daß mein Zweck nicht war, unserm Auctor nach Verlanf von anderthalb Jahrtausenden eine Leichenrede zu halten, sondern Geschichte zu schreiben. Zehntes Kapitel. Diophant'S Porismata. iOckauntlich ist oft lind vielfach ĂŒber den eigentlichen Begriff des etwas dunklen Wortes Porisma, disputirt worden, und es ist so viel klar, daß dieser Ausdruck bei den Griechischen Mathematikern eine zwiefache Bedeutung hat. Zuerst heißt xoqia^a. ein Folgesatz, coi-ollariuin , ein Satz, dessen Wahrheit aus dem Beweise eines andern unmittelbar folgt, der also keines eigenen Beweises mehr bedarf; und er hat, wie Proklns sagt, seinen Namen daher, weil er sich ohne unser Zuthun als Ncbcngcwinn eines wissenschaftlichen Beweises crgiebt. In dieser Bedeutung kommt das Wort sehr oft in den Euklidischen Elementen und in allen spĂ€tern Schriften vor. Über die zweite Bedeutung dagegen geben uns die Griechischen Mathematiker nicht so klare Hinwcisungcu, und wir sind hier mehr an ein Errathen, als ein sicheres Dcsinircn gewiesen, zumal die beiden Schriften des Alterthums, welche den Titel rcogio- tiara fĂŒhrten, verloren gegangen sind, nĂ€mlich die Porismcn von Euklidcs und von Diophanlus. Proklus begnĂŒgt sich anzudeuten, daß der Ausdruck Porisma auch noch in einem andern Sinne gebraucht werde, hĂ€lt es aber fĂŒr ĂŒberflĂŒssig, genau zu erklĂ€ren, welcher Sinn dieses gewesenDie einzige AuctoritĂ€t, an die wir 1 Er spricht ĂŒber diesen Gegenstand an zwei Stellen; i>- 58. 59. all Eucl. I, 1.; ÎŻÎż ÎŽ\ XOQ'.auc/j λΔ*Îł ÂŁ7ίΛ, ÎŒ,ΔΜ otou Δπ' χρϋ Îč ÎŻ''*' Xt,vav t oTov ία, ίΎζÎč 'â€ąÎŒÎ·Î±ÎŒÎŒÎ­ÎœÎ± Ï‡ÎżÎŻÎŒÎ±Ï‡Î±' Î»Î­ÎłÏŠÎŻÎżÏÎ”ÎŒÎŻ ΜΜΜ \ ÎŒ ÂŁ Μ> g ÎŽÎčα ÎŻÎżÏÎŻÎż χζÎčΌα χÎčχ-ληχαÎč, οίΔ ÎŻÎč Î”ÏÎŽÎż ÎżÎœ η ÎœÎ”ÎŻÎ·ÎżÎœÎż^ Ï‡ÎŹÏˆÏÎżÎœ. Und ρ. 80. ad Eucl. I, 15. heißt es %v n ÎŻÏŽÎœ ÎłÎ”ÎżÎŒ,Î”ÎŻÏÎ”ÎșώΜ eor'v ÎżÎœÎżÎŒÎŹÎŻÎœ ÎŻÎż χ- 438 uns in dieser Hinsicht mit einiger Sicherheit halten kennen, ist Pappus, welcher in der Vorrede zum siebenten Buch seiner Sammlungen bei Gelegenheit der Porismcn Enklid's sich etwa so ausdruckt „Die Porismcn gehören weder zu den Theoremen, noch zu den Problemen, sondern stehen ihrer Form und ihrem Wesen nach zwischen beiden mitten innc, so daß sie sowohl als Theoreme, als auch als Probleme ausgesprochen werden können. Daher kommt es, daß einige Geo- mcter dieselben fĂŒr Theoreme, andere fĂŒr Probleme gehalten haben, indem sie sich an die bloße Form des Satzes hielten. Die Alten aber haben den Unterschied dieser drei Gattungen besser aufgefaßt, wie aus ihren Definitionen erhellt. Nach ihnen bezweckt ein Theorem die BeweisfĂŒhrung fĂŒr das, was der Satz auSspricht; ein Problem die Construction dessen, was vorgelegt ist; ein Porisma dagegen bezweckt die Auffindung und Erforschung des Vorgelegten. Diese Definition des Po- risma's ist von den Neuern geĂ€ndert worden, welche nicht alles aufsuchen können, sondern auf diese Elemente gestĂŒtzt nur zeigen, daß das, was gesucht wird, ist, nicht aber dieses selbst aufsuchen/" Lassen wir nun ÎżÏÎż ΎΔ Î·ÎŒÎ±ÎŻÎœÎ”Îč ÎŽÎčÎŻÎœ' ÎșÎ±Î»ÎżÏÎœ γαζ Ï‡Îż^ÎŻÎŒÎ±Î±, Îșαί ocra ρÎčÎœÎźÎŒÎ±Î± Ï…ÎłÏ‡Î±Î±ÎșΔυαζΔαÎč rat? αΛÎčλΜ Î±Ï‡ÎżÎżÎ”ÎčΔÎčΜ } ÎżÎčÎżÎœ έρΌαÎčα Îșαί, ÎșίΎη Μ Î¶Î·ÎżÏ‡ÎčΜΜ 'uXctqxovTa, Îșαϊ οα ζηΔαÎč ^ ΔΜ, Δυ^ΔΔ ΎΔ %%ηαΐΐÎč Îșαί Îż-ΰΔ ÎłÎ”ÎœÎ”Î” ΌΜη , ÎżÏÎ” ptoqlag ÎŹÏ‡Î»Î·, Îż Îč ΌΔΜ yaq icSv ÎčÎżÎșΔλώΜ at η ÎČΏΔÎč urat, ^o^^crat ΎΔ?, Îșαί ÎżÎœÎœ Ύη Μ Ï‡Î±ÎłÎŒÎŹÎœ ΔΛΜ η ÎżÎčα-υη ÎłÎœÎč, ηΜ ΎΔ ÎłÎœÎŻÎ±Îœ ÎŽÎŻÏ‡Î± ΔΌΔΐΜ π fqiycovov υηαρ at, η αφΔλΔϊΜ η ÏÎŻÏÎ±Îč 9 αυα χαΜα Ï‡ÎżÎčÎ·ÎŻÎœ ÎŻÎœÎż αχαÎčΔΐ' ÎżÎœ ΎΔ ΎοΎΔαγο ÎșύÎșÎ»ÎżÏ… Îż xsvfqov ΔύρΔΜ, η ÎŽÏ…Îż ÎŽÎżÎŽÎ”ÎœÎœ ΜΌΌέρΜ ÎŒÎ”ÎłÎ”ÎžÏŽÎœ ÎŒÎŻÎłÎčÎżÎœ Îșαί ÎșÎżÎčΜΜ ÎŒÎ”ÎżÎœ ΔΜ^ΔΜ, η α ÎŻ-αΎΔ, ΌΔαΟύ Îș χαÎČΧηΌαΜ Îșαί ^ecoH^.aa/cov' ÎżÏ…'Δ ρÎčÎœÎŻÎ”Îč Δ\\Μ ΔΜ ÎżÏ…ÎżÎč Μ Î¶Î·ÎżÏ…ÎŒ Lvcov, αλλ’ Δυ>ΔΔÎč 9 ÎżÏÎ” ρΔ^ία ψÎčλΟ’ ΎΔ ' y“? Μχ ÎżÏˆÎčΜ a~, ΔÎșÎŻÎžÎ”ÎŒÎ±Îč ÎżÏ…Ï… ÎŽÏ…Îż Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÏ… Μ χ,Î±ÎŻÏ‡, Îż ί£η u. f. W. „Und da wir in den Porismcn dcn Satz haben, daß, wenn zwei Zahlen so beschaffen sind, daß sowohl jede von ihnen als das Product beider ein Quadrat wird, wenn man dieselbe gegebene Zahl dazu ad- dirt, diese Zahlen dann aus zwei auf einander folgenden Quadraten entstanden sind, so u. s. w." In Formeln ausgedruckt sagt also der Satz wenn x-\-a = w 2 , y-\-a~n 2 und xy-\-a~jr jsi, so ist m—n-j-1. Nun fragt sich, ob der Satz in dieser Gestalt ganz allgemein wahr ist. Allerdings lĂ€ĂŸt sich mit Umkchrung der Aussage sehr leicht beweisen, daß wenn m und n um 1 verschiedene Zahlen sind, unmittelbar aus dcn ersten beiden Bedingungen die dritte folge. Haben wir nĂ€mlich die Gleichungen x-\-a— η 2 , y-\-a—{m~\-\-, so wird x=m~ — a, y = m-{- 1*— a, also xy - f" — m 2 rn-\-\'j 1 —a \m 2 — m —— 1 ^ 5 — 1 ] —j— - — m\m -j- 1 2 — 2 am/n -f- 1 -f- 2 — \mrn- f-1 — u\ 2 Wir haben also auf synthetischem Wege gcfiuidcn, daß, wenn man zwei Zahlen x, y so annimmt, daß man von zwei aufeinanderfolgenden Quadraten dieselbe Zahl a abzieht, dann auch das Product der beiden Zahle», wenn mau hinzu addirt, ein Quadrat wird. Es ist aber die Frage, ob es außer diesem Falle nicht noch andere Weisen gebe, welche x und y bestimmen lehren; zu dem Ende wollen wir den Satz analytisch betrachten. Sei also x—m 2 — u, y—n- — , so wird xy+ a — ni'ii 1 — m 2 a — n 2 a- j- n -j- a 2 = m"jr — a{m 2 -\- n~ — 1 -j- 2 = p 2 Dieser Ausdruck wird Quadrat werden, wenn das Quadrat des Cocfßcicnt von a gleich dem vierfachen ersten Gliede ist, das heißt, wenn wir p~mn — a, pr = m-jr — 1amn-\-a 2 setzen. Dann wird also —l = 2w, oder m 2 —2 mn-\-n = 1, m —»s= + l. Das ist aber gerade der Diophantischc Satz. Betrachten wir nun aber die Gleichung Ttvn" — am 2 — an 2 - j- a -}- a 2 = p 2 als eine unbestimmte Gleichung, in welcher wir einen Werth der Unbekannten m, nĂ€mlich +1, gesturden haben, und versuchen wir, aus diesem bekannten Werthe andere herzuleiten, so wcrdcit wir setze,, „ffissen. Dann verwandelt sich unsere Gleichung in folgende V — js* -J- 2m +1 2 — az-\- [nn + 1 — a\ - ~ p z bereu Auflösung ohne Schwierigkeit erlangt werden kaun, da hier das absolute Glied ein Quadrat ist. Wenn wir nun p — /P — Qz — [w±l—] setzen, so erhalten wir nach der AusfĂŒhrung, die icb dem Leser ĂŒberlasse, _2 + l»+l-2 n*-nl* — 1 st [ i0 » =-_____ - Nehmen wir Beispiels halber a — 5, wie bei Diophant, und etwa ,r = 4, so mĂŒĂŸte nach der Diophantischcn Regel m entweder =3 oder —5 sein. Demnach wĂ€re y=ll, entweder = 4 oder = '20; also xy entweder =44 oder =220, und beide Zahlen werden Quadrate, wenn man 5 dazu addirt. Unsere Formel aber substituirt uns fĂŒr diese Annahme noch unendlich viele andere Werthe fĂŒr m, weiln wir dem Q, welches jede beliebige ganze und gebröckelte Zahl sein kann, successive andere Werthe geben. Setzen wir z. B- —1, so wird m = 9, also .r=8l— 5 = 76, .ry=836, ,r//-f-5 = 84t = 29 2 . Es folgt aus dieser Dcduction, daß das Diophantische PoriSma, so wie er es ausgesprochen hat, nicht rick- kig ist, indem m und n nicht nothwendig zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind. In der Aufgabe werden nun aber drei Zahlen gesucht, und es treten zu den drei durch das Porisma erledigten Bedingungen nock drei andere hinzu; es sollen nĂ€mlich, wenn die dritte Zahl » ist, auch noch die AusdrĂŒcke xz -f- a, yz-\-a Quadrate werden. Nun werden aber unter der Voraussetzung die beiden letzten Bedingungen erfĂŒllt, wenn man z = 2.r-j-,y —1 = 2//r —j— -j-1 — 4 setzt. Es wird dann nĂ€mlich xz-j-a = [ ///2///-j-1 — 2] 2 yz-j-a— ///2/ - 3 — 2 a—1 ] 2 und wahrscheinlich hat das Zutreffen dieser beiden Bedingungen einen entscheidenden Einfluß auf die Gestalt des Porisma's gehabt. Bei der folgenden Aufgabe V, 4., welche die sechs analogen Formeln x — a, y —a, » — xy — u, xz — a, yz —a zu Quadraten zu machen befiehlt, wendet Diophant, ohne ein Porisma oder sonst einen Satz namhaft zu machen, die ganz Ă€hnliche Voraussetzung an, daß nĂ€mlich x —a = m i , y — a~trt- j-1 2 , und ebenso die folgende, daß * = 2.'r-j-y—1 sein mĂŒsse, wodurch wieder fĂŒnf Bedingungen erledigt werden. 443 Bachct's Erweiterung des von Diophant gebrauchten Poris- nia's ist als durchaus verunglĂŒckt zu bezeichnen. Sein Satz lauter I*orismatum lil». II. prop. 11. so Si a duobus quadratis auferatur idem numerus sigillutim, et residua per intervallum laterum dividantur, qui lit ex quoticntum mutuo ductu, ad* scito numero qui a quadratis detractus est, quadratus evadit. Der Satz ist zwar ganz wahr, indem er sagt, das? die Formel ——-J -a ein Quadrat wird; wenn wir also x —~—- in_ w 1 ' m -w - ' M- Itll IVUVt »l’lUll ll'll VUIV - , m—n ' ' m—n tu — n m — n n“ — tt — setzen, so wird xy-\-a ein Quadrat fein. Aber nun y wird weder x-\-a, noch y-\-a ein Quadrat. Dachet hat also, indem er von den gesuchten drei Bedingungen eine allgemein löst, die beiden andern aufgegeben. Dasselbe gilt von den folgenden Ă€hnlichen SĂ€tzen 12 —14. Wir gehen zu dem zweiten Porisma ĂŒber, welches zu der Aufgabe gehört V, 5. Drei Quadratzahlen zu finden, so das? das Product von je ztvcicn, sotvohl wenn man beide Facto- ren, als wenn man die dritte Zahl hinzu addirt, ein Quadrat werde. Καί Î”Ï‡ÎżÎŒÎ”Îœ -Ï‡ÎŹÎ»Îč v ΔΜ Î“ÎżÏŠ ttooto -ÎŒÎčχÎčΜ, ÎżÎč χΰÎč ÎŽÏ…Îż Î”ÎżÎ±ÎłÎœÎżÎč ÎżÎč Îșαα, ÎŽ έ^-η Ï‡ÎżÎżÎ”ÎœÎżÎŻÏ‡,ΔαÎč Î”Î”ÏÎż αρÎčΞΌ, Öl,' ĂŒjv ÎŽÎčÏ€Î»Î±Ï…ÎŻÎœ ÎČÎčηÎșÏ‡ÎŒÏ†ÎżÎ­ÏÎżÎœ Îșαί Ï…Î±ÎŻ ΌΔ'ÎčζΜ, ρΔÎč ÎŹÏÏ†ÎŒÎżÎœ Ï€Îż/Δΐ, Μ ÎŽ ΜχΎ ÎŽÏÎż Ï€ÎżÎčÎœÎżÎœÎœ Î”ÎŹÎœ Δ Ï€ÏÎżÎż'λΏÎČ rj ÎżÎœÎœ- Î±ÎŒÏ†Î”ÏÎżÎœ, Î”ÎŹÎœ Δ λοÎčπΎΜ Ï‡ÎżÎčΔ Î”ÏÎŹÎłÎœÎżÎœ, „llllb wir haben abermals in den Porismcn den Satz, daß, wenn man zu zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlcn eine andere Zahl nimmt, welche um zwei grĂ¶ĂŸer ist als die doppelte Summe jener beiden, man dann drei Zahlen von der Beschaffenheit hat, daß das Product von je zweien sowohl wenn die Summe der beiden multiplicirtcn, als auch wenn die dritte Zahl dazu addirt wird, ein Quadrat wird." Durch dieses Porisma ist also die Aufgabe schon insoweit gelöst, daß es nur noch darauf ankommt, diese dritte Zahl zu einem Quadrat zu machen. Der Satz sagt also, wenn man die drei Zahlen x-, .r-j-1 2 , 2 hat, so wird das Produkt von je zweien ein Quadrat, sowohl wenn die Summe beider, als auch wenn die dritte dazu addirt wird. In der Bearbeitung lind Verallgemeinerung dieses Porisma's ist Bacher nicht glĂŒcklicher gewesen, als bei dem vorigen; er dehnt nĂ€mlich den Diopbantischcn Satz in seinem 444 Porisniatum Iib. II. prop. 16. so aus Oiitis duobus quadratis, si sumatur duplum summae illorum, et quadrati intervalli laterum habentur tres numeri, quorum bini quem producunt mutuo ductu, is si adsumat productum ex quadrato intervalli laterum, sive in amborum summam, sive in reliquum, quadratum facit. Das heißt, wenn mau zwei Quadrate m-, n 2 hat, und dazu als dritte Zahl z = t im 2 -\-n 2 -\-%m — n 2 nimmt, so sind folgende sechs Formeln Quadrate nrn 2 - J- m — n'~ m 2 - s- n 2 , m 2 n 2 - j- in — tifx m 2 z - / — n' 2 4- ~j~ s, nsz - j -& — nfn 2 n 2 z ~{-m — n 2 n 2 4"*/ n ' x — nfnr Zwar haben wir hier einen Satz, der allgemeiner ist als das von Diophaut beigebrachte Porisma, der aber zur Auflösung der vorgelegten Aufgabe nur dann geeignet wird, wenn man »i — n= 1 setzt, das beißt, wenn man ihn wieder auf jenes Porisma rcducirt. Indeß muß ich gestehen, daß auch ich mir nicht getraue, den Dio- phantischcn Satz zu verallgemeinern. Eine zweite Anwendting dieses Porisma's macht Diophant bei der folgenden Aufgabe Y, 6. Drei Zahlen zu finde», so daß jede von ihnen um 2 vermindert ein Quadrat wird, außerdem aber das Product von je zweien ein Quadrat wird, sowohl wenn man die Summe beider, als wenn man die dritte Zahl davon subtrahirt. Um dieser Aufgabe zu genĂŒgen, darf man nach Diophant nur Zahlen annehmen, deren jede um 2 grĂ¶ĂŸer ist als die Zahlen der vorigen Aufgabe; setzt man also die drei gesuchten Zahlen x 2 -\-% .r-f-l J -2, x 2 4“ 4^'-Jr 6, so lehrt die Probe, daß alle Bedingungen der Aufgabe erfĂŒllt werden, und daß nur noch nöthig ist, die letzte Zahl —2, also die Formel ^x 2 -\-Lv-\-i zu einem Quadrate zu machen. Wollte man statt der in der Aufgabe gegebenen Zahl 2 im Allgemeinen a setzen, so lĂ€ĂŸt sich leicht zeigen, daß keinen andern Werth als eben 2 haben kann. Das dritte Porisma haben wir schon einmal in den Handen gehabt; es steht in der Auflösung der Aufgabe V, 19., und heißt ohne Zweifel so Dic Differenz zweier Kubikzahlcn lĂ€ĂŸt sich immer auch in die Summe zweier Kubikzahlcn zerlegen. Diophant will, wie wir oben gesehen haben, den Bruch ÂŁ oder den gleichgcltendcn -J4- in drei Kubi zerlegen, findet aber statt 445 fressen 5 = + —γ 7 ?/ also frte Summe von einem Kubus und frer Differenz zweier andern Kubi. Und darauf heißt eS in dem Terte Î”Ï‡ÎżÎčÎčΔΜ ΎΔ ΔΜ οΐ Ï€ÎżÎżÎŻÎ±-ΌαÎčΜ, 'Îč Ï€ÎŹÎœÎœ ÎŽÎœÎż ÎșΜ3Μ Îź ÎœÏ€Î”ÎżÎżÏ‡ÎŻ] π υ Es waltet indeß bei der ErgĂ€nzung dieser verstĂŒmmelten Stelle durchaus kein Zweifel ob, da der Sinn nur einer sein kann. Da aber Diophant die wirkliche Zerlegung der Differenz /A — Av >» die Summe zweier Kubi nicht ausfĂŒhrt, sondern in dieser Hinsicht sich begnĂŒgt, auf die Porismen zu verweisen, so wissen wir nicht, wie sein Verfahren beschaffen und welcher Grad von Allgemeinheit demselben eigen gewesen sei. Unter den Neueren hat zuerst Vieta, einer der ersten Beförderer der Dio- phantischen Analvsis in Europa, wahrscheinlich durch diese Stelle dahin gefĂŒhrt, diese und zwei Ă€hnliche Aufgaben gelöst. Die drei Aufgaben stehen am Ende des vierten Buchs seiner Zetetica, und lauten so 1. Datis du o bis cubis, invenire numero fr. h. in rationalen Zahlen, iv ÎŹÏ†ÎŒÎżÎ duos alios eubos, /uorum summa acqualis sit dfferentiae datorum. Wenn a 3 — b 3 ~.r 3 ~\-y 3 sein soll, so sinket er .r= — und,y= Dann folgt die umgekehrte Aufgabe 2. Datis duobus cubis, invenire numero duos alias eubos, /uorum differentia aequet summum datorum. Wenn a 3 -\-b 3 — x 3 — y 3 , so findet er x =- und y — - Diese beiden Ausgaben lösen zugleich in zwei verschiedenen Formeln die Aufgabe, einen gegebenen Kubus auf unzĂ€hlige Weise in die Summe dreier Kubi zu zerlegen. 3. Datis duobus cubis, invenire numero duos alios eubos, /uorum differentia acqtiet dfferentiam datorum. Wenn a 3 — b 3 — x 3 —y 3 , so ist x = 3 - f "ÂŁ 3 ' y ~ ; und dadurch ist zugleich die Aufgabe gelöst, die Summe zweier Kubi in die Summe zweier andern Kubi zu zerlegen. Betrachten wir nun zunĂ€chst die erste Aufgabe, so ist klar, daß der Werth fĂŒr x negativ werden wird, wenn 3 3 sein. Demnach ergĂ€nzen die erste und dritte Aufgabe einander vollstĂ€ndig in der Art, daß in jedem Falle, wenn die eine von ihnen ein negatives Resultat giebt, die andere ein positives liefert. Auf diese Bemerkung bat Format sein Verfahren gegrĂŒndet, die Differenz irgend zweier Kubi in die Summe zweier Kubi zu zerlegen, indem, wenn der grĂ¶ĂŸere Kubus kleiner ist als das Doppelte des kleinern, er sich zuerst der drillen Formel bedient und die gegebene Differenz zweier Kubi in die Differenz zweier andern zerlegt; diese zweite Differenz dann zerlegt er nach der ersten Formel in die Summe zweier Kubi. Demnach ist die von Diophant geforderte Zerlegung wirklich in allen FĂ€llen möglich. Die Stellen aus Fcrmar's Schriften, in welchen er diese Theorie berĂŒhrt, habe ich in der Note 2. des vorigen Kapitels angefĂŒhrt. Nach Beleuchtung dieser drei als Porismen namhaft gemachten SĂ€tze wenden wir uns zn den ĂŒbrigen ZahlcnsĂ€tzcn, von denen Diophant bei seinen Auflösungen Gebrauch macht. Alle diese SĂ€tze lassen sich in zwei große Klassen theilen, von denen die erste Klaffe solche SĂ€tze enthĂ€lt, die man identische Formeln nennt, und welche zum Theil algebraische Übertragungen der im zweiten Buche der Euklidischen Elemente geometrisch ausgesprochenen Wahrheiten sind; die zweite Klaffe dagegen solche SĂ€tze in sich begreift, die sich auf die Zerlegung der Zahlen in Quadratzahlen beziehen. Über die SĂ€ĂŸe der ersten Klasse werden wir zum grĂ¶ĂŸcrn Theil flĂŒchtig hinwcgcilcn können, und ich fĂŒhre die meisten derselben bloß der VollstĂ€ndigkeit wegen hier an. 1. xi ^+1+^ ist allemal ein Quadrat. II, 27. 28. 2. ist immer ein Quadrat. II, 31. 32. IV, 17. — Eukl. II, 4. 3. ^ 2 +2^-l und **— 1 sind immer Quadrate. II, 33. 34. 447 4. ^-~y-L-af, ist immer ein Quadrat. Ist also eine Zahl A auf verschiedene Weise das Product zweier andern, ab, cd, es, so sind C ~ -i ~ ’ n s ~ u ^ ' l ' lauter Quadrate, die zu A addirt wieder Quadrate zur Summe geben. II, 35. 36. III, 12. 14. IV, 6. 14. 17. V, 30. 31. — Eukl. II, 5. 5. ^Py-ab ist immer ri» ctuobrot. 111,13. IV, 18. 6. Aab-\-a — - 2 ist immer ein Quadrat. Identisch mit 4. IV, 20. 7. 2 K-s-l 2 -j- 2 -s-a!-s-1 2 ist immer ein Quadrat. III, 17. 8. 2 —-j-a-j- 2 —» ist immer ein Kubus. IV, 30. 9. Wenn 2 xy und — .r 2 —y 2 , oder und .t* +y 2 — 1 zugleich Quadrate sein sollen, dann ist x~%j. II, 32. VI, 12. Beide SĂ€tze sind zu enge ausgesprochen. Da in dem letztem Falle die zweite Formel ihrer Natur nach Quadrat ist, so ist weiter nichts nöthig, als das x=IrPy sei, damit auch ein Quadrat werde. FĂŒr den ersten Fall haben wir zunĂ€chst dieselbe Bedingung,- es soll 2 xy Quadrat werden; also muß x die Form 2w 2 y haben. Es soll aber auch noch 2 —y 2 oder y 2 -s-2§-y — x l , das heißt, wenn man x = 2,?y substituirt, y 2 -f-4/t 2 y 2 —4» 4 y 2 , also auch 1-j-4n 2 —4 n* ein Quadrat werden. Da nun hier der Fall n = 1, welcher die Formel zum Quadrat macht, bekannt ist, so kann man successive andere Werthe fĂŒr n finden, wenn man z — 1 fĂŒr n substituirt. Ein solcher Werth ist z. B. » = *} 10. Z — d l -\-ab-\-b' 1 . Dieser Satz spielt bei Dio- phant eine eigenthĂŒmliche Rolle. Er ist nirgend geradezu ausgesprochen, obgleich er aus Eukl. Elcm. IX, 35. lĂ€ngst in noch viel allgenicincrcr Gestalt bekannt war. Ja die Art, wie die Aufgaben IV, 12. 13. gelöst sind, scheint sogar anzudeuten, als ob Diophant den Satz nicht gekannt habe. Die Aufgabe 12. lehrt zwei Kubik- zahlen finden, fcmi\ Differenz der Differenz ihrer Wurzeln gleich ist, und Diophant fĂŒhrt diese Aufgabe auf die Bcdingungsaufgabc, zwei Kubikzahlcn zu finden, deren Differenz und Differenz der Wurzeln sich zu einander wie zwei Quadratzahlen verhalten. Nach der Formel wĂ€re also weiter nichts zu thun, als zwei Zahlen zu suchen. 448 so daß die Summe ihrer Quadrate zu ihrem Producte addirt eine Quadratzahl gĂ€be, eine Aufgabe, die feine Schwierigkeit hat und die Diophant selbst V, 7. löst. Statt dieser allgemeinen Auflösung geht Diophant von dem speciellen Falle anS, daß die Differenz der Wurzeln bereits au und fĂŒr sich Quadratzahl sei, z. B. 1, nnd sucht nun zwei einander zunĂ€chst liegende Kubi, deren Differenz ein Quadrat ist. Ebenso in der folgenden Aufgabe. Nichtsdestoweniger können wir uns ĂŒberzeugen, daß Diophant die Formel = tr-\-ab-\-b 2 gekannt und gebraucht habe, wenn wir uns die MĂŒhe geben wollen, ein wenig zwischen den Zeilen zu lesen. Wir betrachten zu dem Ende die sehr aphoristisch behandelte Aufgabe V, 8. Drei rechtwinklige Dreiecke zu finden, welche einen gleichen FlĂ€cheninhalt haben. Die Auflösung ist wörtlich folgende „Zuerst muß man zwei Zahlen suchen, so daß ihr Pro- duct sammt der Summe ihrer Quadrate ein Quadrat ausmacht. Das ist aber schon V, 7. gezeigt worden, und es sind die Zahlen 3 und 5, deren Product sammt der Summe ihrer Quadrate dem Quadrate von 7 gleich ist. Nun bilde ich drei rechtwinklige Dreiecke, das eine aus den Zahlen 7 und 3, das andere aus den Zahlen 7 und 5, und das dritte aus den Zahlen 7 und der Summe der beiden gefundenen, also aus 7 und 8. Die Dreiecke werden also sein 40, 42, 58, 24, 7», 74, und 15, 112, 113, und alle drei Dreiecke haben den gleichen FlĂ€cheninhalt 840." — Allerdings liegt am Tage, daß dieses Verfahren drei solche Dreiecke liefert, wie die Aufgabe verlangte; aber Diophant sagt auch nicht ein Wörtchcn ĂŒber das Princip, welches seinem Verfahren zum Grunde liegt. Wir wollen versuchen, uns dieses selbst zu entwickeln. Wenn wir aus drei Paaren von Zahlen m, n, p, q-, r, * drei rechtwinklige Dreiecke bilden, so werden die Katheten die uns hier allein angehen, in dem ersten ' 2mn und m 2 — n 2 , in dem zweiten pq und p 2 — f> r{r 2 — m 2 . Es ist also zunĂ€chst m 2 n — n 3 = m 2 /— y s also *»* = “Ef- = » , +i r +7 a Da haben wir den Grund der ersten Diophantischen Voraussetzung, warum man nĂ€mlich zuerst zwei Zahlen, n und y, suche» mĂŒsse, so das; ihr Product sammt der Summe ihrer Quadrate ein Quadrat gebe. Die Wurzel dieses Quadrats ist m , und die beiden ersten Dreiecke werden gebildet aus den Zahlen m,n und m,- d 1 . Nach derselben Methode bildet man aus dem zweiten dar dritte, aus dem dritten das vierte, u. s. w. Mdeß ist auch diese Methode nicht allgemein. 29 450 nommen, daß ihm die Formel a * ~ — 1 und 1, so wird das erste 33-56-65, das zweite 16-63-65. Der Satz, daß das Product zweier Zahlen und sich zweimal in die Summe zweier Quadrate zerlegen lasse, erleidet indeß die BeschrĂ€nkung, daß sich nicht m n — p Jede Primzahl von der Form 4^-f- i ist die Summe zweier Quadrate. Beide SĂ€tze folgen aus der dieser Aufgabe beigefĂŒgten Dcter- nnnation. Man soll die Zahl 1 in zwei StĂŒcke theilen, so daß, wenn man zn jedem StĂŒcke eine gegebene Zahl addirt, beide Summen Quadrate werden. Die gegebene Zahl darf aber weder ungerade sein, noch darf ihr Doppeltes eine um 1 grĂ¶ĂŸere Zahl haben, die von einer Primzahl gemessen wird Nennt man die beiden gesuchten StĂŒcke x und y, die gegebene Zahl a, so soll x-j-y - i, y- = * fein. Addirt man die Heiden letzten Gleichungen, so erhĂ€lt man die Gleichung 2 -— 1 = m' 1 -\-n' 2 . Die gegebene Zahl a muß so beschaffen sein, daß ihr Doppeltes um 1 vermehrt in zwei Quadrate zerlegt werden kann. Nun sagt 4 Leider ist diese Determination in den Handschriften arg entstellt. Wachet giebt sie im Texte so s Ό° α. ÎŒÎ”ÎŻÎ¶ÎżÎœÎ± Δχ] ÎŒÎŻÎż ϋ. η ΌΔΔΐαÎč ÎčÎż ÎżÏ α οΰ. ÎżÏ… j n tem Commcntar giebt er fĂŒr den zweiten Theil der Lescart des Valicanischen Codex, welche ebenso unglĂŒcklich und fast ĂŒbereinstimmend lautet ÎŒÎźÎ” Îż ÎŽÎčÎ§Î»Î±ÎŻÎżÎœ Î±Ï…ÎżÏ izqi~uov ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎ± α. ÎŒÎ”ÎŻÎ¶ÎżÎœÎ± Δχη ÎŒÎŻÎż ÎŻÎ±ÎżÎœ, ,' ΌΔÎčαÎč ÎœÎż ÎżÏ tqc/Toi> ÎŹÎčÎĄÎŒÎżÏ…. Wachet hat hin und her gerathen, und ist zuweilen dem Wahren auf die Spur gekommen; weil er aber den Satz nicht kannte, auf den Diophant hinzielt, so ist es ihm weder gelungen, den Text zu verbessern, noch die richtige Determination der Aufgabe zu geben. Das letztere hat Fcrmat gethan, ohne den Text weiter zu berĂŒcksichtigen. Erst Schulz hat sich an diese Correclur gewagt, aber, wie ich glaube, Einiges stehen lassen, was ganz unhaltbar ist. Er sagt S. 518. so „Es ist kaum möglich, in die zweite HĂ€lfte dieses Satzes, so wie sie im Texte steht, einen Sinn zu bringen. Man werfe aber die Worte ÎŒÎŻÎż ÎŻÎ±Î±Îœ, als ein Glossen, eines Abschreibers, aus dein Texte, und lese ÎŻÏ‡Î”ÎčΜ statt Δχ[, α statt Îź, und ÎŻÎœÎż statt des abgekĂŒrzten ÎżÏ, so ist die Übersetzung u. s. w. Die letztere Bedingung hatte allerdings diel kĂŒrzer ausgedrĂŒckt werden können, aber der Verfasser hĂ€tte ein Mal die erste Bedingung durch eine Verncinung ausgedrĂŒckt und wurde dadurch veranlaßt, auch die zweite auf dieselbe Weise auszudrĂŒcken. Wie das ÎŒÎ­ÏÎż ÎŻÎ±ÎżÎœ in den Text gekommen sei, ist leicht zu erklĂ€ren denn da die gegebene Zahl eine gerade sein soll, so muß das Doppelte derselben durch 4 thciibar sein, oder ÎŒÎŻÎż ÎŻÎ±ÎżÎœ ϊχΔÎčΜ, dies bemerkte ein Leser bei den Worten Îż ΎαλαΰΜ Î±Ï…ÎżÏ, und ein Abschreiber, der das ganze nicht faßte, nahm es in den Text auf." Wenu wir nach dieser Correclur der Hauptfehler noch einige Kleinigkeiten berĂŒcksichtigen, so dĂŒrste der zweite Theil nun so zu lesen sein ÎŒÎźÎ” ÎżÎœ ÎŽ ÎčÏ‡Î»Î±ÎŻÎżÎœÎ± Î±Ï…ÎżÏ ÎŹÎčÎĄÎŒÎżÎœ ÎŒÎżÎœÎŹÎŽÎč ÎŒÎ”ÎŻÎ¶ÎżÎœÎ± ϊχΔÎčΜ, Îż ΌΔΔΐαÎč ÏÏ‡Îż ÎŻÎœÎż Î§ÎŹÎżÏ… ÎŹÎčÎĄÎŒÎżÏ. 454 Diophant zuerst, die gegebene Zahl darf nicht ungerade sein. Setzen wir nĂ€mlich a ungerade, etwa — 2/,-j-l, so ist ihr um 1 vermehrtes Doppelte 4/-s-3; bekanntlich kann aber keine Zahl von der Form 4/> —j- 3 die Summe zweier Quadrate sein, ein Satz, der, wie alle negativ ausgesprochenen SĂ€tze dieser Art, sich sehr leicht beweisen lĂ€ĂŸt. Demnach darf nur gerade oder 2/-, also 2—j-1 = 4// —— l sein, und der zweite Theil der Determination sagt, daß diese Zahl durch keine Primzahl gemessen werden dĂŒrfe, das heißt, daß sie selbst Primzahl sein mĂŒsse. In der That ist jede Primzahl von der Form 4/> -J— t die Summe zweier Quadratzahlcn, und es ist nicht wenig ĂŒberraschend, diesen erst von Eulcr bewiesenen, wenngleich schon von Fcrmat mit Bestimmtheit ausgesprochenen Satz bei Diophant als bekannt vorausgesetzt zu finden. Werfen wir aber noch einen Blick auf das VerhĂ€ltniß der Determination zu der vorliegenden Aufgabe, so zeigt sich bald, daß dieselbe zu enge ist, und in dcm Bestreben, alle unzulĂ€ssigen Zahlen aus der Aufgabe zu entfernen, zu weit geht. Gegen den ersten Theil ist in dieser Hinsicht nichts einzuwenden, wohl aber gegen den zweiten; denn es giebt eine große Menge von Zahlen, die die Form haben und aus zwei Quadraten zusammengesetzt sind, ohne Primzahlen zu sein. Erstens nĂ€mlich hat Diophant in dem vor diesem angefĂŒhrten Satze die Bemerkung ausgesprochen, daß das Product zweier Zahlen, deren jede die Summe zweier Quadrate ist, zweimal die Samme zweier Quadrate ist, daß also die zusammengesetzte Zahl 4w-f-l4+ 1 / wenn jeder Factor Primzahl ist, gewiß die Summe zweier Quadrate sciu muß; mnltiplicircn wir nun diese Zahl mit einer dritten Primzahl von der Form so ist auch 4?-t-l4+l4/>-l die Summe zweier Quadrate, und so ins Unendliche fort. Zweitens aber ist klar, daß wenn man irgend eine Summe zweier Quadrate mit einer beliebigen Quadratzahl multiplicirt, das Product ebenfalls die Summe zweier Quadrate sein muß. Demnach ist eine Zahl von der Form kn-\ t die Summe zweier Quadrate nicht allein, wenn sie Primzahl ist, sondern auch, wenn sie außer quadratischen Factorcn nur Primfactorc» von der Form 4»-f-1, wenn sie also die Form hat w I 'l4»-f- l4w-l4w ;/ -f 1.] In dieser Allgemeinheit hat schon Fcrmat in seiner 0I»8orvu1ĂŒ> zu der vorliegenden Aufgabe die Determination ausgesprochen. Vorn limitatio, sagt er, haec est, generalis nempe et omnes numeros inutiles excludens. Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum ejus unitate auctum per maximum quadratum a quo mensuratur divisum dividi a quovis numero primo unitate minori quam multiplex quaternarii. Bei der desolaten Verfassung des Textes bleibt ĂŒbrigens Freunden von Con- jccturcn ein weites Feld geöffnet, wie viel von dem hier AngefĂŒhrten sie etwa in die Diophantischcn Worte noch hineinlegen oder aus denselben herausschneiden wollen. Einer Ă€hnlichen Determination hatte die folgende Aufgabe V, 13. bedurft, welche die Zahl 1 so in zwei StĂŒcke zu theilen verlangt, daß wenn man zu jedem derselben eine andere gegebene Zahl addirt, diese Summen Quadrate werden. Hier kommt es also, wenn a und b die gegebenen Zahlen sind, darauf an, daß a-\-b -J-l sich in zwei Quadrate zerlegen lasse. Über die WillkĂŒhr, die Diophant sich erlaubt, indem er a und b so annimmt, daß a-{-b -j-l Quadratzahl wird, und auf diese ParticularitĂ€t gestĂŒtzt die Auflösung durchfĂŒhrt, habe ich bei einer andern Gelegenheit gesprochen. 2. Zusammensetzung der Zahlen aus drei Quadraten. V, 14. Eine Zahl von der Form 8»-j-7 kann nie die Summe von drei Quadraten sein. Anders als in dieser negativen Gestalt wage ich den Satz im Geiste Diophant's nicht auszusprcchcn, und eigentlich habe ich ihm damit schon etwas zu Liebe gethan, indem ich durch diese negative Auffassung des Satzes einen offenbaren Mangel verdecke, an dem die Determination, welcher derselbe entnommen ist, leidet. Denn strenge genommen spricht Diophant den unwahren Satz aus, daß jede Zahl, welche nicht die Form 8»-j-7 hat, sich in drei Quadrat- zahlen zerlegen lasse. Die Aufgabe lautet nĂ€mlich, der zwölften analog Man soll die Zahl 1 in drei StĂŒcke theilen, zu jedem StĂŒcke dieselbe gegebene Zahl addiren, und alle drei Summen sollen Quadrate werden. Sind nun die StĂŒcke *, y> */ bie gegebene Zahl a, so soll 456 or-f-y-J^z = 1, x-\-u~m' 1 y - j- a = n- x-\-a=p z x — j“ y —— z 3 i , ist 3st-f-l = sein. Es kommt also bci dcr Aufgabe darauf an, die Zahl a so zu geben, daß ihr um 1 vermehrtes Dreifache sich in drei Quadrate zerlegen lasse. Nun sagt Diophant's Determination Die gegebene Zahl darf aber weder 2, noch eine aus dcr Reihe dcr um 2 vermehrten Vielfachen von 8 sein. Das heißt also, die gegebene Zahl darf nicht 8 y —— 2 sein. Wenn aber a nicht Sr/ - f- 2 sein darf, so kann 3 -f -1 nicht 24? -j- 7 sein. Demnach hat Diophant den Satz ausgesprochen, daß eine Zahl von der Form 24y-f~7 nicht die Snmmc dreier Quadrate werden könne. Aber dcr Theiler 3, dcr in dcr 24 fleckt, ist hier ohne Bedeutung, weil 24y-j-7 durch 3 dividirt 1 zum Rest lĂ€ĂŸt, also jene Zahl i» Pczug auf den Divisor 3 nicht nnr die Summe von drei, sondern auch von zwei Quadraten, ja selbst Quadratzahl sein könnte. Demnach bleibt als charactcristischcs Merkmal nur die Form dcr Zahl in Bezug auf den Theiler 8 zu betrachten ĂŒbrig, und danlt ist sie 8 namentlich die Zahlen von der Form 32,» -f-9 als solche bezeichnet, welche fĂŒr a nicht angenommen werden dĂŒrfen. Die vollstĂ€ndige BeschrĂ€nkung, welcher die Annahme der Zahl a unterliegt, hat indeß wieder Fcrmat zuerst ausgesprochen, und zwar in folgender Gestalt Er schreibt zwei geometrische Progressionen untereinander, von denen die obere Reihe die von 1 anfangenden successive fortlaufenden Potenzen von 4, die untere Reihe die Achtfachen der darĂŒber stehenden Glieder enthĂ€lt, also 1 4 16 64 256 1024. 8 32 128 512 2048 8192. und nun sagt er, a dĂŒrfe keine Zahl sein, welche entsteht, wenn man ein Glied der obern Reihe verdoppelt und dazu alle vorhergehenden Glieder derselben Reihe addirt, und ferner keine Zahl, welche entsteht, wenn man die so gefundene Zahl zu einem Vielfachen des entsprechenden Gliedes der untern Reihe addirt. Daher dĂŒrfe nicht fein 8w+2-l oder 8,r+2 Diophant 32,»+2-4+1 - 32,»+9 Dachet 128^+2-16+4+1 - 128,»+37 512„+2-64+16+4+1 - 512,»+149 u. s. w. Wenn wir den Satz allgemein ausdrĂŒcken und bedenken, daß die Summe der Potenzen von 4, von 1 bis 4 /i_1 genommen, ~ ~ 1 ist, so darf a nicht sein 8-4 / ',»+2-4 ; '+ 3 1 , oder 8-4''»» +~ "'~ ' 3 ' ~~, dk"nmch darf 3+1 nicht sein 8-4 / 7»+7-4 /> , das ist 4 ; 'S„+7, und wir erhalten daher den berĂŒhmten Satz, daß jede Zahl, welche nicht von der Form 8,»+7 oder ein Producr einer Zahl dieser Form in irgend eine Potenz von 4 ist, sich in die Summe dreier Quadrate zerlegen lasse. Da nun alle diese Zahlen entweder uitgeradc Zahlen von der Form 8^+7, oder gerade Zahlen von der Form 4,» sind, so folgen aus diesem allgemeinen Satze als speciellere die beiden 1 Jede ungerade Zahl, welche nicht die Form 8„+7 hat, und 2 jede gerade Zahl von der Form 4,»+2 ist in drei Quadrate zerlegbar. Wie ich erwĂ€hnte, lĂ€ĂŸt sich aus Diophant's Determination iticht entnehmen, wieviel von diesen 458 SĂ€tzen ihm bekannt gewesen sei, wieviel nicht; und die BemĂŒhung von Schulz, zn zeigen, daß Diophant beide letztgenannten SĂ€tze genau gekannt habe, beruht auf einem Irrthums. Den ersten der beiden letztgenannten Specialsatzc scheint Diophant allerdings gekannt zu haben; fĂŒr die Annahme seiner Bekanntschaft mit dem letzten Satze haben wir aber gar keine Auctoritat. Bei den Aufgaben V, 15. 16., welche ebenfalls von der Zcr- lcgbarkcit einer gegebenen Zahl in drei Quadratzahlcn abhĂ€ngen, fehlt die Determination, welche der zu V, 14. gegebenen eben bc=. trachteten ziemlich conform ausfallen mußte. Einer besonderen Betrachtung wollen wir noch die Aufgaben V, 22. 23. unterwerfen. Die erstere verlangt eine gegebene Zahl in drei StĂŒcke x, y, x zu zerlegen, so daß a 3 — x, a 3 — y, a 3 —js Quadrate werden. Addirt man diese drei Formeln, so kommt cS darauf an, die Zahl 3 3 — a in drei Quadrate zu zerlegen. Diophant giebt auch hier keine Determination und scheint also die 5 Schul; bemĂŒht sich nĂ€mlich zu zeigen, daß Diophant' Determination erschöpfend sei und alle unbrauchbare» Zahlen ausschließe. Sein Beweis ist folgender „Daß diese Bedingung aber hinreichend sei, laßt sich leicht ĂŒbersehen. Die „Zahl 3-f-l ist entweder ungerade oder gerade, ersteres wenn a eine gerade, „letzteres wenn a eine ungerade Zahl ist. Wen» nun 3 st-1 ungerade und nicht „zugleich von der Form 5nst-7 ist, so lĂ€ĂŸt sie sich nach dem angefĂŒhrten Satze „bei Legendrc gewiß in drei Quadrate theilen. Ist aber 3,/st-1 eine gerade „Zahl, so muß n selbst eine ungerade Zahl, also von der Form 2,rst-1 sein, wo „n eine ungerade Zahl bedeutet ???. Daher wird 3crst-1 — 6mst-4, „also das Doppelte einer Zahl von der Form 3-rst-2, d. b, einer ungeraden „Zahl ???. Nun wird aber bei Legendrc a. a. O. bewiesen, daß jede Zahl, „welche das Doppelte einer ungeraden Zahl ist, ebenfalls die Summe von drei „Quadraten sei. Es ist also einleuchtend, daß die Zalil 3st-1, insofern sie nicht „in die bezeichnete Reibe gehört, sich jedes Mal in drei Quadrate zerstĂŒckeln lasse, „und ebenso cinlcuchtcnd ist es, daß Diophanlus sowohl diesen, als den von Enler „bewiesenen Satz, daß jede Primzahl von der Form À»st- l die Summe zweier „Quadrate sei, genau gekannt haben mĂŒsse." — Allerdings wird, wenn wir n — und dann noch n ungerade setzen, der Ausdruck 3,/st-1 das Doppelte einer ungerade» Zahl. Aber wer heißt uns n ungerade, das heißt, = 4/t st-3 setzen? Schulz hat also nur bewiesen, daß die Auflösung immer möglich ist, wenn n gerade und nicht 8/rst- 2, und wenn — 4-j-3 ist. Wie steht es aber mit a = 4-f-l? Unter diesen giebt es zulĂ€ssige und unzulĂ€ssige a, die nur durch die Fermat'schc Determination geschieden werden tonnen. Schon das Beispiel von Wachet, daß = 9, also 3+l = 28 nicht zum Ziele fĂŒhrt, hĂ€tte den gelehrten Übersetzer ausnierksam machen sollen. 459 Möglichkeit der AusfĂŒhrung iu allen FĂ€llen vorauszusetzen. In der That ist die Auflösung immer möglich, wenn a ungerade, oder auch wenn a gerade-ungerade, das heißt, von der Form An-\-'l ist. In beiden FĂ€llen erhĂ€lt 3 a 3 —a die Form An-j-2, welche sich immer in drei Quadrate zerlegen lĂ€ĂŸt. Unmögliche FĂ€lle sind also nur in der Form a -= - An zu suchen. Um diese aufzufinden, setzen wir 3a 3 — a der Formel gleich, welche die Unmöglichkeit der Zcr- lcgbarkcit in drei Quadrate ausdrĂŒckt, so haben wir 3a 3 —, oder a 3a 1 — 1 = 4 , 'S -j- 7 Ohne weiter auf eine Untersuchung aller möglichen FĂ€lle, in welchen diese Gleichung statt haben kann, einzugehen, begnĂŒgen wir uns mit dem, was der bloße Augenschein giebt, daß nĂ€mlich die Gleichung erfĂŒllt wird, wcnu wir a = A r setzen, weil dann zugleich allemal 3^ — 1 = 8 m +7 wird. Demnach wird die Zerlegung dcS Ausbrucks 3a 3 —a iu drei Quadrate allemal unmöglich sein, wenn a eine Potenz von 4 ist. Ebenso darf a nicht 4 7 '8»-f-l sein, wie eine der folgenden Ă€hnliche Untersuchung leicht ergicbt. In der Aufgabe V, 23. soll x-j-y-j-z = —, und jede der 111 Formeln x — y — z — ^ ein Quadrat werden. Addirt man hier wieder die drei AusdrĂŒcke, so kommt es darauf an, die Formel -—oder was dasselbe ist, a 3 — 3a in drei Quadrate zu zerlegen. Auch diese Operation ist immer möglich, wenn a — 2n + 1 oder — 4,r-s-2 ist. Wir wollen ferner untersuchen, wie eS sieht, wenn a die Form An hat. Zuerst leuchtet ein, daß wenn wir wieder O 5 — 3 = 4 ,, 8»+7 setzen, der Werth a A p dieser Gleichung nicht genĂŒgt; denn fĂŒr diesen Werth von a erhĂ€lt a" —3 die Form 8-r — 3 oder 8-r-s-ö, welche nicht mit 8-r-s-7 identisch sein kann. Nun kann aber eine Zahl von der Form 8-r-s-7, wenn sie nicht Primzahl ist, nur entstanden sein aus Factorm 8-{-1 8»+ 7, oder aus S/i- 3 8^ -j-5. Setzen wir also zunĂ€chst Ă€ — 3 — 4I8-r -s-1 8-r -s- 7 und versuchen, ob a=^A p 3n-\-\ der Gleichung genĂŒgen könne; es leuchtet aber ein, daß das nicht möglich sei, da * — 3 in dem 460 Falle ebenfalls wieder die Form 8h —3 erhĂ€lt. Ebenso wenig kann u = 4 / 'S-{-7 gesetzt werden. Setzen wir also ferner n{/r —3 = 4 ; 'S n - J- 3 8 -f - 5 tnid nehmen — 4 / '8^-j-3 an, so wird n *—3 immer die Form 8-r—3, das ist, 8-j-5, also i fort." — Dieses ist eine kurze Rekapitulation des aus frĂŒhern Schriften als bekannt Vorausgesetzten. Es folgt die Angabe des Zwecks dieser Schrift. „Wie es nun von den Qadratzahlcn bekannt ist, daß sie aus der Mliltiplication einer Zahl in sich selbst entstehen, so hat sich es auch bewĂ€hrt, daß jede Polpgonzahl multiplicirt mit einer von der Zahl ihrer Winkel abhĂ€ngigen Zahl, und addirt zu cincm Quadrat, das ebenfalls von der Zahl ihrer Winkel abhĂ€ngt, cind Quadratzahl zum Vorschein bringt. Das nun will ich beweisen und zugleich zeigen, wie man aus der gegebenen Seite die zugehörige Polvgonalzahl, tmd aus der Polvgonalzahl die Seite findet. Vorher aber werde ich einige HilfssĂ€tzc ~u ΔÎč αύα Î»Î±ÎŒÎŻÎŻÎ±ÎœÎŒÎ”ÎœÎ± beweisen." HilfssĂ€tzc. Erster Satz. Prop. II. „Wenn drei Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das achtfache Prodnct der beiden grĂ¶ĂŸer», addirt zu dem Quadrate der kleinsten, ein Quadrat, dessen Wurzel ist die Summe der grĂ¶ĂŸten und der doppelten mittlern." Über Diophant's Beweise werde ich unten sprechen; hier begnĂŒge ich mich, die SĂ€tze an Formeln zu erlĂ€utern. Hat man drei Zahlen von gleichem Unterschiede, a, u-\-b; aA-'ih, so ist S —f- 2 Ă€ — j— —f- — Ö 2 —j—{— 2^ 2 —— a = 9 2 +24^+16Ă€ 2 = 3-}-44 2 = [+24+2+4] 2 Zweiter Satz. Prop. III. „Wenn beliebig viele Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist der Unterschied der grĂ¶ĂŸten und kleinsten gleich dem Producte aus dem bestĂ€ndigen Unterschiede in die um 1 verminderte Anzahl der vorliegenden Zahlen." Hat man nĂ€mlich die arithmetische Reihe , a- j-4, u-\-2b und so weiter, so ist deren n ta Glied also der Unterschied zwischen diesem und dem ersten Gliede gleich n —14. Dritter Satz. Prop. IV . V. „Wenn beliebig viele Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das Prodnct aus der Summe 465 Summe der grĂ¶ĂŸten und kleinsten in die Anzahl der Zahlen gleich der doppelten Summe aller vorliegenden Zahlen." Dieser Satz enthĂ€lt die bekannte Formel fĂŒr die Summe einer arithmetischen Progression. Nennt man nĂ€mlich die kleinste Zahl a, die grĂ¶ĂŸte t, die Anzahl n, die Summe aller S, so ist S~ oder, wie Diophant den Satz ausdrĂŒckt, a-\-tn ~ 2 S. Diophant beweist den Satz zuerst fĂŒr den Fall, daß n gerade Prop. IV., und dann fĂŒr den Fall, daß n ungerade ist Prop. V. Diese drei SĂ€tze gelten der arithmetischen Progression im Allgemeinen und enthalten kurz die Elcmcntarlchren derselben. Mit dem folgenden Satze rĂŒckt der Verfasser dem Ziele um einen Schritt nĂ€her, indem er nun speciell diejenige Progression betrachtet, deren erstes Glied 1 ist. Vierter Satz. Prop. VI. „Wenn beliebig viele Zahlen von der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, so ist das achtfache Produkt aus der Summe aller in den bestĂ€ndigen Unterschied, addirt zu dem Quadrate des um 2 verminderten Unterschiedes, eine deren um 2 verminderte Wurzel gleich sein wird dem Producte des Unterschiedes in die um 1 verminderte doppelte Anzahl aller vorliegenden Zahlen, die Einheit mitgerechnet." Nennen wir wie vorher die Anzahl n, den bestĂ€ndigen Unterschied b, die Summe aller Glieder S, so soll nach dem Satze 8-V-j-S- 2* = {b&n — l + 2] 2 . Es ist aber S= [ w—1^+2]^; dieses substituirt, giebt MS=Mn[n — 16 + 2] — 4 b^n 1 — ib 2 n-i-$b?i dazu b —2 2 = i 2 —4-j-4, giebt —2 2 = 4/rW 2 — M-n+Mti+b *—4 ÂŁ+4 — ÂŁ 2 4rc 2 — 4»-f-l+4^2rc— 1+ 4 = \bQn— 1 + 2 ] 2 . Zusatz. Prop. VII. Dieser Satz hat ebenso wie die in dem vierten Satze mtf ihn verweisenden Worte, „ e 4w> & ÂŁl %- pr\fsrai ganz das Aussehen eines apokrnphischcn Einschiebsels. Sein Inhalt ist kein anderer, als daß er geometrisch beweist, daß b%2n — l 2 = [b2n— I] 1 ist. i. 30 406 Hauptsatz. FĂŒnfter Satz. Prop. VIII. „Nach diesen VordersĂ€tzen nun' behaupte ich, daß, wenn mehre Zahlen von der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, die Summe aller eine Polygonzahl sei; und zwar ist die Anzahl ihrer Winkel um zwei grĂ¶ĂŸer als der bestĂ€ndige Unterschied, ihre Seite aber ist die Anzahl der vorgelegten Zahlen, die Einheit mitgerechnet." Nachdem Diophant den Beweis dieses Satzes, dcir ich unten mittheilen werde, gegeben hat, fĂ€hrt er so fort „Es ist also bewiesen, was Hypsikles in der Definition —»—2, S=P, demnach wird 8 — 2 /*+ O — 4 12 = [ — 2 2 » — 1 + 2] !2 und diese Formel enthĂ€lt die Bedingung, nach welcher die Polygonalzahl und ihre Seite gegenseitig von einander abhĂ€ngen; es ist nĂ€mlich » ^-22m-1-l-2-4- — 8/r — 2 und umgekehrt n~ 1 n-Sff—2/>-H/»-4»-2 T L — Ü Die Übersetzung dieser beiden aus dem fĂŒnften und vierten Satze unmittelbar sich ergebenden Formeln in Worte bilden die Bacbet'sche Propositio nona, welche wir, wenn wir sie ja von dem fĂŒnften oder Hauptsatze trennen wollen, höchstens als einen Zusatz zu diesem betrachten können. In diesem Satze nun hat Diophant seinen in der Einleitung ausgesprochenen Zweck erreicht. Er . hat nĂ€mlich gezeigt, wie man zwei von der Winkclzahl des Polygons abhĂ€ngige Zahlen finden könne, so daß allemal, wenn man die Polygonzahl mit einer dcrscl- 30 * 468 I bei, multiplicirt und das Quadrat dcr andern hinzu addirt, diese Summe ein Quadrat wird; er hat ferner gezeigt, wie man zu jeder gegebenen Seite oder Wurzel die zugehörige Polvgonzahl irgend einer Ordnung, und umgekehrt zu einer gegebenen Polpgonzahl, ihre Seite finden könne. Mehr hat er sich nicht vorgesetzt. Dcßungc- achtct folgt noch als Anhang eine Aufgabe. Prop. X. „Wenn eine Zahl gegeben ist, zu untersuchen, auf wieviclcrlci Weise sie Polvgonzahl sein könne." Die AsfĂŒhrnng dieser an und fĂŒr sich interessanten Aufgabe ist in allen Manuscriptcn in dcr Mitte abgebrochen, und es ist aus dem BruchstĂŒcke, obgleich es schon eine bedeutende LĂ€nge erreicht hat, noch nicht zu ersehen, wo dcr Verfasser eigentlich hinaus will. Indeß spricht aus dem Verfahren, soweit es vorliegt, ganz Diophant's Manier, wie sie sich uns aus den vorhergehenden SĂ€tzen offenbart, weshalb ich, obgleich ich nicht apodiktisch entscheiden mag, nicht geneigt bin, mit Schulz 2 anzunehmen, diese Aufgabe sei ein fremdartiger Zusatz zu dcr mit Prop. IX. vollendeten Diophantischcn Schrift. Es ist wahr, dem in dcr Einleitung mit bestimmten Worten angegebenen Plane zitfolge könnte man das Werk mit Prop. IX. als vollkommen abgeschlossen betrachten. Bedenken wir aber auch Folgendes, was vielleicht die Annahme dcr Echtheit dieser Aufgabe zu rechtfertigen im Stande ist. In dem fĂŒnften Satze Prop. XIII hat Diophant als Merkmal oW, einer Polvgonzahl angegeben, daß dcr Ausdruck 8—2/ , -f-— 4 2 ein Quadrat werde. Die Anwendung dieser Formel konnte und mußte leicht auf die Bemerkung fĂŒhren, daß es fĂŒr ein gegebenes P sehr hĂ€ufig mehre Werthe fĂŒr n gebe, welche den Ausdruck zu einem Quadrate machen, mit andern Worten, daß dieselbe Zahl P verschiedenen Ordnungen von Polvgonalzahlen angehören könne. So ist, um nur einige nahe liegende Beispiele anzufĂŒhren, die Zahl 36 zugleich dreieckige, viereckige und dreizehneckige, und auch sccbslmddrcißigcckige Zahl; 226 ist vier-, acht-, vicrnndzwanzig-, sechSundfiebzig- und zweibun- 2 Amn. 9 dertfĂŒnfundzwanzigeckige Zahl; 540 ist Polvgonalzahl vo» 7, 10, 21, 181 und 540 Seiten, 561 von 3, 6, 12, 39 , 188 und 561 Seiten; 616 von 7, 13, 31, 104 und 616 Seiten; und so unzĂ€hlige andere. Es scheint also ziemlich natĂŒrlich, das; der Verfasser, nachdem er die Vieldeutigkeit seiner Formel oder vielmehr seiner Regel erkannt hatte, der dem ursprĂŒnglichen Plane zufolge hcrcits abgeschlossenen Abhandlung nun noch die Ausgabe hinzufĂŒgte, wie man diese Vieldeutigkeit der Regel Ibsen unb anwenden könne. Auch ist es ja bei andern alten und iicncrn mathematischen Werken nichts Ungewöhnliches, daß dem abgeschlossenen System von LehrsĂ€tzen ein Anhang von Aufgaben, die den Gegenstand betreffen, hinzugefĂŒgt wird. Es ist also wohl daraus, daß diese Aufgabe nicht ebenso wie der Inhalt des vorhergehenden Lehrsatzes in der Einleitung angekĂŒndigt wird, nicht mit allzu großer Gewißheit deren Uncchthcit zu schließen. Wie Diophant die Aufgabe gelöst habe, lĂ€ĂŸt sich, wie gesagt, aus dem BruchstĂŒcke nicht ciitnchmcn; wenigstens ist mir es nicht gelungen, in dem Vorhandenen einen sichern Fingerzeig auf das verloren gegangene Ziel des Weges zu entdecken. Buchet hat in seiner Zugabe zu dieser Schrift die Aufgabe mit Hilfe des Satzes von Nikomachus gelöst, daß nĂ€mlich jede Polygonzahl von er Seiten die Summe von n —2 dreieckigen Zahlen ist, deren eine dieselbe Seite hat, wie das Polygon, die ĂŒbrigen aber die um 1 kleinere Seite s. 3 Appendicis ad Librum de Numeris Polygonis Lib. I. Prop, 19. Proposito qualibet numero, investigare quot modis pohjgonus dici possit. Bezeichnen wir eine Polpgonzahl, deren Seite n und deren Winkclan - zahl a ist, mit n a , nach Nikomachus II, 12. k° G» , , , , ’> n — n -f-a —3m — 1 3 Dividire» wir nun durch die dreieckige Zahl » — 1 , st wird 3 _ ~ , n a — 3 Hieraus grĂŒndet sich die Regel Bachct's- Man dividirc die gegebene Zahl durch 470 Übrigens erhellt aus dieser Darlegung des Inhalts, daß Dio- phant keineswegs die Absicht hatte, eine vollstĂ€ndige Theorie der Polvgonzahlcn zu schreiben, sondern daß er vielmehr nur bezweckte, eine Eigenschaft derselben allgemein wissenschaftlich zu beweisen. Denn wenn wir auch die abgebrochene Aufgabe Prop. X. als noch zur Sache gehörend anerkennen, so verbietet doch jedenfalls die Fassung der Einleitung die Annahme, daß hinter dieser Aufgabe vielleicht noch bedeutende theoretische ZusĂ€tze und Erweiterungen des abgehandelten Stoffes gefolgt seien. Nach dieser Nccognoscirung des Stoffes wollen wir unser Augenmerk auf die Art der Behandlung desselben werfen. Was zunĂ€chst das Mittel der Operationen anlangt, so finden wir hier die in Euklid's arithmetischen BĂŒchern begrĂŒndete Methode der linearen Arithmetik wieder, welche darin besteht, daß allgemeine Zahlcnaus- drĂŒckc, als deren Symbole wir die Buchstaben verwenden, durch Linien veranschaulicht werden. Ich habe ĂŒber diese Methode oben schon einmal gesprochen. Sie ist nicht eigentlich als eine geometrische Operation, als eine Operation mit rĂ€umlichen GrĂ¶ĂŸen zu betrachten, sondern als eine Vcranschaulichung des unsichtbaren Begriffs der Zahl in Gestalt einer Linie. Es ist darum nicht ganz genau, wenn Schul; in seiner Anmerkung zu dem ersten Satze Prop. II. sagt „Bcmerkcnswcrth ist hier und bei den folgenden SĂ€tzen die unmittelbare Anwendung der von Theilung der Linien geltenden SĂ€tze und geometrischer Constructioncn auf Zahlen, worin Diophantus, dessen Theorie der Polygonzahlcn sich ĂŒbrigens an die BĂŒcher 7. 8. 9. der Elemente des Euklides anschließt, von der alle vorhergehenden dreieckigen Zahlen; so oft nun diese Division einen Nest lĂ€ĂŸt, der um 1 grĂ¶ĂŸer ist als die Wurzel der dreieckigen Zahl, so ist die gegebene Zahl eine Polvgonzahl, deren Seite der Nest und deren Winkelanzahl der um 2 vermehrte Quotient ist. Locher aber hat man zu untersuchen, ob die gegebene Zahl a selbst dreieckige Zahl ist. LĂ€ĂŸt die Division ——- keinen Nest, so hat man l»- 3 + - 34 2 +^ 3 als reine ZahlcnsĂ€tzc gekannt und als bekannt vorausgesetzt hat. Wie sehr sich sein Verfahren von einer rein geometrischen Construction unterscheidet, wird ani besten atls einem Beispiel einleuchten. WĂ€hlen wir dazu gleich den ersten Satz Wenn drei Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das achtfache Produkt der beiden grĂ¶ĂŸer», addirt zu dem Quadrate der kleinsten, ein Quadrat, dessen Wurzel ist die Summe der grĂ¶ĂŸten und der doppelten mittlern. E A B 1 G -1-1-1—H „Drei Zahlen All, BG, HD habe» gleichen Unterschied, so ist zu zeigen, daß das achtfache Produkt von AH i» BG, addirt zu dem Quadrate von HD ein Quadrat giebt, dessen Wurzel gleich ist der Summe von AH und 2 BG. Da nun AB gleich ist BG-\-GD, so ist 8 AB-HG gleich dem achtfachen Quadrat von llG und dem achtfachen Produkt von BG in GD. Es ist also auch das vierfache Product von AB in BG gleich dem vierfachen Quadrat von BG und dem vierfachen Prodnct von BG in GD. Aber das vierfache Product von BG in GD nebst dem Quadrate von BD ist gleich dem Quadrate von AB. — sNach Eukl. II, 8.; aber auch in den Aufgaben wendet Diophant sehr oft den Satz —Ijf = {n-\-»'s — Es ist also zu untersuchen, wie das Quadrat von AB nebst dem vierfachen Produkte von AB in BG und dem vierfachen Quadrate voit BG ein Quadrat gebe. Wenn wir AE gleich BG setzen, so verwandeln wir das vierfache Produkt von Aß in BG, in das vierfache Produkt von HA in AE. Dieses zugesetzt zu dem vierfachen Quadrate von Gli, das ist, AE, giebt das vierfache Produkt von BE i» EA, und dazu addirt das Quadrat von AB, giebt zur Summe das Quadrat von BE und EA als einer einzigen Linie. Aber BE und EA zusammen genommen sind gleich AB und 2 AE oder 2 BG, und das sollte gezeigt werden." E A B D G I-1-1-1-1 Um das Verfahren mehr zu veranschauliche», will ich es so darstellen. Es soll bewiesen werden, daß 8AB BG+BD 2 = [AB+VBG] 2 Nun ist nach der Voraussetzung AB—ÜG — BG— BI = JG, also AB - ; BG-\- GJ, folglich 8 AB BG = 8BG- +8 BG GD also auch 4A1I-BG — 4BG 2 \-4BG GD addirt man nun was Diophant nicht ausgedrĂŒckt hat auf beiden Seiten 4 AB-BG -f- HD 2 , so wird 8 AB. BG+ BI 2 = 4 AB-BG+ 4BG 2 -\-4BG- GI + BI 2 Aber 4 BG GI+HD = BG-\- GI 2 =AB 2 daher 8ABBG-{-BI 2 = AB 2 -\-4ABBG-\-4BG 2 LĂ€ĂŸt sich nun beweisen, daß die rechte Seite dieser Gleichung ein Quadrat ist, so wird auch die linke ein Quadrat sein. In dieser Formel ist es nun zwar ganz augenscheinlich, daß die Seite rechts das Quadrat von AB-\~'2BG ist. Diophant aber fĂ€hrt so fort, daß er AE=BG macht, so wird 4AB-BG= 4ABAE 4BG 2 = 4 AE also 4 Aß. BG+4BG 2 — 4 AEAB-\~AE = 4AE-EB und dazu noch AB 2 addirt giebt 8 AB-BG+BD 2 — 4 AEEB+AB 2 aber AB ist — BE — EA, folglich »ach demselben Satze, der oben schon angewandt ward, 4AE EB-\-ylB 2 — AE-\-EII 2 . Aber AE+EB ist = AB-\-VAE = AB+WG, also ist der Satz bewiesen. Da der Hauptsatz sich ganz auf den vierten Hilfssatz stĂŒtzt, 473 so möge auch die etwas vcrwickcltcrc Ableitung desselben hier einen Platz finden. AN n R D L i— _ l "" IZ M X //M-4-1 T Seien von der Einheit an diese nicht mitgezĂ€hlt die Zahlen AB, Gl, EZ von gleichem Unterschiede, und HT die Anzahl aller dieser Zahlen nebst der Einheit, so sagt der Satz, wenn wir die Summe der Zahlen 1, All, Gl, EZ — S setzen, $SAB— i+AB— 3 2 = [AB— i2HT— l+2] 2 Da nach dem zweiten Satze EZ — i—AB —1 I1T —1 ist, so sei AK— DL=HM— 1 ; dann ist also LZ=KBMT. Sei ferner KN— 2 so daß NB—Ali —3 wird, so suchen wir zu beweisen, daß 8 SKB+NIP = \KBHT-\- 7W+21 2 . Nun ist S=iZE+ELTH das ist ZE-\-\IIT, nach Satz 3., aber ZE+EL—ZL+'iEL, also S—\ZL' TlI-\-EL' TH, also auch, da LZ=KBMG, S—^Kli-MT- TU+EL TU. Halbiren wir MT in X, so wird S=KB- TU- TX+ TU weil EL=^ t ist fein. Wir muffen also suchen, ob KB- TH TX-\- TI1, wenn man es mit 8KB multiplicirt und NB 2 dazu addirt, ein Quadrat werde. Es giebt aber SKB-TII TX - f- 8 KB- TH-\-NB- oder iKB- TH Tm\- 8KB- TlI-\- NB 2 Von diesem Ausdrucke ist also zu zeigen, daß er ein Quadrat ist. Aber 8KB TII ist gleich kKB IlM+kKBIIT+ TM »eil ist, so ist auch eine Polvgonalzahl von der Wiukclzahl /v-2; daS heißt, die Summe irgend einer arithmetischen Reihe, die von 1 anfĂ€ngt, ist eine Polvgonzahl, deren Winkclanzahl um 2 grĂ¶ĂŸer ist als die bestĂ€ndige Differenz der Reihe. Es soll mich freuen, wenn es mir gelungen ist, zu zeigen, wie auch in dieser Gattung des arithmetischen Vortrages Diophant seinen ganz eigenthĂŒmlichen Weg geht und wie er nicht bloß in der numerischen Auflösung der unbestimmten Aufgabe», sondern auch in der Behandlung solcher allgemeinen Zahlcnlchrcn alle seine uns bekannten VorgĂ€nger bedeutend ĂŒberragt. Zugleich nehmen wir aus eine geraume Zeit von diesem Schriftsteller Abschied. Wir haben jetzt gezeigt, was er an und fĂŒr sich geleistet hat, und so viel es sich thun ließ, was aber leider nur sehr unvollkommen geschehen konnte, nachgewiesen, in welchem Zusammenhange das von ihm Geleistete zu seiner Vergangenheit steht. KĂŒnftig werden wir noch einmal auf ihn zurĂŒckkommen, um zu scheu, wie er auf die geistige Richtung der Folgezeit eingewirkt hat, was, wie wir schon oben berĂŒhrt haben, in Europa erst sehr spĂ€t, erst gegen das Ende des sechzehnten Jahrhunderts zu geschehen anfing. Zwölftes Kapitel. Die arithmetische» Epigramme der Griechen. In DiophautuS hat sich die Algebra der Griechen zuerst in einem klaren Selbstbewußtsein entwickelt, und zugleich hat die ganze GrĂ¶ĂŸe der Kunst sich in diesem einzelnen Geiste conccntrirt, so daß das, was wir außerhalb Diophant von Algebra finden, nur sehr spĂ€rlich verstreute Brocken sind. Wir haben oben von den ersten Spuren algebraischer Vorstellungen, die sich bei den altern Arithmctikcrn finden, gesprochen. Nicht viel bedeutender sind die wenigen AnklĂ€nge an diese Kunst, die wir nach Diophant wahrnehmen. Es ist bis jetzt kein mathematischer Schriftsteller der Griechen auch nur dem Namen nach bekannt geworden, der die Fortbildung oder Anwendung der Diopbantischcn Lehre sich hĂ€tte angelegen sein lassen. Dagegen hat die Poesie mit ihren Schwingen das Gebiet dieser Wissenschaft mehrmals berĂŒhrt. Es befindet sich nĂ€mlich in der unter dem Namen der Anthologie bekannten Sammlung kleinerer Griechischen Gedichte, von Konstantin Krcphalas und Marimus Planudes zusammengetragen, eine Anzahl sogenannter Epigramme, welche algebraische Aufgaben in das Gewand irgend einer historischen oder zierlich gestellten RĂ€thsclfragc kleiden. Als ein Beispiel der Art haben wir schon die letzte 33ste Aufgabe des fĂŒnften Buchs bei Diophantus kennen gelernt, deren Übersetzung und Auflösung ich oben mitgetheilt habe. Vielleicht daß solche versisicirtc arithmetische RĂ€thsel zu Diophant's Zeit bereits in der Mode waren, und er ein solches nachbildete oder verĂ€nderte, um es seiner Methode der unbestimmten Analytik anzupassen. Denn ich bin nicht geneigt, der von Dachet aufgestellten Vermuthung bcizutreten, daß Diophant nur zu einem vorgefundenen Epigramme die Auflösung gegeben habe, da die Auflösung dieses RĂ€thsels der ganzen Gewandtheit dieses Meisters bedarf und sich so genau seinen eigenthĂŒmlichen Kunstgrif- 478 fci, anpaßt, daß es sicher mir eben seiner Auflösung zu gute aufgestellt ist; auch finden wir in der ganzen ĂŒbrigen Sammlung dieser arithmetischen Epigramme kein einziges, welches sich ĂŒber die Gleichungen des ersten Grades erhĂŒbe, und nur eine scheinbare Ausnahme werden wir unten kennen lernen. BĂŒ Gelegenheit dieser Diophantischcn Aufgabe, welche, beilĂ€ufig gesagt, das erste war, was von Diophant's Werk im Original erschienen ist, indem Victa sie am Ende seiner Zetctika bereits Griechisch mittheilte, hat Bacher in seinen Commcntar fĂŒnfundvierzig solcher arithmetischer Epigramme aus dem damals noch uugcdrucktcn Palatinischcn Heidelberger Codes der Griechischen Anthologie eingerĂŒckt', welche von da in Heil- tz ronncrs Geschichte der Mathematik ĂŒbergegangen sind und sich in den neuern Ausgaben der Anthologie von Brunst und Jacobs Stirn Theil verbessert wiederfinden. Ernc Auswahl aus denselben hat endlich Schulz in metrischer Übersetzung als Anhang zum fĂŒnften Buche seines DiophantuS gegeben. Bacher giebt nur ganz unbestimmt Mctrodorus als den Verfasser des grĂ¶ĂŸten Theils dieser Gedichte an, indem er an dem angefĂŒhrten Orte sagt Unum est quod moncuni, intixiinum Iiorum cpigrammatum partem Metrodoro tribui, quibusdam vero alia noinitia esse praefixa, quaedam denique inccrtos habere authores. Die ersten vicrundzwanzig finden sich bei Brunst" ebenfalls unter der unbestimmten Überschrift UgopÄrViar xoip/.irftKai Mh]tqoömoov tu Ttlciarrx dagegen giebt er Bachct's fĂŒnfundvicrzigstcs Epigramm unter Euklide's Namens. Die Ausgabe von Jacobs bezeichnet bestimmter die Epigramme 10 — 40 als dem MetrodoruS angchörig; Bachct's erstes schreibt sie einem gewissen Eokratcs zu, ob dem berĂŒhmten Philosophen, mag da- 1 p. 349. Quoniam vero argutum epigramma, incertum an ab ipso confictum, vel ab alio quopiam mutuatum, nobis exhibuit Diopliantus, placet hoc loco clegantissima aliquot epigrammata proferre, non injucundas quaestiones de rebus arithmeticis continentia, quae nondum edita fuerunt, quaeque pridem e codice probatissimo Palatino excerpta tradidit nobis vir eruditissimus Claudius Salinasius etc. — Indeß sind tlc fĂŒnf letzten scheu vor Buchet in den Ă€ltern Ausgaben der Anthologie gedruckt worden. S. Lefsing, Zur Geschichte der Literatur Th. I. S. 421. 2 Analecta vet. poet. Gracc. T. II p. 477 sqq. 3 lind. T. I. p. 168. 479 hingestellt bleiben; die ĂŒbrigen, bei Bacher 2—9 und 41—44, fĂŒhren die Überschrift u v. /v = a+ios'+.v = t vs+Ă€* VI. - = *+* 4-sO =MG+ibg VII. ; tt-K w+uf = i°Tr+\&. Wenn wir nun zunĂ€chst die ersten drei Gleichungen, welche bloß die großen Buchstaben enthalten, betrachten, und // ", B, S durcb G ausdrĂŒcken, so erhalten wir fĂŒr die Stiere folgende Resultate 2226 W B 691 1602 691 G G t, _ 1580 * ~ 891 Da aber doch offenbar in der Aufgabe nur von ganzen Stieren die Rede sein kann, so setzen wir, um fĂŒr alle vier Farben ganze Zahlen zu erhalten, G gleich einem unbestimmten Vielfachen von 891, so wird IV — 2226 m B — 1602;/* S = 1580 m G — 891 m Substituiren wir diese Werthe in die vier folgende» Gleichungen, so ergeben sich daraus folgende Resultate fĂŒr die Anzahl der KĂŒbe. 485 w b s 7206360 - r , - m 465/ 4S93246 4657 3515S20 4657 m m 5439213 4657 m Nun mĂŒssen wir abermals, um auch hier ganze Werthe zu erhalten, m — 4657 n setzen, so erhalten die acht gesuchten Zahlen folgende Werthe W — 10 366 482 W = 7 206 360 Ji = 7 460 514 n h — 4 893 246 S = 7 358 060 6' 3 515 820 G = 4 149 387 u = 5 739 213 Nehmen wir hier nun die kleinsten Werthe, indem wir =1 setzen, so erhalten wir auf Sicilicn eine Gcsannntzahl von 50 389 082 Rindern. Nnn umfaßt Sicilicn gegen 500 Quadratmeilen; es kĂ€men also im Durchschnitt auf jede Qnadratmcile mehr als 100000 StĂŒck Hornvieh, so daß jedes StĂŒck zu seinem jĂ€hrlichen Unterhalte mir etwa 40 Quadratrnthcn Land behielte, vorausgesetzt, daß ganz Sicilicn Wiese wĂ€re. Aber Sicilicn war auch von jeher ein ergiebiges Korn- und Wcizcnland, und dieser Umstand wĂŒrde dem Rindvieh noch ein bedeutendes Terrain entziehen. Demnach ist das aus dcir in der Aufgabe gestellten Bedingnngen hervorgehende kleinste mögliche Resultat schon sehr viel zn groß, und der Verfasser hat also nicht, wie es doch ein vernĂŒnftiger Rcchenmcisicr immer thun sollte, das Resultat bedacht, bevor er die Aufgabe niederschrieb. Fassen wir diese Erscheinung zusammen mit der nicht sehr klassischen Sprache und den scheinbar poetischen, im Grunde aber nur die metrischen Linken ausfĂŒllenden geschmacklosen AusschmĂŒckungen, so scheinen wir zu dem SchlĂŒsse berechtigt zu sein, daß das vorliegende Epigramm ein Erzcugniß der Zeit des gesunkenen Geschmacks und der urthcilsloscn, unĂŒberlegten Nachahmung ist, welches sich durch den Mißbrauch der großen Namen Archjmcdes und Eratosthc- ncs AuctoritĂ€t bei seinen Zeitgenossen erzwingen will. Ja vielleicht dĂŒrfte der Umstand, daß Krcphalas und Plann des, die doch nach solchen RĂ€thseln und Ă€hnlichen innerlich wcrthloscn KĂŒnsteleien eifrig haschten, unser Epigramm in ihre Sammlungen nicht aufgenommen haben, ein noch ungĂŒnstigeres Resultat fĂŒr seine Abfassungszcit liefern und es wohl gar ĂŒber das vierzehnte Jahrhundert hinausschieben. 486 Aber wir sind noch lange nicht damit fertig. Entweder der Verfasser selbst, oder, was wahrscheinlicher ist, ein spĂ€terer Leser, war mit den gewonnenen schon ganz rcspcctablcn Resultaten der Aufgabe noch nicht zufrieden, sondern fĂŒgte derselben noch zwei neue Bedingungen hinzu, welche trotz ihrer scheinbaren Anspruchlosigkeil die Rindcrzahl Sicilicns dermaßen vergrĂ¶ĂŸern, daß, wenn man die ganze Erde in einen Kuhstall des Sonnengottes verwandelte, sie doch schwerlich im Stande sein wĂŒrde, diese Anzahl zu fassen. Nachdem nĂ€mlich das Epigramm, wie wir gesehen haben, bereits einen vollstĂ€ndigen rhetorischen Schluß erhalten und ein allen bescheidenen Anforderungen vollkommen genĂŒgendes Resultat geliefert hat, hebt es noch einmal von Neuem an, und benutzt teil Umstand, daß in dem zweiten Verse dem Ausrechner Weisheit tl ΌΔέχΔÎč ÎżÏ†Îčη zugcmuthct war, von der nachher in dem Schlußvcrsc nicht die Rede ist, welcher bloß sagt Ο ΜÎș αϊώρ/ ÎșΔ λέγοÎč, ÎżÏâ€™ ÎŹÎŸÏ†ÎŒÏŽÎœ αΎαέ. Da sagt nun der Fortsetzet Ου ΌηΜ γΔ ÎżÏ†ÎżÎ“ Î”ÎœÎ±ÎżÎŻÏÎŒÎčÎż, αλλ’ ΐρÎč Ï†ÏÎŹÎŸÎ”Ï… Καί ΏΎΔ ÎčÎŹÎœÎ± j3otou ηΔλ/ÎżÎčÎż Ï€ÎŹ^η. u. s. w. Der Anhang lautet Deutsch vollstĂ€ndig so Doch zu den Weisen noch zĂ€hlt man dich nicht; drum komm' noch und sage Auch dies Alles mir an, was bei den Rindern sich fand. VIII. Wenn sich die weißen Stiere verbanden in sĂ€mmtlicher Anzahl Mit den blauen, sodann standen geregelt sie da Gleich an LĂ€nge und Breite; es fĂŒllte dann ihre Menge Ganz Thrinakria's Flur, ziegclgestaltig geformt. IX. Stellte» sich aber zusammen die gelben und scheckigen Stiere, Einer voran, und dazu mehrend die andern gereiht, Bildeten sie vollstĂ€ndig ein Dreieck; und keine von andern Farben kamen hinzu, »och auch fehlten sie dran “. 8 ouj-s XQoaovtwv. ’AMoXqo ov tchjQOV, oLr' exiXuXofievcov. Über diesen letzten mĂŒĂŸigen Gegensatz siebe K. L. Struve S. 45. 46. Unter Ă€hnlichen Beispielen solcher GegensĂ€tze, von denen nur der eine Theil in den Sinn paßt, fĂŒhrt Struve die Worte aus Sophokles Antigone an sv. 1108 ’, ii’ öaciowe, o? ‱y’ovj'is, o? t dxövfsg', »geht, geht, GesĂ€hrtcn, wer hier ist und wer nicht hier ist!" 487 Findest dieses du noch, und kannst im Pisten du es fassen, Giebst du die Zahlen mit an jeder der Schaaren, o Freund, Dann geh rkilniiend als Sieger einher, dann sei du bewußt dir, Ei» fruchttragender Baum seist in der Weisheit du jetzt. Es kommen also zu dcu vorigen sieben Bcdingungcn noch folgende beiden hinzu VI1L. JV-\-B soll eine Quadratzahl, und IX. S -\~G soll eine dreieckige Zahl sein. Beide Bcdingungcn treffen fĂŒr die kleinsten der oben gefundenen Werthe nicht zu. Lassen wir einstweilen die neunte unbeachtet, und fassen allein die achte ins Auge, so ist W+/i = 17 826096» Aber 17 826 996 ist ein Produkt der Factorcn 3-4-11-29-4657, unter denen 4 der einzige quadratische ist; wir mĂŒssen also, damit die Bedingung VIII- erfĂŒllt werde, n mindestens —3-11-29-4657, das ist — 4456749 setze», und damit die acht oben gefundenen Zahlen multiplicircn. Weil es nun aber immer noch möglich ist, daß die so gefundcncir Werthe fĂŒr S und G der neunten Bedingung nicht entsprechen, so mĂŒssen wir der Sicherheit wegen diesen Werthen noch einen unbestimmten quadratischen Factor p 2 geben. Somit erhalten wir nun W — 46 200 808 287 018 p 2 H — 33 249 638 308 986 S — 32 793 026 546 940 p 2 G = 18 492 776 362 863 p 2 to = 32 116 937 723 640 p 2 l> = 2f 807 969 217 254 p 2 s — 15 669 127 269 ISO g = 24 241 207 098 537 p 2 Jctzt ist allerdings IVJt eine Quadratzahl, deren Wurzel 8 913 498/- ist; aber es ist auch die Anzahl der Rinder Sicilicns dadurch, selbst wenn wir dem p den kleinsten Werth —1 geben, auf mehr als 224 Billionen angewachsen, so daß wir jetzt etwa 450 Tausend Millionen StĂŒck auf die Quadratmcilc, oder, risum teneatis amici, beinahe 800 StĂŒck auf jeden Quadratstlß erhalten. Und die Rinder des Sonnengottes werden ĂŒberall als sehr wohl genĂ€hrt geschildert! Aber der Unsinn wird noch Ă€rger, wenn wir die neunte Bedingung hinzunehmen. Es soll nĂ€mlich auch noch S-\-G eine dreieckige Zahl, also das Achtfache, wenn man 1 dazu addirt, eine Qna- 4 88 dratzahl werden. Machen wir nun den Versuch mit den Werthen, wenn p — 1 ist, so ist S-\-G = 51 285 802 909 803, also 8 S+ G - f1 = 410 286 423 278 425 Und das soll ein Quadrat sein. Dividircn wir aber diese letzte Zahl durch den quadratischen Factor 25, so erhalten wir den Quotienten 16 411 456 931 137 welcher nicht Quadratzahl ist, weil keine Quadratzahl auf die Ziffer 7 ausgehen kann. Wir können also nicht p = l setzen, sondern muffen dafĂŒr einen andern und zwar grĂ¶ĂŸcrn Werth suchen, damit 8-8'-s- 6r-~l c ' n Quadrat werde. Nennen wir nun der KĂŒrze halber die fĂŒr den Werth p~ 1 gefundene Summe fĂŒr S~\-G einfach A, so kommt es darauf an, fĂŒr p einen ganzen Zahlcnwcrth zu finden, welcher der Gleichung 8^/^-j-1 — y 2 entspricht. Da nun glĂŒcklicherweise SA keine Quadratzahl ist, so ist die Auflösung dieser Gleichung, theoretisch betrachtet, durchaus möglich, und wĂŒrde auch unter andern UmstĂ€nden ohne eben große Schwierigkeit zu bewerkstelligen sein; sie wird aber in dem vorliegenden Falle unausfĂŒhrbar wegen der enormen GrĂ¶ĂŸe des Cocffi- cicntcn SA, dessen Quadratwurzel man in einen Kcttcnbruch verwandeln soll. Darum wird wohl, wenn nicht einmal Jemand durch Zufall auf einen passenden Werth von p gereich, die letzte neunte Bedingung des vorliegenden Problems noch einige Zeit unerfĂŒllt bleiben, zumal die Löfimg derselben durchaus kein wissenschaftliches Interesse hat. Soviel nur laßt sich leicht einsehen, daß der kleinste ganze Werth fĂŒr p sehr groß werden wird. Lessing hat ein in seinem Coder befindliches Scholion zn diesem sogenannten Epigramme mit abdrucken lassen, welches, ohne auf die Art der Ausrechnung und Behandlung der Aufgabe einzugehen, acht Zahlen fĂŒr die acht unbekannten GrĂ¶ĂŸen angiebt. Diese Zahlen des Scholiastcn entsprechen vollkommen den ersten sieben Bedingungen der Aufgabe, und wir wĂŒrden sie erhalten, wenn wir oben n ~ SO setzten. Seine Versicherung aber, daß durch diese Zahlen auch die achte und neunte Bedingung erledigt werde, ist unwahr; denn die Zahlen passen zu keiner von beiden Bedingungen. 489 Wenn indeß das Stuck der Aufgabe, welches die beiden letzten Forderungen ansspricht, sich schon aus formellen RĂŒcksichten, die ich eben berĂŒhrt habe, als ein spater hinzugefĂŒgter Anhang kund giebt, so wird dieser Verdacht noch bedeutend unterstĂŒtzt, wenn wir' folgende Puncte bedenken. Erstens ist es auffallend, daß in diesem Theile der Aufgabe die KĂŒhe ganz unberĂŒcksichtigt und mir die Stiere Gegenstand der Rechnung bleiben. Zweitens beweist die unvernĂŒnftige GrĂ¶ĂŸe der Zahlen, welche allein schon aus der achten Bedingung hervorgehen, daß Derjenige, der diese und die folgende Bedingung hinzufĂŒgte, gar nicht mehr an die bildliche Einkleidung der Aufgabe, das heißt, an SicilicnS Hornvieh gedacht hat. Es ist ihm ohne alle RĂŒcksichten auf Wahrscheinlichkeit und Möglichkeit bloß darum zu thun, die Rechnung mit neuen Schwierigkeiten zu belasten, die er freilich, wie wir mit der grĂ¶ĂŸten Sicherheit behaupten können, selbst nicht gelöst hat. Es scheint in der That, als wenn irgend ein fader Wortklauber sich an dem Ausdrucke ÎżÏ†ÎŻÎ· im zweiten Verse gestoßen, und bloß darum noch auf gutes GlĂŒck hin zwei Fordciimgen hinzugefĂŒgt habe, um auch diese α-ηφ/η dem Ausrcchncr zusprechen zu können. Was nun aber aus dem Resultat werde, und ob es ĂŒberhaupt noch möglich sei, ein solches zu finden, nach solchen Nebensachen fragte der φÎčλλογο nicht, war auch wahrscheinlich nicht im Stande, das einzusehen. Drittens aber verrath ein offenbarer Unsinn in den Worten des Anhangs, daß wir es hier mit einem Menschen zu thun haben, der sich um keinen Zusammenhang kĂŒmmerte, und dem es bloß galt, ein Paar regelrechte Verse anzuschmieden. Es heißt, wenn die weißen und blauen Stiere sich in ein Quadrat zusammenstellen, so fĂŒllen sie die ganze dreieckige, ziegclförmigc Insel. Das Original nĂ€mlich lautet Î†ÎżÎłÏˆÏ‡Î” ravoot ΌΔΜ ΔχΔÎč ÎŒÎčÎŸÎ±ÎŻÎ±Îż ? Ï€Î»Ï†ÎœÎŻ' ÎšÎœÎ±ÎœÎ”ÎżÎč ΐαΜζ ΔΌ-Ï€Î”ÎŽÎżÎœ Î™ÎŒÎ”ÎżÎč ΕÎč ÎČÎŹÏÎż ΔÎč Î”ÏÏÎż Δ ÎŹ ’αυ πÎșÏÎłÎŻÎźÎșΔα ΛαΜη ΠÎčÎŒÏ€Î»ÎŻÏ‡ÎœÎż πλÎčÎœÏÎżÏ… ΘοÎčΜαχ/η -χΔΎ'Îșχ. Abgesehen davon, daß hier die Hauptbedingung, daß nĂ€mlicb eine Quadratzahl werden soll, ziemlich undeutlich ailsgc- 490 drĂŒckt ist und fast errathen werden muß, lassen sich folgende Fragen billig aufwcrfcn. Erstens, wie kann die Insel Thrinakria Thri- nakia, Trinakia, und am genauesten Trinakria, mit drei Vorgebirgen, die dreieckige, zicgclförmig sein? Aber hier ist vielleicht, wie K. L. Struve annimmt 9 , eine falsche Lcscart cinge- drllngcn und statt ‱xXlvftov irgend etwas anderes zu lesen. Wie kann aber, fragen wir zweitens, das ziemlich dreieckige Sicilicn von einer quadratförmig aufgestellten Rindcrhccrdc ganz bedeckt werden? Wie kann man, wenn wir die Sache rein geometrisch betrachten, in ein Dreieck ein Quadrat beschreiben, welches den ganzen FlĂ€chcn- raum jenes einnimmt? Drittens aber, wenn die weißen und blauen Stiere die ganze Insel anfĂŒllen, wo bleiben dann die scheckigen und gelben Stiere und sĂ€mmtliche KĂŒhe? Offenbar hat den alten Knasterbart, wie I. Struve ihn nennt, Gedankenlosigkeit und schaler Wortprnnk zu dem vollendetesten Unsinn hingerissen, abgesehen davon, daß er nicht verstanden hat, was er schrieb, und nicht gewußt hat, daß die ErfĂŒllung der ohne Verstand von ihm angc- ssicktcn Bedingungen, wenn sie auch vernĂŒnftig ausgesprochen worden wĂ€ren, mit unĂŒberwindlichen Schwierigkeiten zu kĂ€mpfen habe. Da also die verschiedenen Bedingungen, welche die Auflösung dieses Problems erschweren und welche demselben einen Platz unter den Diophantischcn Aufgaben zu beanspruchen scheinen, kcincSwcgcs von dem Verfasser aus Überlegung und Sachkcnntniß zusammengestellt, sondern völlig ins Blaue hinein zusammengewĂŒrfelt sind, so wird dadurch diese Erscheinung, die unter andern UmstĂ€nden höchst interessant hĂ€tte sein können, fĂŒr die Geschichte der Algebra ganz werthlos; ihr Inhalt berechtigt durchaus zu gar keinem SchlĂŒsse in Betreff des Zustandes der Wissenschaft, oder höchstens zu dem snb- jcctiv sehr ungĂŒnstigen, daß der Verfasser, wenigstens des Anhangs, es in der Algebra nicht sehr weit gebracht haben könne. Jacobs hat dieses Epigramm in seine Ausgabe der Anthologie aus unbekannten GrĂŒnden nicht aufgenommen. Sicher aber könnte ein kĂŒnftiger Herausgeber dasselbe an der oben bezeichneten Stelle abbrechen, oder wenigstens den Anhang als unecht bcmcrklich machen, wenn wir nĂ€mlich unter unecht hier soviel verstehen, daß dieser Anhang von einem andern Verfasser herrĂŒhrt als der erste 9 S. feine Note n. S. 42. 43. 491 Theil des Gedichts. In andern, Sinne konnte man das ganze Gedicht unecht nennen, den» aus Archimedes Zeitalter rĂŒhrt auch der erste Theil nicht her. Schwerlich wĂŒrde Archimedes die einfache Aufgabe, wie der erste Theil sie stellt, fĂŒr wĂŒrdig gehalten haben, sie den Alerandrinischcn Gelehrten zur Auflösung zuzuschicken; an , c ii 1c Betrachtung der dreieckigen Zahlen ist aber in jener Zeit wohl noch nicht zu denken; wenigstens haben wir dafĂŒr kein anderes vollwichtigeres Zeugniß. * ZusĂ€tze und Berichtigungen. Zu S. 3. Note 7. Worte Moucigc's, AI Proclus in IV. primi Euclidis testatur, beißen nicht, wie ich eins Übereilung niedergeschrieben habe, Protlus sage das im vierten Buche seines Kommentars ĂŒber Euklid's erstes Buch, sondern offenbar Proklus in seinem Commentar zum vierten Satze des ersten Buchs der Elemente. Aber auch so ist das Citat falsch und was ich weiter darĂŒber gesagt habe, hat in voller Kraft feine Nichtigkeit. Die Stellen, in welchen Cudemus von Proklus citirt wird, sind folgende Ad Des. VIII. Lib. II. pag. 35. ΕυΎÎč?ÎŒÎż ΌΔΜ 6 &Î”ÎŒÎ±ÎŻÎ±Î·ÎčÏ‡Îż ÎČÎčÎČÎ»ÎŻÎżÎœ ycoviag ^ÎŹÏˆÎ±, Ï€ÎżÎčηα αύηΜ Î”ÎŻÎœÎ±Îč, υΜ- Δχ^ηΰΔΜ. Ad Prop. XV, Lib. III. pag. 79. ÎżÏÎż ÎżÎŻÎœÎœÎœ ^Δ^ aa ΎΔÎč, Μ,Μ i Îč ÎŽÏ…Îż Ώλληλα ÎŒÎœÎżÏ…Îœ al ÎșαΏ ÎșÎżÏÏ…Ï†ÎźÎœ ÎœÎŻÎ±Îč ierat ÎčÎÎŻÎœ' Δ-Ï…ÏÎ·ÎŒÎ”ÎœÎżÎœ ΌΔΜ, tpijcriv ΕυΎ'Î·ÎŒÎż, υπ Γ^αλο-υ XQCOTOU. Ad Prop. XXIII. Lib. III. ρ. 87. ΙΊÎČλ^Όα fo-uTo ÎŸÎŻÎœÎżÎ›ÎčÎŽÎżÏ… ΌΔΜ Δΰ^Όα ÎŒÎŹÎ»Î»ÎżÎœ, φηÎčΜ Έ,Ï…ÎŽÎ·ÎŒÎż. Barocius Problema hoc quoque est, quod Oenopidis quidem potius qwawi EllClulte inventum lucrum est, ut ait Eudemus. Ad Prop. XXVI. Lib. IH. p. 92. Î•Ï‡ÎŻÎŽ^ÎŒÎż ΎΔ lv α~ /ΔΌΔ- Tqlk α~ IffToq'atq ΔÎč ΞαληΜ οοο avcta ctav/oc tcrotfxs^ovs cu Tktzö? ßacrÂŁi lyoviai iiyat tfftVj etc. Zu S. 7. Note 14. Außer dem Slnfangc des fĂŒnften Buchs sind noch folgende einzelne Abschnitte von Pappus Werke im Original gedruckt worden t L,ib. IV. prop. 25 — 29, ĂŒber die Lnadrarcir des Dinostratus, mit lateinischer Übersetzung in Jos. Torelli Veronensis geometrica. Veronae, 1769. Svo. pag. 89 —104. 2. Ein StĂŒck der Vorrede dcS siebenten Buchs, der Anfang und die Euklid' Data betreffende Stelle, in der Vorrede von Euclidis quae supersunt omnia gr. et lat. Ex rec. D. Gregarii. Oxon. 1703. fol. 3. Die ganze Vorrede und dic ersten einundzwanzig Satze des stcbcntcn Buchs, des Apollonius sectio rationis und sectio spatii betreffend in Apollonii Pergaei de sect. rationis libri duo ex arab. ms. lat. versi. Acc. ejusd. de sect. spatii libri duo restituti. Praemitt. Pappi Alex, praes, ad VII. collect. matli. nunc, primum araece edita, c. lenimnt. Pappi ad bos Apollonii libros. Op. et st. Edm. HaUey. Oxon. 1706. Svo. 4. Die folgenden Satze, 22 — 64, desselben Buchs, die sectio determinata betreffend, in Apollonius Balamts auct. JViUehrodt Snellii, seit resusci- tata Apollonii geometria nsq' Sioqictiivriq s. de sect. deteri». Lugd. Bat. 1608. 4to. 5. Die SĂ€tze 96—118. desselben Buchs ĂŒber Apollonius Schrift de tactionibus, in Apollonii Pergaei de tactionibus quae supersunt, ac max. lemmata Pappi in hos libros, nunc prim. ed. a J. IV. Camerer. Gotha, 1795. Svo. 6. Die gemmata zu Apollonius Kegelschnitten, lib. VII. prop. 165—234, in Apollonii Pergaei conicorum libri IV. priores cum Pappi Alex, lemmatibus et Eutocii Ascal. Comment, ed. Edm. IhMejus. Oxon. 1710. fol. 7. Einige andere gemmata des siebenten Buchs sollen sich befinden in M. Meihomii de proportionibus dialogus. Hafniac, 1655. fol. pag. 154 sqq. Vergl. Reimer in Boffut Gesch. d. Mach. Bd. 1. S. 389. 390. SchĂ€ll, Gesch. d. griech. Literatur, Bd. 2. S- 235 flg. Bd. 3. S. 336. Zu S. 24. Ich habe Gelegenheit gehabt, wahrend des Drucks das Werk von H ollen - berg, freilich nur flĂŒchtig, anzusehen. Die kleine Schrift fĂŒhrt den Namen des Verfasser, den ich oben aus Rogg's Handbuch der mach. Literatur entnommen 494 hatte, nicht auf dem Titel; ihren Inhalt bildet ein numerirtes, alphabetisch geordnetes Verzeichniß von Mathematikern, ĂŒber welche einige oberflĂ€chliche, nicht sehr betrĂ€chtliche Nachrichten ertheilt werden, die sich auf fremde ungenannte Auetori- tĂ€ten stĂŒtzen. Das Werk ist also ohne wissenschaftliche Bedeutung. Zu S. 51. Note 28. Die in dieser Note gemachte Bemerkung kann ich, da ich inzwischen in den Besitz von Rosen's Ausgabe der Algebra von Mohammed ben Musa gekommen bin, jetzt dahin bestimmen, daß die Leseart sich wirklich in Rosen's Tert befindet, also schon da Druckfehler ist; aus Rosen's Übersetzung geht indeß nicht deutlich hervor, ob er »der q*J**^ gelesen Habe; er ĂŒbersetzt nĂ€mlich die Stelle so Tliis scicncc has therefore been called by tbe uame of these two rules, namely tbe rule of jebr or restoration, and of mo- kĂŒhaluh or reduction, on account of tbe frcqucnt asc that is made of tlicm. Ungenau ist hier in der Übersetzung die Trennung der Worte jebr und mokĂŒbolali; nur die Verbindung beider Namen, aljebr v’almokĂ€balab, ist der Name der Wissenschaft, nicht der eine und der andere. Zu S. 73. Beachtenswerth ist ein Beispiel eines HebrĂ€ischen Zahlenausdrucks, in welchem sich ohne allen Zweifel ein StellenwertH der Ziffern findet. Es heißt nĂ€mlich in der MasoraH hinter dem Pentateuch „die Anzahl der Verse im ganzen Gesetz ist fĂŒnftausend achthundert fĂŒnf und vierzig," und nun heißt es in der gewöhnlichen Weise sp’va ovaa» nw nonn w wo die Buchstabe» des gesperrt gedruckten Wortes 1N2N71, wenn man ihreZah- lenwerthe addirt, jene Zahl geben sollen. Nun ist aber als Zahl 5, P1=S, JQ = 40; daß das erste N nicht fĂŒnf, sondern fĂŒnftausend bedeutet, ist nach dem oben Gesagten ganz in der Ordnung; aber auch der zweite Buchstabe, H, kann nicht acht, sondern muß achthundert gelten; es ist also hier die Theorie, vermöge welcher die Tausender wieder durch die Einheitszeichen ausgedrĂŒckt werden, noch einen Schritt weiter, nĂ€mlich auf die Hunderter ausgedehnt, ein Fortschritt, den die Griechen nicht gemacht haben. In der Zahl HOnn ist nur noch ĂŒbrig, fĂŒr 2 den Buchstaben 1 zu substituiren, um eine ganz in unserm heutigen Po- sitionssvstem ausgedruckte Zahl zu erhalten. Zu S. 94. Z. 6 flg. Was ich ĂŒber die Ausgaben des Boethius gesagt habe, ist dabin zu berichtigen, daß die Gesammtausgabe von Boethius Werken Venedig 1492, welche ich wĂ€hrend des Druckes zu Gesichte bekommen Habe, die zu der fraglichen Stelle gehörige Figur gar nicht enthĂ€lt, sondern nur einen leeren Platz, in welchen dieselbe wahrscheinlich spĂ€ter hat eingedruckt werden sollen. Vergl. 6oom. lih. I. fol. 215. Die Tertesworte sind durch Druckfehler und einige bedeutende Auslassungen ent- 495 stellt. — S. 93. Z. 6. 7. ist das ^punelum hinter cn^novoruut zu streichen, und die Worie .,!> podteriarihus ;tjptlJabatur abacus” in Parenthese ZU setze». 3n S. 102. Nott 61. pr die wahre Bedeutung des Worts Ziffer, der zufolge es nur die Null bezeichnet, kann ich noch eine Auclorilat beibringen, nĂ€mlich das Zeugniß eines JĂŒdischen Matbtiualikers, Eliah bcn Abraham Migrachi, dessen Arith- inekik im Jahre 1533 zu Konstantiiiopel unter folgendem Titel herauSgetom- mcn ist ^mion m b x Tina 'ibxn naniS iaoon iao jxoSiff Tixm Vrun iarw rvip ms?i; OTitr ni?3 ixtruni fnn arv j x a > Sn? ; n^D3 \ -i xd tiYn u ^ rĂŒt?3.... 'oaSah Hier heißt es Fol. X3, nachdem der Verfasser ĂŒber die nenn ersten Ziffer» und ihren Gebrauch gesprochen bat, also vba in un bibz maia XHL? nwi fa^on obixi i^a im wm »Si'j tvV p^3 xipji SSa maa mio 15?» X13 *> O ^OL"> p5?l31' pXI IV Ö31I?S3 111' IL'X itp ii?» p 1» p' pp^av nvnn hv mit?^ D"j hv p»i Sy p es „ Was aber das zehnte Zeichen anlangt, welches die Gestalt eines Kreise bat, so bezeichnet dieses im Allgemeinen keine Große; es heißt in der fremden Spanischen? Sprache Rulla, und dieses bedeutet daselbst soviel wie Nicht; in der Arabischen Sprache heißt es Siphra, welches ebenfalls Mangel Abwe scnbcit bedeutet; in der Griechischen Sprache heißt es Uden, und auch dieses heißt Nichts." Bemerkenswerth ist, daß der Verfasser, wahrend er ganz richtig nulla und ĂŒĂŒĂ¶tv durch das einfache Wort px, Nichts, ausdrĂŒckt, den Arabischen Ausdruck siphra wiedergiebt durch 11J71 Inf. Njpli., das Fehlen, der Mangel ebenfalls ganz angemessen der Arabischen Bedeutung des Worts, dessen Stamm vcrbum, wie wir oben gesehen haben, leer sein bedeutet. Es laßt sich kaum bc zweifeln, daß der gelehrte, in Konstantinopcl lebende Jude Arabisch verstanden und Arabische Mathematiker gekannt habe, und factisch spricht fĂŒr diese Vermuthung, daß er manche KunstausdrĂŒckc aus dem Arabischen entlehnt, z. B. X0131 auch ,10131 geschrieben, Arab. Geometrie; 3p1JJQ, Ku- h'kzabl, unhebraisch und wahrscheinlich transponirt das Arab. 101, Hipli. v. 103, multlpliciren, ĂŒbersetzt aus dem Arab. ^jo f welches so wie 1131 schlagen bedeutet, wĂ€hrend ungenauere Schriftsteller fĂŒr multiplicircn 496 tcn Ausdruck b22, verdoppeln, gebrauchen, und andere mehr. Indeß sind Griechische Mathematiker seine Hauptquelle gewesen; er eitirt unzahligcmal Eukli- dcS Lkl^^pX ganz in der Arabischen Form ^, nur einmal, fol. 'V'XD, 2’XTSpX geschrieben, und mehrmals die Arithmetik von Nikoma- chus Gerasenus, z. 23. fol. 21 und [J^piBDniXI 1222 21221p'2 1 7], ebenso yn und X' 2 ; öfters cilirt er die Arithmetik, worunter aber immer Nikomachus zu verstehen ist, z. B. X P ' 2 2 11 XI 1202 2215yX11 11111212112221L7121X1 211X1 \12p X11H7 12X21 {2 112212 „Die Alten haben in dem Buche Arithmetik ungenau die Zahl so dcfinirt, daß sie eine Summe von Einheiten sei." Bei Rikom. 1. 7. fiovdöcov avc^fia,, Ă€hnlich fol. □ I. Ebenso zeigt er mehrmals, daß er Griechisch versteht s. fol. fcf' 3 , >f'*, 3'T, 1'*. Unter diesen UmstĂ€nden mag es ein verdĂ€chtiges Licht auf seine Auctori- tĂ€t in Betreff des Worts siplira werfen, daß er von diesem Worte den bei Griechischen Wörtern im Svrischen gebrĂ€uchlichen Pluralis auf — as bildet; es findet sich nĂ€mlich 1212^2 fo1 2'5 und oft, und ^^ 12^2 f»l. 11 und oft. Indeß ist diese grammatische Form wohl kein entscheidender Grund, der uns zu der Annahme bestimmen könnte, daß der Verfasser das Wort siphra nur aus Griechischen Schriftstellern, etwa aus Mazimus Planudes, kennen gelernt habe. Zu S. 114. 115. Ähnliche Bcrbindungen zweier BrĂŒche kommen bei Diophant öfter vor, ln welchen der zweite Bruch nicht Theile der Einheit, sondern Theile des vorhergehenden Nenners anzeigt. So bedeutet, um nur ein Beispiel anzufĂŒhren, in der Ausgabe II, 36. der Ausdruck ,>- *a' ij/ucr-u nicht V+j/ sondern y + is Ein Ausdruck der Art ist als eine Ellipse zu betrachten, indem hinter dem zweiten Bruche noch einmal die vorige Benennung wiederholt werden sollte, hier also va\ %iu c^* C-v^ lJ ^,1^' ji fjr? i3 4 ^ f lNJ-ĂŒ „Man zieht von dem Kubus des Durch-nicsscrs ein Siebentel „nd die HĂ€lfte eines Siebentels, danii aber von dem Reste zwei Siebentel und ein Drittel eines Siebentels des Restes ab; den» zwei Siebentel und ein Drittel eines Siebentels bes Restes sind gleich eitlem Drittel des Restes." Danach wĂŒrde i* = H —& = %$', also * = y. Die hier gebrauchten BrĂŒche wĂ€re» ebenso zu schreiben, wie ich es i i oi S. 115. mit der Diophantischcn gethan habe, y, y. Zum sechsten Kapitel S. 245. Ich hatte, als ich dieses Kapitel niederschrieb, keine Ausgabe der Griechischen Anthologie bei der Hand, weshalb das, was ich dort ĂŒber die in der Anthologie sich -findenden ErwĂ€hnungen Dlophanl's gesagt habe, einiger Erweiterungen und Berichtigungen bedarf. Diophant's Name wird ĂŒberhaupt in sechs Epigramme» genannt; einnial in dem oben mitgetheilten arithmetischen Epigramme des Metrodvrus, in welchem ohne Zweifel unser Arithmetiker gemeint ist. Als Datum zur Bestimmung von Diophant's Lebensalter ist indeß dieses Argument wenig brauchbar, weil wir ĂŒber Mctrodorus noch weniger wissen, als ĂŒber Diophant; und wir können daher ĂŒber diese ErwĂ€hnung unsers Auctors nicht mehr sagen, als Brunck T. III. p. 229. 239. Si de auctore liujus cpi^rummatis constaret, ct comper- tum esset Metrodori esse Scepsii, Dioplianti Alexandrini, de quo liic agitur, actas accuratius dcfliiiri posset. Bon den fĂŒnf ĂŒbrigen Epigrammen, welche den Rainen DiophanlUs nennen, werden in der Ausgabe von Jacobs, Abschnitt XI. Su/iioiwot, »*on toi drei, nĂ€mlich Nr. 103. 245. 257. einem gewissen Lukillus, die beiden andern Nr. 111.. und 114., einem gewissen Nikarchus zugeschrieben; in der Ausgabe von Brunck dagegen werden vier derselben dem Ersteren, der hier ĂŒbrigens Lu- killins heißt, zugetheilt T. II. p. 324 sqq. No. 37. 4l. 62. 113., wĂ€hrend das fĂŒnfte, bei Jacobs Nr. 111. als anonym, dStexoiov bezeichnet wird T. III, p. 172.. In allen sĂŒnfrn ist aber ganz sicher nicht bvn dem großen Arithmeli- ker die Rede; vielmehr ist der Gegenstand derselben ein winziger Astrolog oder Astronom dieses Namens, der mit ausgclaffcncni Muchwiltcn lĂ€cherlich gemacht wird, eine Situation, die wir mit dem hohen Genie des Aritlnnetikers schwerlich ideniificircn könne». Schulz hat in der Vorrede seiner Übersetzung des Diophan- tus vier von diesen Epigrammen deutsch mitgetheilt, die ich mir hier abzuschreiben erlaube. I, Alts Atomen bestehe die Welt, so lehrt' Epituriis, Kleineres meinte er wobt, qĂ€b es o Alkimos nicht, ,V2 I. 498 Aus Diophanlen hall' er gesagt, bstfern Diophantus Mil ihm lebte, bet viel kleiner ist als ein Atom. Ober auch so aus Atomen besteht bas ĂŒbrige Weltall, Aus Diophanten besteht wieberum jedes Atom. Bon Lukillus, Jacobs Nr. 103. II. Als Diophantus bet Winzige sich zu erhĂ€ngen beschlossen, Nahm er ein Spinnegeweb' sehniirte bie Kehle sich zu. Bon NikarchuS, Jac. Nr. 111. III. Als Diophantus ben Arzt Hermogenes neulich im Traum sah, SchĂŒtzt' ihn kein Amulet, schlafenb empfing er ben Tob. Bon Lukillus, Jac. Nr. 257. IV. Zu Hermogenes sprach bem Arzt Diophantus bet Sternwart, Nur neun Monden noch sei er zu leben bestimmt. Lachend erwiederte der was doch neun Monden besagen, GrĂŒble du aus, ich selbst gebe dir kurzen Bescheid. Sprach's und berĂŒhrt' ihn blos mit der Hand, und seht, — Diophantus, WĂ€hrend er Andere schreckt, zappelte selber sich todt. Bon Nikarchus, Jac. Nr. 114. Das fĂŒnfte der angefĂŒhrten Epigramme ist weniger interessant, weshalb auch wahrscheinlich Schulz es nicht ĂŒbersetzt hat. Sicher ist bei diesen lĂ€cherliche» Hyperbeln nicht an den wĂŒrdigen Arithmeliker zu denken, und fast mochte ich annehmen, daß Dioohamus hier ein bloß angenommener Name sei, an den ein einmal bestimmter Begriff angeknĂŒpft wird, etwa wie Hang in einer großen Anzahl von Epigrammen Wahls lange Nase persiflirt. Schon allein der Umstand, daß Diophant hier auf drei ganz verschiedene Weisen ums Leben kommt, ist hinreichend, an jeder historischen Grundlage zweifeln zu lassen. Es bleibt ĂŒbrigens der Ansicht eines Jeden anheimgestellt, in wieweit er den hier erwĂ€hnten Astronomen mit dem von Hypalia eommenlirten combiniren will. Sind nun diese Epigramme auch nicht, wie Buchet glaubte, als Zeugen fĂŒr das Zeitalter unsers Diophantus zu gebrauchen, so könne» wir doch eine nĂŒtzliche Bemerkung daraus entnehmen, die nĂ€mlich, daß sowohl in dem Epigramme von Melrodoru, als in denen von Lukillus und Nikarchus der Name durchweg Aio- yavfoi, nicht Aiocpav^s geschrieben wird; und ebenso lautet der Name bei Tbeon Alerandrinus s. . ward. - 137 - 10 v. u. l. totiilcmSexagcnas. - 150 - 8 v. v. I. spatere. - - -12 - - - in rationalen Zahlen. - 159 Satz 31. Jede Primzabl u. s. w. O» q qn — i 1 * 164 b. u. 1 2» -166 - 1 - - - öuvtxTiXL. S. 169 v. o. find dicWertbe von CE und EU vertauscht. - 171 - 3 v. o. ist bloß zu streifen. - 185 - 16 - - l. .Lj. o - 197 - 7 - - - also st. als. - 208 - 15 - - - n- j-1 n. - 218 t 18 v. u. I. geschrieben habe, - 223 - 5 v. u. l. an und fĂŒr sich. - 228 - v. o. l. 6» st. hn viermal. - - - 19 v. o. l. tl st. ix. - 231 - 23 - - - compcndiosc. - 234 - 2 v. u. l. aber st. oder. - 235 - 17 v. o. ist der wegzustreichen. - 239 - 9 - - l. Zebu st. Zal'l. - 246 - 20 - - - oV, uöeXqchi,-. Ebenso 8 21 . . - 252 - 2 v. u. l. kowvco?. - 255 - 7 - - - Maöswxriiv. s - - 1 - - - Ti° 6d. - 336 - 10 v. o. l. der st. die. - 338 - 11 - - - crballcn. - 341 - 20 - - - y,= fi. I. € 3 9 ' ' ÎŻ λ-1 ft. ter fillflt Μ — 1. ‱ 35S - 1 p. ii. I. tiefet st. tiefen. - 365 - 3 - - - ÂŁ.iiatrnt st. Qua 3b7 - 1 v. c. . mir st. nun. - - - - - wie Diophant besonders. 368 - 11 r. e. I. III. st. II. 369 - 6 - - - nur st. »un. - 370 - 3 v. u..l. Zwei solcheLuatrak- zahlen. - 373 - 10 r. u. I. in st, er. - 374 ' 16 r s ist grĂ¶ĂŸer einmal zu streichen. ‱ 380 - 6 t'. ii. I. l\.T st. X,;r s . 384 . - - - = 2 . - 38b - 12 - - - 3 - 7 v. d. 1. Quadrate st. AusdrĂŒcke. - 413 - 18 v. o. I. 8 st. 9. - 420 - 14 v. ii. I. m l nbc = - 428 - 7 v. o. I. 1. S. 435 A. b v. ii. I. zwei Quatratzahlen. - 439 - 10 - - - inollu. - - - 14 v. o. I. Potenzen ist immer durch die Differenz ter Wurzeln theil- bar. fs bleibt hier noch ĂŒbrig, tieDibision wirtlich auszufĂŒhren. Darum kann man benfelben Satz auch als Aufgabe stellen Man soll die Differenz zweier gleichnamigen Potenzen burch u. f. w. - 444 - 12 p. u. I. 4 .ϊ 5 Ί"4λ4-6. - 448 - 9 - - - -lix/. - 449 - 12 l'. o. l. r st. p. - 450 - 18 - - - ergeben. - 453 - 10 v. u. l. hatte. - 455 - 10 v. o. l. bĂ€tle. - 461 - 6 - - - Ï‡ÎŹÎ§ÎčΜ Î”Ï‡Î±ÎŻÎ”Îż - 472 - 10 v. u. I. — ΜΕ*. - 477 - 14 - - - Kephalas. - - - >1 - - - ober sonst zierlich. - 485 - 11 - - - LĂŒeken. - - - 5 - - - Kephalas. - 495 - 7 p. o. I. Mlzrachi. wrr»r WKM LML tam iSt» LME WWW ?*V Ii -*=.' ;5s“ ilfe'; pgp *
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Lorsde la derniÚre édition du Fnac Live Festival à Paris, les caméras d' interrogé les camarades de scÚnes de Nekfeu. Que ce soit les membres d'1995, du S-Crew ou de L'Entourage

WesHan[3010]Je sais qu'le message est reçu reçu Elle sait qu'le message est prĂ©cis ouhOn sait qu'le message est prĂ©cieuxPour la monnaie, tout est pressĂ© pressĂ©, ouaisParler, ouais, olĂ©, t'es oĂč, frĂšre ? Tu d'vais dĂ©coller oufOn m'le disait trop, maintenant, t'es oĂč ? Tu m'fais rigoler ahJ'ai cherchĂ© le perfect yeahÉventuellement, il me trouve j'lĐ” trouve directJ'suis Luffy, j'suis Goku, j'suis Naruto sans besoin, lĐ” son me prouve j'le prouve directExpĂ©rience et pas ride rideOn dirait qu'j'ai vĂ©cu moins d'temps mais j'ai fait Ă©voluer la rivePoto, j'dis Trappes mais dans le monde, c'est Paris oh PanameJ'me parle Ă  moi-mĂȘme mais ah mec, le poids de ma vie, c'est des barjesFaut faire doucement quand c'est aride20 20 Tang Gang, on Ă©craseEt sans faire exprĂšs quand on marcheC'est matrixant ceux qui essaient arriventJ'vais pas changer, c'est la mĂȘme, que Dieu m'en prĂȘte vie wouhQue j'arrive slide on it que j'arrive slide on it, netQue la vie m'ouvre les portes d'une big fenĂȘtre d'une big fenĂȘtreComme montrer qu'c'est mes nĂšg' comme montrer que c'est mes khos, wahComme chopper cette opportunitĂ©, mec, hey[Alpha Wann & Nekfeu]Vas-y, t'sais quoi ? Calme, moi, t'sais quoi, j'vais rapper aprĂšsBen vas-y, envoie l'casqueDis-leur Selman, hey chope ça[Nekfeu]Je me vends pas comme Cactus Jack, j'pique dans la caisse du rapLes jobbers jobbent, les jacteuses jactent, New Don Dada, j'achĂšte deux d'chaqueCheck, assez de tchatche, pas de bouteille de Jack wawJ'veux des montagnes de thiĂ©boudiĂšne tiĂšde et la dĂ©faite du diableCheck, oh, pourvu qu'mes poumons tiennent dans la lignĂ©e BoumĂ©diĂšneLa lutte est un beau mĂ©tier, j'espĂšre le bien pour les tiennesJ'les termine comme un prochain thĂšme prochain thĂšmeJ'Ă©ternue quand j'approche un traĂźtreJ'ai fait le sport pour l'Ă©tĂ©, j'bombe comme James BondBon, j'suis en gestation, faut pas changer d'station ehT'es adulĂ© pour ton rap entre guillemets "sale" entre guillemetsMoi, j'crois qu'on est comme on rappe et j'contredis les statsPar contre, j'remplis les stades ouaisJ'oublie pas FilastinC'est pas la marque qui fait le styleJ'rappe depuis Lady LaisteePas d'compliments qui fait l'estime, Dada Don, Dada hi, Dada DonJe vous l'ai mise, y a pas de texte, tout dans le [Pec?]Y a que du fake, y a que du fake, y a que du fake, y a que du fakeY a que du fake, y a que du fakeMixtape[Alpha Wann]C'est le leadership 'shipPhilly Flingo dans cette shit shitLV, Prada, Double G GÀ Conakry, faut la Jeep la JeepMoteur bruyant, les pneus crissentJ'ai la carte bleue, pas la griseÀ Los Angeles dans les hillsPlancher rayĂ© par mes grillzEn primaire, j'lisais le Quid heyDonc j'rĂ©ponds Ă  tous les quizz les quizzJ'suis connectĂ© dans le Queens loux-jaJ'aime que les fesses et les couissesEn plus dans ma ville, en plein Ă©tĂ© Ă  chaque heure, y en a milleC'est dur de rester tranquilleCe soir, RDV Ă  minuit pile devant Buffalo Grill
Nekfeu de son vrai nom Ken Samaras, nĂ© le Ă  La Trinit Ă© Alpha Wann ou encore Jazzy Bazz, se sont fait connaĂźtre grĂące au succĂšs de Rap Contenders, oĂč deux MC s'affrontent au cours d'un duel a capella. Un des duels de Nekfeu contre Logik Konstantine, lors des Rap Contenders, est particuliĂšrement mĂ©diatisĂ©. Avec ses diffĂ©rents groupes, Nekfeu publie plusieurs EP et albums
03 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Diabi 03 Auteur Alpha Wann - Kaaris - Infinit' / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat 06 Compositeurs Noir - Alpha Wann - Hologram Lo' 11 Auteur Alpha Wann - Nekfeu / Compositeurs Richie Beats - Platinumwav 08 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Diabi 12 Auteur Alpha Wann - Deen Burbigo - Infinit' / Compositeurs Monomite 04 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Thomas Vernet 13 Auteur Alpha Wann - Kalash Criminel / Compositeurs JayJay - YebĆ« 03 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 04 Compositeurs Alpha Wann - Nekfeu - SHABZ - Rhodes 04 Auteur Alpha Wann - Freeze Corleone / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat - Flem - Congo Bill - 05 Auteur Noir - Alpha Wann - Sneazzy / Compositeurs Biggie Jo 06 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Diabi 19 Auteur Nekfeu - Alpha Wann / Compositeurs Loubensky - Diabi 16 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 01 Auteur 1995 / Compositeurs Juliano / Autres contributeurs 01 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' - VM The Don 07 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JAY JAY 12 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' - VM The Don 02 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat 03 Auteur Nemir - Alpha Wann - Mourad Arhouri / Compositeurs En'zoo 07 Auteur Alpha Wann - Sneazzy / Compositeurs VM The Don 10 Compositeurs Dioscures 04 Auteur Alpha Wann / Compositeurs VM The Don 09 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 08 Auteur Nekfeu - Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 10 Auteur Alpha Wann / Compositeurs VM The Don 05 Auteur Alpha Wann - Infinit' / Compositeurs VM The Don 14 Auteur Alpha Wann - Doums / Compositeurs Seezy 02 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JayJay 17 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 06 Compositeurs Fordstems 01 Auteur Infinit' / Compositeurs JayJay - LamaOnTheBeat 02 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hugo Fornacciari 01 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 01 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 13 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat 03 Auteur Alpha Wann - KSA / Compositeurs JAY JAY 05 Compositeurs Alpha Wann - Thomas Vernet 05 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' SoulAddict : Ken Samaras plus connu sous son nom de scĂšne Nekfeu, nĂ© le 3 avril 1990 Ă  La Tr. Ken Samaras plus connu sous son nom de scĂšne Nekfeu, nĂ© le 3 avril 1990 Ă  La TrinitĂ©, dans les Alpes-Maritimes, est un rappeur et acteur Espace membre . Mon compte; Fermer ma session ; Se connecter; Mot de passe oubliĂ© ? Facebook. Twitter. YouTube. Instagram. Snapchat. Paroles de la chanson Nekfeu Dans Ta RĂ©ssoi lyrics Dans Ta RĂ©ssoi est une chanson en Français Nekfeu Hein hein Quand on dĂ©barque dans ta rĂ©e-soi Alpha Wann, Nekfeu J’balance un autre joint Yo, yo Quand Nekfeu dĂ©barque dans ta rĂ©e- -soi les cheveux en bataille J’ramĂšne soit des sons carrĂ©s Soit des nes-jeu en pagaille Et tu flippes derriĂšre l’Ɠil de bƓuf Mais les gens m’rĂ©clament / Et j’rentre trĂšs calme J’te r’mercie, Je recueille deux meufs Des femmes sensibles ? Nan des pĂ©tasses en string Dans un Ă©tat pensif, je joue le mec attentif L’étape franchie, j’emballe Ă  l’aise Mais t’en chie, t’es mal Ă  l’aise Tu vois mes mains qui s’baladent et La pute c’est ta frangine / Oups Mais tu n’oses pas dĂ©ranger le Fennek et ses pochtrons MĂ©langer les serviettes et les torchons / Yeah J’aime les biatches avec les serre-tĂȘtes et les grosses bombes Certes mais je n’serre ni les sexes vierges ni les fausses blondes FourrĂ© dans la cuisine / BourrĂ© car je tise vite On pourrait faire l’amour / J’vais te labourer dans la piscine BourrĂ© sur la piste vite j’fouille le mobilier ObligĂ©, j’pisse ivre personne ne va m’oublier J’attrape une biĂšre que j’fais mousser quand j’bois J’me sens pousser quand j’vois Le sang couler et les femmes se trĂ©mousser d’vant moi Yeah / Et j’veux ma tequila paf Le genre de jeune qui n’veut que boire dans la 'teille qu'il a pas J’attrape un mic tu peux le voir j’ai la technique barbare J’investis l’appart avec un vrai style Ă  part Et vous pouvez me croire j’ai fait des douzaines de gard’av Quand j’suis shootĂ© je jacte pas ces bouteille des Jack Dacks Bris de glace, pris de tasses , tout ton corps est pris de spasmes T’entends des bruits dans l’escalier, t’inquiĂštes c’est Fennek qui se casse J’ai pris le large, nique-la Reste, reste paumĂ© J’veux du vrai sexe, oh mais J’aime tes belles fesses pot’lĂ©es OK j’excelle mec c’est le next level J’suis trop sexe, j’suis le best, j’ai le texte qu’elles veulent Toutes mes prĂ©tendantes / TrĂšs bandantes / FrĂ©quentant / Les tendances Vraiment t'en d'Ă©sambiancent / DĂšs qu’j’rentre en scĂšne Entrant qu’est-ce t’en penses frĂšre Franch’ment elles dans en cercle Penchant les hanches sans faire semblant MĂ©lange de French cancan Et quand je baise han-han, c’est orgasmique J’te guĂ©-lan, j’te laisse en plan, t’adores ma zik Les femmes sont sadomasochistes Comme les salopards au Fisc / Prennent en cadeau ma saucisse jouent les tasses au paroxisme Et j’trouve ça dommage aussi Ô ma jolie C’est juste un hommage aux filles Qui s’lĂąchent au lit Tous les ados m’associent Au roi des rois Normal, tu croyais quoi ? À cause de moi tes marmots passent au shit Ah Ah ! Refrain Nekfeu Quand on dĂ©barque dans ta rĂ©e-soi On frotte des putes Balance une grosse prod’ brute Pour qu’on croque des thunes Quand on dĂ©barque dans ta rĂ©e-soi On fuck les stups Roule un gros cĂŽne brut Pour qu’on smoke des trucs Qu’ça soit une boĂźte, un squat ou un palace privĂ© Si c’est dans Paname j’y vais avec mon squad Qu’ça soit une boĂźte, un squat ou un palace privĂ© Si c’est dans Paname j’y vais avec mon squad x2 [Alpha Wann Alpha Wann yo Nekfeu on dit quoi Ninety-five bossy Ninety-five clan Yo, yo Et yo c’est Funky Iceburg Ce soir j’évite les fights J’sors avec mes potos Ralph, Teddy et Mickael Me croyez-vous Moi et mes enfoirĂ©s S-Crew On met l’cap vers une soirĂ©e d’bourge On va squatter, s’bourrer la gueule Et voir dĂ©bouler des jolis boules bien roulĂ©s J'ai l'droit Ă  des 'putin Alpha' Est-c’que c’est bien oit J’en ai les mains moites Ton dernier style-free Et d’or fils en plus j’l’ai r’gardĂ© vingt fois Qui est c’mec qui porte la Jordan 11 Drague les fortes dames Insortables Toujours au portable De s'genre d’annonce Quel est ton pote dĂšs qu’tu sors ta cons’ Expert dans la feinte, yo c’est le filigrane Un verre dans la main yo qui ne finit pas On parle de ces soirĂ©es lĂ  mais nan c’est pas Yannick T’as un gros derch’ certes tchip mais fais pas la miss C’est pour mes BERSER? qui passent l’étĂ© Ă  Paris Phaal et Ken dĂ©boulent Les loups jaloux jles subissent des baisses de poids J’quĂšn' plus en soirĂ©e car quand mon sexe s’dĂ©ploit, ça perce le foie Demande Ă  ta nouvelle ex elle t’parl’ra de mes exeu-ploits Tu sais d’oĂč viennent les traces blanches sur sa veste noire Me teste moi ? EspĂšce d’idiot, nan cesse de croire Refrain Nekfeu CrĂ©dits parole paroles ajoutĂ©es par MeloBurry
RegardezNekfeu Ft. Alpha Wann - Vinyle __ Cyrbog (2016) - Eternal Music sur Dailymotion. Recherche. BibliothÚque. Se connecter. S'inscrire. Regarder en plein écran. il y a 6 ans. Nekfeu Ft. Alpha Wann - Vinyle __ Cyrbog (2016) Eternal Music. Suivre. il y a 6 ans. Signaler. Vidéos à découvrir. Vidéos à découvrir
Paroles de A deux pas par Alpha Wann feat. NekfeuÀ deux pas de lĂ  Mmmh, Ă  deux pas de lĂ  Ààà deux pas de lĂ Yeaah Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ  Aaaah Jâ€Čsuis un mĂ©lange de principes et d'actions Je ressemble Ă  ma vie Rare que jâ€Čpasse une journĂ©e sans prĂ©cipitation Au bord du prĂ©cipice, je n'ressens pas le vide Le sourire crispĂ©, la mauvaise parole s'propage, les Ă©crits sâ€Čperdent On roule dans une Chrysler, grise neuve Ça parle rap, bizâ€Č, entreprise, crise, meurtre Tu l'sais dĂ©jĂ  ce soir, les filles elles sont terribles On traverse la ville et son pĂ©riphâ€Č Ouais, la vie et son pĂ©riple AtmosphĂšre saturĂ©e de pollution Qui peut renouveller l'air MalgrĂ© la peur on ouvre les lĂšvres Jâ€Čai l'souvâ€Čnir d'un rappeur d'une nouvelle Ăšre Le crime Ă  deux pas Loin du climat de peur Il Ă©crivait de tĂȘte CriblĂ© de balles Parce quâ€Čil Ă©tait criblĂ© de dettes Son corps sur un vieux matelas La vie et son pĂ©riple Lâ€Čironie de Paname Ouais, la ville et son pĂ©riph' Alors quâ€ČĂ  deux pas d'lĂ  À Porte Dauphine On envoie du jeu aux filles Envoie leur profil Jâ€Čte l'dis dâ€Čoffice Ce soir y'a beaucoup d'idiotes Swag, Fendi, Gucci, Dior Faut quâ€Čelles se mĂ©fient des loups qui dorment Faut quâ€Čelles se mĂ©fient des loups qui dorment Sous leurs griffes des los-ki d'or Câ€Čest l'heure Soit gĂ©nĂ©reux, pas comme tous ces salauds qui donnent les leurs Regarde un peu ce que tu deviens Tâ€Čes ingrat, tu bicraves ton Ăąme au diable das un pochon de 21 grammes On pleure ceux dans l'au-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes Jâ€Čai vu le lĂąche les bras tendus par le poids de l'Ăąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  On pleure ceux dans l'au-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes Jâ€Čai vu le lĂąche les mains tendues par le poids de lâ€ČĂąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  Ah, quand est-c'quâ€Čon assume, hein? J'ai vu autant dâ€ČhumanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend lâ€Čdocteur Pendant qu'des hommes naissent, d'autres meurent Ah, quand est-câ€Čquâ€Čon assume, hein? J'ai vu autant dâ€ČhumanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend lâ€Čdocteur, a deux pas de lĂ  Des hommes naissent et d'autres meurent Sur le pĂ©riphĂ©rique Ă  fond, on fait ça comme dans les films On sâ€ČarrĂȘte dans une station, on slalome entre les files J'pense encore Ă  cette belle femelle J'reçois un SMS du tieks Un jeune est dĂ©cĂ©dĂ© cette semaine Pourquoi ils nâ€Čont pas dâ€Čparapluie quand il pleut des balles? Par respect pour sa famille, j'donnerai pas plus de dĂ©tails Ah, quand est-câ€Čqu'on assume, hein? Jâ€Čai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que dâ€ČanimositĂ© chez les humains Il faut qu'on s'serre les coudes Comme dans mon rĂȘve oĂč les renois Niquent les statistiques et redressent les courbes Niquent les statistiques et redressent les courbes Flingue et feu! On pleure ceux dans lâ€Čau-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes Jâ€Čai vu le lĂąche les bras tendus par le poids de l'Ăąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  On pleure ceux dans lâ€Čau-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lĂąche les mains tendues par le poids de lâ€ČĂąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  Ah, quand est-c'quâ€Čon assume, hein? J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que dâ€ČanimositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend lâ€Čdocteur Pendant qu'des hommes naissent, dâ€Čautres meurent Ah, quand est-c'quâ€Čon assume, hein? J'ai vu autant dâ€ČhumanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur Autour du matelas on attend lâ€Čdocteur, a deux pas de lĂ  Des hommes naissent et dâ€Čautres meurentWriters Alpha Wann, Ken Samaras, Steve-lilian Rapon
Georgio de son vrai nom Georges Édouard Nicolo [2], nĂ© le 21 janvier 1993 aux Lilas en Seine-Saint-Denis, est un rappeur et chanteur français originaire du 18 e arrondissement de Paris.. AprĂšs s'ĂȘtre fait connaĂźtre sur Internet, il sort Bleu noir, son premier album, produit grĂące Ă  un financement participatif le 16 octobre 2015.Le 4 novembre 2016, il publie son second album,
INTRO Nekfeu Oh my God
 Hey, hey Tous les quartiers du XV Hey COUPLET 1 Nekfeu J’ai mis tout le 1er album dans l’tos-ma Vue large comme sur le Boulevard d’Haussmann, ma ville est bĂątie au-dessus des ossements J’suis qu’un homme, j’pardonne mĂȘme quand mes soss’ mentent J’suis avec mon frĂšre, ça, t’as du l’voir, c’est pas un pompier mais c’est un soldat du feu Du rap hardcore, mais j’suis mal Ă  l’aise quand a des tits-pe qui chantent Ă  tue-tĂȘte Soit t’as du talent, soit t’as du flair, soit tu t’aides, soit t’es sous tutellĐ” Soit tu t’tais soit t’ouvres ta le-gueu, ma lĐ”-gueu, fais deuss avant que tu dead COUPLET 2 Alpha Wann M’éloigner des associateurs, me rapprocher des associations On ne recrute que des gens corrosifs, on veut pas d’molassons, on veut pas trop d’acteurs Tu sais dĂ©jĂ  si j’rentre dans l’histoire, ce s’ra en Ă©quipe, je veux pas entrer seul Une Rolls-Royce, ça s’fait en 6 mois et une Toyota, ça s’fait en 13 heures REFRAIN Nekfeu J’m’en bats les reins d’la chanson d’l’annĂ©e, c’est pas celle qu’on Ă©coute dans l’allĂ©e J’m’y suis frottĂ© quand il fallait, petit blanc affamĂ© nique un blanc affalĂ© J’regarde mon village de la falaise, depuis des millĂ©naires dans la vallĂ©e Faut des gens derriĂšre si tu dis qu’t’as raffalĂ©, ta façade et ta fiertĂ© seront ravalĂ©es À LIRE AUSSI Alpha Wann Ă©coute sa Don Dada Mixtape avec Nekfeu, Freeze Corleone
 [Sons] COUPLET 3 Nekfeu Je reste dans mon coin, faut gĂ©rer mon cas J’parle pas de sentiments d’vant des gavons qui n’en ressortent aucun J’rentre pas dans vos cases Y’a une voix qui m’dit faut pas que tu partes avant d’avoir dit “fuck les baceux du XV” Donc voilĂ  “fuck les baceux du XV” Dans les coms des fans, y’a un cĂŽtĂ© SM, j’suis toujours le mĂȘme comme Hugo TSR J’suis dans le maquis, t’es du cĂŽtĂ© SS et l’AmĂ©rique, faut la boycotter la-celle ouais REFRAIN Nekfeu J’m’en bats les reins d’la chanson d’l’annĂ©e, c’est pas celle qu’on Ă©coute dans l’allĂ©e J’m’y suis frottĂ© quand il fallait, petit blanc affamĂ© nique un blanc affalĂ© J’regarde mon village de la falaise, depuis des millĂ©naires dans la vallĂ©e Faut des gens derriĂšre si tu dis qu’t’as raffalĂ© Ta façade et ta fiertĂ© seront ravalĂ©es COUPLET 4 Alpha Wann Tu veux faire comme Phaal, tu veux faire comme Nek, tu veux t’faire connaĂźtre Mais t’es plus l’mĂȘme quand tu t’fais r’connaĂźtre, du coup, c’est plus toi qu’est connu, c’est un autre un autre Don Dada, Seine Zoo liĂ©s comme un nƓud un nƓud, j’étais un vrai, j’avais mĂȘme pas un an un bĂ©bĂ© J’crois Ă  la paix mais j’crois pas Ă  l’ONU Certains vont Ă  l’école en pirogue et d’autres vont au casino en UbercoptĂšre MoitiĂ© plein ou moitiĂ© vide, moi, j’vois le verre comme tel j’vois le verre comme tel Vous ĂȘtes l’AmĂ©rique, nous, la CorĂ©e du Nord, vous ĂȘtes les Bush, nous, c’est les Kim Ta chaĂźne YouTube a goĂ»tĂ© les clics, chaque fois qu’j’te vois, t’as une nouvelle Ă©quipe bizarre OUTRO Nekfeu Chelou ça hein, tu connais Philly Flingo, Philly Fuego C’est l’agent K, c’est l’agent J Paris Sud, c’est la GĂ©orgie Projet commun sortira le jour J Alpha Wann feat. Nekfeu – aaa Tags associĂ©s Commentaires
Registreradig pÄ Deezer och lyssna pÄ A deux pas (C&S Ocho Remix) med Alpha Wann och 90 miljoner fler lÄtar.
Ici j’étouffe comme l’asthmatique qui est allergique Ă  l’oxygĂšne Ils m’empĂȘchent de parler faut bien que j’expire les mots qui gĂȘnent Et vu les portes qui se ferment...read more DĂ©dicassĂ© a ceux qui rappaient sur Beat-Box. C'est pour Le [Pit Baccardi] Le 20-1, et tu le sait. Pour le 1 pour le nessbi, 2 pour le 91, Laisses moi kiffer...read more T'es comme une bougie Qu'on a oubliĂ© d'Ă©teindre dans une chambre vide, Tu brilles entourĂ© de gens sombres voulant te souffler Celui qui a le moins de jouets Le moins de...read more Laisse-moi zoom zoom zang Dans ta Benz Benz Benz Gal', quand tu pointes ton bumpa Ça m'rend dingue dingue dingue Laisse-moi zoom zoom zang Dans ta Benz Benz Benz ...read more Je lĂąche un tube quand je veux, j’ai qu’à claquer des doigts . Pour moi c’est facile, j’ai que l’embarras du choix. Faire un son qui engraine et qui fait pleuvoir des...read more JazzyBazz, de son vrai nom Ivan Bruno-Arbiser est nĂ© le 24 avril 1989 Ă  Paris. A 6 ans, ses deux parents (qui sont sĂ©parĂ©s) emmĂ©nagent dans deux appartements du 19Ăšme arrondissement. Il va trĂšs vite s’attachĂ© Ă  sa ville et en faire le sujet [Paroles de "À deux pas" ft. Nekfeu][Intro Nekfeu]À deux pas de lĂ Mmmh, Ă  deux pas de làÀàà deux pas de lĂ Yeaah Ă  deux pas de làÀ deux pas de lĂ Aaaah[Couplet 1 Alpha Wann & Nekfeu]J'suis un mĂ©lange de principes et d'actionsJe ressemble Ă  ma ville Rare que j'passe une journĂ©e sans prĂ©cipitationAu bord du prĂ©cipice, je n'ressens pas le videLe sourire crispĂ©, la mauvaise parole s'propage, les Ă©crits s'perdentOn roule dans une Chrysler, grise neuveÇa parle rap, biz', entreprise, crise, meurtre YeahTu l'sais dĂ©jĂ  ce soir, les filles elles sont terriblesOn traverse la ville et son pĂ©riph'Ouais, la vie et son pĂ©ripleAtmosphĂšre saturĂ©e de pollutionQui peut renouveler l'air ?MalgrĂ© la peur, on ouvre les lĂšvresJ'ai l'souv'nir d'un rappeur d'une nouvelle ĂšreLe crime Ă  deux pasLoin du climat de paixIl Ă©crivait de tĂȘte, criblĂ© de ballesParce qu'il Ă©tait criblĂ© de dettesSon corps sur un vieux matelasLa vie et son pĂ©ripleL'ironie de PanameOuais, la ville et son pĂ©riph'Alors qu'Ă  deux pas d'làÀ Porte DauphineOn envoie du jeu aux fillesEnvoie leur profilJ'te l'dis d'officeCe soir y'a beaucoup d'idiotesSwag, Fendi, Gucci, DiorFaut qu'elles se mĂ©fient des loups qui dormentFaut qu'elles se mĂ©fient des loups qui dormentSous leurs griffes des los-ki d'orC'est l'heureSois gĂ©nĂ©reux, pas comme tous ces salauds qui donnent les leursRegarde un peu ce que tu deviensT'es ingrat, tu bicraves ton Ăąme au diable dans un pochon de 21 grammes[PrĂ©-refrain Nekfeu]On pleure ceux dans l'au-delĂ Mais les morts ne versent pas de larmesJ'ai vu le lĂąche les bras tendus par le poids de l'armeSoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de làÀ deux pas de lĂ , tuĂ© Ă  deux pas de lĂ On pleure ceux dans l'au-delĂ Mais les morts ne versent pas de larmesJ'ai vu le lĂąche les bras tendus par le poids de l'armeSoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de làÀ deux pas de lĂ , tuĂ© Ă  deux pas de lĂ [RĂ©frain Alpha Wann & Nekfeu]Ah, quand est-c'qu'on assume, hein ?J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animauxQue d'animositĂ© chez les humainsAutour du matelas on attend l'docteurPendant qu'des hommes naissent, d'autres meurentAh, quand est-c'qu'on assume, hein ?J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animauxQue d'animositĂ© chez les humainsAutour du matelas on attend l'docteurÀ deux pas de lĂ  des hommes naissent, d'autres meurent[Couplet 2 Alpha Wann & Nekfeu]Sur le pĂ©riphĂ©rique Ă  fond, on fait ça comme dans les filmsOn s'arrĂȘte dans une station, on slalome entre les filesJ'pense encore Ă  cette belle femelleJ'reçois un SMS du tieks, un jeune est dĂ©cĂ©dĂ© cette semainePourquoi ils n'ont pas d'parapluie quand il pleut des balles ?Par respect pour sa famille, j'donnerai pas plus de dĂ©tailsAh, quand est-c'qu'on assume, hein ?J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animauxQue d'animositĂ© chez les humainsIl faut qu'on s'serre les coudesComme dans mon rĂȘve oĂč les renoisNiquent les statistiques et redressent les courbesNiquent les statistiques et redressent les courbesFlingue et feu !

ÀmoitiĂ© plein si je suis Ă  moitiĂ© vidĂ© Y'a plus d'tiĂ©-pi, ici, la vie est ainsi DĂ©couvrir des sens interdits, affolĂ© sans sa vertu Voir ses sensations s'ternir, adolescence perdue [Couplet 2 : Alpha Wann] Depuis toujours j'connais le vice de l'Homme J'veux

Paroles de la chanson 3095 par Alpha Wann [3010] Wes Han [3010] Je sais qu'le message est reçu reçu, elle sait qu'le message est prĂ©cis ouh On sait qu'le message est prĂ©cieux, pour la monnaie, tout est pressĂ© pressĂ©, ouais Parler, ouais, olĂ©, t'es oĂč, frĂšre ? Tu d'vais dĂ©coller ouf On m'le disait trop, maintenant, t'es oĂč ? Tu m'fais rigoler ah J'ai cherchĂ© le perfect yeah, Ă©ventuellement, il me trouve j'le trouve direct J'suis Luffy, j'suis Goku, j'suis Naruto sans besoin, le son me prouve j'le prouve direct ExpĂ©rience et pas rite rite, on dirait qu'j'ai vĂ©cu moins d'temps mais j'ai fait Ă©voluĂ© la rive Poto, j'dis Trappes mais dans le monde, c'est Paris J'me parle Ă  moi-mĂȘme mais ah mec, le poids de ma vie, c'est des barjes Faut faire doucement quand c'est aride, Rang Pang Tang Gang, on Ă©crase Et sans faire exprĂšs quand on marche, c'est matrixant ceux qui essaient arrivent J'vais pas changer, c'est la mĂȘme, que Dieu m'en prĂȘte vie wouh Que j'arrive slide en net que j'arrive slide en net, net Que la vie m'ouvre les portes d'une big fenĂȘtre d'une big fenĂȘtre Comme montrer qu'c'est mes nĂšg' comme montrer que c'est mes khos, wah Comme chopper cette opportunitĂ©, mec, hey [Alpha Wann & Nekfeu] Vas-y, t'sais quoi ? Au calme, moi, t'sais quoi, j'vais rapper aprĂšs Ben vas-y, envoie l'casque Dis-leur Selman, hey chope ça [Nekfeu] Je me vends pas comme Cactus Jack, j'pique dans la caisse du rap Les jobbers jobbent, les jacteuses jactent, New Don Dada, j'achĂšte deux d'chaque Check, assez de tchatche, pas de bouteille de Jack waw J'veux des montagnes de thiĂ©boudiĂšne tiĂšde et la dĂ©faite du diable Check, how, pourvu qu'mes poumons tiennent dans la lignĂ©e BoumĂ©diĂšne La lutte est un beau mĂ©tier, j'espĂšre le bien pour les tiennes J'les termine comme un prochain thĂšme prochain thĂšme J'Ă©ternue quand j'approche un traĂźtre J'ai fait le sport pour l'Ă©tĂ©, j'bombe comme James Bond Bon, j'suis en gestation, faut pas changer d'station eh T'es adulĂ© pour ton rap entre guillemets "sale" entre guillemets Moi, j'crois qu'on est comme on rappe et j'contredis les stats Par contre, j'remplis les stades ouais, j'oublie pas philistins C'est pas la marque qui fait le style, j'rappe depuis Lady Laistee [Nekfeu] Pas d'compliments qui fait l'estime, Dada Don, Dada hi, Dada Don Je vous l'ai mise, y a pas de texte, tout dans le fame Y a que du fake, y a que du fake, y a que du fake, y a que du fake Y a que du fake, y a que du fake Mixtape [Alpha Wann] C'est le leadership 'ship, Philly Flingo dans cette shit shit LV, Prada, Double G G, Ă  Conakry, faut la Jeep la Jeep Moteur bruyant, les pneus crissent, j'ai la carte bleue, pas la grise À Los Angeles dans les hills, plancher rayĂ© par mes grillz En primaire, j'lisais le Quid hey donc j'rĂ©ponds Ă  tous les quizz les quizz J'suis connectĂ© dans le Queens new-york, j'aime que les fesses et les couisses En plus dans ma ville, en plein Ă©tĂ© Ă  chaque heure, y en a mille C'est dur de rester tranquille, ce soir, RDV Ă  minuit pile devant Buffalo Grill [ Alpha Wann] Eh, eh T'inquiĂšte pas, t'inquiĂšte pas Si si, Philly Flingo le fauteuil wesh Let's get it quel bail chacal Eh, t'as captĂ© ou pas ?

Àdeux pas Alpha Wann, Nekfeu Buy This Song. FAVORITE (0 fans) Alpha Wann. more » Year: 2016 113 Views. Become A Better Singer In Only 30 Days, With Easy Video Lessons! À deux pas de lĂ  Mmmh, Ă  deux pas de lĂ  (Shabz Beatz) À deux pas de lĂ  Yeah Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ  Aah J'suis un mĂ©lange de principes et d'actions Je ressemble Ă  ma ville Rare
Hey Heyy Tous les quartiers du 15 Hey Hi, hi J'ai mis tout le premier album dans l'tos-ma Vue large comme sur le boulevard Haussmann Ma ville est bĂątie au-dessus des ossements J'suis qu'un homme j'pardonne mĂȘme quand mes sos mentents J'suis avec mon frĂšre ça t'as dĂ» l'voir C'est pas un pompier mais c'est un soldat du feu Du rap hardcore mais j'suis mal Ă  l'aise quand y'a des tits-pe qui chantent Ă  tue-tĂȘte Soit t'as du talent soit t'as du flair Soit tu t'aides soit t'es sous tutĐ”lle Soit tu t'taies soit t'ouvres ta guĐ”ules le-gueu ma ??? fait deuss avant que tu dead M'Ă©loigner des assiociateurs, me rapprocher des associations On ne recrute que des gens corrosifs on veut pas d'mollassons on veut pas trop d'acteurs Tu l'sais dĂ©jĂ  si j'rentre dans l'histoire ce sera en Ă©quipe je vais pas rentrer seul Une Rolls-Royce ça s'fait en six mois et une Toyota ça s'fait en treize heures [Nekfeu] J'm'en bat les reins d'la chanson d'l'annĂ©e C'est pas celle qu'on Ă©coute dans l'allĂ©e J'm'y suis frotter quand il fallait Petit blanc affamĂ© nique un blanc affalĂ© J'regarde mon village de la falaise, depuis des millĂ©naires dans la vallĂ©e Faut des gens derriĂšres si tu dis qu't'a rafalĂ©s, ta façade et ta fiertĂ© seront ravalĂ©s [Nekfeu] Je reste dans mon coin, faut gĂ©rer mon cas J'parle pas de sentiments devant des javons qui n'en ressentent aucuns, j'rentre pas dans vos cases Y'a une voix qui m'dit faut pas que tu partes avant d'avoir dit "Fuck les BAC du 15, donc voilĂ  Fuck les BAC du 15 Dans les coms des fans y'a un cĂŽtĂ© SM j'suis toujours le mĂȘme comme Hugo TSR J'suis dans le maki t'es du cĂŽtĂ© SS, et l'AmĂ©rique faut la boycottĂ© lĂ -celle, way [Nekfeu] J'm'en bat les reins d'la chanson d'l'annĂ©e C'est pas celle qu'on Ă©coute dans l'allĂ©e J'm'y suis frotter quand il fallait Petit blanc affamĂ© nique un blanc affalĂ© J'regarde mon village de la falaise, depuis des millĂ©naires dans la vallĂ©e Faut des gens derriĂšres si tu dis qu't'a rafalĂ©s, ta façade et ta fiertĂ© seront ravalĂ©s Tu veux faire comme ??? tu veux faire comme Nek, tu veux t'faire connaĂźtre Mais t'es plus l'mĂȘme quand tu t'fais reconnaĂźtre Du coup c'est plus toi qui est connus c'est un autre, Don Dada SeineZoo liĂ©s comme un nƓud J'Ă©tais un vrai j'avais mĂȘme pas 1 an J'crois en la paix mais j'crois pas en l'ONU Certains vont Ă  l'Ă©cole en pirogue et d'autres vont au casino en Uber-coptĂšre MoitiĂ© plein ou moitiĂ© vide, moi j'vois le verre comme tel Vous ĂȘtes l'AmĂ©rique nous la CorĂ©e du nord, vous ĂȘtes ??? nous c'est les ??? Ta chaĂźne Youtube a goĂ»tĂ© les cliques Ă  chaque fois que j'te vois t'as une nouvelle Ă©quipe bizarre C'est chelou ça nan ? Nous tu connais, Philly Flingo et Philly Fuego C'est l'agent K c'est l'agent J Paris Sud 19 c'est la GĂ©orgie Projet commun sortira le jour-j Let's get it
Àdeux pas de lĂ  Aaaah [Alpha Wann & Nekfeu:] J'suis un mĂ©lange de principes et d'actions Je ressemble Ă  ma ville : Rare que j'passe une journĂ©e sans prĂ©cipitation Au bord du prĂ©cipice, je
[Refrain nekfeu & vanessa paradis]Dans l'Univers, y'a des milliards de vies sur Terre, sept milliards d'ĂȘtres humainsPeut-ĂȘtre trois milliards de filles mais c'est toi qu'j'veuxT'es obsĂ©dĂ© par le vide et j'dĂ©teste ton mode de vieEt puis t'as ta part de vices mais c'est toi qu'j'veuxY'en a plein mais y'en a qu'une, c'est toiJe sais des choses que tu n'sais pas La suite des paroles ci-dessous Je sais qu'on serait mĂȘme pas heureux ensembleNous sommes de ceux que la rancune sĂ©parePourtant dans l'Univers, y'a des milliards de vies sur Terre, sept milliards d'ĂȘtres humainsPeut-ĂȘtre trois milliards de filles mais c'est toi qu'j'veuxT'es obsĂ©dĂ© par le vide et j'dĂ©teste ton mode de vieEt puis t'as ta part de vices mais c'est toi qu'j'veuxY'en a plein mais y'en a qu'une c'est toiJe sais des choses que tu n'sais pasJe sais qu'on serait mĂȘme pas heureux ensembleNous sommes de ceux que la rancune sĂ©pare[Nekfeu]Et mĂȘme si notre amour ratĂ© devait renaĂźtre demainElle m'a dit "Jamais je ne remettrais mon cƓur entre tes mains"Jamais, jamais n'oublies pas que quand tu l'avais, tu ne m'as laissĂ© que du mal-ĂȘtre et des marquesOn Ă©tait jeunes, on pensait que s'aimer, s'Ă©tait se traiter mal[Refrain nekfeu & vanessa paradis]Pourtant dans l'Univers y'a des milliards de vies sur Terre, sept milliards d'ĂȘtres humainsPeut ĂȘtre trois milliards de filles mais c'est toi qu'j'veuxT'es obsĂ©dĂ© par le vide et j'dĂ©teste ton mode de vieEt puis t'as ta part de vices mais c'est toi qu'j'veux La suite des paroles ci-dessous Y'en a plein mais y'en a qu'une c'est toiJe sais des choses que tu n'sais pasJe sais qu'on serait mĂȘme pas heureux ensembleNous sommes de ceux que la rancune sĂ©pare[Nekfeu & vanessa paradis]On se dĂ©goĂ»te, on se combat jusqu'Ă  c'qu'on bouffe les pissenlitsNotre couple succombe Ă  ce dĂ©sir puissant puis s'ennuieEt le dĂ©sir disparaĂźt en mĂȘme temps que la possessionEt les femmes de ma vie dĂ©filent en une Ă©trange processionJ'y pensais seul la nuit sous les traits d'un jeune homme inquietQuand la lune dort le soleil luit, moi je ne vois qu'elle[Refrain nekfeu & vanessa paradis]Dans l'Univers y a des milliards de vies sur Terre, sept milliards d'ĂȘtres humainsPeut ĂȘtre trois milliards de filles mais c'est toi qu'j'veuxT'es obsĂ©dĂ© par le vide et j'dĂ©teste ton mode de vieEt puis t'as ta part de vices mais c'est toi qu'j'veuxY'en a plein mais y'en a qu'une c'est toiJe sais des choses que tu n'sais pasJe sais qu'on serait mĂȘme pas heureux ensembleNous sommes de ceux que la rancune sĂ©pare[Nekfeu, vanessa paradis]Nos cƓurs unis par cette danse que ta lumiĂšre peut apprendre Ă  mon ombreUn jour, tu me donneras ton oui et tu prendras mon nomUn jour, tu me donneras ton oui et tu prendras mon nom “Le morceau Dans l'univers » est un extrait de l'album de Nekfeu qui s'intitule Les Ă©toiles vagabondes ». En collaboration avec Vanessa Paradis, le rappeur d'origine grecque est toujours apprĂ©ciĂ© lorsqu'il s'agit de l'Ă©criture de ses chansons. D'un ton calme, ce son immerge l'internaute dĂšs sa premiĂšre Ă©coute dans l'ambiance dĂ©sirĂ©e par l' chanson dĂ©bute directement avec un refrain qui est chantĂ© par les deux artistes. Chacun Ă  sa façon, dĂ©clare sa flamme Ă  l'autre, et dĂ©montre un certain attachement, malgrĂ© la quasi absence de points communs. NĂ©anmoins, le chanteur est incertain que cet amour perdurera, la cause principale Ă©tant le cĂŽtĂ© rancunier des deux ajoute ensuite que mĂȘme si cet amour venait Ă  renaĂźtre un jour, ce qui laisse penser que cette histoire a commencĂ© il y a longtemps de cela, sans bien se terminer. Ce dernier ne sera pas le mĂȘme qu'avant, au vu des sĂ©quelles qu'il a laissĂ©. Le chanteur met toutefois la faute sur l'inconscience et l'immaturitĂ© de la jeunesse, oĂč tout deux pensaient que s'aimer voulait dire se traiter mal ».Vient ensuite le deuxiĂšme couplet, oĂč les deux artistes y participent. Nekfeu raconte le quotidien de son couple, qui n'Ă©tait que disputes et dĂ©saccords, ce qui a rapidement mis fin Ă  la relation. Ce dernier paraĂźt toutefois inquiet, incapable de comprendre pourquoi il n'arrive pas Ă  garder une relation stable. Nostalgique, le rappeur indique que la seule chose qu'il voit quand le soleil se lĂšve, c'est Ă©voque par la fin une certaine complĂ©mentaritĂ© entre les deux personnes, le rappeur symbolisant l'ombre, et sa bien aimĂ©e la lumiĂšre. Bien que ces derniers soient totalement opposĂ©s, il est impossible de les dissocier. Le rappeur parle du mariage avec cette mĂȘme personne, qu'il considĂšre comme l'objectif Ă  rĂ©aliser, quel qu'en soit le prix. Les internautes qui ont aimĂ© "Dans l’univers" aiment aussi LĂ©criture de Nekfeu vagabonde autour de grands thĂšmes qui orientent sa vie. Parmi ces thĂ©matiques, on retrouve son amour de l'Ă©criture ; ses voyages Ă  l'international ; sa passion du gaming et autres souvenirs d'enfance ; sa contemplation pour les astres ; ses valeurs de loyautĂ© ou encore ses rimes teintĂ©es de romantisme ; sans parler de ses multiples rĂ©fĂ©rences sociales ï»żTop Albums TrackMusikRadio TrackMusik HomeNewsRap FRHip-Hop/Rap USR&B/SoulVariĂ©tĂ©Pop/RockÉlectroAlternativeTOP MP3Top iTunesTop iTunes Rap/Hip-HopTop iTunes R&B/SoulTop iTunes VariĂ©tĂ©Top iTunes Pop/RockTop iTunes ElectroTop iTunes Singles UZI - Meilleur qu'hierBigflo & Oli - Les autres c’est nousGazo - KMTDJ Hamida - A la bien summer editionNaza - Big DaddyJul - Extraterrestre©2021 Ltd. 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Finalement heureusement que des mecs comme Infinit’ou Alpha Wann continuent à le faire trùs bien. Sur bien des aspects, Alpha Wann est de loin le meilleur de France dans ce domaine. C’est
Alpha Wann, Nekfeu Become A Better Singer In Only 30 Days, With Easy Video Lessons! À deux pas de lĂ  Mmmh, Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ  Yeah Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ  Aah J'suis un mĂ©lange de principes et d'actions Je ressemble Ă  ma ville Rare que j'passe une journĂ©e sans prĂ©cipitation Au bord du prĂ©cipice, je n'ressens pas le vide Le sourire crispĂ©, la mauvaise parole s'propage, les Ă©crits s'perdent On roule dans une Chrysler, grise neuve Ça parle rap, biz', entreprise, crise, meurtre Tu l'sais dĂ©jĂ  ce soir, les filles elles sont terribles On traverse la ville et son pĂ©riph' Ouais, la vie et son pĂ©riple AtmosphĂšre saturĂ©e de pollution Qui peut renouveler l'air MalgrĂ© la peur on ouvre les lĂšvres J'ai le souvenir d'un rappeur d'une nouvelle Ăšre Le crime Ă  deux pas Loin du climat de peur Il Ă©crivait de tĂȘte, criblĂ© de balles Parce qu'il Ă©tait criblĂ© de dettes Son corps sur un vieux matelas La vie et son pĂ©riple L'ironie de Paname Ouais, la ville et son pĂ©riph' Alors qu'Ă  deux pas d'lĂ  À Porte Dauphine On envoie du jeu aux filles Envoie leur profil J'te l'dis d'office Ce soir y'a beaucoup d'idiotes Swag, Fendi, Gucci, Dior Faut qu'elles se mĂ©fient des loups qui dorment Faut qu'elles se mĂ©fient des loups qui dorment Sous leurs griffes des los-ki d'or C'est l'heure Soit gĂ©nĂ©reux, pas comme tous ces salauds qui donnent les leurs Regarde un peu ce que tu deviens T'es ingrat, tu bicraves ton Ăąme au diable dans un pochon de 21 grammes On pleure ceux dans l'au-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lĂąche les bras tendus par le poids de l'Ăąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  On pleure ceux dans l'au-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lĂąche, les mains tendues par le poids de l'arme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur Pendant qu'des hommes naissent, d'autres meurent Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur, Ă  deux pas de lĂ  Des hommes naissent et d'autres meurent Sur le pĂ©riphĂ©rique Ă  fond, on fait ça comme dans les films On s'arrĂȘte dans une station, on slalome entre les files J'pense encore Ă  cette belle femelle J'reçois un SMS du tieks un jeune est dĂ©cĂ©dĂ© cette semaine Pourquoi ils n'ont pas d'parapluie quand il pleut des balles? Par respect pour sa famille, j'donnerai pas plus de dĂ©tails Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Il faut qu'on s'serre les coudes Comme dans mon rĂȘve oĂč les renois Niquent les statistiques et redressent les courbes Niquent les statistiques et redressent les courbes Flingue et feu! On pleure ceux dans l'au-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lĂąche les bras tendus par le poids de l'Ăąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  On pleure ceux dans l'au-delĂ  Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lĂąche les mains tendues par le poids de l'Ăąme SoirĂ©e arrosĂ©e dans Paname et Ă  deux pas de lĂ  À deux pas de lĂ , tu es Ă  deux pas de lĂ  Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur Pendant qu'des hommes naissent, d'autres meurent Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanitĂ© chez les animaux Que d'animositĂ© chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur À deux pas de lĂ , des hommes naissent et d'autres meurent Become A Better Singer In Only 30 Days, With Easy Video Lessons! Written by Alpha Wann, Ken Samaras, Steve-Lilian Rapon Lyrics © BMG Rights Management Lyrics Licensed & Provided by LyricFind Citation Use the citation below to add these lyrics to your bibliography Missing lyrics by Alpha Wann? Know any other songs by Alpha Wann? Don't keep it to yourself! Watch the song video A Deux Pas Browse Quiz Are you a music master? » In what year was the first Woodstock festival held? A. 1970 B. 1980 C. 1969 D. 1968 Voicile grand retour du groupe S-Crew oĂč l'on retrouve l’indĂ©trĂŽnable Nekfeu, Mekra et 2zer. TrĂšs bon album avec la participation de Alpha Wann, PLK et Doums. Ils ont composĂ© un magnifique hommage Ă  NĂ©pal, avec le titre "Maintenant" qui est un petit coup de cƓur personnel, tout comme "22" et "N'oublions pas"!
Neuf ans aprĂšs En sous-marin, l’indĂ©boulonnable duo de Paris Sud s’apprĂȘte Ă  remettre le couvert pour un deuxiĂšme album commun. Projet commun sortira le jour J», voilĂ  comment Nekfeu clĂŽt son premier featuring, aaa », avec Alpha sur la don dada mixtape En cinq mots, Nekfeu retourne le rap français et laisse prĂ©sager la sortie prochaine d’un album commun avec Alpha Wann. Neuf ans aprĂšs leur projet En sous-marin, un possible nouvel album commun des deux MCs fait saliver Twitter. RĂ©cemment, on estimait la sortie probable de leur projet commun Ă  50%, on s’est bien trompĂ©s. Nekfeu Projet commun sortira le Jour-J» En-sous marin 2 » putain, ils le disent toutes les annĂ©es mais ça fait toujours bien d’entendre que c’est d’actualitĂ© đŸ”„ — Interlude interludefrance December 17, 2020 Alpha Wann et Nekfeu, Flingue et Feu aaa » est le premier des deux featurings entre les deux artistes sur la mixtape. Multipliant les punchlines sur leur amitiĂ©, les deux rappeurs sont comme Ă  leur habitude en fusion. J’suis avec mon frĂšre, ça, t’as du l’voir, c’est pas un pompier mais c’est un soldat du feu», Tu veux faire comme Phaal, tu veux faire comme Nek, tu veux t’faire connaĂźtre», Don Dada, Seine Zoo liĂ© comme un nƓud». En effet, Alpha et Nek sont extrĂȘmement proches et sont deux des collaborateurs les plus rĂ©currents du rap français. PremiĂšrement depuis leur mixtape commune en 2011, ensuite sur tous les albums solos de Nekfeu et sur Alph Lauren 2. Membres de l’Entourage et de 1995, les deux rappeurs se retrouvent aussi trĂšs rĂ©guliĂšrement sur les morceaux de Sneazzy, Noir ou encore Deen Burbigo. Alors que Vald et Heuss l’EnfoirĂ© relancent brillamment le genre des albums communs français, celui de Nekfeu et Alpha pourrait dĂ©finitivement confirmer la tendance. À dĂ©couvrir Ă©galement Eminem revient avec la B Side » de Music To Be Murdered By
Jdois bien ter-chan, faut qu'ça flingue les jambes. Fuck, j'suis plus légendaire que plein d'légendes. Va dire aux putes qu'on connait nos mémos. Quand le skin a les genoux au sol.
Nekfeu vient de sortir un nouveau son. Il collabore avec Alpha Wann pour l'album de Nemir ! MCE vous propose de dĂ©couvrir le titre ! Nekfeu fait une nouvelle fois parler de lui. Le rappeur dĂ©voile sa nouvelle collaboration avec Alpha Wann sur le premier album de Nemir, sorti aujourd’hui, ce vendredi 6 septembre. Nekfeu est au coeur de l’actualitĂ© une nouvelle fois. Le rappeur ne cesse de faire parler de lui depuis le dĂ©but de cette annĂ©e. Il est incontestablement l’artiste qui marquera l’annĂ©e 2019. En effet, le rappeur a sorti il y a quelques mois son nouvel album Les Étoiles Vagabondes. Il avait alors accompagnĂ© la sortie de cet album avec un film du mĂȘme nom. Lors d’une sĂ©ance unique, les tĂ©lĂ©spectateurs avaient alors pu voir toute la crĂ©ation de ce dernier. Et le moins que l’on puisse dire, c’est que ce dernier lui avait pris Ă©normĂ©ment de temps Ă  ĂȘtre produit. Nekfeu s’est rendu au Japon avec toute son Ă©quipe afin de chercher l’inspiration. Et il a eu raison de le faire, puisque chaque titre de son album est un carton ! Alors que le premier album Les Etoiles Vagabondes est sorti le 6 juin. Et depuis il ne cesse de faire parler de lui ! Nekfeu collabore sur le nouvel album de Nemir ! Mais si aujourd’hui Nekfeu fait parler de lui ce n’est pas pour parler de son album. Un son oui, mais une collaboration sur un nouvel album. Nemir vient de sortir son premier album Ă©ponyme et qui mieux que Nekfeu pour faire un featuring ? C’est sur le titre intitulĂ© DLPT que le rappeur pose sa voix. Les deux rappeurs entretiennent une belle relation amicale depuis plusieurs annĂ©es maintenant. Nekfeu a dĂ©jĂ  collaborĂ© plusieurs fois avec Nemir. La premiĂšre fois, dans son titre Princesse. C’est notamment grĂące Ă  ça que le rappeur s’est fait connaitre du grand public. Mais ce n’est pas tout, l’interprĂšte de On Verra, a fait appel Ă©galement au rappeur dans son nouvel album dans le titre elle pleut » qui a Ă©tĂ© l’un des plus grand carton de son album. Tags Nekfeu - Nekfeu 2019 - nekfeu album Nekfeu– Vinyle ft. Alpha Wann. Je ne saurai mĂȘme pas dire quel est le mot Ă  choisir pour ici ! Le dĂ©but de la phrase peut-ĂȘtre pris au sens propre, comme au sens figurĂ©, et c’est de lĂ  que nous saurons si on utilise le mot « pied » ou le verbe « piller« . Mais, au vue des phrase qu’on a pu voir, le plus logique serait de se dire que les deux mots sont valable pour Dans cet article, le 16 a sĂ©lectionnĂ© les titres qui ont marquĂ© notre second trimestre de l’annĂ©e 2021. Van Damme – SDM 19 marsproduit par ZzProd Tu pousses, tu pousses mais avec une rime, SDM nous satisfait sec. L’une des relĂšves du 92i rĂ©alise avec Van Damme une performance athlĂ©tique. Un excellent morceau pour le sport ou pour hocher la tĂȘte, peut-ĂȘtre vous provoquera-t-il l’envie de faire des grands Ă©carts entre deux camions Ă  l’instar de Jean-Claude Van Damme. Street Fight – Tovaritch ft. Kalash Criminel 24 marsproduit par NiX Beats Une collaboration qui nĂ©cessite des bons appuis. Si jamais vous hĂ©sitiez Ă  vous lancer dans le sport, ce featuring tĂ©nĂ©breux entre Tovaritch et Kalash Criminel va vous donner envie de pousser Ă  la salle, de faire des pompes et des tractions. Entre la voix cassĂ©e et obscure de Tovaritch et la percutante prestation de Kalash Criminel, ce n’est pas la collaboration qui ferait plaisir Ă  vos mamans. Babyphone – Kekra 2 avrilproduit par Tomek Zyl C’est un Kekra d’une grande lĂ©gĂšretĂ© que l’on retrouve sur Babyphone », placĂ© au milieu de l’album Ă©ponyme. Un coup de cƓur pour ce voyage en trois minutes chrono, au rythme d’une composition enivrante. Parfaite pour se laisser porter ces prochains jours d’étĂ©. BRRR – Vladimir Cauchemar ft. Laylow, Rim’K & Asdek 8 avrilproduit par Asdek & Vladimir Cauchemar Le casting Ă  la hauteur des attentes. La folie de Vladimir Cauchemar, l’univers digital de Laylow et l’expĂ©rience de Rim’K. Deux ans aprĂšs la masterclass avec Vald, le mystĂ©rieux Vlad remet le couvert avec BRRR pour un morceau 5 Ă©toiles prĂȘt Ă  enflammer l’étĂ© en boĂźte comme il se doit. GuĂ©rison – Sadek ft. Ali 9 avrilproduit par FGV Ntracks Pour les nostalgiques de Lunatic, entendre l’entrĂ©e d’Ali dans GuĂ©rison est pĂ©tillant. Bien que l’artiste a continuĂ© sa carriĂšre en solo, sa prĂ©sence sur le projet de Sadek a suscitĂ© notre intĂ©rĂȘt, et notre curiositĂ© fut satisfaite. Cette collaboration vient reprĂ©senter la cerise du gĂąteau qu’est Aimons-nous vivants. Cover rĂ©alisĂ©e par Fifou Fabrice Fournier Kevin Mitnick – Zuukou Mayzie ft. Osirus Jack 9 avrilproduit par C2S Kevin Mitnick rejoint de nouveau son collĂšgue de la Ligue des Ombres, le bg du 667 Zuukou Mayzie. Comme Ă  leurs habitudes, une ambiance et un thĂšme lyrical sombres marquent ce titre Kevin Mitnick, cĂ©lĂšbre pirate informatique vivement recherchĂ© autrefois par le FBI. Entre des extraits de Cybertracker et de Matrix, la fusion des rappeurs nous transporte instantanĂ©ment dans cette terrible pyramide. Dieu bĂ©nisse les enfants – Benjamain Epps & Le Chroniqueur Sale 23 avrilproduit par Le Chroniqueur Sale ArrivĂ© comme une mĂ©tĂ©orite dans le paysage du rap francophone, le rappeur d’origine gabonais dans FantĂŽme avec Chauffeur, dĂ©voile le puissant Dieu BĂ©nisse les enfants ». Dans ce morceau, le rappeur revient sur les craintes de la vie Ă  l’égard de ses neveux qu’il ne voit pas grandir. Pour en connaĂźtre plus sur le morceau et le projet, nous vous rĂ©fĂ©rons Ă  notre interview croisĂ©e entre Benjamin Epps et Le Chroniqueur Sale. Cover rĂ©alisĂ©e par Fifou Fabrice Fournier ParallĂšle – Georgio ft. Zikxo 7 maiproduit par Prymus La rencontre entre Georgio et Zikxo Ă©tait Ă©vidente, et le fruit qui en est nĂ© est Ă©videmment dĂ©licieux. Deux amoureux – ou connards », choisissez – du rap se trouvent sur un titre plein d’engagement, de passion et d’influences. Chacun fidĂšle Ă  lui-mĂȘme, leur plume s’additionnent Ă  merveille. Pensez Ă  vous, mais n’oubliez pas vos G’s ». Cover rĂ©alisĂ©e par Antonin Nkruma FICHE DE PAIE – Ratu$ ft. OG L’Enf 21 maiproduit par Big Don AprĂšs une performance rĂ©ussie dans la Don Dada mixtape premier volume, Ratu$ profite de cet Ă©lan pour offrir l’EP, Tout Travail MĂ©rite Salaire ». Dans ce dernier, le coup de coeur s’en va pour Fiche de paie en compagnie d’OG L’enf. Rimes aiguisĂ©es, coup de sabres de Kenobi, refrain puissant Ă  Ă©couter seulement aprĂšs s’ĂȘtre mouillĂ© la nuque. Cover rĂ©alisĂ©e par WWWESH STUDIO 17 – Kima ft. Kalash 26 maiproduit par Melowithdaheat & Mikespro Un peu plus d’un an dans ce rap jeu et Kima s’affiche dĂ©jĂ  comme un jeune rookie, en provenance de Martinique, Ă  suivre avec attention. Quelques mois ont suffi pour ĂȘtre validĂ© par ses pairs, en Ă©tant prĂ©sent sur des featurings avec, entre autre, Marginal, Evil P ou encore Seth Gueko et son fils Stos qui ont fait le voyage jusqu’à Mada. Cette fois ci, Kima a l’honneur de recevoir la figure de proue des rappeurs antillais, Kalash. Sur des notes hautes et des flows entraĂźnants, les deux rappeurs se rejoignent Ă  la perfection. Ce titre en dit long autant sur la progression rĂ©alisĂ©e par Kima et la marge qui reste encore devant lui. Blizzard – Vladimir Cauchemar ft. Benjamin Epps 2 juinproduit par Vladimir Cauchemar Benjamin Epps est pour le 16 un coup de coeur, pour moi l’une des rares rĂ©vĂ©lations depuis la dĂ©couverte d’un jeune prĂ©nommĂ© Alpha Wann. Ses deux projets sont largement convaincants, sans l’ombre d’un doute. Mais le titre Blizzard avec Vladimir Cauchemar Ă  la production est paru comme un rayon de lumiĂšre venu Ă©claircir une piĂšce sombre. Vladimir fait flotter cette belle voix, et Benjamin vient poser ses mesures d’une parfaite justesse. Les lyrics eux aussi sont justement provocants et prĂ©venants. Bref, ce titre m’a convaincu qu’Eppsito sera installĂ© dans ma bibliothĂšque pour de trĂšs longues annĂ©es. CramĂ© – Koba la D ft. Oboy 17 juinproduit par SHB, Voluptyk & Scar Productions Quand Oboy est de sortie, les grosses chaleurs sont souvent instantanĂ©es. InvitĂ© sur la mixtape Cartel Volume 1 » par Koba la D, le cocktail est plus que dĂ©licieux. Sur une base de guitares ensoleillĂ©es, Oboy ajoute un nectar dont lui seul Ă  la recette. Koba verse, d’une dĂ©licate nonchalance, le liquide qui vous fera dĂ©lirer. Une association Ă©tonnante, efficace au lĂącher prise, sous le soleil Ă  BĂ©rize ou ailleurs. Plug / Cheat Code – Slimka 18 juinproduit par Skuna & Guapo du Soleil La veille de la sortie de l’album Tunnel Vision » du rappeur suisse Slimka, le 16 avait dĂ©couvert la partie Cheat Code avec la vidĂ©o du youtubeur Raska. Le morceau dĂ©coupĂ©e en deux vient dĂ©montrer les deux parties d’un sabre son cĂŽtĂ© calme et esthĂ©tique avec un flow posĂ© et atypique sur PLUG, son cĂŽtĂ© tranchant et efficace avec CHEAT CODE. Notre coup de coeur suisse, il est lĂ . Cover rĂ©alisĂ©e par Exit Void On y est – Doums ft. Nekfeu 24 juinproduit par En’Zoo ArrivĂ© par surprise, le troisiĂšme opus de la saga Pilote de Doums en rĂ©jouira plus d’un. Au-delĂ  du plaisir d’entendre Nekfeu aprĂšs des mois d’absence, c’est surtout l’un des meilleurs morceaux de Doums de la saga. Entre attitude, texte, flow, tout y est pour le rappeur. Une vraie claque comme celles qu’il met sur les machines Ă  coup de poings de son Ă©mission Passe la manette ». Je kill au mic – Jul 25 juinproduit par Djee Beats Demain ça ira », vingtiĂšme et quelques albums pour Jul, qui n’en oublie pourtant pas ses flows et ambiances de ses premiers titres. Toujours prĂ©sente dans chaque album, ou presque, cette dose de rap franc et mĂ©lancolique saura ravir les plus anciens de cette histoire marseillaise. Laisser passer – Marj ft. Twinsmatic 25 juinproduit par Twinsmatic Marj, la belle dĂ©couverte du superbe Atlas », dernier album de Twinsmatic, a rĂ©cemment dĂ©voilĂ© son premier projet MOTION ». Elle y dĂ©voile toute une palette d’étapes et sentiments amoureux. Les langues se dĂ©lient sur ce titre, par sa voix Marj sublime les profondeurs de la prod signĂ©e TSC. Le 16 ne peut que vous conseiller de vous intĂ©resser a ce duo aussi efficace que passionnant. Cover rĂ©alisĂ©e par Smokylash MĂ©lissa de Aurojo SĂ©lection et article par ClĂ©ment Damay et Paul Arnault Aminedonne des nouvelles concernant le live avec Nekfeu. Absent mĂ©diatiquement depuis plusieurs annĂ©es, Nekfeu fait beaucoup causer de lui ces derniĂšres semaines. On l’a notamment vu faire diverses apparitions aux concerts de Laylow, Dinos et Alpha Wann. Mais ce n’est pas tout, il pourrait prochainement revenir avec un nouveau projet. Alpha Wann a sorti sa mix-tape, Don Dada Mixtape Volume 1, ce 18 dĂ©cembre, mais il semblerait qu’un projet commun avec Nekfeu se trame dĂ©jĂ  en coulisses
 Alpha Wann a frappĂ© trĂšs fort ce vendredi 18 dĂ©cembre avec un nouveau projet intitulĂ© Don Dada Mixtape Vol. 1. Un opus de 17 titres sur lequel on retrouve notamment Freeze Corleone, Kaaris, Infinit’, Veust, Lesram, 3010, Ratu$, KSA, Deen Burbigo, Kalash Criminel et bien sĂ»r
 Nekfeu. L’interprĂšte de Princesse apparaĂźt en effet sur 4 morceaux San Andreas avec Lesram du groupe Panama Bende, 3095 pt2 avec 3010, un solo baptisĂ© Malevil ainsi que le morceau aaa. Ce dernier a d’ailleurs particuliĂšrement attirĂ© l’attention des auditeurs. Si les 2 membres du groupe 1995 envoient, comme Ă  l’accoutumĂ©e, des phases techniques et des flows bouillants Ă  tout va, une phrase en particulier a fait l’effet d’une bombe, la toute derniĂšre du morceau, dans laquelle Nekfeu dĂ©clare “Projet commun sortira le jour J”. Alpha Wann feat. Nekfeu – aaa À LIRE AUSSI Alpha Wann Ă©coute sa Don Dada Mixtape avec Nekfeu, Freeze Corleone
 [Sons] Un album commun dans les prochains mois ? MaĂźtrisant avec brio l’art de la subtilitĂ©, les 2 Mc’s ont rĂ©ussi Ă  crĂ©er une hype colossale sur les rĂ©seaux sociaux, et ce uniquement grĂące Ă  cette phrase. Le mystĂšre plane nĂ©anmoins sur les dĂ©tails qui accompagneront cette sortie puisque nous ne bĂ©nĂ©ficions Ă  l’heure actuelle d’aucune information supplĂ©mentaire. S’il ne faut pas crier victoire trop vite, nous pouvons toutefois hypothĂ©tiquement penser que l’album pourrait sortir courant d’annĂ©e 2021. Outre les morceaux sur le dernier projet d’Alpha, Nekfeu a Ă©galement rĂ©cemment posĂ© sur les albums de Dinos Moins un et Kalash Criminel Turn up. Un retour sur le devant de la scĂšne qui coĂŻnciderait donc avec la parution prochaine d’un opus en duo avec son compĂšre de toujours. Feu et Philly Flingo avaient dĂ©jĂ  sorti un EP commun en 2011, intitulĂ© En sous-marin. Introuvable sur les plateformes de streaming, il est cependant disponible sur YouTube. Une chose est sĂ»re, la dĂ©mocratisation de projets communs comme cela se pratique dĂ©jĂ  couramment dans le rap game aux Etats-Unis, Ă  l’instar de l’album Horizon Vertical de Vald et Heuss L’enfoirĂ© sorti ce 16 dĂ©cembre, ne pourra ĂȘtre que bĂ©nĂ©fique pour notre cher rap français
 Nekfeu & Alpha Wann – En sous-marin Tags associĂ©s Commentaires Faxb.